大学物理课后题答案

第一章 质点运动学

1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求：

（1）第2s内的位移和平均速度；

（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程； （3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度． [解答]（1）质点在第1s末的位移大小为

x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．

在第2s末的位移大小为

x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)．

在第2s内的位移大小为

Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，

经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为

v=Δx/Δt = 4(m·s-1)．

（2）质点的瞬时速度大小为 v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，

因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，

v(2) = 12×2 - 6×22 = 0，

质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．

（3）质点的瞬时加速度大小为

a(t) = dv/dt = 12 - 12t，

因此1s末的瞬时加速度为

a(1) = 12 - 12×1 = 0， 第2s内的平均加速度为

a= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．

[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．

1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试

a?证加速度为

2(n?1)s(n?1)t2．

并由上述数据求出量值．

[证明]依题意得vt = nvo， 根据速度公式vt = vo + at，得

a = (n – 1)vo/t， (1)

根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得

a = (n2 – 1)vo2/2s，(2)

（1）平方之后除以（2）式证得

a?2(n?1)s(n?1)t2．

计算得加速度为

a?2(5?1)30(5?1)102=

1.3一人22.5°的夹坑的东且取g = （1）（2） 角？

[解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为

vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．

取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式

v 0.4(m·s-2)． B A v R v + u 乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成l A θ v2 B v - u -1

y 22.5角的初速度65m·s从西边起跳，准确地落在 o h a a边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，y u v1 70m v -2O α ax A 10m·s．问： vh 3 α θ vα 2 θ v0xA B v⊥ x u 矿坑有多宽？他飞越的时间多长？ v0y 图1.3 图1.7 v l v0 图1.10 v1 他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹

第3章 狭义相对论

3.1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？

[解答]地球的半径约为

R = 6400千米 = 6.4×106(m)，

自转一圈的时间是

T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)， 赤道上钟的线速度为

v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．

将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．

南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．

方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时

Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)． B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为

?t??t`1?(v/c)2，

可求得B钟的本征时为

1v?t`??t1?(v/c)2?[1?()2]?t2c，

因此时间差为

1v?t??t`?()2?t2c=1.898×105(s)．

在南极上看，赤道上的钟变慢了．

方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时 Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)． A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为

?t`??t1?(v/c)2，

可求得A钟的本征时为

1v?t??t`1?(v/c)2?[1?()2]?t`2c，

因此时间差为

1v?t`??t?()2?t`2c =1.898×105(s)．

在赤道上看，南极上的钟变慢了．

[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．

有人直接应用公式计算时间差

?t??t`??t`1?(v/c)2??t`

1v1v?[1?()2]?t`??t`?()2?t`2c2c，

由于地球速度远小于光速，所以计算结果差

不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．

也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．

?t`??t??t1?(v/c)2??t

1v1v?[1?()2]?t??t?()2?t2c2c

3.2 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为

?0?2L0c．若将这个光钟横放在一个以速度

??v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，两?v镜面中心的连线与平行，在铁轨参考系中

观察，火车上钟的一个“滴答”η与η0的关

系怎样？

[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，η0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间η是运动时，所以它们的关系为

