宜宾市高中2011级高考适应性考试数学参考答案（理科）

宜宾市高中2011级高考适应性考试

数学（理工农医类）试题参考答案及评分意见

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共60分）

题号 答案 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） A A D B B C A C B B C D 二、填空题（每小题4分，共16分）

13.{x|x?1}； 14.； 15. ?1； 16. ②

4三、解答题（共74分） 17. 解：(Ⅰ) f(x)??3sin(x??2)?sinx?3cosx?sinx ……………(2分)

?13?2(sinx?cosx)?2sin(x?)． ……………(4分)

322 所以f(x)的最小正周期为2?． ……………(6分) （Ⅱ）?将f(x)的图象向右平移

?个单位，得到函数g(x)的图象， 663?6 ……………(8分)

??????2sin(x?)． ?g(x)?f(x?)?2sin? (x?)???6??x?[0,?]时，x???7??[,]， ……………(9分) 666?3时，sin(x??当x?当x??6???2，即x??6)?1，g(x)取得最大值2． ……………(10分)

?67??1，即x??时，sin(x?)??，g(x)取得最小值?1． ……………(12分) 662218. 解：(Ⅰ)从15名教师中随机选出2名共C15种选法， ………………(2分)

11C6C48?。所以这2人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率是 2C1535………………(4分)

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(Ⅱ)由题意得??0,1,2 ………………(6分)

21120C13C2C1326C2C13261； P(??1)?；……………(9分) P(??0)?2??P(??2)??22C1535C15105C15105故?的分布列为

? 0 26 351 26 1052 1 105p ………………(10分) 所以，数学期望E??0?262614?1??2?? ………………(12分) 3510510515??19．（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB?BD且?A?45 ∴?ADB?45，?ABD?90?，

即AB?BD …………………(1分) 在图乙中，∵平面ABD?平面BDC ， 且平面ABD?平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD． …………………(3分)

?又?DCB?90，∴DC⊥BC,且AB?BC?B∴DC?平面ABC． …………………(4分)

（Ⅱ）解法一：∵E、F分别为AC、AD的中点 ∴EF//CD，又由（1）知，DC?平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，垂足为点E

∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角 ……………(5分) 在图甲中，∵?ADC?105, ∴?BDC?60,?DBC?30

设CD?a则BD?2a,BC?3a,BF????2BD?2a， 211EF?CD?a …………………(7分)

221aEF22??∴在Rt△FEB中，sin?FBE? FB42a即BF与平面ABC所成角的正弦值为2． …………………(8分) 4解法二：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，

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设CD?a，则BD?AB?2a,BC?3a，AD?22a …………………(5分)

可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),C(a,323a,0)，F(a,0,a)， 2ZAFEBCy????1????3∴CD?(a,?a,0),BF?(a,0,a) ……………(6分)

22设BF与平面ABC所成的角为?，由（1）知DC?平面ABC

12????????a?CD?BF22????????∴cos(??)???? 24|CD|?|BF|a?2a ∴sin??XD2 …………………(8分) 4（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知 FE⊥平面ABC，又∵BE?平面ABC，AE?平面ABC， ∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角 …………………(10分) 在△AEB中，AE?BE?117AC?AB2?BC2?a 222AE2?BE2?AB21?? ∴cos?AEB?2AE?BE7即所求二面角B－EF－A的余弦为?1． …………………(12分) 7????1????333解法二：由（Ⅱ）知,A(0,0,2a),C(a, a,0)，CD?(a,?a,0)，BF?(a,0,a)；

2222则E(a,3433 ?BE?(a,a,a)，

4433a,a)，AC?(a,423a,?2a)；…(9分) 2设平面ACD的法向量为m?(x1,y1,1)，平面BEF的法向量为n?(x2,y2,1)，

?1m?CD?ax1???2则，??m?AC?3ax?1?2?3?33ay1?0n?BE?ax?ay2?a?0?22；?； 443?ay1?2a?0?n?BF?ax2?a?02?x1?1?解得?3；

?y1?3?

?x2??1??3 ?y2??3?宜宾市高中2011级三诊考试数学理科答案 第 3 页（共7页）

即m?(1,33,1)，n?(?1,?,1) …………………(11分) 33?1?1?113??． 72121?331． …………………(12分) 7?cosm,n?即所求二面角B－EF－A的余弦为?20．解：(Ⅰ) 设f(x)?ax2?bx?c（a?0），则f'(x)?2ax?b， ………………(2分)

f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?ax2?(2a?b)x?a?b?c．

由已知，得2ax?b?(a?1)x2?(2a?b)x?a?b?c，

?a?1?0?∴?2a?b?2a，解之，得a??1，b?0，c?1， ?a?b?c?b?∴f(x)??x2?1． ………………(4分)

(Ⅱ)由（1）得，P(t,1?t2)，切线l的斜率k?f'(t)??2t，

∴切线l的方程为y?(1?t2)??2t(x?t)，即y??2tx?t2?1． ………………(6分)

t2?1,0)，l与y轴的交点为B(0,t2?1)， 从而l与x轴的交点为A(2t(t2?1)2∴S(t)?（其中t?0）． ………………(8分)

