2010年山东省威海市中考数学试题及答案

2010年山东省威海市中考数学试题及答案

2010年山东省威海市初中升学考试

数 学

请仔细阅读以下说明：

1．本试卷共10页，分第 I 卷和第 II 卷两部分．第 I 卷（1－2页）为选择题，第 II 卷（3－10页）为非选择题．试卷满分120分．考试时间120分钟．

2．请清点试卷，并将答题卡和第Ⅱ卷密封线内的考生信息填写完整． 3．第Ⅰ卷的答案用2B铅笔涂在答题卡上．第Ⅱ卷的答案用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔填写在试卷上．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．

希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！

第 I 卷 （选择题，共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）

1．据统计，截止到5月31日上海世博会累计入园人数803.27万人．803.27万这个数字（保留两位有效

数字）用科学记数法表示为

A．8.0×102 B. 8.03×102 C. 8.0×106 A．40° B．60° C．70° D．80°

1 1

2 3．计算

2009

D. 8.03×106

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是

2

2010

的结果是 A．-2 B．-1 C．2

4．下列运算正确的是

A．2x 3y 5xy

E D．3

32

B．a a a

2

（a 1）(a 2) a a 2 C．a (a b) b D．

5．一个圆锥的底面半径为6㎝，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为

A．9㎝ B．12㎝ C．15㎝ D．18㎝

b b

2

6．化简 a a a

的结果是

D． ab b

A． a 1 B． a 1 C． ab 1

7．右图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，

则搭成这个几何体的小正方体的个数是 A．5 B．6 C．7

D．8

左视图

D．0

8．已知a b 1，则a2－b2－2b的值为 A．4 B．3 C．1

9．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点， 连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是

A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BD⊥AC

1

A

E

D

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10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC的长为

A

．42 C．33

B．4 D

．25

C

A B

11．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针

所指区域内的数字之和为4的概率是

1

1

A．2

1

B．3

1

C．4 D．5

12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为

（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长

C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1 按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为

3

5 A． 2

2009

2010

2008

4018

9 5 B． 4 9 5

C． 4

3 5 D． 2

第 II 卷 （非选择题，共84分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分. 只要求填出最后结果）

13．在函数y 3 x中，自变量x的取值范围是 ． 14．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若

∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是 ．

﹙第14题图﹚

B

15．如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：C的质量相等．

图 ①

（第15题图）

图 ②

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16．如图，点A，B，C的坐标分别为（2，4），（5，2），（3，－1）．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为 ．

17．小明家为响应节能减排号召，计划利用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000

㎏﹙全球人均目标碳排放量﹚，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年须降低的百分率是 ．

18．从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如

图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．

现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A＝45°，AB＝6，AD＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为 ．

aC

B

图 ③

图 ②

图 ①

（第 18题图）

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19．（7分）解不等式组：

x

5x 12 ≤2 4x 3 .

20．（7分）某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m³，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．

21．（9分）某校为了解学生“体育大课间”的锻炼效果，中考体育测试结束后，随机从学校720名考生中抽取部分学生的体育测试成绩绘制了条形统计图．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：

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（1）共抽取了 名学生的体育测试成绩进行统计．

（2）随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的平均数是 ，众数是 ；女生体育成绩的中位数是 ．

（3）若将不低于27分的成绩评为优秀，估计这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是多少？

22．（10分） 如图，一次函数y kx b的图象与反比例函数C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．

y

m

y

m

x的图象交于点A﹙-2，-5﹚，

x和一次函数y kx b的表达式； (1) 求反比例函数

(2) 连接OA，OC．求△AOC的面积．

23．（10分）如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．

A

24．（11分）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．

A1

C1 C

（图①）

4

B1

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﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．

﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．

25.（12分） （1）探究新知：

①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点． 求证：△ABM与△ABN的面积相等．

判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．

5

F G

B

M A

B

图 ①

M

D

N

C

A1 C1

B(B1) B1

C1

B(A1)

图 ②

C

A

图 ③

C

A

﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形 ．

②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试

D

C

E

图 ②

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（2）结论应用：

如图③，抛物线y ax bx c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线y ax bx c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．

﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚

2

2

备用图

参考解答及评分意见

评卷说明：

1．第一大题（选择题）和第二大题（填空题）的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分． 2．第三大题（解答题）每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．部分试题有多种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分．

3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给

6

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分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．x≤3； 14．105°； 15．2； 16．﹙0，1﹚； 17．20%； 18．11 62． 三、解答题（本大题共7小题, 共66分） 19.（本小题满分7分）

1 3x x ＞ 3,

2

5x 12 （24x 3).

