《应用泛函分析》习题解答

泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章

证明：设x,y?C，则有?x??y?C。令ek?(0,?0,1,0,?0)，?,??C，

nn第k项???????共n项第 一 节

3．设{xk}是赋范空间?中的Cauchy列，证明{xk}有界，即supxk??。

k??则对任意的x?(x1,x2,?xn)，必有x?的基，则dimC?n。

n?xekk?1nk，因此{e1,e2,?,en}是空间Cn证明：???0，?N0，当m,n?N0时，有xn?xm???xn?xm??，不妨设xn?xm，则xn???xm, m,n?N0。取m?N0，则有

当视C为实线性空间时，可令基为{e1,?,en,ie1,?,ien}，则对任意的

nxn???xN0, n?N0，令c?maxx1{,x2,?,xN0,xN0??}，则

x?(x1,x2,?xn)ndiCm?2n。

，有

x??Re(xk)ek??Img(xk)(iek)k?1k?1nn，所以

xn?c, n?1。

6．设?是Banach空间，?中的点列满足敛），证明存在x??，使x?lim证明：令yn??xk?1?k??（此时称级数?xk绝对收

k?1?

10．证明dimC[a,b]??，这里a?b。

k证明：取xk(t)?t,k?0,t?[a,b]，只需证{x0,x1,?}线性无关。为此对

n???xk?1?k（此时记x为

n?p?xk?1?k，即x???xk?1k?k）.

?n?0，令?ckxk?0。则?ckxk?0?n!cn?0?cn?0。因此必有

k?1k?1nnn次求导?xk?1nk，则yn?p?yn?k?n?1?xn?pk?k?n?1?xk。由于

?xk?1??绝

?ck?1n?1kxk?0，求该式求n?1导后有(n?1)!cn?1?0?cn?1?0。依次类推，有

对收敛，则它的一般项xk?0。因此???0，总?N0，当n,p?N0时，有

yn?p?yn??，所以{yn}是?中的Cauchy列，又因为?是Banach空间，则必

存在x??，使得x?limn??cn?cn?1???c0?0，所以对任意的n?0，都有{x0,x1,?xn}线性无关，即dimC[a,b]??。

?xk?1nk??xk。

k?1?第 二 节

2.（点到集合的距离）设A是?的非空子集，x??。定义x到A的距离为：

9．（Hamel基）设A是线性空间?的非空子集，若A中任意多个元素都是线性无关的，则称A是线性无关的。若A是线性无关的，且spanA??，则称A是?是的一个Hamel基。此时若A是无穷集，则称?是无穷维的；若A是有限集，则称?是有限维的，并定义?的维数为A中所含有的元素个数。通常用dim?表示

