第十一章三角形专题 - 图文

标题 1．了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性. 2．探索并掌握三角形中位线的性质. 3．了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件. 4．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形教学目标 的条件；了解等边三角形的概念并探索其性质. 5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件. 6．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 1重点：三角形的相似及全等及解直角三角形的基础知识 重点、难点 2 难点：综合应用这些知识解决三角形的应用问题 教 学 内 容 考点精析 考点一、三角形的概念及其性质 1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类 (1)按边分类： (2)按角分类：

3．三角形的内角和外角 (1)三角形的内角和等于180°. (2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 4．三角形三边之间的关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 5．三角形内角与对边对应关系 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边. 6．三角形具有稳定性. 1．（1）（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 思路点拨：三角形的内角和为180°，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40°、60°、80°，是锐角三角形. 答案：B （2）三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是( ) A．-6＜a＜-3 B．-5＜a＜-2 C．2＜a＜5 D．a＜-5或a＞-2 思路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性. 解析：根据三角形三边关系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，应选B. 2．（1）（2010宁波市）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 （ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 考点：等腰三角形 答案：A 【变式1】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________. 【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________. 【变式4】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 答案：1. 思路点拨：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论. 解析：∵a，b，c为△ABC的三条边 ∴a-b-c＜0， b-a-c＜0 ∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c. 2. 解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C. 3. 解析：(1)当腰为3时，周长=3+3+4=10；(2)当腰为4时，周长=3+4+4=11.所以答案为10或11.

4. 思路点拨：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论. 解析：若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C 又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以选C 考点二、三角形的“四心”和中位线 三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. 1．内心： 三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. 2．外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等. 3．重心： 三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. 4．垂心： 三角形三条高线的交点. 5．三角形的中位线： 连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线. 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 要点诠释： (1)三角形的内心、重心都在三角形的内部. (2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部. (3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点. (4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部. 3．（1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( ) A.二条中线的交点 B. 二条高线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边中垂线的交点 考点：线段垂直平分线的定理. 思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确. 4．一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 考点：三角形角平分线定理. 思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B. 【变式1】如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求∠BOC的度数.

【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.只有两边相等的锐角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形或直角三角形 【变式3】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 答案：1. 解析：∠A是锐角时，(1)O为外心时，∠BOC=2∠A =116°； (2)O为内心时，∠BOC=90°+∠A=119°； (3)O为垂心，∠BOC=180°-∠A=122°. 2. 解析：三角形的内心都在三角形内部；锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A. 3. 思路点拨：本题考查三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 解析：已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE、DF互相平分. 证明：连结DE、EF ∵AD=DB，BE=CE ∴DE∥AC(三角形中位线定理) 同理EF∥AB ∴四边形ADEF是平行四边形 ∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分) 考点三、全等三角形 1．定义： 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2．性质： (1)对应边相等 (2)对应角相等 (3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等 (4)周长、面积相等 3．判定： (1)边角边(SAS) (2)角边角(ASA) (3)角角边(AAS) (4)边边边(SSS) (5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形) 要点诠释： 判定三角形全等至少必须有一组对应边相等. 5．对于下列各组条件，不能判定△≌△的一组是( ) A.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′ C.∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′ D.AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′

思路点拨：判定三角形全等的条件中，已知两边及一角必须是两边及其夹角，而已知两角一边和三边都可以判定三角形全等. 解析：A可利用ASA判定；B可利用SAS判定；D可利用SSS判定.而C是两边和一边对角对应相等，不能判定三角形全等.故选C. 6．（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△BEC≌△DEC； （2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数． 第8题图 考点：三角形全等的判定及性质. 思路点拨：（1）利用ASA判定;(2) 利用 △BEC≌△DEC 答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45° 又EC＝EC ∴△ABE≌△ADE （2）∵△ABE≌△ADE ∠BED ∴∠BEC＝∠DEC＝ ∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF ∴∠EFD＝60°+45°＝105° 【变式1】两个三角形有以下三对元素对应相等，则不能判定全等的是( ) A.一边和任意两个角 B.两边和它们的夹角 C.两个角和它们一角的对边 D.三角对应相等 【变式2】如图，已知:AC =DB，要使≌，只需增加一个条件是___________. 【变式3】如图，已知，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是________.

