(新课标Ⅱ第四辑)高三数学上学期第四次月考试题 理

1 第四次月考数学理试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题60分）

注意事项：

1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。在试题卷上作答无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、设集合{}sin ,A y y x x R ==∈，集合{}lg B x y x ==，则()R C A B =（ ）

(1,)A +∞、 [)1,B +∞、 []1,1C -、

(,1)(1,)D -∞-+∞、

2、已知i 为虚数单位，复数122i z i -=

-，则复数z 的虚部是（ ） A 、35i - B 、35- C 、45

i D 、45

由资料可知y 和x 呈线性相关关系,由表中数据算出线性回归方程???y bx a =+中的?123,b =. 据此估

计,使用年限为10年时的维修费用是（ ）万元.

A 、12.18

B 、12.28

C 、12.38 D

4、若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，

则该棱锥的体积等于（ ）

A 、10 cm 3

B 、20 cm 3

C 、30 cm 3

D 、40 cm 3

5、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β,直线l 满足,,,l

m l n l l αβ⊥⊥??，则以下命题正确的个数是（ ）

俯视图

2 （1）α∥β且l ∥α （2）αβ⊥且l β⊥

（3）α与β相交，且交线垂直于l （4）α与β相交，且交线平行于l

A 、0个

B 、1 个

C 、2个

D 、3个

6、若11

1a b <<，则下列结论中不正确的是( )

log log a b A b a >、 log log 2a b B b a +>、

2(log )1b C a <、 log log log log a b a b D b a b a +>+、

7、已知y x ,满足?????≤+≥≥511

y x y x 时，)0(>≥+=b a b y a x z 的最大值为1，则b a +的最小值为

（

） A 、7 B 、8 C 、9 D 、10

8、如图所示，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，

P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）

A 、1000N

P = B 、41000N

P =

C 、1000M P =

D 、41000M

P =

9、在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，

3 若2222014a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )

A B C A B ?+的值为( ) A 、0 B 、1 C 、2013 D 、2014

10、平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 折成直二面角A BD C --，且

22421AB BD +=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）

A 、

2π B 、4π C 、48π D

11、已知椭圆: 22

221(,0)x y a b a b

+=>和圆O :222b y x =+,过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线,切点分别为B A ,. 若椭圆上存在点P ,使得0PA PB ?=,则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）

A 、)1,21[

B 、]22,0(

C 、]22,21[

D 、)1,2

2[ 12、已知R 上的函数()y f x =，其周期为2，且(]1,1x ∈-时2()1f x x =+， 函数1sin (0)()11(0)x x g x x x

π+>??=?-

A 、11

B 、10

C 、9

D 、8

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

注意事项：

本卷包括必考题和选考题两部分。第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22—24题为选考题，考生根据要求作答。把答案填写在答题卡上相应位置，在试题卷上作答无效。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、若n x

x )3(-

展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为______． 14、设0a >

，若曲线y =x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ， 则a ＝________.

15、从6人中选4人分别到A B C D 、、、四个教室打扫卫生，要求每个教室只有一人打扫，每人只打扫一个教室，且这6人中甲、乙两人不去D 教室打扫，则不同的选择方案共有

16、已知数列{}(1,2,3,...,2014)n a n =,圆22

1:440C x y x y +--=， 圆2222015:220n n C x y a x a y -+--=，若圆2C 平分圆1C 的周长，则{}n a 的

所有项的和为

4 O A

D P B C M 三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和21()2n S n kn k N *=-

+∈,且n S 的最大值为8． （Ⅰ）确定常数k ,求n a ；

（Ⅱ）求数列

92{}2n n

a -的前n 项和n T 18、（本小题12分）

某校社会实践活动中，学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

19、（本题满分12分）

如图，平面四边形ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB 为球O 的

直

径，P 为球面上一点，且PO ⊥平面ABCD ，2BC CD DA ===，点

M 为PA 的中点。

（1） 证明：平面//PBC 平面ODM ；

（2） 求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值.

20、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为1F 和2F ,由4个点(,)M a b -、(,)N a b 、2F

5 和1F

组成了一个高为3,面积为33的等腰梯形.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点1F 的直线和椭圆交于两点,A B ,求2F AB ?面积的最大值.

