定义域、值域高考总复习

1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① f(x) ①f(x)

11

；② f(x) x 2；③ f(x) x 1 x 22 x4 x 1 ②f(x)

2

x2 3x 4

x 1 2

⑤y

③f(x)

11

11 1x

④f(x)

(x 1)0x x

x 2 3 1x 7

例3 若函数y

ax2 ax

1

的定义域是R，求实数a a

14

例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

2

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域。

例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

\例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1 x 1) ②f(x) 1 x 3）③ y x

例4 若函数y f(x)的定义域为[ 1，1]，求函数y f(x ) f(x )1

4

23x

1

（记住图像） x

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①y x2 4x 1； ②；y x2 4x 1,x [3,4] ③y x2 4x 1,x [0,1]； ④y x2 4x 1,x [0,5]； 练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

2、求函数y x 2x 5,x 0,5 的值域

2

例3 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

例4 求函数y x 2 x 的值域

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 例5 （选）求函数y

x 3 x 的值域

2

例6 （选不要求）求函数y x x的值域

例7 求y x 3 x 1 的值域

例8 求函数y 9 3 2(x 0,1 ) 的值域

x

x

例9求函数y 例10 求函数 y 2例11 求函数y

x

1 3

x2 2x

的值域

(x 0) 的值域

x 1

的值域 x 2

3x

例12 求函数y x 的值域

3 12x 1

练习：y=x；（y∈(-1，1)）

2 1x2 1

例13 函数y 2 的值域

x 1

5

的值域 2

2x 4x 31

例15 函数y x 1的值域

x

例14 求函数y

x2 2x 2

(x 1)的值域 例16 求函数y

x 1x2 2x 2

( 2 x 2)的值域 例17 求函数y

x 1

2 、y

5

2x2 4x 3

3 、求函数的值域

①y x 2 x； ②y 2 4x x 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 5、求函数y 2x 4 x的值域

2

x2 5x 6

6、求函数y 2的值域

x x 6

高一数学《函数的定义域值域》练习题

2

1 x1 x8．已知f() ,则f(x)的解析式可取为 21 x1 x

（ ）

A．

x

2

1 x

2

B．

2x

2

1 x

C．

2x

2

1 x

D．

x

2

1 x

9．函数f(x) a loga(x 1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ）

11 B． C．2 42

13

．函数y （ D ）

A．

D．4

A．[1, )

B．(3, ) C．[3,1] D．(3,1]

x2 bx c,x 0,x 0,

18．设函数f(x) 若f( 4) f(0),f( 2) 2,则关于x的方程f(x) x解的个数为

x 0. 2,

（ C ） A．1

B．2

C．3

D．4

20、（2004. 人教版理科）函数y

log1(x2 1)的定义域为（ ）

2

A、 2, 1 1,2 B、( 2, 1) (1,2) C、 2, 1 1,2 D、( 2, 1) (1,2)

2 (x 1),x 1

28、（2004. 人教版理科）设函数f(x) ，则使得f(x) 1的自变量x的取值范围为（ ）

4 x 1,x 1

A、 , 2 0,10 B、 , 2 0,1 C、 , 2 1,10 D、 2,0 1,10

9．（2006年陕西卷）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a 2b,2b c,2c 3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（C）

（A）7,6,1,4 （B）6,4,1,7 （C）4,6,1,7 （D）1,6,4,7 3．（2006年安徽卷）函数f x 对于任意实数x满足条件f x 2 解：由f x 2

1

5,则f f 5 __________。，若f 1

fx11

f(x)，所以f(5) f(1) 5，则得f x 4

fxfx 2f f 5 f( 5) f( 1)

11

f( 1 2)5

3x2 x

lg(3x 1)的定义域是

4．（2006年广东卷）函数f(x)

1133

1 x 01

x 1，故选B. 解：由

3 3x 1 0

17. （2006年湖北卷）设f x lg

A.( , ) B. ( ,1) C. ( ,) D. ( , )

11

3313

2 x x 2

，则f f 的定义域为 （B）

2 x 2 x

A. 4,0 0,4 B. 4, 1 1,4 C. 2, 1 1,2 D. 4, 2 2,4

x 2 2, 2 x 2

解：选B。由，解得x 4, 1 0得，f(x)的定义域为 2 x 2。故 1, 4。故

2 x 2 2 2.

x

x 2

f f 的定义域为 4, 1 1,4 。 2 x

ex,x 0.1

24．（2006年辽宁卷）设g(x) 则g(g()) __________

2 lnx,x 0.

1

ln111

【解析】g(g()) g(ln) e2 .