???01?(v/c)2．

3.3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？

[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式

?t`??t1?(v/c)2， 45?即

1?(v/c)2，

可以求两系统的相对速度为

v = 3c/5．

在S`系中A和B两事件的空间距离为 Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．

3.4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的

夹角若何？

[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为

lx = lcosθ和ly = lsinθ．

在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得

`lx?lx1?(v/c)2，

因此

tan?`?可得夹角为

`ly`lx?tan?1?(v/c)2，

?`?arctan{[1?(v/c)2]?1/2tan?}．

3.5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．

[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式

?x`??x?v?t1?(v/c)2，

?t`??t??xv/c21?(v/c)2． （1）

由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此

?x`??x1?(v/c)2，

?t`???xv/c21?(v/c)2．（2）

v?c1?(?x/?x`)2． （3）

由（2）之上式得它们的相对速度为

将（2）之下式除以（2）之上式得

?t`v??2?x`c，

所以

?t`???x`?x1?()2c?x` ??1(?x`)2?(?x)2c= -0.577×10-8(s)．

[注意]在S`系中观察到两事件不是同时

发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公

2?x`??x1?(v/c)式，计算它们的相对速度．

3.6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？

[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式

x`?x?vt1?(v/c)和?x?v?t2t`?t?vx/c21?(v/c)2，

飞船上观察运动员的运动距离为

?x`?1?(v/c)2 ?100?0.8c?101?0.82≈-4×109(m)．

运动员运动的时间为

?t`??t?v?x/c21?(v/c)2 ?10?0.8?100/c0.6≈16.67(s)．

在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，

后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．

3.7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．

[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为

t?t?`2`1t2?t1?v(x2?x1)/c21?(v/c)2 ?8?4?0.8(40?20)/c0.6≈6.67(s)．

空间间隔为

`x2?x1`?x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)2 ?40?20?0.8c?(8?4)0.6≈-1.6×109(m)．