4t(t2?1)(3t?1)(3t?1)∴S'(t)?． ………………(9分) 24t3当0?t?时，S'(t)?0，S(t)是减函数；

33当t?时，S'(t)?0，S(t)是增函数． ………………(11分)

3?3?43?∴[S(t)]min?S??3??9． ………………(12分) ??x2?y2?1(a?0)右焦点F的坐标为(a,0)， …………………(1分) 21．解：(Ⅰ) ?椭圆21?a??????????NF?(a,?n)．?MN?(?m,n)，

?由MN?NF?0，得n2?am?0． ………………… (2分)

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设点P的坐标为(x,y)，由OM?2ON?PO，有(m,0)?2(0,n)?(?x,?y)，

?m??x,?22?y代入n?am?0，得y?4ax． ………………… (4分) n?.?2?y12y22,y1)、B(,y2)， （Ⅱ）解法一：设直线AB的方程为x?ty?a，A(4a4a则lOA:y?4a4ax，lOB:y?x． ………………… (5分) y1y24a?y?x,4a24a2?

y1，得S(?a,?由?)， 同理得T(?a,?)． ………………… (7分)

yy12?x??a

?????????????????4a24a216a42． ……………(8分) ?FS?(?2a,?)，FT?(?2a,?)，则FS?FT?4a?y1y2y1y2?x?ty?a,由?2，得y2?4aty?4a2?0，?y1y2??4a2． ………………… (9分) ?y?4ax16a422则FS?FT?4a??4a?4a?0． ………………… (11分) 2(?4a)????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0． ………………… (12分) 解法二：①当AB?x时， A(a,2a)、B(a,?2a)，则lOA:y?2x， lOB:y??2x．

?????y?2x,由? 得点S的坐标为S(?a,?2a)，则FS?(?2a,?2a)．

x??a??????y??2x,由? 得点T的坐标为T(?a,2a)，则FT?(?2a,2a)． ?x??a?????????FS?FT?(?2a)?(?2a)?(?2a)?2a?0． …………………… (6分)

2yy②当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y?k(x?a)(k?0)，A(1,y1)、B(2,y2)，

4a4a22????????16a42同解法一，得FS?FT?4a?． ………………… (8分)

y1y2?y?k(x?a),22由?2，得ky?4ay?4ka?0，?y1y2??4a2． ……………………(9分) ?y?4ax16a4?4a2?4a2?0． ………………… (11分) 则FS?FT?4a?2(?4a)2宜宾市高中2011级三诊考试数学理科答案 第 5 页（共7页）

????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0． ………………… (12分)

222. 解：(Ⅰ) 解法一：在an?S2n?1中，令n?1，n?2，

22???a1?S1,?a1?a1,得? 即? ……………………(2分)

22???(a1?d)?3a1?3d,?a2?S3,解得a1?1，d?2， ……………………(3分)

?an?2n?1．

?bn??Tn?11111??(?)， anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1111111n(1???????)?． ……………………(5分) 23352n?12n?12n?1解法二：??an?是等差数列， ?a1?a2n?1?an 2?S2n?1?a1?a2n?1(2n?1)?(2n?1)an． ……………………(2分) 222由an?S2n?1，得 an?(2n?1)an，

又?an?0，?an?2n?1，则a1?1,d?2． ……………………(3分) (Tn求法同法一)

（Ⅱ）①当n为偶数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，即需不等式

(n?8)(2n?1)8?2n??17恒成立． ……………………(6分)

nn8 ?2n??8，等号在n?2时取得．

n?? ……………………(7分) ?此时? 需满足??25．

②当n为奇数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，即需不等式

(n?8)(2n?1)8?2n??15恒成立． ……………………(8分)

nn88 ?2n?是随n的增大而增大， ?n?1时2n?取得最小值?6．

nn???此时? 需满足???21． ……………………(9分)

综合①、②可得?的取值范围是???21． ……………………(10分)

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（Ⅲ）T1?1mn,Tm?,Tn?， 32m?12n?1m2nm21n)?()，即? 若T1,Tm,Tn成等比数列，则(．…………(11分) 2m?132n?14m2?4m?16n?3m2n3?2m2?4m?1??0， （法一）由， 可得?224m?4m?16n?3nm即?2m2?4m?1?0， …………………(12分)

?1?66． …………………(13分) ?m?1?22又m?N，且m?1，所以m?2，此时n?12．

因此，当且仅当m?2， n?12时，数列?Tn?中的T1,Tm,Tn成等比数列． …………………(14分)

m21n11?，即2m2?4m?1?0， （法二）因为??，故24m?4m?166n?36?36n?1?

66，（以下同上）． ……………………(13分) ?m?1?22宜宾市高中2011级三诊考试数学理科答案 第 7 页（共7页）

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