并约定当??{0}时，可以证明任何线性空间都存在Hameldim??0，?的维数，

基。证明酉空间C的维数为n，并问当视C为实线性空间时，其维数是多少？

nnd(x,A)?inf{y?x|y?A}

证明：

x是A的内点?d(x,Ac)?0；

2) x是A的孤立点?x?A，且d(x,A\\{x})?0； 3) x是A的外点?d(x,A)?0。

1) 解：

1）必要性：

x是

A的内点

内?点的??，使得

1

?(x,?)?Ay?x?i

?(x,?)?Ac???y?Ac??ny?xf|y{?Ac}?0?d(x,Ac)?0。

c，都有

7．举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。 解：

?[0,1?k]?[0,1)。

k?1?1充分性：d(x,A)?0距离的定义???，使得?(x,?)?A?????，使得

c

8．证明A?A?A?。

证明：设x?A??{xk}?A，使得xk?x。若?{xk}中有无穷项互异，则

?(x,?)?A

内点的定义?x是A的内点。

孤立点的定2）必要性：x是A的孤立点??(x,?)?A?{x}??x?A，

x?A，且??，使得且，使得??距离的定义x?A?；否则有无穷多相取同一个值，则x?A，由此可知：x?A??A，则

A?A?A?。另一方面，由于A?A且A??A，所以A?A??A。综上所述，有A?A?A?。

9．证明：1）A的内部是含于A的最大开集，即

?(x,?)?{A/{x}}??充分性：

距离的定义x?A，且d(x,A\\{x})?0。

?x?A，且d(x,A\\{x})?0??，使得

x是A的孤立

intA??{B|B是开集，且B?A}；

2）A的闭包是包含A的最小闭集，即A?G是开集?(x,?)?{A/{x}}?????，使得?(x,?)?A?{x}点。

3）必要性：x是A的外点

外点的定义孤立点的定义??{B|B是闭集，且B?A}。

G?A证明：1）设G是含于A的最大开集，则intA?A?intA?G。设

x?G????点的，使得

?(x,?)?G???，使得

??，使得?(x,?)?A????y?A，都

距离的定义有y?x?inf{y?x|y?A}?0距离的定义?d(x,A)?0。

外点的定义?(x,?)?A?x?inA。所以tG?intA。综上所述，G?intA，则表明A的内部是含于A的最大开集。

内充分性：d(x,A)?0???，使得?(x,?)?A???

3．设A是?中的非空闭集，证明：x?A?d(x,A)?0。 解

：

必

要

性

：

x是A的外点。 2）设G是包含A的最小闭集，且A?A?G?A。设x?A??{xk}?A，

使得xk?x??{xk}?G，使得xk?x，

使

得

A?GG是闭集?x?G，所以A?G。综上

x?A距离的定义??y?A所述，G?A，则表明A的闭包是包含A的最小闭集。

10．利用习题9的结论证明：1）(A)?int(A)，2）(intA)c?(Ac)。

ccy?x?iny?xf|y?{A}?0距离的定义?d(x,A)?0。

充分性：d(x,A)?0A是闭集?inf{y?x|y?A}?0??{xk}?A，使得

int(Ac)证明：1）A?A?(A)?A。(A)是开集，而由习题9的结论可知，

c是含于A的最大开集，所以(A)?int(A)。

cccccxk?x?x?A。

(c)，而x?(A)。由x?intA(c)此外，设x?intAcintA(c)是开集???，使得

2

?(x,?)?intAc?Ac（1）

c???，使得

?(x,?)?A＝?。 存在 { x k } ? A ，使得 x k ? x?A在B中稠密。

2）A不在B中稠密??x?B和?，使得?(x,?)?A????x?C和?，

使得?(x,?)?A???A不在C中稠密。

B?C而由x?(A)?x?A???，都有?(x,?)?A??，此与（1）式矛盾，故

x?(A)c，所以int(Ac)?(A)c。综上所述，有(A)c?int(Ac)。

ccc2）intA?A?A?int(A)。这表明int(A)是包含Ac的闭集，而由习题9的结论可知，(A)是包含A的最小闭集，所以(A)?(intA)。

cc第 三 节

(G?T)(D)?T2．设T:A?B，且D?C，证明：G:B?C，

证明：

?1?1cc(G?1(D))。

设

t)。由x?(inAt)此外，设x?(inAccc?x?intAintA是开集???，都有

x?(G?T)?1(D)?G(Tx)?D?T(x)?G?1(D)?x?T?1G?1(D)?

1(G?T)?1(D)?T?1(G?1(D))； c都有?(x,?)?A??。特别有?(x,)?A??,k??，?(x,?)?A???，

另一方面，设k1x?T?1(G?1(D))?Tx?G?1(D)?(G?T)(x)?D?x?(G?T)?1(D)? ccc因此取xk??(x,)?A,k??，所以有{xk}?A且xk?x，故x?(A)，

