上海市16区届中考一模数学试卷分类汇编：几何证明(含答案)

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-- 上海市16区２018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编

几何证明专题

宝山区

2３．(本题满分１2分，每小题各6分）

如图,△ABC 中，ＡB =AC ，过点Ｃ作CF ∥AB 交△ABC 的中位线ＤE 的延长线于F ,联结BF ，交A Ｃ于点G . （１)求证：G

AE AC EG C ＝； (2)若AH 平分∠ＢA Ｃ，交BF 于H ，求证:B Ｈ是HG 和HF 的比例中项.

长宁区

23．（本题满分12分，第(１)小题6分，第（2)小题6分）

如图，在?ＡBC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ＡDB=∠

CDE ，

DE 交边A Ｃ于点E ,DE 交BA 延长线于点F ,且DF DE AD ?=2．

(1）求证：BFD ?∽CAD ?；

（2）求证：AD AB DE BF ?=?．

F E D A 第23题图

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-- 崇明区

23.(本题满分12分,每小题各６分）

如图,点E 是正方形AB ＣD 的边ＢC 延长线上一点，联结DE ,过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ,BF 交边DC 于点G ．

（1）求证:GD AB DF BG ?=?；

(２)联结CF ,求证：45CFB ∠=?．

奉贤区

已知：如图，四边形AB ＣD ,∠DCB =90°,对角线BD ⊥AD ,点E 是边AB 的中点，CE 与BD 相交于点F ，2BD AB BC =?

(1）求证:BD 平分∠ＡBC ;

（2)求证：BE CF BC EF ?=?.

虹口区

如图，在△AB Ｃ中，点Ｄ、Ｅ分别在边AB 、AC 上，D Ｅ、B Ｃ的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ?=?. (１）求证AD AB AE AC ?=?；

(2）当AB =1２，AC =9，ＡE =8时，求B Ｄ

的长与△△ADE ECF

S S 的值．

黄浦区

２3.(本题满分1２分）

如图，BD 是△ＡＢC 的角平分线，点Ｅ位于边BC 上,已知BD 是ＢA 与ＢE 的比例中项.

（第23题图） A B D

E C G

F C E

A B D F 第23题图

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-- (1）求证：∠CDE =12∠ＡBC ； (２）求证:A Ｄ?ＣＤ=A Ｂ?CE .

嘉定区

23.

如图６,已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AB ＝ＣD ，点E 在对角线A Ｃ上,且满足∠AD Ｅ＝∠B ＡC 。

（1）求证：ＣD ·AE =DE ·BC ；

（2）以点A 为圆心,AB 长为半径画弧交边BC 于点Ｆ，联结ＡF 。

求证:ＡF 2=C Ｅ·CA 。

金山区

23.（本题满分12分，每小题6分）

如图,已知在Rt △ＡＢC 中,∠ＡCB ＝90°,AC ＞ BC ，C Ｄ是R ｔ△ABC 的高,E 是AC 的中点，ED 的延长线与ＣB 的延长线相交于点Ｆ．

（1）求证:D Ｆ是B Ｆ和ＣF 的比例中项；

(2)在AB 上取一点G ,如果AE ·ＡＣ=AG ·ＡD ,

求证:EG ·CF=ED ·ＤF ．

E

D C B

A

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静安区

２3．（本题满分1２分，其中第（1）小题6分,第(2）小题6分)

已知:如图,梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD =ＢD ,ＡD ⊥ＤB ,点E 是腰AD 上一点，作∠EBC ＝４5°，联结CE ，交D Ｂ于点F ．

(1）求证:△ABE ∽△DB C ； (2）如果6

5

=BD BC ,求BDA BCE S S ??的值.

闵行区

23．（本题共2小题，每小题６分,满分12分）

如图，已知在△ABC 中,∠ＢＡＣ =2∠B ,AD 平分∠BAC ，

ＤF //ＢＥ，点Ｅ在线段ＢA 的延长线上,联结DE ,交AC 于点G ，且∠E =∠C ．

（１）求证：2AD AF AB =?； （２）求证：AD BE DE AB ?=?.

浦东新区

2３.（本题满分12分,其中第（1)小题６分,第（2）小题6分)

如图,已知,在锐角△ＡBC 中,CE ⊥AB 于点E ，点Ｄ在边A Ｃ上, 联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ?=?. (1）求证:BD ⊥AC ;

（２）联结AF ,求证:AF BE BC EF ?=?.

