专题3.2 函数的性质-2022-2022学年高一数学尖子生同步培优题典(

专题3.2 函数的基本性质

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数f(x)＝|x＋2|在[－3,0]上()

A．单调递减B．单调递增

C．先减后增D．先增后减

【答案】C

【解析】作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，

易知f(x)在[－3,0]上先减后增．

2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1

A．f(x1)f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定

【答案】D

【解析】作由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.

3．函数f (x )＝??

???<+-≥1,21,12x x x x 的最大值为( )

A ．1

B ．2 C.21 D.3

1 【答案】B

【解析】作当x ≥1时，函数f (x )＝x

1为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.

4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

【答案】C

【解析】作因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，

所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.所以f (x )在[0,1]上单调递增．

又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.

5．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )

A ．f (－π)>f (3)>f (－2)

B ．f (－π)>f (－2)>f (3)

C ．f (3)>f (－2)>f (－π)

D ．f (3)>f (－π)>f (－2)

【答案】A

【解析】作∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，

又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．

6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝()

A．21B．－21

C．26D．－26

【答案】B

【解析】作设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.

7.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|＋g(x)是偶函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

【答案】BC

【解析】作∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确．故选B、C.

8.(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是() A．?x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3

B．?x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3

C．?x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3

D．?x∈[－2,2]，?t∈[0,3]，f(x)＝g(t)

【答案】AC

【解析】作在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x

＝－2时，函数的最大值为5，因此a <5，B 错误；在C 中，函数g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]，所以当x ＝1时，函数g (x )取得最小值－1，当x ＝3时，函数g (x )取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，由g (x )＝a 有解，知a ∈g (x )的值域，即－1≤a ≤3，C 正确；在D 中，?x ∈[－2,2]，?t ∈[0,3]，f (x )＝g (t )等价于f (x )的值域是g (t )的值域的子集，而f (x )的值域是[－3,5]，g (t )的值域是[－1,3]，D 错误．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9.已知函数f (x )为偶函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋1，则x >0时，f (x )＝________.

【答案】－x ＋1

【解析】作当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1.

10.若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是________．

【答案】(－∞，8]∪[40，＋∞)

【解析】作由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝8

k ，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以

8k ≤1或8

k ≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)． 11.若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是____________．

【答案】f (－2)

【解析】作∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )恒成立，即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2恒成立，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋2.∵f (x )的图象开口向下，对称轴为y 轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f (2)

12.(一题两空)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2(a >0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a ＝________；函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上的值域为________．

【答案】1 ]4,47[

【解析】作由题知函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－a 2

<0，故f (x )max ＝f (2)＝6＋2a ＝8，所以a ＝1，

则f (x )＝x 2＋x ＋2＝2)21

(+x ＋47.因为f (x )的对称轴为直线x ＝－21∈[－2,1]且f )21(-＝4

7，f (－2)＝4，f (1)＝4，所以所求值域为]4,4

7

[ 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数21()1

x f x x -=+ （1）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；

（2）试判断函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值

【解析】（1）∵()213211

x y f x x x -===-++， ∴函数()f x 在()1

，-+∞上是增函数， 证明：任取1x ，()21

x ∈-+∞，，且12x x <， 则()()1212213333221111f x f x x x x x ?

???-=-

--=- ? ?++++????()()()1212311x x x x -=++， ∵121x x -<<，∴120x x -<，()()12110x x ++>，

∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，

∴()f x 在()1

，-+∞上是增函数. （2）∵()f x 在()1

，-+∞上是增函数， ∴()f x 在[3]5，

上单调递增， 它的最大值是()25135512

f ?-==+，

最小值是()23153314

f ?-==+． 14．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.

(1)求函数f (x )；

(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．

【解析】(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， ∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③

将③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.

(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋21)2＋43＋18.图像的对称轴是直线x ＝－21

.

∵0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18，∴此时函数f (x )的值域是[12,18]．

15．(12分)已知函数(

))1f x a =≠. （1）若0a >，求()f x 的定义域；

（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围.

【解析】(1)当0a >且1a ≠时，由30ax -≥得3x a ≤，即函数()f x 的定义域是3,a ??-∞ ??

?. (2)当10a ->即1a >时，令3t ax =-

要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1上为减函数，即0a -<，并且且310a -?≥，解得13a ；

当10a -<即1a <时 ，令3t ax =-

要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1为增函数，即0a ->

并且310a -?≥，解得0a <

综上可知，所求实数a 的取值范围是()(],01,3-∞.

16．(12分)已知函数f （x ）＝x m x

+

，且此函数图象过点（1，2）． （1）求实数m 的值； （2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；

（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．

【解析】（1）∵函数f （x ）＝x m x +

，且此函数图象过点（1，2）， ∴2＝1+m ，

∴m ＝1；

（2）f （x ）＝x 1x

+，定义域为：()()00-∞?+∞，，， 又f （﹣x ）＝﹣x 1x

+=--f （x ）， ∴函数f （x ）是奇函数；

（3）函数f （x ）在（0，1）上单调递减，

设0＜x 1＜x 2＜1，

则()()()()211212121212121212111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=+--=-+=-???， ∵0＜x 1＜x 2＜1，

∴x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2﹣1＜0，

∴()()()12121212

10x x f x f x x x x x --=-?＞，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，1）上的单调递减．

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