21、已知函数()ln ,f x x x a x a R =--∈. (Ⅰ)若2a =,求函数()f x 在区间[]1,e 上的最值;

(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时

用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22、（本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，AB 是O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线与点F 。 求证：（1）DEA DFA ∠=∠

（2）2AB BE BD AE AC =?-?

23、（本小题满分10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】

在直角坐标系xoy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ

=+??=?（θ为参数），若以直角坐标系的原

点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线N 的极坐标方程为2sin()42

π

ρθ+=（其中t 为常数）.

（1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围；

（2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离

24、（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】

6 设关于x 的不等式2log (|||4|)x x a +->

(1)当3a =时,解这个不等式;

(2)若不等式解集为R ,求a 的取值范围;

参考答案

3、由题意知4,5x y ==，即回归直线过点(4,5),代入回归直线得0.08a =,即回归直线方程为

? 1.230.08y

x =+,所以当10x =时,? 1.23100.0812.38y =?+=(万元)，选C

7 4、该棱锥为四棱锥，底面是边长为5的正方形，高为125

，所以体积为20，选B 。 5、由于,m n 为异面直线，m ⊥平面α,n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线,m n ，又直线l 满足,l m l n ⊥⊥，则交线平行于l ，所以选B

6、由111a b

<<，得01b a <<<，log log 1log log log 10a a b b b b a b a >==>>=， 因此A 正确，所以log log log log ,a b a b b a b a +=+即D 不正确，选D

7、由限制条件可知，当1,4x y ==时，z 取到最大值，即14=1z a b

=+最大值， 144+b=(a+b)(+)=5+...(1)b a a a b a b +，令(](0,1)b t t a

=∈，则(1)10≥，选D 8、由已知可得，在[]0,1之间，221i i x y +≤的概率为4π，则10004

M π=，即选D 9、22sin sin 2tan tan 2sin sin cos 2cos cos cos 2sin sin sin tan (tan tan )sin ()cos cos cos A B A B A B C ab C A B C A B C A B C c C A B

??===+?+ 由题可知，22cos 2013ab C c =，所以，原式2013=，选C

10、将三棱锥A BCD -

放在长方体中，体对角线就是三棱锥的外接球的直径，即2R =

， 所以242S R ππ==表，即选A

11、0PA PB ?=，PA PB ⊥，又,PA PB 为圆O 的切线，所以,OA PA OB PB ⊥⊥， 所以，四边形OAPB

为正方形，即OP a =≤，即222222()a b a c ≥=-

所以，2e ?∈????

，选D

15、分三

类：（1）甲乙都不参加，则4424A = （2）甲、乙有一个参加，则113234144C A A = （3）甲乙都参

8 加，则223472A A =，所以共有2414472240++=种。

16、圆1C 与圆2C 的公共弦为2015(2)(2)0n n a x a y --+-=，由圆2C 平分圆1C 的周长可知，其公共弦过圆1C 的圆心，则20154n n a a -+=，{}n a 的所有项的和为

1220144028a a a +++=

三、解答题：

17（Ⅰ）2

2211()222

n k S n kn n k =-+=--+且k N *∈， ∴当n k =时 2max

()842n k S k ==?=。3分

2142n S n n ∴=-+ ①当1n =时，1172a S ==；4分

②当2n =时，221(1)944(1)222

n n n n n a S S n n n --=-=-++--=-+；对1n =时也成立。 9

2n a n ∴=-+6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）192929222n n n n a n n --+-?==7分

0121121111112322221111112(1)22222n n n n n T n T n n --∴=?

+?+?++??=?+?++-?

+?9分 两式相减211111*********(1)1222

222222n n n n n n n T n n n --?=++++-?=-?=--?11分 211

422n n n n T --?=-

-12分

18、解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………………………2分

（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则

140121)()()(316

2121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………………6分

9

另解：ξ

的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4

B ξ，3313()()()

4

4

k

k

k

P k C ξ-==.

所以ξE =75.04

1

3=?