答案：1. 思路点拨：两个三角形中，三角对应相等不能证明三角形全等. 解析：A的判定方法为ASA或AAS；B的判定方法为SAS；C的判定方法为AAS；要判定三角形全等必须有一个元素是边，所以D不能判定.故选D.. 2.思路点拨：增加条件判定三角形全等时，题中已有一条公共边这一条件，答案不唯一. 解析：填AB=DC，可利用SSS；填∠ACB=∠DBC，可利用SAS. 3. 考点：利用三角形全等的性质证明线段或角相等. 思路点拨：本题作出M到AB的距离，可以利用证三角形全等求距离.更简单的是利用角平分线上的点到角两边距离相等. 解法一：过M作MD⊥AB于D，∴∠MDA=∠C=90° ∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠DAM ∵AM=AM， ∴△AMC≌△AMD(AAS)， ∴MD=CM=20cm 解法二：过M作MD⊥AB于D ∵∠C=90°， ∴MC⊥AC ∵AM平分∠CAB， ∴MD=CM=20cm 考点四、等腰三角形 1．定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： (1)具有三角形的一切性质. (2)两底角相等(等边对等角) (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一) (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 3．判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 7．（1）（2010湖北黄石） 如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂

直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_____________. 思路点拨：等腰三角形的性质 答案：45° （2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( ) A.顶角的2倍 B. 顶角的一半 C. 顶角 D. 底角的一半 思路点拨：本题适用于任何一种等腰三角形.总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半. 解析：如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， 所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°- 答案：B. (180-∠A)= ∠A， 8．△ABC等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论. 思路点拨：本题是先猜想再验证的探索性题型，关键是掌握等边三角形及三线合一的性质. 答案：如：①DB=DE；②BD⊥AC；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD； ⑤∠CDE=30°；⑥BD平分∠ABC等. 总结升华：等腰三角形是特殊的三角形，具有对称性，边、角之间的联系较多；三线合一的性质在解题时应用广泛，但经常被忽略，应注意灵活运用. 【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50°、80°，则这个三角形是_________三角形.

【变式2】已知等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，且BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC的度数. 答案：1. 考点：等腰三角形的判定. 思路点拨：会根据三角形内角的度数判断三角形的形状. 解析：三角形的两个内角分别为50°、80°，则另一个内角为50°，这个三角形有两个角相等，所以是等腰三角形 . 总结升华：三角形是按边和角进行分类的，会根据题意判断三角形的形状. 2. 思路点拨：本题利用三角形内角和求出∠C，从而得出结论. 解：∵等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，∠ABC+∠C+∠A=180° ∴∠C=72°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°，∴∠DBC=90°-72°= 考点五、直角三角形 1．定义： 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2．性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； (7)SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高. 3．判定： (1)两内角互余的三角形是直角三角形； (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形. (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 9．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：13 考点：考查勾股定理的逆定理. 思路点拨：常见的一些勾股数如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍数等，应熟练掌

握. 解析：D中设三边的比中每一份为k，则(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ，所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足，故选D. （2）将一张矩形纸片则折痕的长为( ) C. D. 如图所示折叠，使顶点落在点.已知，， A. B. 考点：勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半. 思路点拨：考查学生了解折叠前后图形的变化，找出对应相等的量，运用勾股定理解答. 解析：由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2， 所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C. 总结升华：直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理. 【变式1】下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( ) (1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( ) A. B. C. D.5 答案：1. 考点：直角三角形三个内角之间关系. 解析:三角形中有一个角是90°，就是直角三角形.题中四个关系式都可以解得△ABC中∠C

=90°.故选D. 2. 考点：勾股定理和线段垂直平分线定理. 解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB 设BD为x，则CD=8-x ∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2 ∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE= 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5 在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE= 故选B. 考点六、线段垂直平分线和角平分线 1．线段垂直平分线： 经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的定理： (1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 2．角平分线的性质： (1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； (3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合. 考点7、规律方法指导 1．数形结合思想 本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等，都是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等.在几何学习中，应会利用几何图形解决实际问题. 2．分类讨论思想 在没给图形的前提下，画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类：三种情况，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 3. 化归与转化思想 在解决利用三角形的基础知识计算、证明问题时，通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段，

