概率统计强化班期末复习指南

概率论与数理统计期末复习指南

第一章 随机事件与概率

一、内容提要

1.事件的关系与运算 （1）A包含B:A?B;

（2）A、B至少发生一个:A?B或A?B（称为事件的和） 推广:A1,?An至少发生一个:A1?A2???An; （3）A、B同时发生:A?B或AB（称为事件的积） 推广:A1,?An同时发生:A1?A2???An;

（4）A发生,B不发生:A?B或 A?B或AB（称为事件的差） （5）A不发生:A（称为A的逆事件或对立事件）; （6）A 、B互不相容（或互斥）:AB??. 2.一些重要概率公式 （1）P(A)?1?P(A);

（2）加法公式:P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB);

推广:P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(ABC); （3）减法公式:P(A?B)?P(A)?P(AB);

（4）条件概率:P(BA)?P(AB)（表示A发生的条件下,B发生的概率）; P(A)（5）乘法公式:P(AB)?P(A)?P(BA);

（6）全概率公式:设A1,A2,?,An 是一互斥完备事件组,P(Ai)?0,i?1,2,?,n , B是任一事件,则有全概率公式． P(B)??P(AiP)B(A|i,该式称为)i?1n（7）贝叶斯公式:设A1,A2,?,An 是一互斥完备事件组,P(Ai)?0,i?1,2,?,n , B是任一事件,P(B)?0,则

P(Ai|B)?P(Ai)P(B|Ai)?P(A)P(B|A)jjj?1n,i?1,2,?,n.

3.事件的独立性

若A 、B相互独立,则P(AB)?P(A)?P(B).

推广:A1,A2,?,An相互独立,则P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An).

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4.二项概率公式

事件A在每次试验中发生的概率为p,0?p?1,不发生的概率为q?1?p,则在n重贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率为

kkn?kP,k?0,1,2,?,n． n(k)?Cnpq特别地,P(n重贝努里试验中事件A至少发生1次)?1?(1?p)n． 二、典型例题

【例1】 设A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件: (1)A发生,B与C不发生. ABC (2)A与B都发生,而C不发生. ABC (3)A,B,C中至少有一个发生. A?B?C (4)A,B,C都发生. ABC (5)A,B,C都不发生. ABC

(6)A,B,C中不多于一个发生. ABC?ABC?ABC?ABC 或AB?AC?BC (7)A,B,C中不多于两个发生. ABC或A?B?C

(8)A,B,C中至少有两个发生. ABC?ABC?ABC?ABC 或AB?AC?BC

【例2】 设A,B为随机事件,且P(A)?0.6,P(B?A)?0.2,当A与B相互独立时,求P(B),当A与B互斥时,求

P(B).

【解】A与B相互独立时,P(B)?0.5,当A与B互斥时,P(B)?0.2.

【例3】 设A,B为随机事件,P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(BA)?0.4,则求P(AB),P(AB),P(A?B). 【解】P(AB)?P(A)P(BA)?0.5?0.4?0.2;

P(AB)?P(B)?P(AB)?0.6?0.2?0.4;

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.6?0.4?0.7.

【例4】 某球员进行投篮训练,设各次投篮是否进篮筐相互独立,且各次进篮筐概率相同.已知该运动员3次投篮时至

少投中一次的概率为0.875,则其投篮命中率为多少?5次投篮至少投中2次的概率为多少?

3【解】设投篮命中率为p,则1?(1?p)?0.875,p?0.5,

5次投篮至少投中2次的概率为:

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00111?C5p(1?p)5?C5p(1?p)4?1?0.55?5?0.5?0.54?0.8125.

【例5】 设三个事件A,B,C相互独立,且ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?1, 2P(A?B?C)?9,则求P(A). 16【解】P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

?3P(A)?3P2(A)?0?P(A)?131,(舍去),所以P(A)?. 4449, 16【例6】 从有5件次品,95件正品的100件产品中不放回地抽取3件,求下列事件的概率:(1)三件中恰好有2件次品;(2)第三件才抽到次品.

【解】设Ai?{第i件抽到次品 A?{三件中恰好有2件次品}，}，i=1，2，3，B?{第三件才抽到次品},则

5?4?95CC2!(1)P(A)???0.005875. 3100?99?98C1003!25195(2)P(B)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)

?95945893????0.046021. 100999819404【例7】 两个盒子装有同型号的球,第一个盒子装有5个红球,4个白球;第二个盒子装有4个红球,5个白球.先从第一个盒子中任取两个球放入第二个盒子,然后再从第二个盒子中任取一球.求从第二个盒子中取到白球的概率. 【解】设

由全概率公式,得 Ai?{从第一个盒子中取到i个红球}，i?0,1,2; B?{从第二个盒子中取到白球}，P(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)

112C46C52517565553C47C5. ?2??2??2????????C911C911C911611911181199【例8】 将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误作B的概率为0.02,而B被误作A的概率为0.01.信息A与B传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息为A,问原发信息是A的概率是多少? 【解】A},A2?{原发信息是B}, 1?{原发信息是AB1?{收到的信息是A},B2?{收到的信息是B},则由题意

21P(A1)?,P(A2)?,

33P(B2A1)?0.02,P(B1A1)?0.98,

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P(B1A2)?0.01,P(B2A2)?0.99,

由贝叶斯公式可知,

2?0.98P(A1)?P(B1A1)P(A1B1)1963P(A1B1)????. 21P(B1)P(A1)?P(B1A1)?P(A2)?P(B1A2)?0.98??0.0119733【例9】 有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽是否发芽相互独立,求（1）这两颗花籽都能发芽

的概率.（2）至少有一颗能发芽的概率.（3）恰好有一颗能发芽的概率. 【解】用A,B分别表示2颗花籽能发芽,其中P(A)?0.8,P(B)=0.9, (1)P(AB)?P(A)?P(B)?0.72,

(2)P(A?B)?1?P(AB)?1?0.2?0.1?0.98, (3)P(AB)?P(AB)?0.8?0.1?0.2?0.9?0.26. 【例10】

设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件,且P(Ak)?pk(1?k?n),求下列事件的概率:(1)n个事件全

不发生; (2)n个事件中至少有一个发生; (3)n个事件不全发生. 【解】 (1)P(A1A2?An)??(1?p);

kk?1n(2)P(A1?A2???An)?1?P(n?A)?1??(1?p);

kkk?1k?1nn(3)1?P(A1A2?An)?1??p.

kk?1第 4 页 共 52 页

第二章 一维随机变量及其分布

一、内容提要

1.一维离散型随机变量的概率分布列（律）

设X是一个离散型随机变量,它的取值为x1,?,xn,?且

P{X?xk}?pk,k?1,2,?n,?.

则称上式为随机变量的概率分布列.

概率分布我们可以简单列表如下,称为概率分布表

?x1X???p1或

x2?xkp2?pk … … ??? ??xk pk … … X P x1 p1 ?x2 p2 性质:（1）非负性:pk?0, ;（2）正规性:

?pk?1k?1.

