数字信号处理习题集大题及答案

1设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点圆周卷积。 （3）试求8点圆周卷积。

解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1}

2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3}

3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0} 2二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n≤5);

(4)x[((-n-1))6],(0≤n≤5);

4x(3-n)320.5

x[((n-1))6]1n

-3-2-1012341234x[((-n-1))6]4n

320.50.51n

0123450123452(1?z?1)3．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为H(z)?

(1?0.5z?1)(1?2z?1)试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。

Im0.52Re解: 系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<2

2(1?z?1)4/32/3H(z)????1?1?1(1?0.5z)(1?2z)1?0.5z1?2z?1

h(n)?42(0.5)nu(n)?2nu(?n?1) 334．设x(n)是一个10点的有限序列

x（n）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT，试确定下列表达式的值。 (1) X(0), (2) X(5), (3) ?X(k)

k?09,（4）

?ek?09?j2?k/5X(k)

解：（1） W0?1N（2）

W5n10X[0]??x[n]?14n?09?1????19n?偶数n?奇数X[5]?n?0n?偶?x[n]??x[n]??12n?1n?奇89（3） x[0]?1

10k?0?X[k]??X[k]?10*x[0]?20k?09（4） x[((n?m))N]

e?j(2?k/N)mX[k]?j(2?k/10)219x[((10?2))10]??e10k?0X[k]?ek?09?j(2?k/10)2X[k]?10*x[8]?05． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } (1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y1(n)= x(n)⑥h(n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y2(n)= x(n)⑧h(n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1）

5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 2

y(n)= x(n)* h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2} (2)

5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 22-13 4 -3 13 -4 3 2

y1(n)= x(n)⑥h(n)= {-13,4,-3,13,-4,3}

(3)因为8>(5+3-1),

所以y3(n)= x(n)⑧h(n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0} y3(n)与y(n)非零部分相同。

6一个因果线性时不变离散系统，其输入为x[n]、输出为y[n]，系统的差分方程如下：

y（n）-0.16y(n-2)= 0.25x(n-2)＋x(n) (1) 求系统的系统函数 H(z)=Y(z)/X(z); (2) 系统稳定吗?

(3) 画出系统直接型II的信号流图; (4) 画出系统幅频特性。 解：(1)方程两边同求Z变换：

Y(z)-0.16zY(z)= 0.25zX(z)＋X(z)

-2

-2

Y(z)1?0.25z?2

H(z)??X(z)1?0.16z?2(2)系统的极点为：0.4和－0.4,在单位圆内，故系统稳定。 (3)

x(n)z-1y(n)0.16z-10.25 (4)

ImH(ej?)j0.5-0.40.40-j0.52.7Re????20.340?2??

7．如果需要设计FIR低通数字滤波器，其性能要求如下： (1)阻带的衰减大于35dB, (2)过渡带宽度小于?/6.

请选择满足上述条件的窗函数，并确定滤波器h(n)最小长度N

窗函数矩形汉宁汉明布莱克曼主瓣宽度过渡带宽4?/N8?/N8?/N12?/N1.8?/N6.2?/N6.6?/N11?/N旁瓣峰值衰减(dB)-13-31-41-57阻带最小衰减(dB)-21-44-53-74解：根据上表，我们应该选择汉宁窗函数，

8???N6N?488两个有限长的复序列x[n]和h[n]，其长度分别为N 和M，设两序列的线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，回答下列问题：.

(1) 序列y[n]的有效长度为多长？

(2) 如果我们直接利用卷积公式计算y[n] ，那么计算全部有效y[n]的需要多少次复数乘法？

(3) 现用FFT 来计算y[n]，说明实现的原理，并给出实现时所需满足的条件，画出实现的方框图，计算该方法实现时所需要的复数乘法计算量。 解：(1) 序列y[n]的有效长度为：N+M-1；

(2) 直接利用卷积公式计算y[n]， 需要MN次复数乘法 (3)

补零L点-DFTL点-IDFT补零L点-DFT需要

3Llog2L次复数乘法。

9用倒序输入顺序输出的基2 DIT-FFT 算法分析一长度为N点的复序列x[n] 的DFT，回答下列问题：

(1) 说明N所需满足的条件，并说明如果N不满足的话，如何处理？

(2) 如果N=8, 那么在蝶形流图中，共有几级蝶形？每级有几个蝶形？确定第2级中蝶

r

形的蝶距(dm)和第2级中不同的权系数(WN)。 (3) 如果有两个长度为N点的实序列y1[n]和y2 [n]，能否只用一次N点的上述FFT运算来计

算出y1[n]和y2 [n]的DFT，如果可以的话，写出实现的原理及步骤，并计算实现时所需的复数乘法次数；如果不行，说明理由。

解(1)N应为2的幂，即N＝2，（m为整数）；如果N不满足条件，可以补零。

m

(2)3级，4个，蝶距为2，WN ，WN (3) y[n]=y1[n]+jy2[n]