kT?1(G?1(D))?(G?T)?1(D)。

?1?1?1所以(intA)c?(Ac)。综上所述，有(intA)c?(Ac)。 综上所述，(G?T)(D)?T(G(D))。

12．设A?{(x,y)|x?(0,的孤立点的全体。

解：

?2),0?y?sinx}?{(0,2)}。试写出int(A)，A及A

4．设T:E?E1，x0?E，证明：

1）T在x0处连续?只要{xk}?E满足xk?x0，则Txk?Tx0；

2）T在x0处连续?对于任意??0，存在??0，使T(B(x0,?))?B(Tx0,?)。 证明： 1）必要性：若{xk}?E，且xk?x0?对于任意?1?0，存在N0，使得当k?N0时，有xk??(x0,?1)。再由T在x0处连续?对于任意?2?0，存在??0，使得当x??(x0,?)，Tx??(Tx0,?2)。若取?1??，则表明对于任意?2?0，存在N0，当k?N0时，有Txk??(Tx0,?2)，因此Txk?Tx0。

充分性：xk?x0?对于任意??0，存在N0，使得当k?N0时，有

int(A)?{(x,y)|x?(0,),0?y?sinx}；

2?A?{(x,y)|x?[0,],0?y?sinx}?{(0,2)}；

2A的孤立点?{(0,2)}。

13．设A、B、C均是?的子集，且B?C，证明： 1）若A在C中稠密，则A在B中稠密 ； 2）若A不B中稠密，则A不在C中稠密。

?xk??(x0,?)；

Txk?Tx0?对于任意??0，存在N1，使得当k?N1时，有Txk??(Tx0,?)，

B?C证明：1）A在C中稠密??x?C，存在{xk}?A，使得xk?x??x?B，显然对于特定的???，也存在N1，使得当k?N1时，有Txk??(Tx0,?)。因

3

此取N?max(N0,N1)，对于任意的??0，存在??0，使得当x?B(x0,?)，由d(x,Ac)?inf{y?x|y?Ac}?0??{xk}?Ac，使得

有Tx??(Tx0,?)，所以T在x0处连续。 xk?x?x?Ac。所以， x?A?Ac?x??A。 2）必要性：T在x0处连续?对于???0，存在??0，使得当x??(x0,?)时，6．验证例4中构造的泛函f满足题给条件。 有Tx??(Tx0,?)。所以对于?y?Tx?T(?(x0,?))，都有y?Tx??(Tx0,?)，d(x,F1)已知：f(x)?，F1和F2是?中互不相交的非空闭集。

因此T(?(x0,?))??(Tx0,?)。 d(x,F1)?d(x,F2)充分性：设x??(x0,?)?Tx?T(?(x0,?))??(Tx0,?)，由条件可知，

???0，存在??0，使得当x??(x0,?)时，都有Tx??(Tx0,?)，由T连续的定义可知，T在x0处连续。

5．（集合的边界）称集A\\intA为集合的边界，记为?A，并称?A中的点为A的边界点。证明：

cc1）?A?A?A，即x??A?x的任何领域内既有A的点，又有A的点；

验证：由于d(x,F1)?0,d(x,F2)?0?0?d(x,F1)?1，且当

d(x,F1)?d(x,F2)x?F1时，f(x)?1；x?F2时，f(x)?0。

9．证明开集总可以表示为可列个闭集之并，而闭集总可以表示为可列个开集之交。 证明：

（1）设F是闭集，不妨设F??。令Gn?{x??|d(x,F)?}，则Gn是开集，且F?Gn(n?1)，于是F?另

一

方

面

，

d的2）x??A?d(x,A)?0且d(x,A)?0。 证明：

1） 必要性：x??A?x?A且x?A。由x?A??{xk}?A，使得

cc1n?Gn?1??n。

xk?x???，存在N0，使得当k?N0时，有xk??(x,?)?x的任何领域

内既有A的点。由x?A?存在{xk}?A，且xk?x???，存在N1，使

c得当k?N1时，有xk??(x,?)?x的任何领域内既有A的点。

cc设

连x??Gnn?1?x?Gn(n?1)，即

1d(x,F)?,(n?1)n?n?1n???d(x,F)?0?

