数学规划论文-马科维兹模型及其改进

马科维兹模型及其改进

摘要：

证券投资者通过把资金投资一种或几种收益较高的证券以获得最大限度的收益，但是收益与风险是相辅相成的，高收益必然包含高风险.因此投资者需要选择若干证券加以组合，以分散其投资风险，尽可能的实现低风险和高收益.1952年马科维兹理论的提出开创了金融理论的先河，改变了人们经验投资的传统，使投资组合更加科学性和广泛性.

马科维兹模型实质是在不损失收益率的条件下最大限度地分散投资风险，能够指导人们科学地选择证券投资组合以实现效益最大化.本文主要介绍马科维兹理论及模型的建立以及最新的研究进展，并在此基础上提出了三种模型目标函数的改进方案：引进决策系数?、引进厌恶偏好程度?及目标规划，并对此进行了对比分析.

三种改进方案都能使原本的多目标规划转化为单目标规划，并且都有其适用的范围：决策系数?适用于比较两种不同投资组合的优劣；引进偏好程度?能够在未给定预期收益及预期风险下定制个人的最优投资组合；利用目标规划能够使个人选择尽可能的达到自己预期的最优投资组合.

关键字：马科维兹模型；投资组合；数学规划

Markowitz model and its improvement

Abstract:

Securities investors get Investment income by investing one or more higher-yielding securities.But benefits and risks are complementary to each other, high-yield inevitably contains high risk.So investors need to choose a number of securities portfolio to diversify risk and get low risk and high yield. Markowitz, who created Markowitz's Portfolio Theory, changed the convention of investment and make portfolio theory more scientific and comprehensive.

Markowitz model essential is under the condition of no loss of yield maximum disperse investment risk,which can direct people to choose science portfolio to achieve the benefit maximization.This paper introduces Markowitz's Portfolio Theory and puts forward three models on the basis of the objective function:decision coefficient?,disgusting appetite? and objective programming.

Three kinds of improve models can make the multi-objective programming transformed into single objective programming and they have different applicable scopes. First,decision coefficient can compare the merits of the two different portfolios.Second,disgusting appetite is able to customize the individual optimal portfolio without expected profit and expected risk.Last,objective programming can make people get the optimal portfolio.

Key words: Markowitz model; Investment portfolio; Mathematical programming

目 录

摘要................................................................ 1 引言................................................................ 4 1.证券投资.......................................................... 5 2.马科维兹模型...................................................... 6

2.1马科维兹投资组合理论基础..................................... 6

2.1.1模型的假设 ............................................. 6 2.1.2预期收益 ............................................... 7 2.1.3预期风险 ............................................... 7 2.2证券投资的有效组合........................................... 9

2.2.1无差异曲线 ............................................ 10 2.2.2有效市场边界 .......................................... 11 2.2.3最优投资组合的选择 .................................... 12 2.3马科维兹投资决策模型的建立.................................. 12 2.4用Lagrange方法解马柯维茨模型............................... 14 3.模型的改进....................................................... 15

3.1改进一：引入决策变量?...................................... 16 3.2改进二：引入偏好程度? ...................................... 17 3.3改进三：目标规划............................................ 18 3.4总结........................................................ 20 4.对马科维兹模型的评价............................................. 21

4.1优越性...................................................... 21 4.2局限性...................................................... 21 参考文献........................................................... 22

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引言

随着经济发展，证券投资[4]越来越融入人们的日常生活，而在1952年前人们都是根据经验来进行金融资产投资，得出了例如“不要把所以鸡蛋放在一个篮子里”等投资理念.直到美国经济学家马科维兹在美国《金融杂志》上发表了题为“投资组合选择”[9]一文，开创了现代资产组合理论，使得投资上升到理论的高度，更加科学化、实用化.

马科维兹模型提出后，很多的专家学者对此进行了研究，如戴玉林在《马科维兹模型的分析与评价》一文中对该模型进行了详细的分析指出了该模型存在的很多缺陷与不足[10]；朱书尚等探讨了投资组合与金融优化，从理论研究和时间上进行了分析与反思[3].而对于投资组合模型的研究，大致可分为三个方向：1.投资组合模型的改进；2.投资组合模型的实证分析；3.模型求解及方法的研究.