N?1

Y[k]??y[n]WNkn n?0 1Y1[k]?Yep[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]}2

1Y[k]?Y[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]}2op 210已知系统函数H(z)?解：

2?0.25z?1，求其差分方程。

1?0.25z?1?0.3z?20

2

2?0.25z?1 H(z)?1?0.25z?1?0.3z?2Y(z)2?0.25z?1 ?X(z)1?0.25z?1?0.3z?2Y(z)(1?0.25z?1?0.3z?2)?X(z)(2?0.25z?1)

y(n)?0.25y(n?1)?0.3y(n?2)?2x(n)?0.25x(n?1)

11已知Y(z)(1?解：

3?11?2z?z)?X(z)(1?z?1)，画系统结构图。 48Y(z)(1?3?11?2z?z)?X(z)(1?z?1) 48Y(z)1?z?1H(z)??X(z)1?0.75z?1?0.125z?2?1?z65??(1?0.5z?1)(1?0.25z?1)1?0.5z?11?0.25z?1?1

直接型I：

x[n]Z-1Z-1y[n]0.75-0.125Z-1直接型II：

x[n]z-10.75-0.125y[n]z-1

级联型：

x[n]Z-1Z-1y[n]0.250.5

并联型：

6x[n]0.5Z-1y[n]-5Z-10.25

12若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT，X (k)=？

2) 若G(k)?DFT[g(n)]?W62kX(k)，试确定6点序列g(n)=? 3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？

X(k)??x(n)W6nkn?052分?3?2W6k?W62k?2W63k?W64k?2W65k1） ?3?2W6?W6k2k?2W63k?W6?2k?2W6?k2分

?3?4cosk?2k??2cos?2(?1)k330?k?5,5?nk6?[11,2,2,?1,2,2]2k62分2）

g(n)?IDFT[WX(k)]??X(k)Wk?0W2k6??X(k)W6?(n?2)kk?05

?x(n?2)?{3，2，1，2，1，2}52?n?7y1(n)?x(n)*x(n)??x(m)x(n?m)?{9,12,10,16,15,20,14,8,9,4,4}3）

m?0y(n)??x(m)x((n?m))9R9(n)?{13,16,10,16,15,20,14,8,9}m?08

0?n?913用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应

14画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。

第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。

15简述用双线性法设计IIR数字低通滤波器设计的步骤。

答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。

16 8点序列的按时间抽取的（DIT）基-2 FFT如何表示？

17已知

解：由题部分分式展开

，求x(n)。（6分）

求系数得 A=1/3 ， B=2/3

所以 （3分）

收敛域?z?>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数，

则 （3分）

18写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。（8分） ．．

解：(8分)

19计算下面序列的N点DFT。 （1）（2）

（4分） （4分）

解：（1）

（4分） （2） （4分）

20设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3 }，另一序列h(n) ={1，2，1，2；n=0,1,2,3}， （1）求两序列的线性卷积 yL(n)； （4分） （2）求两序列的6点循环卷积yC(n)。 （4分） （3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分）

解：（1） yL(n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6} （4分）

（2） yC(n)= {3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5} （4分）

（3）c≥L1+L2-1 （2分） 21设系统由下面差分方程描述：

（1）求系统函数H（z）；（2分）

（2）限定系统稳定，写出H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分） ．．

解：（1） （2分）

（2） （2分）；

（4分）

23求X(Z)??1 ，1?z?2 的反变换。

1?z?11?2z?1???

25有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂，假定没有任何特殊的数据处理措施，已给条件为频率分辨力≤10Hz,信号最高频率≤4kHz. 试确定一下参量：（1）最小记录长度T0；

； （2）抽样点间的最大时间间隔（即最小抽样频率）

（3）在一个记录中最小点数N0 解：(1)T0≥

1F0=0.1(s)

(2)fs＞2fh

11-33=0.125×T＜=(s) 102?4?2fh102fh2?4?10 （3）N＞==800

F010 N=

322=

m10=1024＞800

26有一个线性移不变的系统，其系统函数为：

? H(z)?3?1z2(1?1?1z)(1?2z?1)21 ?z?2

21）用直接型结构实现该系统

2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应h(n)