2.常见的离散型随机变量的概率分布及数字特征（期望、方差） （1）0-1分布（B(1,p)）:X???0?1?p1??, p?数学期望EX?p, 方差VarX?DX?p(1?p). （2）二项分布B(n,p):P{Xkk?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?,n,

数学期望EX?np, 方差VarX?DX?np(1?p). （3）泊松分布（Poisson分布）P(?):

P{X?k}??kk!e??,k?0,1,?,??0,

数学期望EX??, 方差VarX?DX??. 3.一维连续型随机变量的概率密度函数

若X是随机变量,其分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使得对于任意实数x,有

F(x)?P{X?x}??f(t)dt,则称X是连续型随机变量,而称f(x)为X的概率密度函数（简称密度函数）.

??x性质:(1)非负性：f(x)?0;(2)正规性：?????f(x)dx?1; (3)F?(x)?f(x).

4. 常见的连续型随机变量的概率密度函数及数字特征（期望、方差）

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【例6】 （1）设X~b(2,p), Y~b(3,p), 且P(X?1)?5, 求P(Y?1). 9（2）设X~P(?), 且P(X?1)?P(X?2), 求P(X?4).

（3）设X~N(?,?2)，试分析当??时，概率P(X????)的值将如何变化. 【解】（（1）X~b(2,p)，?P(X?1)?1?P(X?0)?1?(1?p)?521，故1?p?，p?. 933123193从而Y~b(3,), ?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?1?()?.

33272（2）X~P(?), 且P(X?1)?P(X?2), 即

?11!e????22!e??, 亦即?2?2?, 又??0, ???2. 从而

2k?2e, k?0,1,2?. 于是 X~P(2), P(X?k)?k!24?22?2P(X?4)?e?e.

4!3（3）X~N(?,?2)，故

P(X????)?P(????X????)??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.6826.

故当??时，概率P(X????)的值保持不变, 始终是常数0.6826.

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第三章 二维随机向量及其分布

一、内容提要

1.二维离散型随机向量的联合分布列

若随机变量X,Y的所有取值分别为:x1,?,xn,?和y1,?,yn,?则称(X,Y)为二维离散型随机变量．并称

P(X?xi,Y?yj)?pij,i,j?1,2,?为(X,Y)的联合分布列（或分布列）．

二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列有时也用如下的概率分布表来表示: Y X y1 p11 p21 ? y2 p12 p22 ? x1 x2 ? ? ? yj p1j p2j ? ? ? ? ? xi ? pi1 ? pi2 ? ? pij ? ? 显然，pij具有如下性质：（1）pij?0；(2)??pij?1.

ij2.边缘分布列

由二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列,我们可以求出(X,Y)的边缘分布．X的概率分布为

P{X?xi}??P{X?xi,Y?yj}??pij?pi?,i?1,2,?

j?1j?1??Y的概率分布为

P{Y?yj}??P{X?xi,Y?yj}??pij?p?j,j?1,2,?

i?1i?1??我们将二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列和边缘分布列写在同一表上,如下所示: Y X y1 p11 p21 ? y2 p12 p22 ? x1 x2 ? ? ? ? yj p1j ? ? ? pi. p1. p2. ? p2j ? xi pi1 pi2 ? pij 第 12 页 共 52 页 ? pi. ? ? ? ? ? 1 p.j p.1 p?2 ? p.j ? 3. 二维连续型随机向量的联合密度函数

f(x,y)称为(X,Y)的密度函数（或联合密度函数）.

性质:（1）对任意的实数x,y,f(x,y)?0;

????（2）

??????f(x,y)dxdy?1;

?2F(x,y)（3）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则f(x,y)?.

?x?y4.边缘密度函数

????fX(x)????f(x,y)dy, fY(y)????f(x,y)dx

称fX(x)为(X,Y)关于X的边缘概率密度函数,fY?y?为(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数． 5. 条件分布

二维离散型随机向量的条件概率分布列

在已知Y?yj的条件下，X取值的条件分布为P(X?xi|Y?yj)?p?

?jpijpij在已知X?xi的条件下，Y取值的条件分布为P(Y?yj|X?xi)?p,

i?其中pi?，p?j分别为X，Y的边缘分布．

条件概率密度函数

fX|Y(x|y)?f(x,y)f(x,y), fY|X(y|x)?.

fY(y)fX(x)6. 二维离散型随机向量落在某个区域G 的概率如何求

只需要看有几个(xi,yj)在这个区域里,把对应的概率pij相加即可,即P{(X,Y)?G}?7. 二维连续型随机向量落在某个区域G 的概率如何求

求(X,Y)在某个区域G的概率,只需要用联合密度函数在对应区域积分即可,即

(xi,yj)?G?pij.

P((X,Y)?G)???f(x,y)dxdy.

G第 13 页 共 52 页

注:要会简单区域上的二重积分,如长方形区域,三角形区域,简单X型区域. 8.独立性

如何判断二维离散型随机向量的独立性

如果pij?pi?p?j,对于任意i,j成立,则称离散型随机变量X,Y是独立的． 如何判断二维连续型随机向量的独立性

如果f(x,y)?fX(x)fY(y),则称连续型随机变量X,Y是独立的． 9.二维均匀分布（类似一维均匀分布）

设G为平面上的有界区域,面积为A.若(X,Y)的联合密度函数为

?1?,(x,y)?G,f(x,y)??A

??0,其它.则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布.

10. 如何求二维离散型随机向量函数Z?g(X,Y) 的分布列

(X,Y) (x1,y1) (x1,y2) ? (xi,yj) zk?g(xi,yj) pij … … ? (xm,yn) Z?g(X,Y) z1?g(x1,y1) z2?g(x1,y2) P 即

? ? ? ? zm?n?g(xm,yn) pmn p11 p12 z?g(X,Y) P z1 p11 z2 p12 zm?n pmn 如果z1,?,zm?n有相同的项,则把这些相同的项合并(看作是一项),并把相应的概率相加,即可． 11.二维随机向量函数的分布

已知(X,Y)联合密度函数f(x,y)，求z?g(X,Y)的概率密度函数 （1）分布函数法:先求Z的分布函数

FZ(z)?P{g(x,y)?z}?g(x,y)?z??f(x,y)dxdy,

?(z)?fZ(z). 然后再通过求导得出Z的密度函数FZ（2）公式法

第 14 页 共 52 页

Z?X?Y，则Z的密度函数fZ(z)??????f(x,z?y)dx??????f(z?x,y)dy;

特别地，若X , Y相互独立，fX(x),fY(y)分别为它们的密度函数.则上述公式可表示为：

????fZ(z)?12.正态分布的可加性

???fX(x)fY(z?x)dx????fX(z?y)fY(y)dy.