由于马科维兹模型是建立在对实际情况理想化、简单化地基础上，必然存在很多不足可以改进，如马科维兹本人也在建立模型后提出用半方差代替方差以解决离中趋势非对称的问题[11]；而针对原模型不宜求解等问题，夏普进行了改进提出了单指数模型[12]，而郁维对这两种模型对中国资本市场进行了可行性分析[13]；有学者借助物理、经济等学科知识对模型进行改进，如郑丕谔等借助熵理论对其进行了改进，并通过构造性实例进行了验证[14]；还有学者从不同的角度切入对模型进行改进，如金秀等从投资者的心理特征出发，建立了加权极大-极小随机模糊投资组合模型，并用实证方法进行了验证[15].

对比于模型的改进，对于投资组合模型的实证分析主要是用于验证模型的改进以及模型求解方法的优化，如李伯德在最优投资组合的数学模型中结合了案例分析[6]，谢军等实证检验了投资者情绪与风险资产投资负相关这一结论[16].

从马科维兹模型提出后对于标准模型的求解就是很多学者研究的对象，而马科维兹模型的简单求解以及理论基础在数学规划以及相关优化书籍中都有提

[5,7,8]

.求解方法有临界线算法、利用因子模型或线性变化构造一个稀疏的协方差矩

阵进行计算、修改风险从而使用线性规划模型来求解等，而近年张忠桢等提出的旋转算法不仅较为简便，而且可以快速计算出马科维兹意义下的有效组合[1,2].

本文主要是对马科维兹理论进行了详细的介绍以及相关的研究进展，并在马

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科维兹标准模型之上对三种改进模型进行了对比分析，并对标准模型进行了详细的优缺点整理.

1.证券投资

证券投资，就是将资金用于购买股票、债券等金融资产，它与实业投资不同，它不需要对资产的具体生产经营活动进行组织和管理，只需投入资金来分享利润或从买卖证券的差价中获取利润.一般来说，证券投资是指投资者通过购买有价证券，在一段时间内获取利润的过程.当然，带来收益的同时，也必然伴随着一定的风险.所谓风险，是指在决策过程中，由于各种不确定因素的作用，决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失的程度.

人们进行证券投资的最直接的动机是获得收益，因而投资决策的目标是使收益最大化，但由于收益与投资之间在时间上的滞后，这种滞后导致收益受许多未来不确定因素的影响，从而使得收益成为一个未知量.投资者在进行决策时只能根据经验和所掌握的资料对未来形式进行判断和预测，形成对收益的预期.受不确定因素的影响，证券投资的未来收益可能偏离其预期，这种偏离将导致投资者可能面临得不到预期的收益甚至亏损的危险，这种危险就是证券投资风险.

投资者在进行投资决策时，不仅要考虑投资的收益，还要考虑投资的风险，而收益与风险是相辅相成的，通常风险小的金融资产收益小，收益大的资产其风险也大.投资决策的目标应该是追求收益的最大化和风险的最小化.如何在收益和风险这一对相互关联、相互作用的矛盾中寻求某种平衡，有效地实现预期的投资目标，关键还在于有效地控制和规避风险.那么选择哪几种证券进行投资，投资的比例多大就显得尤为重要，只有最优的投资组合才能在风险最小的情况下获得利益的最大化，这是个困扰无数投资者的难题.

在1952年之前，人们通过经验判断来进行金融资产投资，总结出很多投资格言如“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里”、“何时买卖比何种买卖更为重要”等.从格言中进而发展出所谓的金融投资理论，如公式投资计划、等级投资计划等，而这些理论实际是指导人们进行投资活动的具体投资操作，更进一步发现这些操作并不能指导人们获得平均收益.在1952年，美国经济学家马科维兹在美国

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《金融杂志》上发表了题为“投资组合选择”一文，开创了现代资产组合理论，使得投资上升到理论的高度，更加科学化和实用化.本文主要介绍马科维兹投资决策模型理论及其改进.

2.马科维兹模型

2.1马科维兹投资组合理论基础 2.1.1模型的假设

马柯维茨的投资组合理论认为，投资者是风险回避的，他们的投资愿望是追求高的预期收益，他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险.同时马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响.基于上诉考虑，提出了下面六点假设：

1呈现在投资者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分○

布，即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资；

2投资者为理性的个体，服从不满足和风险厌恶假设，投资者的目标是单○

期效用最大化，而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点；

3投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险； ○

4投资者仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定，所以他们的效用○

函数只是预期风险和收益的函数；

5在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益，另一方面，在给定预○

期收益后，投资者偏好更低的风险；

6市场是完全的，即市场不存在交易费用和税收，不存在进入或者退出市○

场的限制，所有的市场参与者都是价格的接受者，市场信息是有效的，资产是完全可以分割的.