归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，已知与未知之间的转化；数与形的转化；一般与特殊的转化. 4．注意观察、分析、总结 应将三角形的判定及性质作为重点，对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养，淡化纯粹的几何证明. 学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中的分析，综合，转化等数学思想. 同步练习 （本节课的相关练习和拔高练习） 中考题萃 1．（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点， 如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ） 、是两格 A．6 B．7 C．8 D．9 2．(沈阳市)(3分)若等腰三角形中有一个角等于 A. B. C.或 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) 或 D.3.(太原市)(3分)在中，D，E分别是边AB，AC的中点，已知BC=10，则DE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.(太原市)(3分)如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是( ) A.15 B.16 C.8 D.7 5.(湛江市)(3分)已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶

嵌而 成的四边形的周长是( ) A. B. C. D. 6.(成都市)(3分)如图,在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF， 不能添加的一组条件是( ) A.∠B=∠E，BC=EF B.BC=EF，AC=DF C.∠A=∠D，∠B=∠E D.∠A=∠D，BC=EF 7.(湖南省邵阳市)(3分)如图，点 推出是上任意一点， ，还应补充一个条件，才能 的是( ) .从下列条件中补充一个条件，不一定能推出 A. B. C. D. 8.(广东省)(4分)已知等边三角形ABC的边长为 ，则ΔABC的周长是_______. 9.（2010江苏无锡）如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠

BCE=____°. 10. （2010湖南郴州）如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形， 则_____________度． 的根，则三角形的周长是_____. 11. （2010贵州毕节）三角形的每条边的长都是方程12．(江苏省宿迁市)(4分)等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为______. 13．(江苏徐州巿)(3分)边长为a的正三角形的面积等于______. 14．(沈阳市)(3分)已知 度数为__________. 15．(海南省)(3分)已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_________. 16．(湖北省黄冈市)(3分)如图，一条直线上，连接，则和都是边长为2的等边三角形，点在同中，，，的平分线交于点，则的 的长为_________. 17．(湖南省邵阳市)(3分)如图，已知中，， 平分,点为的中点, 请你写出一个正确的结论：__________. 18．(佳木斯市)(3分)如图，__________，使(只添 ，请你添加一个条件：

一个即可). 19. （2010四川凉山）已知三角形两边长是方程 值范围是________。 的两个跟,则三角形的第三边的取 20．(山东省日照市)(4分)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论： ① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°. 恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上). 21．(新疆)(8分)如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B. 求证：AB=AC+CD. 22．(新疆乌鲁木齐市)(7分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式： ①，②，③，④. 是等腰三角形.请你试着完成王老师 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出提出的要求，并说明理由.(写出一种即可) 已知： 求证：是等腰三角形.

证明： 23．(陕西省)(6分)已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B.求证：△ABC≌△CDE 24．(上海市)(12分，每小题满分各6分) 如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点. (1)求证：EF=AB； (2)过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE. 25．(湖南省湘西自治州)(本题6分) 已知：如图，在□ABCD中，BE=DF.

求证：△≌△. 26. （2010四川内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由. 答案与解析

1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8. 9.50° 10.270 11.6或10或12 12.17 13. 14.120° 15.答案不唯一(如：∠B=∠B1，∠C=∠C1，AC=A1C1) 16. 17.答案不唯一.例如： 18. 19. 21.证明：∵∠1=∠B ∴∠AED=2∠B，DE=BE ∴∠C=∠AED 在△ACD和△AED中 20.①②③⑤ 或或或 ∴△ACD≌△AED ∴AC=AE，CD=DE，∴CD=BE. ∴AB=AE+EB=AC+CD. 22.已知：①③(或①④，或②③，或②④) 证明：在和中， ，

，即是等腰三角形 23.证明：∵AC∥DE， ∴∠ACD=∠D，∠BCA=∠E 又∵∠ACD=∠B， ∴∠B=∠D 又∵AC=CE， ∴△ABC≌△CDE 24.证明：(1) 连结BE， ∵DB=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD.(2分) ∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF= (2) 在△中，，和△中，，∴； . 在△，∠AEB=∠AEG=90°， ∴△ABE≌△AGE； 由(1)得，EF=AF，∴∠AEF=∠FAE. ∵EF//AG，∴∠AEF=∠EAG.∴∠EAF=∠EAG. ∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE. 25.∵四边形 ∴ ∴ ∴在△和△∥ 中 是平行四边形

∴△ ≌△(SAS). 26. 解：猜测 AE＝BD，AE⊥BD. 理由如下： ∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB. ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∴AC＝CD，CE＝CB. ∴△ACE≌△DCB（S.A.S.） ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB. ∵∠AFC＝∠DFH， ∴∠DHF＝∠ACD＝90°， ∴AE⊥BD.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x473.html