． 19、(1) 证明：连接,,OC OD

AB 为圆O 直径，且BC CD DA ==，

所以2OC OB OA OD ====，,AB CD OD BC ………2分

在ABP ?中，,O M 分别是,AB PA 的中点，所以OM PB

…………3分

OD OM O =，…………4分

,OD OM ?平面ODM ，,PC PB ?平面PBC …………5分

所以，平面ODM 平面PBC …………6分 另解：向量法等其余解法，酌情给分。

(2) 以O 为原点，BA 方向为x 轴，以平面ABCD 内过O 点且垂直于AB 方向为y 轴 以OP

方向为z 轴，建立如图所示坐标系. 则(0,0,2)P ，(2,0,0)B -，(2,0,0)A ，

(1,C -

，(1,D ，…………8分

由(2,0,2)PB =--

，(1,BC =，

可求得平面PBC

的法向量为1(3,1,n =

10

由(2,0,2)PA =-

，(1,AD =-， 可求得平面PAD

的法向量为2(3,n =-

则1cos 7θ==， 因此平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为

17. …………12分 20、解:(1)

由条件,得b = (1)

分

=所以3a c +=…………2分 又223a c -=,解得2,1a c ==. …………4分

所以椭圆的方程22

143

x y += …………5分 （2）显然,直线的斜率不能为0,

设直线方程为1x my =-,直线与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y .

联立方程 22

1431x y x my ?+=???=-?

,消去x 得, 096)43(22=--+my y m , 因为直线过椭圆内的点,无论m 为何值,直线和椭圆总相交.

.439,436221221+-=+=

+∴m y y m m y y AB F S 2?=2121212

1y y y y F F -=- 22222221221)311(14)43(1124)(+++=++=-+=m m m m y y y y ,)

1(913211422++++=m m 令112≥+=m t ,设t t y 91+

=,易知)31,0(∈t 时,函数单调递减, ),3

1(+∞∈t 函数单调递增 ，所以 当t=12+m =1即m=0时,910min =y AB F S 2?取最大值3 …………12分

21、解:(Ⅰ) 若2a =,则()2ln f x x x x =--.

当[2]x e ∈，时,()22ln f x x x x =--, ()22211220x x f x x x x

--'=--=>,

11 所以函数()f x 在[]2e ，上单调递增;

当[]12x ∈，时,()22ln f x x x x =-+-,

()22211220x x f x x x x

-+-'=-+-=<. 所以函数()f x 在区间[]12，上单调递减, 所以()f x 在区间[]12，上有最小值()2ln 2f =-,又因为()11f =, ()()21f e e e =--,而()211e e --<, 所以()f x 在区间[]1e ，上有最大值()11f = …（6分）

(Ⅱ) 函数()f x 的定义域为()0+∞，. 由()0f x ≥,得ln x x a x -≥. (*) (ⅰ)当()01x ∈，时,0x a -≥,ln 0x x <, 不等式(*)恒成立,所以a ∈R ;

(ⅱ)当1x ≥时, ①当1a ≤时,由ln x x a x -≥得ln x x a x -≥,即ln x a x x ≤-,

现令()ln x h x x x =-, 则2

21ln ()x x

h x x -+'=

,

22、证明：（1）连接AD

因为AB 为圆的直径，所以090ADB ∠=，

又EF AB ⊥，090EFA ∠=

则A B C D 、、、四点共圆，

所以，DEA DFA ∠=∠ -------------5分

（2）由（1）知, BD BE BA BF ?=?

又ABC AEF ??，所以，AB

AC

AE AF =

即：AB AF AE AC ?=?

所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ?-?=?-?=?-= -------------10分

23、（1）曲线M

可化为21,y x x ?=-∈?

曲线N 可化为x y t +=

若曲线M ，N 只有一个公共点，则当直线N

过

时，满足要求，此时1t

12

并且向左下方平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，

当直线N

过点(

时，此时1t =

所以11t <≤满足要求；

再接着从过点(开始向左下方平行运动直线相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立21x y t y x +=??=-?，得210x x t +

--=

14(1)0t ?=++=，解得5

4t =-

综上可得t

的取值范围是11t <≤或5

4t =- （5分）

（2）当2t =-时，直线:2N x y +=-

设M 上的点为2

00(,1)x x -

，0x ≤则曲线M 上的点到直线N

的距离为2013

()x d ++==≥ 当01

2x =-

时取等号，满足0x ≤

8 （10分）

24、（1）23,log (4)348a x x x x =+->?+->

当4,486x x x x ≥+->?>

当04,48x x x <<+->?不成立

当0,482x x x x ≤-+->?<- 所以，不等式的解集为{}26x x x <->或 （5分）

（2）44x x x x +-≥+-

即 22log (4)log 42x x +-≥=

所以，若原不等式解集为R ，则2a < （10分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x3oq.html