?解1)H(z)?1(1?z?1)(1?2z?1)23?1z2??51?z?1?z?223?1z2 …………………………….. 2分

当2?z?1时： 2收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分

?H(z)?(1?1?1z)(1?2z?1)23?1z2?11……………………………… ?1?11?2z?11?z21h(n)?()nu(n)?2nu(?n?1)………………………………….15分

227试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数：

H(s)=

2其中抽样周期T=1s。

(s?1)(s?3)解：

111H(s)???(1?s)(s?3)1?ss?3H(z)?TT?1?e?TZ?1s?e?3TZ?1

……………………3分

0.318z?1?1?0.418z?1?0.018z?22)H(z)?H(s)|s?21?Z?1T1?Z?1……………5分

……8分

?221?Z?121?Z?1(1?)(3?)T1?Z?1T1?Z?12?4z?1?2z?2…………………………… 10分 ?15?2z?1?z?228用长除法、留数定理法、部分分式法分别求以下X(Z)的Z反变换：

(1)

11?Z?12X(z)?,1?21?Z4Z?a,1?aZz?n1z?2; (2)

1?2Z?1X(z)?,1?11?Z4z?14; (3)

X(z)?1 a?1?a. 长除法 x(n)?????u(n)

?2??1?b．留数法 x(n)?8??n??7??u??n?1?

?4?11??1??c．部分分式法 x(n)????n???a????u?n?1?

aa??a??30设系统差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)

其中x(n)为输入，y(n)为输出。当边界条件选为y(-1)=0时，是判断系统是否线性的、移不变的。

① 令x1(n)??(n),y1(n)?ay1(n?1)?x1(n)

nny1(0)?ay1(?1)?x1(0)?1则

y1(1)?ay1(0)?x1(1)?a?y1(n)?ay1(n?1)?x1(n)?an

同样可求得 y1(?1)?y1(?2)???0,即y1(n)n?1?0 所以 y1(n)?au?n?

n②令x2(n)??(n?1),y2(n)?ay2(n?1)?x2(n)

y2(0)?ay2(?1)?x2(0)?0则

y2(1)?ay2(0)?x2(1)?1?y2(n)?ay2(n?1)?x2(n)?an?1

同样可求得 y2(?1)?y2(?2)???0,即y2(n)n?1?0 所以 y2(n)?an?1u?n?1?

因为x1(n)与x2(n)为移1位关系，而且y1(n)与y2(n)也是移1位关系，所以在y(-1)=0条件下，系统是移不变系统。

③令x3(n)?x1(n)?x2(n)??(n)??(n?1),y3(n)?ay3(n?1)?x3(n) n<0时，y3(?2)?y3(?3)???0,即y3(n)n??1?0

y3(0)?ay3(?1)?x3(0)?1n>=0时，

y3(1)?ay3(0)?x3(1)?a?1?y3(n)?ay3(n?1)?x3(n)?an?an?1

综上，可得y3(n)?au(n)?a所以系统是线性系统。

nn?1u(n?1)?y1?n??y2?n?

31用级联型结构实现以下系统函数，试问一共能构成几种级联型网络，并画出结构图。

H(z)?x(n)4Z-10.51-0.9-0.8x(n)4-0.9-0.8Z-1-1.4Z-11Z-10.5?Z?0.5??Z2?0.9Z?0.8?y(n)x(n)44?Z?1??Z2?1.4Z?1?

y(n)0.5Z-1-1.4Z-11-0.9-0.8Z-11Z-1Z-1-1.4Z-11y(n)x(n)41y(n)-0.9-0.8Z-11Z-10.5Z-1-1.4Z-11

z232已知X(z)?,(z?1)(z?2)解：由题部分分式展开

z?2，求x(n)。

F(z)zAB ???z(z?1)(z?2)z?1z?2 求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 F(z)?1z2z? （3分）

3z?13z?2收敛域?z?>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 f(k)?12(?1)k?(k)?(2)k?(k) 3333．写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。（8分） ．．

y(n)?311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1) 483

34计算下面序列的N点DFT。（1）x(n)??(n?m)(0?m?N)（2）

x(n)?e1

j2?mnN(0?m?N)

knX(k)?WN 2

?N,k?m X(k)???0,k?m35设系统由下面差分方程描述：y(n)?y(n?1)?y(n?2)x(n?1)（1）求系统函数H（z）；（2分）

（2）限定系统稳定，写出H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分） ．．（1）

H(z)?z （2）

z2?z?15?11?5?z?

22

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