2如果随机变量X与Y相互独立，且X~N??1，?12?,Y~N??2，?2?,Z?X?Y，2则Z~N??1??2，?12??2?．

更一般地，Xi~N??，???i?1,?,n?，且X,?,Xi2i1n相互独立，Z??aXii?1ni

又a1，a2，?，an为实数，则

n?n?Z~N??ai?i，?ai2?i2?.

i?1?i?1?13. 最大值,最小值的分布函数

设X1,X2,?,Xn 相互独立,其分布函数分别为FX1(x1),FX2(x2),?,FXn(xn) 记

M?max(X1,X2,?,Xn),M?min(X1,X2,?,Xn),则,M为:FM(z)?和

N

的分布函数分别

?Fi?1nXi(z),FN(z)?1??[1?FXi(z)].

i?1n特别,当X1,X2,?,Xn独立同分布(分布函数相同)时,则有FM(z)?Fn(z),FN(z)?1?[1?F(z)]n.

二、典型例题

【例1】 设随机变量X1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一整数值,试求?X,Y?的分布列及?X,Y?的边缘分布律. 【解】

Y 1 2 0 3 0 0 4 0 0 0 X 1 2 3 pi. 1 41 41 41 4111?? 428111?? 43121 81 121 12第 15 页 共 52 页

4 p.j 111?? 441625 481 1613 481 167 481 163 481 41 【例2】 设(X，Y)的联合分布密度为

?Ce?(3x?4y),x?0,y?0, p(x,y)??其他.?0,试求：(1)常数C. (2)P{0＜X＜1，0＜Y＜2}． (3)X与Y的边缘分布密度p1(x)，p2(y)，并判断独立性．（4）求分布函数F(x,y).

????【解】(1)由

??????p(x,y)dxdy?1，得

1????0???0Ce?(3x?4y)dxdy?1C,C?12． 12(2)P{0?X?1,0?Y?2}????10dx?12e?(3x?4y)dy?(1?e?3)(1?e?8).

02???(3x?4y)?dy?3e?3x,x?0,??012e(3)pX(x)??p(x,y)dy??

????0,其他.???(3x?4y)???dx?4e?4y,y?0,??012e pY(y)??p(x,y)dx??????0,其他.p(x,y)?pX(x)pY(y),X,Y相互独立.

(4)当x?0或y?0时，F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=0， 当x?0,y?0时

F(x,y)??因此

x0?y04e?2(u?v)dudv?12?e?3udu??e?4vdv?(1?e?3x)(1?e?4y)，

00?3x?4y??(1?e)(1?e),x?0,y?0,F(x,y)??

??0,其它.xy【例3】 设平面区域G由曲线y?12, 直线y?0,x?1,x?e所围成. (X,Y)在G上服从均匀分布, 求fX(2). x第 16 页 共 52 页

y y?1x G 0 1 e2 x 【解】区域G的面积SG??e211e2dx?[lnx]1?2. x1?12?,1?x?e,0?y?x. 故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??2? 0, 其它?fX(x)?

【例4】 设(X,Y)的联合概率密度为

?????111?xdy?, 1?x?e21f(x,y)dy??02? f(2)?. 2x, X4? 0, 其它???1, 0?x?1,0?y?1 f(x,y)?? 其它?0, 求：(1)P(X?11111,Y?)；（2）P(X?Y?)；（3）P(Y?)；（4）P(X?YY?). 22232第 17 页 共 52 页

y 1 1/2 y 1 1/2G 1/2题(2) 图 G 0y 1 1/2 题(1) 图 1x 01xy 1 y?x G 1/3 1/2 0 题(3) 图 1x 0 1/2题 (4) 1x 11P(X?,Y?)?【解】（1）2211x?,y?22??f(x,y)dxdy???G1dxdy?SG?111?224；

1P(X?Y?)?（2）

21P(Y?)?（3）

31x?y?2??f(x,y)dxdy???G1dxdy?SG?1?1117?2228；

??y?f(x,y)dxdy?13??G121dxdy?SG?1(1?)?；

331111P(X?Y,Y?)12?222?1P(X?YY?)?（4）1124.

P(Y?)1?22

【例5】 设(X,Y)的联合概率密度为

第 18 页 共 52 页

x?20?x, 10?x?20,?y?x?cf(x,y)??x2

? 0, 其它?求：(1) 常数c；(2) fX(x)；(3) fYX(yx)；(4) P(Y?8X?12).

【解】(1) 1?????????f(x,y)dxdy??201020?xdxxcdy?cx2?x?20101x(10?)dx?25c, ? c?.

225f(x)?(2) X????20?x?x20?xdy?, 10?x?20?x25x50f(x,y)dy??2.

? 0, else??(3) 10?x?20时，fX(x)?0，

fYX(yx)有定义，且

?20?x?25x2x?, ?y?xf(x,y)?20?xfYX(yx)???x2 fX(x)?50?? 0, else?1?, 6?y?12? f(yX?12)?x?12?( 10,20)?6(4) ，，从而 YX??0, elseP(Y?8X?12)???8fYX(yX?12)dy??12182dy?. 63y y?x G 0 xy? 2x x?z 1 x?z?1

10题5 图 20 x0 1 题6图 2 z

【例6】 设X,Y相互独立且都服从[0,1]上的均匀分布, 求Z?X?Y的概率密度.

【解】fZ(z)?????? 1, 0?z?x?1? 1, 0?x?1f(z?x)?fX(x)fY(z?x)dx, 其中fX(x)??, Y. ? 0, 其它 0, 其它??第 19 页 共 52 页

?0?x?1?0?x?1fX(x)fY(z?x)?0????. (区域见图示)

0?z?x?1z?1?x?z??(1)

0?z?1时, fZ(z)??1?1dx?z0z；

(2)

1?z?2时, fZ(z)??1?1dx?2?z；

z?11(3) z?(0,2)时, fZ(z)?0.

? z, 0?z?1?综上知fZ(z)??2?z, 1?z?2.

? 0, 其它??xe?y, 0?x?y【例7】 设(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??，求(1) P(X?1Y?2),P(X?1Y?2)；(2)

0, 其它?Z?X?Y的概率密度；(3) P(min(X,Y)?1).