①②

解：

解不等式①，得x＜5． 3分 解不等式②，得x≥-2． 6分 因此，原不等式组的解集为-2≤x＜5． 7分 20．（本小题满分7分）

解：设该市去年居民用气的价格为x元/ m³，则今年的价格为(1+25%)x元/ m³． 1分

96x

90(1 25%)x

10

根据题意，得 ． 3分 解这个方程，得x＝2.4． 6分 经检验，x＝2.4是所列方程的根． 2.4×(1+25%)＝3 (元)．

所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m³． 7分 21．（本小题满分9分）

﹙1﹚80； 3分 ﹙2﹚26.4， 27， 27； ﹙每空1分﹚6分

﹙3﹚720

27 12 3 2

80

720

4480

396﹙人﹚． 9分

22．（本小题满分10分）

x的图象经过点A﹙-2，-5﹚， 解：(1)∵ 反比例函数

∴ m=(-2)×( -5)＝10．

x． 2分 ∴ 反比例函数的表达式为

∵ 点C﹙5，n﹚在反比例函数的图象上，

y

10

y

m

∴ ．

∴ C的坐标为﹙5，2﹚． 3分 ∵ 一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入y kx b，得

5 2k b， k 1， 2 5k b.b 3. 解得 5分

n

105

2

∴ 所求一次函数的表达式为y＝x-3． 6分 (2) ∵ 一次函数y=x-3的图像交y轴于点B，

∴ B点坐标为﹙0，-3﹚． 7分 ∴ OB＝3．

∵ A点的横坐标为-2，C点的横坐标为5，

1

∴ S△AOC= S△AOB+ S△BOC=2

OB -2

12

OB 5

12

OB 2 5

21

2． 10分

7

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23．（本小题满分10分）

解：连接OE，OA． 1分 ∵ AB，AD分别与⊙O相切于点E，F． ∴ OE⊥AB，OE=3㎝． 2分 ∵ ∠DAB＝60°，

∴ ∠OAE＝30°． 3分

OE

3

在Rt△AOE中，AE

=tan OAEtan30 5分 ∵ AD∥BC，∠DAB＝60°，

∴ ∠ABC＝120°． 6分 设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OB． 7分 同理可得 BN=3㎝. 9分 ∴ EN AB AE BN 15 33 3 (15 43)㎝．

∴ ⊙O滚过的路程为15 43㎝． 10分 24．（本小题满分11分）

（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，

∴ AB= A1B1，BC1=AC，∠2=∠7，∠A=∠1．

∴ ∠3=∠A=∠1． 1分 ∴ BC1∥AC．

C1 B(A1) ∴ 四边形ABC1C是平行四边形． 2分

∴ AB∥CC1． 5

6 ∴ ∠4=∠7=∠2． 3分 ∵ ∠5=∠6， 3

∴ ∠B1C1C＝∠B1BC． 4分 C B1 A 图 ② ﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC． 5分

理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，

B(B1)

∴ AB= A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，∠A=∠2． C1

∴ ∠3=∠A，∠4=∠7． 6分 6 ∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC， 2

∴ ∠C1BC＝∠A1BA． 7分 3

1

1

A1

∵ ∠4=2(180°－∠C1BC)，∠A=2(180°－∠A1BA)．

∴ ∠4=∠A． 8分 ∴ ∠4=∠2． ∵ ∠5=∠6，

∴ ∠A1C1C=∠A1BC． 9分 ﹙3﹚△C1FB， 10分； △A1C1B，△ACB． 11分﹙写对一个不得分﹚

图 ③

C

A

25．（本小题满分12分）

﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ∵ AD∥BC，AD＝BC， D ∴ 四边形ABCD为平行四边形．

∴ AB∥CD．

∴ ME= NF．

1

∵S△ABM＝2，S△ABN＝2， 图 ①

∴ S△ABM＝ S△ABN． 1分 ②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K． 则∠DHA=∠EKB=90°．

M C

8

AB ME

1

AB NF

E

A

F B

A

H

B

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∵ AD∥BE，

∴ ∠DAH=∠EBK． ∵ AD＝BE，

∴ △DAH≌△EBK．

∴ DH=EK． 2分 ∵ CD∥AB∥EF，

1

∴，

∴ S△ABM＝ S△ABG. 3分

﹙2﹚答：存在． 4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为y

2

S△ABM＝2

AB DH

1

，S△ABG＝2

AB EK

a(x 1) 4.

2

又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得0 a 3 1 4，解得a 1. ∴ 该抛物线的表达式为∴ D点坐标为（0，3）．

y (x 1) 4，即y x2 2x 3． 5

1.

2

分

设直线AD的表达式为y kx 3，代入点A的坐标，得0 3k 3，解得k

∴ 直线AD的表达式为y x 3．

过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为 1 3 2．

∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． 6分

2

设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为 m 2m 3．

过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3 m，EF∥CG． 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．

①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚， 则

PF=3 m，EF＝ m 2m 3．

2

2

2

∴ EP＝EF－PF＝ m 2m 3 (3 m)= m 3m．

2

∴ m 3m 2．

解得m1 2，m2 1． 7分

当m 2时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ∴ E点坐标为（2，3）．

同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． 8分

②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， 则PE (3 m) ( m 2m 3) m 3m∴m 3m 2．解得当

m

3

23

2

2

2

． 9分

3

22

m3

3

2

，

m4 3

． 10分

1

2时，E点的纵坐标为

3 2

；

222当时，E点的纵坐标为．

∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；E2(

3

2，

1

2)

E3(

3

2， 1

2)

m 3

3 2

1

；． 12分

﹙其他解法可酌情处理﹚

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