222

【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算. 28.( 2006

年湖南卷）函数y

( D )

A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞)

33．（2006年江苏卷）设a为实数，记函数f(x) a x2 x x的最大值为g(a)。 （Ⅰ）设t＝ x x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)

1

（Ⅲ）试求满足g(a) g()的所有实数a

a解：（I）∵t x x，

∴要使t有意义，必须1 x 0且1 x 0，即 1 x 1

∵t 2 2 x [2,4]，且t 0……① ∴t的取值范围是[2,2]。

2

2

1211

t 1，∴m(t) a(t2 1) t at2 t a，t [2,2]。 222

12

（II）由题意知g(a)即为函数m(t) at t a，t [2,2]的最大值，

2

112

∵直线t 是抛物线m(t) at t a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

a2

（1）当a 0时，函数y m(t)，t [2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，

1

由t 0知m(t)在t [2,2]上单调递增，故g(a) m(2) a 2；

a

（2）当a 0时，m(t) t，t [2,2]，有g(a)=2；

由①得： x

2

（3）当a 0时，，函数y m(t)，t [2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

21

(0,2]即a 时，g(a) m(2) 2，

2a

21111, ]时，g(a) m( ) a 若t (2,2]即a ( ， 22aa2a

11

若t (2, )即a ( ,0)时，g(a) m(2) a 2。

a2

1

a 2(a ) 2

121

综上所述，有g(a)= a ,( a )。

2a22

2 2(a ) 2

若t

13

时，g(a) a 2 2； 222112121

当 ， a 时， a [,)， (,1]，∴ a

22222a22a

112 2( a) ( ) 2，故当a 时，g(a) 2； g(a) a 2a2a2111

当a 0时， 0，由g(a) g()知：a 2 2，故a 1；

aaa111

当a 0时，a 1，故a 1或 1，从而有g(a) 2或g() 2，

aaa

21221

要使g(a) g()，必须有a ， ，即 2 a ，

2a22a

1

此时，g(a) 2 g()。

a

21

综上所述，满足g(a) g()的所有实数a为： 2 a 或a 1。

a2

（III）当a

点评：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题

的能力

(21) ( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. （Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式. 解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.

又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1. 若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.

（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0. 所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0. 在上式中令x= x0,有f(x0)-x0 + x0= x0,

又因为f(x0)- x0，所以x0- x0=0，故x0=0或x0=1.

若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即 f(x)= x2 –x.

但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.

若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（x R）.

(07高考)

1、（全国1文理8）设a 1，函数f(x) logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

A

B．2 C

． D．4

解．设a 1，函数f(x) logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a,logaa 1，它们的差为

22

1

，则a 2

1

，∴ 2

loga2

1

，a 4，选D。 2

为

16、(安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式(A)y

3

|x 1| 2

(0≤x≤2)

33

|x 1| 223

(C) y |x 1| (0≤x≤2)

2

(B) y

(D) y 1 |x 1| (0≤x≤2)

(0≤x≤2)

解析：图中的图象所表示的函数当0≤x≤1时，它的解析式为y 析式为y

3x3

，当1<x≤2时，解析式为y x 3，∴解22

33

|x 1|(0≤x≤2)，选B。 22

2 xx≥1， ∞ ， 31、（浙江理10）设f(x) g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是 0，

x 1， x则g(x)的值域是（ ）

1 1，∞ A． ∞， ∞ C． 0，

【答案】：C

1 0， ∞ B． ∞， ∞ D． 1，

∞ ，则 可取( , 1] 0，∞ .又g(x)是二次函数， 【分析】：要f( )的值域是 0， .结合选项只能选C. 定义域连续，故g(x)不可能同时取( , 1]和 0，∞

39、（陕西文2）函数f(x) lg x2的定义域为

（A）［0，1］

（C）［-1，1］ 解析：由1-x2>0得-1<x<1，选B 29、（江西文3）函数f(x) lgＡ．(1，4) 解析：

Ｂ．[1，4)

（B）（-1，1） （D）（-∞，-1）∪（1，+∞）

1 x

的定义域为（ ） x 4

Ｃ．( ，1) (4， )

Ｄ．( ，1] (4， )

1 x

0 (1 x)(x 4) 0, 1 x 4.选A. x 4

3、（北京文14）已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

则f[g(1)]的值为

；当g[f(x)] 2时，x

．

解析：f[g(1)]=f(3) 1；当g[f(x)] 2时，f(x) 2，x 1． 4、（北京理14）已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

则f[g(1)]的值为

；满足f[g(x)] g[f(x)]的x的值是

．

解析：f[g(1)]=f(3) 1；

当x=1时，f[g(1)] 1,g

[f(1)] g(1) 3，不满足条件， 当x=2时，f[g(2)] f(2) 3,g[f(2)] g(3) 1，满足条件， 当x=3时，f[g(3)] f(1) 1,g[f(3)] g(1) 3，不满足条件， ∴ 只有x=2时，符合条件。 6、（上海理1）函数f x