3.8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？

[解答]在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应

?l??l`1?(v10/c)2，可得杆的本征长度为

?l`??l1?(v10/c)2

?101?0.982= 50.25(m)．

另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为

v12?v10?v201?v10v20/c2

?0.98c?(?0.8c)1?0.98(?0.8)= 0.99796c．

在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度

?l``??l`1?(v12/c)2= 3.363(m)．

[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．

3.9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？

[解答]两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式

?t??t`1?(v/c)2，可得时间间隔为 ?t`??t1?(v/c)2= 4(s)．

3.10 在太

y` 阳参考系

S` y v=u x` 中观察，

地球 一束星光S uy` c 垂直射向θ` -u 星光 地面，速

O 太阳x 率为c，而

地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．

[解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为

ux = 0，uy = c．

星光在S`系中的速度分量为

`ux?ux?v??u21?uxv/c

u?`yuy1?v2/c21?uxv/c2

?c1?u2/c2?c2?u2 星光在S`系中的速度为

`2u`?ux?u`2y?c，

即光速是不变的．

星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为

?`?arctanuu?arctanu`yc2?u2．

方法二：用基本原理．根据光速不变原

理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为

`2u`y?c2?ux/?c2?u2，

从而可求出星光速度垂直地面的夹角为

`uxu?`?arctan`?arctanuyc2?u2．

[注意]解题时，要确定不同的参考系，

通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同

的．

此题与书中的例题5.4类似，这里的太阳相当于5.4题中的地球，这里的地求相当于5.4题的乙飞船，这里的星光相当于5.4题中的甲飞船．

3.11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？

[解答]（1）粒子的非相对论动能为

Ek = m0v2/2，

相对论动能为

E`k = mc2 – m0c2，

其中m为运动质量

m?m01?(v/c)2．

根据题意得

m0c21?(v/c)2?m0c2?m0v2，

设x = (v/c)2，方程可简化为

1?1?x1?x，

或 1?(1?x)1?x， 平方得

1 = (1 – x2)(1 - x)，

化简得

x(x2 – x -1) = 0．

由于x不等于0，所以

x2 – x -1 = 0．

解得

x?1?52，

取正根得速率为

v?c1?52= 0.786c．

（2）粒子的非相对论动量为

p = m0v，

相对论动量为

p`?mv?根据题意得方程

m0v1?(v/c)2，

m0v1?(v/c)2?2m0v．

很容易解得速率为

v?3c2= 0.866c．

3.12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．

[解答]在相对论能量关系中

E = E0 + Ek，

静止能量E0已知，且E0 = m0c2，总能量为

E?mc?所以

2m0c21?(v/c)21?E01?(v/c)2，

1?(v/c)2?E0?EkE0，

由此得粒子的运动时为

?t?还可得

?t`1?(v/c)2??t`E0?EkE0．

1?(v/c)2?解得速率为

E0E0?Ek，

v?c1?(E0)2E0?Ek．

E0?Ek2)?1E0

粒子能够通过的距离为

?l?v?t?c?t`(?3?108?2.6?10?6(1?30)2?1= 24167.4(m)．

3.13 试证相对论能量和速度满足如此

E02v?1?2cE． 关系式：

[证明]根据上题的过程已得

v?c1?(E0)2E0?Ek，

将E = E0 + Ek代入公式立可得证．

3.13 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子

和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．

[解答]在结合过程中，质量亏损为 Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)， 取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为

ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)． 如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为 ΔE = 3.549977×10-13(J)．

第二章 质点力学的基本定律

2.1 如图所示，把一个质量为m的木块放在与水平成θ角的固定F m 斜面上，两者间的静 摩擦因素μs较小，因

θ 此若不加支持，木块

图2.1 将加速下滑．

（1）试证tanθ≧μs；

?（2）须施加多大的水平力F，可使木

块恰不下滑？这时木块对斜面的正压力多大？

?（3）如不断增大F的大小，则摩擦力

和正压力将有怎样的变化？

（1）[证明]木块在斜面上时受到重力

???G?mg和斜面的支持力N以及静摩擦力?f，其中

N f ≦ fs = m f μsN，

而 N = Gcosθ． 要使木块加速下θ G 滑，重力沿着斜面

的分量不得小于最大静摩擦力fs．根据牛顿第二定律得

Gsinθ - μsGcosθ = ma≧0， 因此tanθ≧μs． 证毕．

（2）[解答]

y 要使物体恰好不N m f 下滑，则有 θ x F Gsinθ - μsN

- Fcosθ = 0， （1）

θ G N - Gcosθ -

Fsinθ = 0． （2） （2）×μs +（1）得

Gsinθ - μsGcosθ – Fcosθ - μsFsinθ = 0， 解得

F?sin???scos?mgcos???ssin?． （3）

上式代入（2）得

N?mgcos???ssin?．（4）

（3）[解答]当木块平衡时，一般情况下，有

Gsinθ - f - Fcosθ = 0，N - Gcosθ - Fsinθ = 0． 解得

f = Gsinθ - Fcosθ，N = Gcosθ + Fsinθ．

?可知：1当F的大小不断增加时，摩擦力将

不断减小；当F = Gtanθ时，摩擦力为零；当F再增加时摩擦力将反向；至于木块是否向上做加速运动，则要进一步讨论．

2正压力将不断增加． [讨论]当tanθ < 1/μs时，如果木块恰好不上滑，则摩擦力恰好等于最大静摩擦力，方向沿着斜面向下，用上面的方法列方程，可得

F?sin???scos?mgcos???ssin?．

将（3）式中的μs改为-μs就是这个结果．可

见：当tanθ = 1/μs时，F趋于无穷大，只有当tanθ < 1/μs时，才能增加F的大小使木块向上加速滑动．

2.2 如图所示，设质量m = 10kg的小球挂在倾角α = 30°的光滑斜面上，求：

（1）当斜面以加速

a 度a = g/3沿

图中所示的

α 方向运动时，

图2.2 绳中的张力

及小球对斜面的正压力各是多大？

（2）当斜面的加速度至少为多大时小球对斜面的正压力为零？（g = 9.8m·s-2）

[解答]

y T（1）小球受N 到重力G，斜 a x 面的支持力N和绳子的张α G 力T．建立坐 标系，列方程得

Ncosα + Tsinα – mg = 0， Tcosα - Nsinα = ma．

解得N = m(gcosα – asinα) = 68.54(N)，

T = m(gsinα + acosα) = 77.29(N)．

（2）令N = 0，得加速度为 a = gctgα = 16.97(m·s-2)．

2.3 物体A和B的质量分别为mA = 8kg，mB = 16kg，它们之间用绳子联结，在倾角α = 37°的斜面上向下滑动，如图所示．A和B与斜面的滑动摩擦因素分别为μkA = 0.2，μkB = 0.4，求：