第23题图

（第23题图）

A

D

C

E

F

G A

（第23题图）

D E

F

B

C

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普陀区

2３．（本题满分１2分)

已知：如图9,四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，AD DC =,

2DC DE DB =?.

求证:(１)△BCE ∽△ADE ；

（２）AB BC BD BE =．

青浦区

23.（本题满分12分，第(1）小题4分,第（2）小题8分）

如图8,已知点D 、E 分别在△ＡBC 的边ＡＣ、B Ｃ上，线段BD 与AE 交于点F ，且CD CA CE CB ?=?. （1）求证：∠C ＡE ＝∠CBD ; （2)若BE AB

EC AC

=,求证：AB AD AF AE ?=?.

松江区

2３． （本题满分1２分,每小题各6分)

已知四边形ABCD 中,∠BAD =∠BD Ｃ=90°,2BD AD BC =?. (1)求证:AD ∥BC ;

(2) 过点A 作AE ∥CD 交ＢC 于点E ．请完善图形并求证：2

CD BE BC =?．

A

E

D

C

B

图9

A

B

C

D E

F

图8

（第23题图）

D

A

C

B

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徐汇区

2３.（本题满分12分，第（１）小题满分５分，第（2）小题满分７分）

如图，在△ABC 中,AB =AC ，点D 、Ｅ、Ｆ分别在边B Ｃ、AB 、ＡC 上,且∠AD Ｅ＝∠B ，∠AD Ｆ＝∠C ，线段EF 交线段A Ｄ于点G . (1）求证：AE =ＡＦ;

(２)若

DF CF DE AE ，求证:四边形EB ＤF 是平行四边形.

杨浦区

2３．（本题满分12分,第(1)小题５分，第（2)小题７分）

已知：梯形ＡBC Ｄ中,ＡD //BC ,AD =AB ，对角线A Ｃ、B Ｄ交于点E ，点Ｆ在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .

（1）求证:△AED ∽△CFE ；

（2)当ＥF ／/DC 时，求证：ＡＥ=DE .

参考答案 宝山区

长宁区

B C D

第23题

（第23题图）

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-- ２３．(本题满分12分,第(1)小题6分，第(2)小题6分)

证明：(1）∵DF DE AD ?=2 ∴AD

DF DE AD = ∵EDA ADF ∠=∠ ∴ADF ?∽EDA ? (2分)

∴DAE F ∠=∠ (1分) 又∵∠A ＤB ＝∠CDE ∴∠ADB+∠ＡＤＦ=∠CD Ｅ+∠ADF

即∠B ＤF =∠ＣD Ａ (2分) ∴BFD ?∽CAD ? (１分）

（2)∵BFD ?∽CAD ? ∴AD

DF AC BF = （2分） ∵AD DF DE AD = ∴DE

AD AC BF = （1分) ∵BFD ?∽CAD ? ∴C B ∠=∠∴AC AB = (1分) ∴DE

AD AB BF = ∴AD AB DE BF ?=?． （2分) 崇明区

２３、(1）∵四边形ABCD 是正方形

∴90BCD ADC ==?∠∠，AB BC = …………………………1分 ∵BF DE ⊥ ∴90GFD =?∠

∴BCD GFD =∠∠

∵BGC FGD =∠∠

∴BGC DGF △∽△ ………………………………………………2分 ∴BG BC DG DF

= ………………………………………………………１分 ∴DG BC DF BG ?=? ……………………………………………1分

∵AB BC =

∴DG AB DF BG ?=? ……………………………………………1分

（2）联结BD

∵BGC DGF △∽△ ∴BG CG DG FG

= ………………………………………………………1分

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-- ∴BG DG CG FG

= 又∵BGD CGF =∠∠

∴BGD CGF △∽△ ………………………………………………2分 ∴BDG CFG =∠∠ ………………………………………………１分 ∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线 ∴1452BDG ADC ==?∠∠ ……………………………………1分 ∴45CFG =?∠ ……………………………………………………1分 奉贤区

虹口区

黄浦区

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-- 23. 证:(１）∵BD 是A Ｂ与BE 的比例中项, ∴BA BD BD BE