2 1 y y?x y y?x 2 0 1 题7（1）① 图 2x 120 2 题7（1）② 图 x

1x(e?x?e2)dx1?2e?1?e?2P(X?1,Y?2)2e2?4e?10x02?2?2??【解】(1) ① P(X?1Y?2)?； 2?22P(Y?2)?y?x21?5e2e?10dxxedyx(e?e)dx????0dxxedy?yx??1012?y?y?yxedx?ye, y?0??20f(y)?f(x,y)dx?2?? f(2)?2e?0，于是 ② Y ， Y??? 0, y?0?????xe?2xf(x,2)??2?, 0?x?2fXY(xY?2)???2e2 ，从而 fY(2)?? 0, else第 20 页 共 52 页

P(X?1Y?2)?????1??fXY(xY?2)dx??1x02dy?1. 4(2) fZ(z)???x?0zf(x,z?x)?0??0?x?. (区域见图示) f(x,z?x)dx, 其中X?2?z?x?xz20?(z?x)(1) (2)

z?0时, fZ(z)??xedx?e?z?z20xedx?ex?z?z?(?1)e2； 2zz?0时, fZ(z)?0.

z???zz?e?(?1)e2, z?0综上知fZ(z)??. 2? 0, z?0?x x?z2 0 题7（2） 图 （3）

z

P(min(X,Y)?1)?1?P(min(X,Y)?1)?1?P(X?1,Y?1)

?1?

x?1,y?1??f(x,y)dxdy?1??dx?xedy?1??xe?xdx?1?2e?11x1???y?

y y?x 1 0 1 题7（3）图 x 第 21 页 共 52 页

【例8】 设二维离散型随机变量?X，Y?的联合分布列为

Y X 1 1 61 32 3 1 2 1 91 18? ? 试确定常数?，?使得随机变量X与Y相互独立．【解】由表，可得随机变量X与Y的边缘分布列为

Y X 1 1 61 31 22 3 pi. 1 31???? 31 1 2 1 91 18? 1?? 9? 1?? 18p.j 随机变量X与Y相互独立，则

pij?pi.?p.j

因此

11?12? ??????,??；93?99?11?11? ??????,??．183?189?

【例9】 已知随机变量(X,Y)的联合分布列为

Y X 1 2 1 2 3 试求Z1?X?Y,Z2?max(X,Y)的分布列

1 50 1 51 51 51 5第 22 页 共 52 页

【解】Z1的所有可能取值为2,3,4,5,且

1P{Z1?2}?P{X?1,Y?1}?,

51P{Z1?3}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?1}?,

52P{Z1?4}?P{X?2,Y?2}?P{X?3,Y?1}?,

51P{Z1?5}?P{X?3,Y?2}?.

5所以，Z1的分布列为

Z1 pi Z2的所有可能取值为1,2,3且

2 3 4 5 1 51 52 51 51P{Z2?1}?P{X?1,Y?1}?,

52P{Z2?2}?P{X?2,Y?1}?P{X?2,Y?2}?P{X?1,Y?2}?,

52P{Z2?3}?P{X?3,Y?1}?P{X?3,Y?2}?,

5所以，Z2的分布列为

Z2 1 2 3 pi

1 5

2 52 5第 23 页 共 52 页

第四章 随机变量的数字特征

一、内容提要 1.数学期望

设X为离散型随机变量,其分布列为

P(X?xi)?pi,i?1,2,?

若

?xi?1?ipi??,记EX??xipi,称EX为X的数学期望,简称期望或均值．

i?1?设X为具有密度函数为随机变量X的数学期望. 2.数学期望的性质

（1）EC?C;

f(x)的连续型随机变量, 若?????xf(x)dx??,记EX??????xf(x)dx,则称EX（2）E(X?Y)?EX?EY; （3）E(kX)?kEX;

（4）若X、Y 相互独立,则E(XY)?EX?EY.

推广:（a）E(?aX)??aEXiiii?1i?1nni;

（b）若X1,X2,?,Xn 相互独立,则E(X1X2?Xn)?EX1?EX2??EXn.

3.随机变量函数的期望

（1）一维离散型:Eg(X)??g(x)pkk?1?k;

（2）一维连续型:Eg(X)??????g(x)f(x)dx;

??（3）二维离散型:Eg(X,Y)???g(x,y)piji?1j?1ij;

（4）二维连续型:Eg(X,Y)?4.方差

??????????g(x,y)f(x,y)dxdy.

设X是随机变量,若E(E?EX)存在,则称它为随机变量X的方差,

记为DX或Var(X)．即DX=E(E?EX).方差DX的算术根D?X?称为标准差或均方差.

225.方差的计算公式DX?EX?(EX).（平方的期望减去期望的平方） 6.方差的性质

（1）DC?0;

（2）D(kX)?kDX;

（3）若X、Y 相互独立,则D(X?Y)?DX?DY.

第 24 页 共 52 页

222 推广:若X1,X2,?,Xn 相互独立,则D(?aX)??aiii?1i?1nn2iDXi.

（4）若DX?0,则P{X?C}?1,即X以概率1取常数. 注意:即使X、Y 相互独立,则D(XY)?DX?DY. 7.常见分布的期望和方差 分布名称 0-1分布 二项分布 泊松分布 符号 均值 方差 B(1,p) p np p(1?p) B(n,p) P(?) G(p) np(1?p) ? 1 pa?b 21? 1?p 2p(b?a)2 121 ?2几何分布 均匀分布 U(a,b) 指数分布 正态分布 E(?) ? N(?,?2) ? ?2 8.协方差 Cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))],

协方差的计算公式:Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY.（乘积的期望减去期望的乘积） 9.协方差的性质

（1）Cov(X,Y)?Cov(Y,X);

（2）Cov(?aX,Y)??aCov(X,Y);

iiiii?1i?1nn（3）D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y); （4）若X、Y 相互独立时,则Cov(X,Y)?0. 10.相关系数 ?XY?11.相关系数性质

（1）

cov(X,Y)

DXDY?XY?1;

第 25 页 共 52 页

（2）

?XY=1?存在常数a,b,使得P{Y?aX?b}?1.

特别地,当?XY=1时,称X和Y完全正相关(a?0);当?XY=--1时,称X和Y完全负相关(a?0)．

（3）?XY?0 ,称X和Y不相关.

注:X和Y独立?X和Y不相关,即Cov(X,Y)?0,?XY?0;

X和Y不相关?X和Y独立.

二、典型例题

【例1】 已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

X Y －1 0 1 －1 0.15 0.1 0.15 0 0.1 0.15 0.05 (1) 分别求X,Y的边缘分布律及Y的边缘分布函数FY(y); (2) 求Y?2时, X的条件分布律; (3) 求

1 0.05 0.05 0.1 2 0.02 0.06 0.02 P(X?0,Y?0),P(Y?1X?0),P(XY?0); (4) 求Z?X?Y, U?max(X,Y), V?min(X,Y)的分布

律; (5) 求相关系数?(X,Y); (6) 判断判别X,Y是否相关? 是否独立? 说明理由. 【解】（1）在联合分布律表格中横向、纵向对pij求和，得X,Y的边缘分布律

X pk －1 0.32

0 0.36 1 0.32

Y pk －1 0.4 0 0.3 1 0.2 2 0.1 z??1?0,?0.4,?1?z?0??又由Y的边缘分布律得FY(y)??0.7,0?z?1;

?0.9,1?z?2??z?2?1,(2) 条件分布律为P(X?xiY?2)?P(X?xi,Y?2)0.020.060.02?,,.i?1,2,3. 即

P(Y?2)0.10.10.1X P(X?xiY?2)

－1 0.2 0 0.6 1 0.2 第 26 页 共 52 页

(3) P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?1,Y?2)?0.1?0.02?0.12；

P(Y?1X?0)?P(X?0,Y?1)P(X?1,Y??1)?P(X?1,Y?0)0.15?0.055???；

P(X?0)P(X?1)0.328

P(XY?0)?P{(X?0)?(Y?0)}?P(X?0)?P(Y?0)?P(X?0,Y?0)?0.36?0.3?0.15?0.51(4) Z,U,V的分布律分别为

Z －2 －1 0 1 2 3 pk 0.15 0.02 0.35 0.12 0.16 0.02 U －1 0 1 2 pk 0.15 0.35 0.4 0.1

V －1 0 1 pk 0.57 0.31 0.12

(5) 由X,Y的边缘分布律得 E(X)??1?0.32?0?0.36?1?0.32?0，

E(X2)?(?1)2?0.32?02?0.36?12?0.32?0.64D(X)?E(X2)?E2(X)?0.64.