（1）物体A和B的加速度； （2）绳子的

B 张力；

（3）如果将A A和B互换位置，

α 则（1）和（2）

图2.3

的结果如何？

[解答]根据角度关系可得sinα = 3/5 = 0.6，cosα = 4/5 = 0.8，tanα = 3/4 = 0.75．

（1）如果物体A和B之间没有绳子，由于tanθ≧μs，可知：A和B都要沿斜面做加速运动，而B的加速度比较小．当A和B之间有绳子时，它们将以相同的加速度运动．

设绳子的

NB B fB 张力为T，根据

T NA 牛顿第二定律fA T A 分别对A和B mBg 列运动方程： mgA α mAgsinα – μkAmAgcosα - T = mAa， T + mBgsinα – μkBmBgcosα = mBa． 两式相加得

[(mA + mB)sinα – (μkAmA + μkBmB)cosα]g = (mA + mB)a， 所以加速度为

a?g[sin???kAmA??kBmBmA?mBcos?]

= 3.26(m·s-2)． （2）将加速度a的公式代入任一方程都可解得张力为

T?(?kB??kA)mAmBgcos?mA?mB= 3.86(N)．

由此可见：当两物体的摩擦因素相等时，张力才为零，这是因为它们的加速度相等．

（3）将A和B互换位置后，由于A的加速度比较大，所以绳子不会张紧，其张力为零．

A的运动方程为

mAgsinα – μkAmAgcosα = mAaA， 解得 aA = g(sinα – μkAcosα) = 4.12(m·s-2)． 同理得aB = g(sinα – μkBcosα) = 2.7(4m·s-2)．

