第十章 曲线曲面积分（习题及解答）

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第十章 曲线曲面积分

§10．1对弧长的曲线积分

一、选择题

1. 设曲线弧段?AB为，则曲线积分有关系( ).

(A)???ABf(x,y)ds????f(x,y)ds； (B)??f(x,y)d?sBAAB??BAf(x,y)d s ；

s(C)??f(x,y)d?AB???BAf(x,y)?ds； 0

(D)?ABf(x,y)ds??BAf(?x,?y)ds． 答(B).

t22. 设有物质曲线C:x?t,y?的质量M?( ).

(A)(C)2,z?t33(0?t?1),其线密度为??2y,它

??1010t1?t?tdt; (B)?t024121?t?tdt;

24241?t?tdt; (D)24?10t1?t?tdt. 答(A).

3.设OM是从O(0,0)到M(1,1)的直线段,则与曲线积分I?不相等的积分是( ).

(A)(C)101?OMex?y22ds??e2x2dx; (B)?e01r02y2dy;

20edr; (D)?er2dr 答(D).

L4 .设L是从A(0,0)到B(4,3)的直线段,则曲线积分?(x?y)ds?( ).

(A)(C)??3??x?x?dx; (B)?04??4???3?y?y?dy; ?0?4?39?3?y?y?1+dy; (D)?016?4?33?9?x?x?1+dx. 答(D). ?04?16?45. 设L为抛物线y?x2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分

?Lyds?( ).

(A)(C)??10101?4xdx; (B)x1?4xdx; (D)22??1010y1?ydy;

y1?1ydy. 答(C).

6. 设L是从A(1,0)到B(?1,2)的直线段,则曲线积分?(x?y)ds?( ).

L(A)2; (B)2; (C)?2; (D)22. 答(D).

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二、填空题

1. 设L是圆周x2?y2?1,则I1?.

??L3xds与I2???Lxds的大小关系是

5答:I1?I2.

2. 设L是连接A(1,0)与B(0,1)两点的直线段, 则?(x?y)ds?L.

答：2.

3. 设L:x?acost,y?asint(0?t?2?),则答：2?a2a?1.

4. 设L:x?acost,y?asint(0?t?2?),则答：0.

5. 设L是圆周x2?y2?1,则I??L(x?y)ds?22n.

?L(x?y)ds?22.

??Lxds?2.

答：?.

6. 设?:x?etcost,y?etsint,z?et,上相应于t从0变到2的这段弧,则曲线

22积分?(x?y)ds?L.

答:

32(1?e).

?27. 设L为曲线y2?4x上从点A(0,0)到点B(1,2)的弧段, 则?y1?xds?L.

答：3. 三、解答题

1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)

??Lxds其中为由直线y?x与抛物线y?x2所围区域的整个边界.

(55?62?1).

x?y22答： (2)

112??Leds其中L为圆周x?y?a，直线y?x及x轴在第一象限内

222所围成的扇形的整个边界.

答： ea?2???a4???2.

??(3)

??xyzds，其中?为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点(0,0,0)、

2(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).

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答：9. (4)

?Lyds其中L为摆线一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?).

42?. 532答： 32a3?(5)

?x?a(cost?tsint)22(x?y)ds其中为曲线L??L?y?a(sint?tcost)(0?t?2?).

答： 2?2a3(1?2?2).

§10．2对坐标的曲线积分

一、选择题

1. 设AB为由A(0,?)到B(?,0)的直线段,则?sinydx?sinxdy?( ).

AB(A)2; (B)?1; (C)0; (D)1. 答(C).

2. 设C表示椭圆

xa22?yb22?1,其方向为逆时针,则?(x?y)dx? ( ).

C22(A)?ab; (B)0; (C)a?b; (D)1. 答(B).

3. 设C为由A(1,1)到B(2,3)的直线段,则

?C(x?3y)dx?(y?2x)dy?( ).

(A)(C)?21[(x?2x)?(2x?3x)]dx； (B)2?2121[(x?2x?1)?(2x?1?3x)]dx

?1[(7x?3)?2(5x?1)]dx; (D)cost,y??[(7x?3)?(5x?1)]dx. 答(C).

(0?t?4. 设曲线C的方程为x?sint?2),

22则?xydy?yxdx?( )

C??(A)?20[costsint?sintcost)]dt； (B)??20(cost?sint)dt

1?2022(C)?20costsintdt2sint???20sintcostdt2cost; (D)?2dt.答(D).

5. 设f(u)连续可导,L为以原点为心的单位圆,则必有( ).

(A)??Lf(x?y)(xdx?ydy)?0；(B)22??Lf(x?y)(xdy?ydx)?0

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(C)??Lf(x?y)(dx?ydy)?0; (D)22??Lf(x?y)(xdx?dy)?0.答(A).

226. 设C是从O(0,0沿)折线y?1?x?1到A(2,0)到的折线段,则

?Cxdy?ydx?( )

(A)0; (B)?1; (C)?2; (D)2. 答(C). 二、填空题

1. L为xoy平面内直线x?a上的一段,则?P(x,y)dx?L.

答：0.

222. 设L为y?x2上从O(0,0)到A(2,4)的一段弧,则?(x?y)dx?L.

答：?5615.

.

223. 设L为y?x2上从O(0,0)到A(2,4)的一段弧,则?(x?y)dy?L答：?403.

24x?x上从原点到A(2,2)的一段弧,则?xydy?

L4．L为圆弧y?答：

43.

.

5．设L为圆周(x?a)2?y2?a2(a?0)及x轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则?xydy?

L.

答：??a2L3.

6．设??(x?2y)dx?(2x?3y)dy??9,其中L为xoy平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L所围成的平面区域D的面积等于

答：

32.

.

三、解答题

1．计算?(x?y)dx?(y?x)dy,其中L为:

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(1) 抛物线y?x2上从(1,1)到(4,2)的一段弧;

(2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;

(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线x?2t2?t?1,y?t2?1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：(1)343;(2)11;(3)14;(4)323.

2．计算?ydx?xdy其中L为圆周x?Rcost,y?Rsint上对应t从0到

L一段弧.

答：0.

3．计算??(x?y)dx?(x?y)dyL?2的

x?y22,其中L为圆周x2?y2?a2(方向按逆时针).

答：?2?.

4．计算?xdx?ydy?(x?y?1)dz其中?为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直

?线段.

答：13.

225. 计算?(x?2xy)dx?(y?2xy)dy,其中L是y?x2上从点(?1,1)到点

L(1,1)的一段弧.

答：?1415.

§10．3 格林公式

一、选择题

22?xydx?xydy用格1. 设C是圆周x2?y2?R2,方向为逆时针方向,则??C林公式计算可化为( ).

(A)(C)?2?0d??R0rdr； (B)R3??2?02?0d??rdr;

0R2?2?0d??0?4rsin?cos?dr; (D)3d??R0Rrdr. 答(A).

22. 设L是圆周x2?y2?a2,方向为负向,

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