??F闭充分性：显然成立。

2） 必要性：x??A?x?A且x?A。由x?A??{xk}?A，使得

cx?F。因此?Gn?F。综上所述，F??Gn?G?(G的可列交)。因此闭

n?1xk?x，而d(x,A)cd的连续性?limd(xk,A)?0。由x?A??{xk}?A，使得

k??cc集总可以表示为可列个开集之交。

（2）利用（1）中的结论以及

c?cn?de Morgan公式，可得：

xk?x，而d(x,A)xk?x?x?A。

d的连续性?limd(xk,A)?0。

k??ccF??G?G?(G的可列并)。显然Fc是开集，Gn是闭集，这表明开集总可

n?1充分性：由d(x,A)?inf{y?x|y?A}?0??{xk}?A，使得

以表示为可列个闭集之并。

10．设?,?1均是实赋范空间，T:???1是连续映射，且满足可加性：对任意

4

（提示：注意到非零x,y??，恒有T(x?y)?Tx?Ty。证明：T是线性算子。

n有理数r形如（n??,m??，n与m互质），先对有理数r说明

m） T(rx)?Tf(x)，然后利用连续性。

证明：令T(x?y)?Tx?Ty为（1）式。则在（1）式中，当x?y?0时，有T0?0；当y??x时，有T(?x)??Tx，令此式为（2）式。此外利用（1）式还可得：T(nx)?nTx,n?1，令此式为（3）式。又

(3)式(3)式1111Tx?T(m(x))?mT(x),m?1?Tx?T(x),m?1?

mmmm(2)式nnTx?T(x),(m,n?1)??r?Q，且r?0，有T(rx)?rTx??r?Q，mm有T(rx)?rTx，令此式为（4）式。

由Q在R中稠密????R，?{rn}?Q，使得rn??。因此

设

x,y?Ck[a,b]ki?0a?t?b，

ka?t?b则

x?y??mk(i)a?t?bx(t)?y(t)a??m(i)(i)i?0?x(i)(t)?xy(i)(t)a

?x??maxx(t)??maxy(i)(t)?x?y。所以按此范数它是赋范空间。

i?0i?0a?t?bk（２）证明完备性。

k设{xn}是C[a,b]中的Cauchy列。则???0，?n0，当m,n?n0时，有

(i)(i)(t)?xm(t)??――（１）式。特别的，对于每个xn?xm??，即?maxxni?0a?t?b(i)k（１）式都成立。所以{xn}是C[a,b]中的Cauchy列。于是?yi?C[a,b]使i，

(i)(t)一致收敛到yi(t)。 maxx(t)?yi(t)?0，所以xnka?t?b(i)nn??T(?x)?limT(rnx)?

n??rn?QT连续当

i?0n??时

牛－莱公式有

ttn??aan??，

y0(t)?y0(a)?lim[xn(t)?xn(a)]ta?(1)(1)lim?xn(?)d???limxn(?)d?

?(limrn)Tx??Tx。

n??(1)(t)?y1(t)。 ??y1(?)d?，所以y0(1)(k)同理可得：当i?1时，有yi?1(t)?yi(t)。最终有y0(t)?yk(t)?C[a,b]，所k以y0(t)?C[a,b]。

?T(x?y)?Tx?Ty由??T是线性算子。 ?T(?x)??Tx,??R

第 四 节

2．设C[a,b]表示定义于[a,b]上“直至k阶连续导数”的函数x(t)的全体，按通常函数的加法与数乘，C[a,b]是线性空间。对x?C[a,b]，

kkk综上所述，它是Banach空间。

5．设A、B是赋范空间?的子集，且A?B，证明： （１） 若A是第二纲集，则B必是第二纲集； （２） 若B是第一纲集，则A必是第一纲集； 证明：先证明（２）。B是第一纲集，则B?x??maxx(i)(t)，其中x(0)(t)表示x(t)，则Ck[a,b]成为赋范空间。证明它

i?0a?t?bk?Gn?1?n?1?n，其中Gn是稀疏集。令

是Banach空间。 证明：

（１） 证明赋范空间。

正定性与绝对齐性是显然的。下证此范数满足三角不等式。

Fn?Gn?A，则Fn也是稀疏的。下面来证A??Fn。设x?A，按Fn的定

5

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