2018年高考数学一轮复习 课标通用 第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数与幂函数学案理
更新时间:2023-08-27 02:23:01 阅读量: 教育文库 文档下载
2018年高考数学一轮复习 课标通用 学案 理 选修4
§2.4 二次函数与幂函数
考纲展示? 1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3
,y =1x
,y =x 12 的图象,了解它们的变化情况.
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
考点1 幂函数的图象与性质
五种常见幂函数的图象与性质
奇
增 (-∞,0)减,(0,+∞)增 增 增 (-∞,0)和(0,+∞)减 (1,1)
[教材习题改编]已知幂函数f (x )的图象过点(2,2),则函数f (x )=________. 答案:x 12
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解析:设f (x )=x α,则2=2α,所以α=12
,故函数f (x )=x 12 .
幂函数概念的误区:系数为1;指数为常数.
已知幂函数f (x )=(m 2-m -1)x
m -3,则m 为________.
答案:2或-1
解析:若函数为幂函数,则m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1.
[典题1] (1)幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是( )
A B
C D
[答案] C
[解析] 令f (x )=x α,则4α=2,
∴α=12
,∴f (x )=x 12 . (2)[2017·安徽江南七校联考]已知幂函数f (x )=(n 2+2n -2)·x n 2
-3n (n ∈Z )的图象关于
y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n 的值为( )
A .-3
B .1
C .2
D .1或2
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[答案] B
[解析] 由于f (x )为幂函数,所以n 2+2n -2=1,解得n =1或n =-3.
当n =1时,函数f (x )=x -2为偶函数,其图象关于y 轴对称,且f (x )在(0,+∞)上是减函数,所以n =1满足题意;
当n =-3时,函数f (x )=x 18为偶函数,其图象关于y 轴对称,而f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以n =-3不满足题意,舍去.故选B.
(3)1.1 12 ,0.9 12 ,1的大小关系为________.
[答案] 0.9 12 <1<1.1 12
[解析] 把1看作1 12 ,幂函数y =x 12 在(0,+∞)上是增函数.∵0<0.9<1<1.1,
∴0.9 12 <1 12 <1.1 12 ,即0.9 12 <1<1.1 12 .
(4)已知函数f (x )=????? 2x
,x ≥2, x -1 3,x <2,
若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,
则实数k 的取值范围是________.
[答案] (0,1)
[解析] 作出函数y =f (x )的图象如图.
则当0<k <1时,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根.
[点石成金] 1.幂函数y =x α的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂,一般可从三方面考查:
(1)α的正负:当α>0时,图象经过点(0,0)和点(1,1),在第一象限的部分“上升”;当α<0时,图象不过点(0,0),经过点(1,1),在第一象限的部分“下降”;
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(2)曲线在第一象限的凹凸性:当α>1时曲线下凹;当0<α<1时曲线上凸,当α<0时曲线下凹;
(3)函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.
2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
考点2 求二次函数的解析式
二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f (x )=____________;
(2)顶点式:f (x )=____________;
(3)零点式:f (x )=____________.
答案:(1)ax 2+bx +c (a ≠0) (2)a (x -m )2
+n (a ≠0) (3)a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)
二次函数对称轴的判断方法:中值法;结论法.
(1)对于二次函数y =f (x ),如果定义域内有不同两点x 1,x 2且f (x 1)=f (x 2),那么函数y =f (x )的图象关于直线________对称.
(2)“二次函数y =f (x )对定义域内所有x ,都有f (a +x )=f (a -x )成立”的充要条件是“函数y =f (x )的图象关于直线________对称”(a 为常数).
答案:(1)x =x 1+x 22 (2)x =a
解析:(1)作出二次函数y =f (x )的图象(图略),由图可知,当f (x 1)=f (x 2)时, 点P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))关于直线x =x 1+x 22对称.
由x 1,x 2的任意性,可得函数y =f (x )的图象关于直线x =x 1+x 22对称.
(2)由(1)可知,y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(a 为常数).
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[典题2] 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
[解] 解法一(利用一般式):
设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).
由题意得????? 4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得????? a =-4,b =4,c =7.
∴所求二次函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.
解法二(利用顶点式):
设f (x )=a (x -m ) 2
+n .
∵f (2)=f (-1),
∴抛物线的对称轴为x =2+ -1 2=12
, ∴m =12
. 又根据题意,函数有最大值8,∴n =8, ∴y =f (x )=a ? ??
??x -122+8. ∵f (2)=-1,∴a ? ??
??2-122+8=-1, 解得a =-4,
∴f (x )=-4? ??
??x -122+8=-4x 2+4x +7. 解法三(利用零点式):
由已知f (x )+1=0两根为x 1=2,x 2=-1,
故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1),
即f (x )=ax 2-ax -2a -1.
又函数的最大值为y max =8,即4a -2a -1 -a 24a
=8.解得a =-4或a =0(舍去). ∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.
[点石成金] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
(1)已知三个点坐标,宜选用一般式;
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;
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(3)已知图象与x 轴两交点的坐标,宜选用零点式.
为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示).若对应的两条曲线关于y 轴对称,AE ∥x 轴,AB =4 cm ,最低点C 在x 轴上,高CH =1 cm ,BD =2 cm ,则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )
A .y =14
(x +3)2 B .y =-14(x -3) 2 C .y =-14
(x +3) 2 D .y =14(x -3) 2 答案:D 解析:由题图可知,对应的两条曲线关于y 轴对称,AE ∥x 轴,AB =4 cm ,最低点C 在x
轴上,高CH =1 cm ,BD =2 cm ,所以点C 的纵坐标为0,横坐标的绝对值为42+22
=3,即C (-3,0).因为点F 与点C 关于y 轴对称,所以F (3,0),因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函
数图象的顶点,所以设该二次函数为y =a (x -3) 2 (a >0),将点D (1,1)代入得,a =14
,即y =14
(x -3) 2.
考点3 二次函数的图象与性质
二次函数的图象和性质
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(1)[教材习题改编]若函数f (x )=4x 2-kx -8在[-1,2]上是单调函数,则实数k 的取值范围是________.
答案:(-∞,-8]∪[16,+∞)
解析:f (x )图象的对称轴方程是x =k 8,故k 8≤-1或k 8
≥2,即k ≤-8或k ≥16.故所求k 的取值范围是(-∞,-8]∪[16
,+∞). (2)[教材习题改编]已知函数f (x )=ax 2+x +5的图象在x 轴上方,则a 的取值范围是
________.
答案:? ??
??120,+∞ 解析:由题意,得????? a >0,Δ=1-20a <0, 解得a >120
.
二次函数单调性的求解误区:单调区间;在区间上单调.
已知二次函数f (x )=(k 2-1)x 2+2x -3.
(1)若函数f (x )的单调递增区间是(-∞,2],则k =________;
(2)若函数f (x )在区间(-∞,2]上单调递增,则k 满足________.
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