2.4 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜

??vv面（倾角为α）上以初速度0运动，0的方

向与斜面底边的

v0 水平约AB平行，

P 如图所示，求这质α 点的运动轨道．

B A

[解答]质点在

图2.4

斜上运动的加速

度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为

x = v0t，

y?121at?gsin??t222．

将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程

为

y?gsin?2x2v0，

这是抛物线方程．

2.5 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：

?（1）今以水平力F拉板，使两者一起

以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；

（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？

[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．

板对物体的支持大小等于物体的重力

Nm = mg = 19.6(N)，

这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．

Nm 物体受板摩擦力

fm

做加速运动，摩擦力的

NM a 大小为

fm = ma = 2(N)，

fM 这也是板受到的摩擦

力的大小，摩擦力方向也相反．

板受桌子的支持力大小等于其重力

NM = (m + M)g = 29.4(N)，

这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．

板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为

fM = μkNM = 7.35(N)．

这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．

（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为

Nm f =μsmg = ma`，

f 可得 a` =μsg．

a` 板的运动方程为 NM F – f – μk(m f F + M)g = Ma`， f ` 即 F = f + Ma` + μk(m + M)g

= (μs + μk)(m + M)g，

算得 F = 16.17(N)．

因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．

2.6 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）

[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2．

对两物体列运动方程得

T2 - μm2g = m2a2， F – T1 – μm1g = m1a1． 可以解得m2的加速度为

a2?F??(m1?2m2)gm1/2?2m2

= .78(m·s-2)， 绳对它的拉力

T?m2(F??m1g/2)m1/2?2m2= 1.35(N)．

k1 k2 F

2.7 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：

（1）它们串联起来时，总倔强系

(a) k1 F (b) k2 图2.7

111??kk1k2；数k与k1和k2．满足关系关系式

（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1

+ k2．

[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．

两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为

F1 = k1x1，F2 = k2x2． （1）由于弹簧串联，所以 F = F1 = F2，x = x1 + x2，

FF1F2111????kk1k2． kkk12，即因此

（2）由于弹簧并联，所以

F = F1 + F2，x = x1 = x2，

因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2．

2.8 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线

T1 a1 m1 f1 a2 f2 m2 T2 图2.6

的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．

（1）小车沿水平线作匀速运动； （2）小车以加速

?a度1沿水平方向运动；

（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成θ角；

（4）用与斜面平

?行的加速度b1把小车

图2.8

沿斜面往上推（设b1 = b）；

?（5）以同样大小的加速度b2（b = b），

2

将小车从斜面上推下来． [解答]（1）小车

θ 沿水平方向做匀速直

T 线运动时，摆在水平

ma 方向没有受到力的作

mg 用，摆线偏角为零，

线中张力为T = mg．

（2）小车在水平（2）

方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于

tanθ = ma/mg，

所以 θ = arctan(a/g)； 绳子张力等于摆所受的拉力

T?(ma)2?(mg)2?ma2?g2．

O ω T （3）小Y a θ m a m θ y 车沿斜面自Y T A O mO l/4A Δp O a 45°ma A R p T 1 = 0.8m Rx1 θF H 由滑下时，O m R mA m1 mb θr s = 3mF l O l R N R 1N l r r /4 b 0.50 mb O mg 0.75 θ R X pB V r C 2v A摆仍然受到θ A r O vp vθ θm r R ω0 12 m b A2l l F r p y h 2 1θθv0 v X mg O l p A mg O m y 0 r θB T FR Δv R O` F m dS 重力和v` θ m b r B1ds m vy O F R x p 0 Fm f R θ O A =98N 45°P=98N r r mg N v Bθ θ x 0M α r r 拉力， B v r1 R A C 3）2ω O B m（ mg m A (a) 2 R C Z (b) A` B h B dr A p O` θ θ = 45° x1R B B θ v 1mg OR B合力沿C x R p 2 2v`2.29 mg 图2.15 2.14 Z` 图图2.34 2.41 2图2.39 Z 图2.33 2.27 m图2.37 图2.36 v 2.26 1图m图2.44 x 图图2.38 2.32 v图（2.11 4） R 图2.42 2.35 D 图2.9 mg 图2.22 51 θ 1 图2.16 2.19 图2.24 B 图 斜面向

下，所以

θ = θ；

T = mgcosθ．

（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三

第4章 振动

4.1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：

（1）此简谐振动的表达式；

（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；

（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．

[解答]（1）设物体的简谐振动方程为

x = Acos(ωt + θ)，

其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．

当t = 0时，x = 0.06m，所以

cosθ = 0.5，

因此

θ = ±π/3．

物体的速度为

v = dx/dt = -ωAsin(ωt + θ)． 当t = 0时，

v = -ωAsinθ，

由于v > 0，所以sinθ < 0，因此

θ = -π/3．

简谐振动的表达式为

x = 0.12cos(πt – π/3)．

（2）当t = T/4时物体的位置为 x = 0.12cos(π/2 – π/3)

= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为

v = -πAsin(π/2 – π/3)

= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)． 加速度为

a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + θ) = -π2Acos(πt - π/3)

= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．

（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得

cos(πt1 - π/3) = -0.5，

因此

πt1 - π/3 = ±2π/3．

由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此

πt1 - π/3 = 2π/3，

得t1 = 1s．

当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此

cos(πt2 - π/3) = 0，

可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等． 由于t2 > 0，所以

πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．

所需要的时间为

Δt = t2 - t1 = 0.83(s)． 方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此

cos(πt - π/3) = 0，

可得 πt - π/3 = π/2， 解得 t = 5/6 = 0.83(s)．

[注意]根据振动方程

x = Acos(ωt + θ)，

当t = 0时，可得

θ = ±arccos(x0/A)，（-π< θ <= π）， 初位相的取值由速度决定．

由于

v = dx/dt = -ωAsin(ωt + θ)， 当t = 0时，

v = -ωAsinθ，

当v > 0时，sinθ < 0，因此

θ = -arccos(x0/A)； 当v < 0时，sinθ > 0，因此

θ = arccos(x0/A)π/3． 可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，θ = 0；当初位