E(Y)??1?0.4?1?0.2?2?0.1?0，E(Y2)?(?1)2?0.4?12?0.2?22?0.1?1，D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?1.

由(X,Y)的联合分布律得

E(XY)?(?1)?(?1)?0.15?(?1)?1?0.15?1?(?1)?0.05?1?1?0.1?2?(?1)?0.02?2?1?0.02?0.05, 于是

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.05?0?0.05, ?(X,Y)?cov(X,Y).05D(X)D(Y)?00.64?1?116?0.0625. (6) ?(X,Y)?0.0625?0, 故X,Y相关, 从而不独立.

第 27 页 共 52 页

，

【例2】 已知二维随机变量(X,Y)，在区域G?{(x,y)0?x?1,y?x}内服从均匀分布，

2求(1) (X,Y)的联合分布密度f(x,y); (2) 条件概率P(X?Y?1X?); (3)边缘分布密

3度fX(x), fY(y); (4) 条件密度fYP(0?Y?X(yx); (5) 条件概率

11X?); (6 ) 42方差D(Y)及协方差cov(X,Y); (7) 判别X,Y是否相关? 是否独立? (8) Z?X?Y的分布密度fZ(z).

1 y y?x 1 y 23 y?x 0 G 1 x y??x 0 G1 ?1 x y??x ?1 题2(1) 图 题2(2) 图 1 y G2 y?x x x?z/2 0 122 3?1 题2(2) 图 x?y?1 x y??x 1 0 2 题2(8) 图 z ?1,0?x?1,?x?y?x1【解】如图, (1) SG??2?1?1, 故f(x,y)??;

else2?0,第 28 页 共 52 页

2P(X?Y?1X?)?(2)

3P(X?2,X?Y?1)3?2P(X?)3??1dxdy??x?x12121(?)(?)G223332?1?;

142161dxdy233G1(3)由题2(1)图知 fX(x)???????f(x,y)dy?????1dy?2x,0?x?1,

0,elsefY(y)?????????f(x,y)dx???????1?y11dx?1?y,?1?y?0??1?y,?1?y?10?y?1???else; ?0,else?1dx?1?y,y0,?1f(x,y)?,?x?y?x??2x(4) 0?x?1时, 有fYX(yx)?;

fX(x)?else?0,11?1,??y?1?f(yX?)?22, 故 ?(5) 由(4)知YX2?else?0,11P(0?Y?X?)?42(6) E(Y)??1401fYX(yX?)dy?2?141dy0?1; 4?????yfY(y)dy???1?1y(1?y)dy?0（奇函数在对称区间上的积分为0），

10E(Y)?2???yfY(y)dy?21?1y(1?y)dy?22?y2(1?y)dy?1，6?D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?11?02?； 66E(X)?????xfX(x)dx???10x?2xdx?2，3xydxdy?0，

2?0?0; 3E(XY)????????xyf(x,y)dxdy???110?1?cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0?第 29 页 共 52 页

(7) ?(X,Y)?不独立. (8) fZ(z)?cov(X,Y)D(x)D(y)?0，故X,Y不相关； 但fX(x)fY(y)?f(x,y)，故X,Y也

????f(x,z?x)dx,

?0?x?1?0?x?1f(x,z?x)?0????. (区域见图示)

?x?z?x?xx?z/2??当

0?z?2时, fZ(z)??z21dx?0z; 当z?2时, fZ(z)?2?1dx?1; 当z?0时,

01fZ(z)?0. 从而

z?0?0,?z?fZ(z)??,0?z?2.

?2z?2??1,0?x?2?ax,?3【例3】 设X的概率密度为f(x)??cx?b,2?x?4, 且E(X)?2,P(1?X?3)?. 求

4?0,else?(1) 常数a,b,c的值; (2) 期望E(eX).

?????f(x)dx?1??【解】 (1) 由?E(X)?2得

?3?P(1?X?3)??4??1?a???2a?2b?6c?14???4a?9b?28c?3, 解得?b?1. 故

??6a?4b?10c?31??c??4?????f(x)???????X1x,0?x?241x?1,2?x?4. 40,else21xdx?(2) E(e)?e04?x?11e(?x?1)dx?2444x?4220xde?x?42(?1x?1)dex 4112?[xex]0?44?2011edx?[(?x?1)ex]4?244x?exdx?14121e?e?. 424第 30 页 共 52 页

x?1?cos,2【例4】 设X的概率密度为f(x)??2?? 0,表示观察值大于

0?x?? else, 现对X独立重复观察4次, 以Y?2的次数, 求E(Y). 3)?【解】 P(X??3???311xx1?Y~b(4,), cosdx?[sin]??, ?222322111?(1?)?(4?)2?5. 22222 E(Y)?D(Y)?E(Y)?4?【例5】 射击比赛中每人可发4弹, 并规定全都不中得0分, 中1弹得15分, 中2弹得30分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击命中率为3/4, 求他的平均得分. 【解】射中的弹数为随机变量X, 其最后得分为Y. 则X~b(4,), 且

341120301413113P(Y?0)?P(X?0)?C4()()?4, P(Y?15)?P(X?1)?C4()()?4,

444444541082321233311P(Y?30)?P(X?2)?C4()()?4, P(Y?55)?P(X?3)?C4()()?4,

4444448143410P(Y?100)?P(X?4)?C4()()?4. 即有分布律

444Y pk 从而E(Y)?0?0 15 30 55 100 1/44 12412/44 ?55?1084454/44 8144108/44 81/44 1444【例6】 完成下列问题:

?15??30?5444?100??61.875

(1)设X,Y相互独立，X~N(1,2),Y~N(0,1)，求Z22?2X?Y?3的概率密度函数.

(2) 已知二维随机变量(X,Y)~N(5,1,3,1,0)，分析Z?X?4Y所服从的分布(包括分布类型及参数).

(3) 设X~b(n,p)，且E(X)?2.4,D(X)?1.68，求参数n,p. (4)

设

X,Y相互独立，且

X~P(?),E[(X?1)(X?2)]?1,Y~EXP(?),P(0?Y?2)?1?e?1，

求Z?2X?Y?3的期望和方差.

