求行列式的方法

浅谈求行列式的方法

【摘要】

行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文归纳行列式的各种计算方法，通过这一方法可以提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 【关键词】

行列式，范德蒙行列式，数学归纳法，递推法。 引言

行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。本文主要探讨行列式的计算方法以及它的简单应用。而行列式的计算方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行列式的常用方法。

1．定义法：

根据行列式的定义，直接求其值。

a000cd 例： 计算D=

0efg00b0 0h分析：根据定义，D是一个4！=24项的代数和，而每一项是取自不同的行不同的列。因而，在这个行列式里，除了acfh，adeh，bdeg，bcfg，与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg。 注意：在应用定义法求非零元素的乘积项时，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。

2．性质法：

12 例：已知1998，2196，2394，1800均能被18整除，证明：四阶行列式D=

21913899908640能被18整除。

分析：根据行列式的性质（行列式的某行（列）的倍数相应的加到另一行（列），行列式不

12变，因此，D可变形为

21913899901998121962 即：D=18239421800191389990111122 其中（根据一个行列133100式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 因而，D能被18整除。 3．三角化法：

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角行列式。这是计算行列式的基本方法之一。

31 例： 求D=

111311113111的值。 13131112001131102011，再根据行列式的1310，显然，D=48。 02分析：通过观察，每行所含元素相同，可以根据行列式的性质——行列式的某行（列）相应

66的倍数加到另一行（列），行列式不变。也就是说，D变为

6611则，D=6

11131111311110，然后把它化成上三角形行列式，D=61030性质（一个行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

注意：原则上，每个行列式都可以利用行列式的性质为上（下）三角形行列式，在一般情况

下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

4．按行（列）展开法（降阶法）

降阶法是根据行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和。

x0例： 计算D=

0yx 则：D=x0yx000yx0y00 yx0yx00=x4－y4 y分析：由于每行所含的零元素比较多，我们可以通过降阶来减化计算。（按第列展开）

yx000y－yxx0注意：一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较

多的零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，在按该行（列）展去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 5．递推法：

应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示具有相同的较低阶行列式（比如，n－1阶与n－2阶等）的线性关系，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式）的值，变可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

21 例：n阶行列式为

1210001200```0```0```0```2```100012

000``````````````````分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零。这种行列式称为“三对角”行列式。从行列式的左下方

21```0010```0012```0012```00 则：根据降阶法，可知 Dn=2```````````````－```````````````=2Dn?1－

0000```2```1120000````2```112Dn?2，从 Dn－Dn?1=Dn?1－Dn?2=Dn?2－Dn?3=?=D2—D1=1，也就是Dn=n+1。

注意：递推法的实质是降阶。这是由Dn?1和Dn?2表示Dn的递推关系式。虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同结构，然后得到一个递推关系式，但我们不要盲目乱代，一

定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行是话，就要适当地换递推关系式。

6．范德蒙行列式

1x1x12 形如D=

```x1n?2x1n?11x22x2```n?2x2n?1x21x32x3```n?2x3n?1x3```11xn2xn= （xi?xj）```1??i?j?nn?2xnn?1xn```xn?12``xn?1``````n?2```xn?1n?1```xn?1分析：此行列式的特点是第一行的元素均为1，其余各行对应元素的幂底数相同，从第二行

起幂指数依次是1，2，3，?，n-1

11112598例： D=

425816481257295147．数学归纳法：

一般是利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。

???1例： 证明Dn??????1?000?000?1000?

0?00????????00????????????2??2分析：利用数学归纳法可知：当n=1时，D1?????，结论成立。假设当n=k

???时

。

结

论

成

立

。

则

当

n=k+1

时

。

DK?1?（???）DK???DK?1?k?1??k?1?k??k?k?1??k?1 ???????—????—???????即：结论成立。

充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。还有乘积法、对称法、辅助法定义法、拉普拉斯展开法等，行列式的计算方法之间不是相互独立，而是相互联系的，，一个行列式可能有几种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好。行列式也有一些简单的应用，例如：应用行列式解线性方程组，非奇异矩阵的判别等。 参考文献：

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