lg 4 x x 3

的定义域为_____

【答案】 xx 4且x 3

【解析】

4 x 0

xx 4且x 3

x 3 0

x2

17、(浙江文11)函数y 2 x R 的值域是______________．

x 1

【答案】： 0,1

【分析】：注意到x 0，故可以先解出x，再利用函数的有界性求出函数值域。

2

2

x2yy2由y 2，得x ，∴ 0，解之得0 y 1；

x 11 y1 y

20、（重庆文16）函数f(x) 【答案】：1 2

x 2或x 0 x 2x 0

x 4或x 0. 【分析】： 2

x 4或x 1 x 5x 4 0

又x [4, )时,f(x)单调递增, f(x) f(4) 1 而x ( ,0]时,f(x)单调递减, f(x) f(0) 0 4 4; 故最小值为1

（08高考）

1.（全国一1

）函数y A．x|x≥0

C ）

B．x|x≥1 D．x|0≤x≤1

C．x|x≥1 0

12.（四川卷11）设定义在R上的函数f x 满足f x f x 2 13，若f 1 2，则f 99 ( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）

132 （Ｄ） 213

20.（江西卷3）若函数y f(x)的值域是[,3]，则函数F(x) f(x)

121

的值域是B f(x)

1051010] C．[,] D．[3,] 3233

123.（湖北卷4

）函数f(x) 的定义域为D

x

A．[,3] B．[2,

A. ( , 4] [2, ) B. ( 4,0) (0.1) C. [-4,0) (0,1] D. [ 4,0) (0,1)

28.（陕西卷11）定义在R上的函数f(x)满足f(x y) f(x) f(y) 2xy（x，y R），f)1(2 ，则f( 3)等于（ C ）

A．2 B．3

12

C．6 D．9

29.（重庆卷4)已知函数

M,最小值为m,则

m

的值为C M

(A)

1 4

(B)

1 2

8.（安徽卷13）

函数f(x)

2的定义域为 ．[3, )

12.（湖南卷14

）已知函数f(x)

(a 1). a 1

3

（1）若a＞0,则f(x)的定义域是 ; ,

a

(2) 若f(x)在区间 0,1 上是减函数，则实数a的取值范围是 . ,0 1,3

10.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=

log2(1 x),x 0

，则f（2009）的值为( )

f(x 1) f(x 2),x 0

A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f( 1) log22 1,f(0) 0,f(1) f(0) f( 1) 1,

f(2) f(1) f(0) 1,f(3) f(2) f(1) 1 ( 1) 0,

f(4) f(3) f(2) 0 ( 1) 1,f(5) f(4) f(3) 1,f(6) f(5) f(4) 0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 答案:C.

【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 12. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= A.-1 B. -2 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f( 1) log25,f(0) log24 2,f(1) f(0) f( 1) 2 log25,

x 0 log2(4 x),

，则f（3）的值为( )

f(x 1) f(x 2),x 0

f(2) f(1) f(0) log25,f(3) f(2) f(1) log25 (2 log25) 2,故选B.

答案:B.

【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.

22.（2009

江西卷文）函数y 的定义域为

x

A．[ 4,1] B．[ 4,0) C．(0,1] D．[ 4,0) (0,1]

答案：D

x 0

【解析】由 2得 4 x 0或0 x 1,故选D.

x 3x 4 0

26.（2009

江西卷理）函数y

的定义域为

A．( 4, 1) B．( 4,1) C．( 1,1) D．( 1,1] 答案：C

x 1 0 x 1

1 x 1.故选C 【解析】由 2

x 3x 4 0 4 x 1

34.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

5

xf(x 1) (1 x)f(x)，则f()的值是

215

A. 0 B. C. 1 D.

22

【答案】A

【解析】若x≠0，则有f(x 1)

1 x1

f(x)，取x ，则有：

2x

1

11f( 1) f( 1) f(1)（∵f(x)是偶函数，则f( 1) f(1) ） f() f( 1)

12222222 2

1

由此得f() 0

2

311 1

53f(3) 5f(3) 5f(1 1) 5[]f(1) 5f(1) 0 于是，f() f( 1)

32223232312222

1

61.（2009福建卷文）

下列函数中，与函数y

有相同定义域的是 A .f(x) lnx B.f(x) 解析 解析

由y

1x C. f(x) |x| D.f(x) e x

1

可得定义域是x 0.f(x) lnx的定义域x 0；f(x) 的定义域是x≠0；f(x) |x|的定

xx

义域是x R;f(x) e定义域是x R。故选A.

3x,x 1,

5.（2009北京文）已知函数f(x) 若f(x) 2，则x .

x,x 1,

【答案】log32

【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

x 1 x 1

x log32， 由 x无解，故应填log32.

x 2 x 23 2

1

,x 0 1 x

6.（2009北京理）若函数f(x) 则不等式|f(x)| 的解集为____________.

3 (1)x,x 0

3

【答案】 3,1

【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

x 01

（1）由|f(x)| 11 3 x 0.

3

x3

x 0 x 01 xx

（2）由|f(x)| 1 1 1 1 0 x 1.

3 33 3 3

∴不等式|f(x)|

1

的解集为 x| 3 x 1 ，∴应填 3,1 . 3

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