?2X?Y?3服从正态分布,

【解】 (1) X,Y相互独立，X~N(1,2),Y~N(0,1)，故Z且

E(Z)?E(2X?Y?3)?2E(X)?E(Y)?3?2?1?0?3?5,

第 31 页 共 52 页

D(Z)?D(2X?Y?3)?22D(X)?(?1)2D(Y)?0?4?2?1?0?32, 于是

fZ(z)?22132?e?(x?5)218;

22(2) (X,Y)~N(5,1,3,1,0), 故X,Y相互独立，X~N(5,3),Y~N(1,1)，于是经

类似(1)中的分析可知Z~N(1,5);

2?E(X)?np?2.4(3) X~b(n,p), 故?, 解得n?8,p?0.3;

D(X)?np(1?p)?1.68?(4) 因为

X~P(?), 且

E[(X?1)(X?2)]?E(X2)?3E(X)?2?(D(X)?E2(X))?3E(X)?2??2?2??2?1, ???1.

Y~EXP(?),?P(0?Y?2)?，于是

?201?e1?x?dx?[e1?x?]02?1?e?2??1?e?1,???2E(Z)?E(2X?Y?3)?2E(X)?E(Y)?3?2?1?2?3?3,

D(Z)?D(2X?Y?3)?22D(X)?(?1)2D(Y)?0?4?1?22?0?8.

22【例7】 已知(X,Y)是二维正态分布, 且X~N(1,3),Y~N(0,4), 且

?(X,Y)??,Z?为什么?

12XY?, 求 (1) E(Z),D(Z); (2) ?(X,Z); (3) 问X,Z是否独立? 32【解】 (1) E(Z)?E(XY11111?)?E(X)?E(Y)??1??0?, 3232323XYXYXY1111D(Z)?D(?)?D()?D()?2cov(,)?()2D(X)?()2D(Y)?2?(X,Y)D(X)D(Y)3232323232 ?(2)

12112?3??4?(?)?3?4?3. 243231cov(X,Z)?cov(X,

XY1111?)?cov(X,X)?cov(X,Y)?D(X)??(X,Y)D(X)D(Y)323232第 32 页 共 52 页

111??32?(?)?3?4?0; 322(3) (X,Y)是二维正态分布, Z?分布. 由(2)知,

XY?是(X,Y)的线性函数, 故(X,Z)也是二维正态32?(X,Y)?0, 即(X,Y)不相关, 从而独立(二维正态变量的独立与不相关等价).

2【例8】 设X,Y~N(?,?), 且相互独立, 试求Z1??X??Y,Z2??X??Y之间的

相关系数(?,?是非零常数), 并分析Z1,Z2相互独立的充要条件. 【解】

(1) E(Z1)??E(X)??E(Y)?(???)?,E(Z2)??E(X)??E(Y)?(???)?,

E(Z1Z2)?E[(?X??Y)(?X??Y)]?E(?2X2??2Y2)??2E(X2)??2E(Y2)?(?2??2)(?2??2,

cov(Z1,Z2)?E(Z1Z2)?E(Z1)E(Z2)?(?2??2)(?2??2)?(???)?(???)??(?2??2)?2,

D(Z1)??2D(X)??2D(Y)?(?2??2)?2,D(Z2)??2D(X)?(??)2D(Y)?(?2??2)?2, 于是

?2??2?(Z1,Z2)??2.

D(Z1)D(Z2)???2cov(Z1,Z2) (2)

因为

X,Y~N(?,?2), 所以(X,Y)是二维正态分布. 而

Z1??X??Y,Z2??X??Y都是(X,Y)的线性函数, 故(Z1,Z2)也是二维正态分布.

于是Z1,Z2相互独立的充要条件是它们不相关, 即?(Z1,Z2)?0, 亦即??

?.

第 33 页 共 52 页

第五章 大数定理和中心极限定理

一、内容提要 1.切比雪夫不等式

P|X?E(X)|? ????D(X)?2,或P|X?E(X)|???1???D(X)?2.

2.大数定律（平均值趋向于期望的定理） (1)切比雪夫大数定律

设X1,?,Xn,?相互独立,且EXk存在,DXk(k?1,2,?)存在,且有公共的上界,则

n1nP1??EXi. ?Xi??ni?1ni?1DXk???0,(k?1,2,?)，则 特别地, 设X1,?,Xn,?相互独立,且EXk??，1nPXi????. ?ni?1(2)辛欣大数定律

2(k?1,2,?)，则 设X1,?,Xn,?是独立同分布的随机变量序列,且EXk??，1nPXi????. ?ni?1(3)伯努利大数定律

设X1,?,Xn,?相互独立，且均服从B(1,p)分布，则

1nPXi???p. ?ni?1

4.在概率论中,习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. (1)(独立同分布的中心极限定理)

设X1,?,Xn,?是独立同分布的随机变量序列,且

EXk??，DXk??2?0,(k?1,2,?)

第 34 页 共 52 页

则{Xn}服从中心极限定理,即:limP{k?1n??n?Xnk?n?n?1?x}?2??x??edt??(x)．

?t22?X即:k?1kn??n?近似?N(0,1)．

(2)(德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)

设随机变量?n(n?1,2,?)服从参数n,p(0?p?1)的二项分布,即?n?B(n,p),则

limP{n???n?npnpq?x}?12?x???e?t22dt??(x),即

?n?np近似npq?N(0,1).

【例1】随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为 －0．5，则根据切比雪夫不等式P(|X＋Y|≥6)≤______． 【解】设Z＝X＋Y，则 E(Z)＝E(X)＋E(Y)＝0，

D(Z)?D(X)?D(Y)?2D(X)D(Y)?

＝1＋4＋2×1×2×(－0.5)＝3． 由切比雪夫不等式

P(|Z?E(Z)|?ε)?令???＝6，由D(Z)＝3，有

D(Z), 2εP(|Z?0|?6)?31?, 36121? 12即 P(|X?Y|?6)?【例2】设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，

1n2则当n→∞时，Yn??Xi依概率收敛于______．

ni?1【解】由题设，可知Xi～e(2)，因此

E(Xi2)?D(Xi)?[E(Xi)]2?1?2?1?2?2?2?1? 2第 35 页 共 52 页

根据切比雪夫大数定律“若X1，X2，…具有相同的数学期望E(Xi)＝?，则对于任意的正数?，有

1nlimP(|?Xi??|?ε)?1.” n??ni?1因此，本题有

1n21limP(|?Xi?|?ε)?1, n??ni?1211n2即当n→∞时，Yn??Xi依概率收敛于.

2ni?1【例3】某电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且设开关时间彼此

独立，试用中心极限定理求夜晚同时开灯盏数在6800和7200之间的概率的近似值.