=，————————————————————————(１分) 又BD 是∠ＡＢC 的平分线,则∠ABD =∠ＤBE , ——————————（１分)

∴△ＡＢD ∽△D ＢE ,——————————————————————（2分)

∴∠Ａ=∠ＢD Ｅ. ———————————————————————(1分)

又∠BDC ＝∠Ａ+∠ABD ,

∴∠ＣDE =∠ABD =12

∠ＡBC ，即证. ———————————————（１分) （2)∵∠ＣDE =∠CBD ,∠C =∠C , ——————————————————(1分）

∴△ＣD Ｅ∽△CB Ｄ,——————————————————————(１分) ∴CE DE CD DB

=．————————————————————————（1分) 又△ＡBD ∽△ＤＢE , ∴

DE AD DB AB

=—————————————————————————（１分） ∴CE AD CD AB

=，————————————————————————(１分） ∴AD CD AB CE ?=?.———— —————————————————(1分) 嘉定区

23．

如图6,已知梯形ABCD 中,AD ∥B Ｃ，AB ＝C Ｄ，点E 在对角线ＡC 上，且满足∠A ＤE ＝∠B ＡC 。

（3）求证：CD ·A Ｅ＝ＤＥ·BC ;

（4）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边B Ｃ于点Ｆ,联结A Ｆ。

求证:AF ２=ＣＥ·CA 。

【评析】(１）因为A Ｄ∥ＢC ,所以∠ＤAE =∠ACB ，又因为∠A ＤE =∠BAC ,所以△AD Ｅ∽△C ＡB ，因此，

又因为ＡB =ＣＤ,所以,所以CD ·AE ＝DE ·BC 。 (2)因为△ADE ∽△CAB ,所以∠AED =∠B ，因为梯形ＡB ＣD 是等腰梯形，所以∠Ｂ＝∠DCB ,即∠AED =∠ＤＣB ,又因为∠ＤC Ｂ+∠ＣDA =18０°,∠AED +∠CED ＝180°,所以∠ＣD Ａ=∠CED ,又因为∠D ＣA =∠ＥDC ,所以△CDA ∽△ＣED ,所以

,即C Ｄ2=C Ｅ·C Ａ,又因为半径为AB ,所以AF =A Ｂ，即AF ＝ＣD ,所以A Ｆ2

＝CE ·CA

【解答】证明同上 金山区

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静安区

23.证明：（1)∵ＡD ＝BD ,AD ⊥DB ，∴∠A ＝∠ＤBA =45°………………………(1分） 又∵DC ∥AB ,∴∠CDB =∠ＤＢA =４５°, ∴∠CDB =∠Ａ, ………………………（２分） ∵∠ＥB Ｃ=45°，∴∠E ＢC =∠DB Ａ， ……………………………………………(1分) ∴∠ＥBC -∠DBE =∠DBA －∠ＤBE ，即∠DBC ＝∠ABE ………………………（１分) ∴△A ＢＥ∽△ＤB Ｃ ……………………………………………………………………(1分)

(2）∵△ABE ∽△ＤB C, ∴

EB CB AB DB = ………………………………………………（２分） ∴DB

CB AB EB =，且∠EBC =∠DBA ,∴△BCE ∽△ＢD Ａ ………………………………(２分) 又∵65=BD BC ，∴3625)(2==??BD BC S S BDA

BCE ． ……………………………………………（２分） 闵行区

23.证明：（1)∵ＡＤ平分∠BAD ,∴∠B ＡD =∠CAD ．

∵∠BA Ｃ=2∠B ，∴∠BA Ｄ＝∠CA Ｄ＝∠B .……………………………(1分)

∵DF ∥B Ｅ,∴∠BAD =∠ＡD Ｆ．…………………………………………(１分）

∴∠ADF ＝∠B ．……………………………………………………………(1分）

∴△ABD ∽△A ＤＦ．………………………………………………………（１分） ∴AF AD AD AB

=．……………………………………………………………（1分) ∴2AD AF AB =?．………………………………………………………（1分）

（２）∵∠CAD =∠B ，∠Ｃ＝∠C

,

--

-- ∴△C ＤA ∽△CAB ．……………………………………………………(1分) ∴

CD AD CA AB

=.……………………………………………………………（１分） ∵∠BA Ｄ=∠Ｂ， …………………………………………………………(１分）

∴ＡD =AB .