置x0 = -A时，θ = π．

4.2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：

（1）a，x b，c，d，eA a 各点的位A/2 b 相，及到达 c O t 这些状态的

d 时刻t各是

e 多少？已知

图4.2 周期为T；

（2）振动表达式； （3）画出旋转矢量图．

[解答]方法一：由位相求时间． （1）设曲线方程为

x = AcosΦ，

其中A表示振幅，Φ = ωt + θ表示相位．

由于xa = A，所以

cosΦa = 1，

因此 Φa = 0．

由于xb = A/2，所以

cosΦb = 0.5，

因此 Φb = ±π/3；

由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此

Φb = π/3． 由于xc = 0，所以

cosΦc = 0，

又由于c点位相大于b位相，因此

Φc = π/2．

同理可得其他两点位相为 Φd = 2π/3，Φe = π．

c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为

ta = T/6．

到达b点的时刻为

tb = 2ta = T/3．

到达c点的时刻为

tc = ta + T/4 = 5T/12．

到达d点的时刻为

td = tc + T/12 = T/2．

到达e点的时刻为

te = ta + T/2 = 2T/3． （2）设振动表达式为

x = Acos(ωt + θ)，

当t = 0时，x = A/2时，所以

cosθ = 0.5，

因此

θ = ±π/3；

由于零时刻的位相小于a点的位相，所以

θ = -π/3，

因此振动表达式为

x?Acos(2?t??)T3．

另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此c d b 初位相取负值，

从而可得运动方

a e 程． x O θ （3）如图旋 A 转矢量图所示． 方法

x 二：由时间A 求位相．将 A/2曲线反方f 向延长与t O 轴相交于f

点，由于xf = 0，根据

运动方程，可得

a b c d e t

cos(2?t??)?0T3

所以

2?tfT??3???2．

显然f点的速度大于零，所以取负值，解得

tf = -T/12．

从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为

ta = T/4 + tf = T/6，

其位相为

?a?2?ta???0T3．

由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点

的位相．

4.3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10-2m．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．

（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程；

（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s-1速度向上运动，求运动方程．

[解答]当物体平衡时，有

Mg – kx0 = 0，

所以弹簧的倔强系数为

k = Mg/x0，

物体振动的圆频率为

??k/M?g/x0= 10(rad·s-1)．

设物体的运动方程为

x = Acos(ωt + θ)． （1）当t = 0时，x0 = -8.0×10-2m，v0 = 0，因此振幅为

2A?x0?(v0/?)2?|x0|= 8.0×10-2(m)；

由于初位移为x0 = -A，所以cosθ = -1，初位相为

θ = π．

运动方程为

x = 8.0×10-2cos(10t + π)． （2）当t = 0时，x0 = 0，v0 = -0.60(m·s-1)，因此振幅为

2A?x0?(v0/?)2= |v/ω| = 6.0×10-2(m)；

0

由于cosθ = 0，所以θ = π/2；运动方程为

x = 6.0×10-2cos(10t + π/2)．

4.4 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成

的系统，按

x?0.1cos(8?t?2?)3的规律作

振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求：

（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；

（2）振动的速度、加速度的最大值； （3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；

（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置．

[解答]（1）比较简谐振动的标准方程

x = Acos(ωt + θ)，

可知：圆频率为

ω =8π，

周期

T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，

振幅为

A = 0.1(m)，

初位相为

θ = 2π/3．

（2）速度的最大值为

vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s-1)； 加速度的最大值为

am = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s-2)． （3）弹簧的倔强系数为

k = mω2，

最大回复力为

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