,0.7). 【解】 设夜晚同时开灯盏数为X ，则由题意知X~b(10000这里n?10000, 充分大, 由棣美弗-拉普拉斯中心极限定理知

X?7000近似??~N(0,1)

np(1?p)10000?0.7?0.31021X?npX?10000?0.7于

是

,

P(6800?X?7200)?P(

6800?70001021?X?70007200?7000X?7000?)?P(?4.36??4.36)102110211021?2?(4.36)?1?1.

【例4】设甲乙距离较远, 因此要分成100段测量两地的距离. 若每段测量值的误差服从(－1,1)的均匀分布(单位: 厘米), 求测量值总和的误差绝对值超过10厘米的概率近似值. 【解】 设各段测量值的误差为Xi,i?1,2,?,100. 则由题意知Xi,i?1,2,?,100相互独立, Xi~U(?1,1),于是

??E(Xi)??1?1?0,??D(Xi)?2(1?(?1))21?. 这里n?100, 充分大.

123第 36 页 共 52 页

?X由独立同分布的中心极限定理知

i?1100i?n???Xi?1100i?100?013?3?Xi?1100i近似n?10010~N(0,1)

于是，

P(?Xi?1100i?10)?P(100?Xi?1i100i?10)?P(?Xi?1100i??10)?1?P(?Xi?1100i?10)?P(?Xi?1100i??10)

3?1?P(?Xi?1103?10?)?P(103?Xi?1100i10??3?10)?1??(1.73)??(?1.73)10?2(1??(1.73))?0.0836.

第 37 页 共 52 页

第六章 样本及抽样分布

一、内容提要

1.若X1,?,Xn相互独立,且每个Xi都与X同分布,则称(X1,?,Xn)为来自总体X的简单随机样本,简称样本. (x1,?,xn)称为样本观测值. 2.总体X为离散型时,如何求样本的联合分布列

P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}??P{X?xi}.

i?1n其中P{X?xk}?pk,k?1,2,?为总体X的分布列. 3. 总体X为连续型时,如何求样本的联合密度函数

f(x1,x2,?,xn)??f(xi),其中f(x)为总体X的密度函数.

i?1n4.什么是统计量

样本(X1?,X,n的(X,,nX中)若不含任何未知参数,则称)函数T?g1?. T?g(X,,nX为一个统计量)1?5.常用统计量

1n（1）样本均值 X??Xi;

ni?11n1n2（2）样本方差S?(Xi?X),样本标准差S?(Xi?X)2; ??n?1i?1n?1i?121nk（3）样本k阶原点矩Ak??Xi;

ni?11nk（4）样本k阶中心矩Bk??(Xi?X);

ni?1（5）次序统计量X(1),X(2),?X(n). 5.统计量的数字特征 (1)EX?EX??;

DX?2?(2)DX?; nn第 38 页 共 52 页

由1,2，可得到：E(X)?DX?(EX)???222?2n.

(3)ES?DX??，

222?4(4)如果总体服从正态分布X?N(?,?)，则DS?.

n?122因为：

(n?1)S2?22~?(n?1)， D2(n?1)S2?2?2(n?1),(n?1)2?4DS2?2(n?1),

2?4. 从而:DS?n?16.三大分布

(1)?分布

设X1,?,Xn相互独立，且均服从N(0,1)分布，则度为n的卡方分布，记作??2222服从自由?2＝X12?X2???Xn?2(n).

卡方分布的密度函数大致图像

?2分布的性质：

①?1~?(n1),?2~?(n2),且?1，?2独立，则有

2?12??2~?2(n1?n2).

222222②E??n,2D?2?2n．

第 39 页 共 52 页

(2)t分布 设X?N(0,1),Y??2(n),X,Y相互独立，则称

X Y/nT?服从自由度为n的t分布，记为T?t(n)． t分布密度图像大致为：

ET(n)?0,DT(n)?(3)F分布 设X?n n?2?2(n1),Y??2(n2),X,Y相互独立，则称

F?X/n1 Y/n2服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记为F?F(n1,n2). 密度图像大致为：

性质：

第 40 页 共 52 页

（1）若F?F(n1,n2)，则

1~F(n2,n1)； F（2）若T?X，则T2?F(1,n). Y/n

7.正态总体抽样分布定理

单个正态总体

设X?N(?,?),X1,X2?,Xn21n是X的一个样本, X??Xi,

ni?11nS?(Xi?X)2，则 ?n?1i?12??2?X??（1）X~N??,~N(0,1). ?或?n??/n(n?1)S2?1（2）

?12?2?i?1n(Xi?X)2~?2(n?1).

（3）

?2?i?1n(Xi??)2~?2(n).

（4） 　X??~t(n?1).

S/n2 （5）X与S相互独立.

双正态总体

X?N(?1,?12)，Y?N(?2,?22),X1,X2?,Xn1是X的一个样本, X是样本均值，

S12是样本方差，Y1,Y2?,Yn2是来自总体Y的样本，Y是样本均值，S22是样本方差,且合

样本X1,X2?,Xn1,Y1,Y2?,Yn2相互独立，则

第 41 页 共 52 页

（1）(X?Y)?(?1??2)?21n1（2）当

??22?N(0,1).

n2时，t?2?12??2??2(X?Y)?(?1??2)~t(n1?n2?2)，其中

11Sw?n1n22(n1?1)S12?(n2?1)S2. S?n1?n2?22w?(Xi?1n2n1i??1)221（3）

?i?1/n1~F(n1,n2). /n22(Y??)?i2?22S12/?12（4）2~F(n1?1,n2?1). 2S2/?28.上侧?分位数（大于此点的概率为?的临界值） (1)正态分布上?分位数z?

设X~N(0,1),若z?满足条件

P{X?z?}??,0???1,则称点 z?为标准正态分布的上?分位点.

图示：

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对称分布，z1-??-z?. (2)?分布上?分位数??(n)

22P{????(n)}??图示：

22?2??(n)f(x)dx??,0???1

(3) t分布的上?分位数t?

对称分布,t1-??-t?.

(4)F分布的上?分位数F?(n1,n2)

性质: F1??(n1,n2)?1.

F?(n2,n1)第 43 页 共 52 页

二、典型例题

【例1】设X1，X2，…，Xm来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差．记统计量T＝X－S，则ET＝______．

【解】由于ET?E(X?S2)?EX?E(S2),考虑到总体为B(n，p)，因此

2

2

ET＝np－np(1－p)＝np2．

【例2】设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(?,?2)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi＝Xi－X，i＝1，2，…，n．求：

(Ⅰ)Yi的方差D(Yi)，i＝1，2，…，n． (Ⅱ)Y1与Yn的协方差cov(Y1,Yn)．

1n【解】 (Ⅰ)D(Yi)?D(Xi?X)?D(Xi??Xk)

nk?1??n11=D?(1?)Xi??Xk?