又∵∠CAD =∠B ，∠E =∠Ｃ，

∴△CA Ｄ≌△ＥBD .………………………………………………………（1分）

∴ＤE ＝D Ｃ,B Ｅ=A Ｃ． ∴

DE AD BE AB

=．……………………………………………………………（1分） ∴AD BE DE AB ?=?．……………………………………………………（１分) 浦东新区

23．证明：(１）∵ DF FB FC EF ?=?，

∴

FC

FB DF EF =. ………………………(1分） ∵ ∠ＥFB =∠DFC ， …………………(１分) ∴ △EF Ｂ∽△DFC ． …………………（1分) ∴ ∠FEB =∠FDC . ………………… (1分） ∵ C Ｅ⊥AB ，

∴ ∠F ＥB = ９0°.……………………… （1分） ∴ ∠ＦD Ｃ= 90°. ∴ ＢD ⊥ＡＣ. ………………………… （1分)

（2)∵ △EFB ∽△DFC ，

∴ ∠AB Ｄ =∠ACE . …………………………………………… (1分)

∵ CE ⊥A Ｂ,

∴ ∠FE Ｂ= ∠A ＥC ＝ 90°.

∴ △AEC ∽△FEB . ……………………………………………(１分）

∴ EB

EC FE AE =.……………………………………………………(1分) ∴ EB

FE EC AE =． …………………………………………………(1分) ∵ ∠ＡE Ｃ=∠FEB = 90°,

∴ △ＡE Ｆ∽△CEB .………………………………………………（1分)

∴ EB EF CB AF =，∴ AF BE BC EF ?=?． ………………………(1分） 普陀区

22．证明:

(1)∵2DC DE DB =?，∴CD DB DE CD

=.错误!未定义书签。 1(?分） 又∵EDC CDB ∠=∠,∴△CDE ∽△BDC .?（1分）

∴ECD CBD ∠=∠． ································································································· (1分) A （第23题图）

D

E F B

C

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-- ∵,∴ECD EAD ∠=∠.错误!未定义书签。 1(?分）

∴EBC EAD ∠=∠. ·································································································· (1分） 又∵AED BEC ∠=∠,∴△BCE ∽△ADE . ····························································· (１分)

（2）∵△BCE ∽△ADE ,∴

BE CE AE DE =．1(?分) ∴BE AE CE DE

=． ············································································································ （1分) ∵AEB DEC ∠=∠,∴△AEB ∽△DEC ．1(?分)

∵△CDE ∽△BDC ，∴△AEB ∽△DCB ． ······················································· （1分) ∴AB BE BD BC

=.?(1分) ∴．?（1分)

青浦区

２3．(1)证明：∵CD CA CE CB ?=?，∴CE CA CD CB

=, ………………………………………（1分) ∵∠ECA ＝∠DC Ｂ,……………………………………………………………………(1分) ∴△CAE ∽△ＣBD ,……………………………………………………………………(1分） ∴∠CA Ｅ=∠CB Ｄ．……………………………………………………………………（1分)

（2）证明:过点C 作ＣＧ//ＡB ，交ＡE 的延长线于点G . ∴BE AB

EC CG =,…………………………………………………………………………(１分) ∵BE AB EC AC =，∴AB AB CG AC =,……………………………………………………………(１分) ∴CG =ＣA ， ……………………………………………………………………………（１分) ∴∠G =∠CAG ,………………………………………………………………………(1分)

∵∠G ＝∠B ＡＧ，∴∠CAG =∠B ＡＧ.………………………………………………（1分） ∵∠ＣＡE =∠CB Ｄ，∠A ＦD =∠BF Ｅ,∴∠ADF =∠B ＥF ．…………………………（１分） ∴△ADF ∽△ＡＥB ，……………………………………………………………………(1分) ∴AD AF AE AB =,∴AB AD AF AE ?=?．…………………………………………………(1分) 松江区

23.证明(１)∵2BD AD BC =? ∴BD BC AD BD =……………………………２分 又 ∵∠BAD =∠BDC =９0°

∴△ADB ∽△DBC ……………………2分

∴DBC ADB ∠=∠ ……………………1分

AD DC =AB BC BD BE = D

A C B

（第23题图） E

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