?nnk?1???k??i??11=(1?)2DX?2(n?1)DX

nn?1???1???2(i?1,2,?,n). ?n?(Ⅱ)cov(Y1，Yn)＝E(Y1－E(Y1))(Yn－E(Yn))

?E(X1?X)(Xn?X)

?E(X1Xn)?E(X)?E(X1X)?E(XnX)

211n2?E(X1)E(Xn)?D(X)?E(X1)??E(X1Xk)

nnk?2第 44 页 共 52 页

11n?12?E(Xn)??E(XkXn) nnk?11???2?

n也可以用协方差的性质：cov(Y1,Yn)?cov(X1?X,Xn?X)

?cov(X1,Xn)?cov(X1,X)?cov(X,Xn)?cov(X,X) 1n1n?2 ?0?cov(X1,?Xi)?cov(?Xi,Xn)?ni?1ni?1n11?2??cov(X1,X1)?cov(Xn,Xn)?

nnn???2?2?2?2n?n?n=n.

【例3】设X1,X2,X3,X4 为来自总体为N(0,?)的简单随机样本，则统计量2（X1+X2）的分布为 t(2) , 的分布为 F(1,2) .

X32+X422X1+X2X3+X422

【例4】设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则有__D__

(A)nX～N(0，1)．

(B)nS～?(n)．

2

2

2(n?1)X~t(n?1). (C)

S(D)

(n?1)X12?Xi?2n~F(1,n?1).

2i【例5】设X1，?，X9是来自总体X~N?，?2的简单随机样本 Y1???1?X1???X6?，Y2?1?X7?X8?X9?, 63第 45 页 共 52 页

2?Y1?Y2?192 S???Xi?Y2?,Z?

2i?7S2证明：统计量Z服从自由度为2的t分布 【证明】

2S2?2??(2),Y1?Y2?N(0,Y1?Y22?26??23),N(0,?22),Y2与S独立,

?2所以Y1?Y2与S独立,所以22S2?t(2),即/22?Y1?Y2??t(2).

S?22【例6】从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间

(?1.4,5.4)内的概率不小于0.95，则样本容量至少应取多大？

【解】X?3.4?2X?3.42?N(0,1),P{1.4?X?5.4}?P{??},

6/n6/n6/n6/n2)??222?2?()?1?0.95,?()?0.975

6/n6/n6/n??(6/nn?1.96,n?34.57,n至少为35. 3

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第七章 参数估计

1.矩估计思想

1nk??(?1,?2,?,?m)为待估计的参数,令E?X???Xi,k?1,2,?,m,解方程组即

ni?1k?k,k?1,2,?,m. 得?主要考察m?1,2的情形,即一个参数或两个参数. 2.如何求参数的矩估计

一个参数的情形:求出总体的期望EX,得EX?X,解得参数的矩估计. 二个参数的情形:求出总体的期望EX和方差DX,得方程组

????EX?X, ??1n2?DX??(Xi?X),ni?1?解得参数的矩估计.

3.极大似然估计(MLE)思想

?L,应使样本取到观测值的概率最大. 参数?取得的值?总体X为离散型时,求P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn;?}??P{X?x;?}的最大

ii?1n?L. 值点?总体X为连续型时,求样本的联合密度函数f(x1,x2,?,xn;?)??f(x;?)的最大值

ii?1n?L. 点?4.如何求参数??(?1,?2,?,?m)的极大似然估计

（1）写出使然函数L(x1,x2,?,xn;?)

总体X为离散型时,L?P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn;?}?n?P{X?x;?},

ii?1n总体X为连续型时,L?f(x1,x2,?,xn;?)??f(x;?)

ii?1（2）对似然函数L(x1,x2,?,xn;?)取自然对数得到lnL(x1,x2,?,xn;?);

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（3）对?i求偏导数,并令其为零,得方程(组)

?lnL(x1,x2,?,xn;?)?0,(i?1,?,m) ??i称之为似然方程组;

?,???（4）解似然方程(组),求出lnL的驻点,得?的极大似然估计?12,?,?m．

主要考察m?1的情形,即一个参数. 4.估计的判别标准 (1)无偏性

?(X,?,X)为?的一个估计量，若对于任何可能的参数值，有 设???1n?(X,?,X))??， E(?1n?)??，则称??为?的渐进无偏估计量． ?为?的无偏估计量，若有limE(?则称?n??1nkk样本的k阶原点矩?Xi是总体k阶原点矩EX的无偏估计．特别地，样本均值Xni?1是总体均值EX的无偏估计，S是总体方差DX的无偏估计 (2)有效性

2?，??都是?的无偏估计量，若对任意?有D(??)?D(??)，且存在?使上式中的严格设?01212?比??有效． 不等号成立，则称?12?????}?1 ,一般使用切比雪夫不等式或大数定律可以判别. (3)一致性（相合）limP{?n??5.区间估计 参数 抽样分布 置信区间 ?2已知 Z?X???N?0,1? ?n??u? X??2??n??第 48 页 共 52 页

? ?2未知 t?X???t?n?1? Sn?St?n?1?? X??2??n??? 2?已知 2nn?X??22???22i(X??)(X??)?????ii?????n? ???i?1i?1?i?1???,22?n?n???????1??22????n ?未知 n?1?S2?22?????n?1? 2???n?1?S2n?1?S2?? ,2??2?????2?n?1??1??2?n?1??

二、典型例题

【例1】已知总体服从参数为?的泊松分布，求?的矩估计和极大似然估计.

??X. 【解】EX??,??xin??????n??i?1e??e,似然函数L(?)???nx!i?1?i???xi!?ni?1xi

lnL(?)??n???xiln????xi!?,

i?1i?1??nn?xid1n令lnL(?)??n?i?1?0,???xi?x,

d??ni?11n??L??Xi?X.

ni?1n??2???3ex,x?0,【例2】设总体X的概率密度为f(x;?)??x

?0,其他?其中?为未知参数且大于零，X1,X2，?,Xn为来自总体X的简单随机样本. 求?的矩估计量；（2）求?的最大似然估计量.

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【解】EX??????x?f(x)dx???x??0x??2x3e? ?xdx

?????2x20e? ?xdx???e0??? d(?)??ex?? ?x??0??,

?. ?EX?X???似然函数为： L?????f?x,?????xii?1i?1nn23e? ?xii??2n(?13)ei?1xinn?? ?xi?1in,

3取对数得：lnL????2nln???ln13????2nln???lnxi???1,

xii?1i?1xii?1i?1xinnnn?lnL???1求偏导数，?2n???1?0,得 ???i?1xi?L?2n. ??n2n，极大似然估计为：,?n1?xi?1i1?Xi?1i【例3】设总体X的概率分布为

X P 其中?(0???0 1 2 3 ?2 2?(1??) ?2 1?2? 1)是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求?的矩估计2和最大似然估计值. 【解】EX??xp?0??ii?2?1?2?(1??)?2??2?3?(1?2?)?3?4?,

??3?EX?3?EX3?x3?21,?????. 44444似然函数为：

L(?)??P{X?0}??P{X?1}??P{X?2}??P{X?3}????2??2?(1??)???2??1?2??12141214?4?6(1??)2(1?2?)4,

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