从上诉假设中可知：投资者进行投资组合时仅考虑投资的预期收益和预期风险.

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2.1.2预期收益

预期收益率是指未来可能收益率的期望值，也称期望收益率.对于单一证券而言未来的状态是不定的，而在每种状态下的收益也不同，用期望收益率来表示预期收益.同理对于多种证券的收益也用相同的表示方法.

1单一证券的预期收益 ○

单一证券i的预期收益，这种证券在未来有s种状态，那么证券i的预期收益为：

E(ri)??risps，?Ps?1，

s?1s?1NN其中E(ri)为期望收益率；

ps为状态s出现的概率；

ris为针对状况s出现时证券i的收益率；N为各种可能状况的总数.

2证券组合的预期收益 ○

在得到单一证券的预期收益后可以得到证券组合的预期收益，rp表示包含在组合中各种资产的预期收益的加权平均数，其表达式为：

E(rp)??xiE(ri)，?xi?1，

i?1i?1NN其中，E(rp)为证券组合的期望收益率；E(ri)为组合中证券i的预期收益；

xi为组合中证券i所占的比例，即权数；N为组合中证券的种类.

2.1.3预期风险

风险本身有多种含义，并随着时间的推移，风险的含义也在不断地发展变化.在马柯维茨理论中，把风险定义为投资收益率的波动性.收益率的波动性越大，投资的风险就越高.收益率的波动性，通常用标准差或方差表示.

标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券收益的风险程度的重要指标，标准差越大，证券的风险也就越大.

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1单一证券i的预期风险，即方差和标准差的计算公式如下： ○

2??[r?E(r)]ps, ?is方差：i2is?1NN标准差：?i??[rs?1is?E(ri)]2ps,

其中，?i2、?i分别表示证券i的方差和标准差；其余符号的含义与前述预期收益的计算公式相同.

2证券组合的预期风险 ○1）协方差

证券组合的风险不仅于每种证券的风险有关，而且证券之间的相互关系也会对组合的风险产生影响.证券之间相互影响产生的收益的不确定性可以用协方差来表示.协方差是衡量两个随机变量例如证券i的收益率和证券j的收益率之间的互动性的统计量.如果用?ij表示证券i和j之间的协方差，那么：

?ij??ji?E[(ris?E(ri))(rjs?E(rj))].

如果两种证券之间的协方差为正值，表明两种证券的收益率倾向于同一方向变动，即一种证券的实际收益率高于期望收益率的情形可能伴随着另一种证券相同的情形发生.如果两种证券之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着一种反向的变动关系，一种证券的收益率上升可能伴随着另一种证券收益率的下降.一个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有人和互动关系即相互独立.证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大.

2）相关系数

两种证券之间的收益互动性还可以用另外一个统计量来表示，即两者之间的相关系数.假设?i和?j分别为证券i和j的收益标准差，?ij是两种证券之间的协方差，则其相关系数?ij的计算公式为：

?ij?ij?.

?i?j

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?ij??1表示两种证券收益结果的变化方相关系数?ij的范围是?1??ij?1，

向完全不相同，称为完全负相关；?ij?1表示两种证券收益结果的变化方向完全相同，称为完全正相关；?ij?0表示两种证券收益结果的变动之间不存在任何关系；相关系数?ij在(?1,0)区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相反，但不是百分之百地完全相反，只存在一般性的负相关关系；相关系数?ij在(0,1)区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在一般性的正相关关系.必须注意，相关系数?ij＝0时，即证券i和证券j不相关只表明证券i和证券j不存在线性相关关系，但并不排除证券i和证券j有其它形式（非线性的）相依关系.

一般来讲，如果两种证券之间的相关系数?ij?0，则可能会降低组合后的

投资风险，而如果它们之间的相关系数?ij?0，则可能会加大组合后的投资风险.

3）证券组合的方差和标准差 投资组合的预期风险?p为：

2????xixj?ij.

2pi?1j?1NN标准差?p就为：

?p???xx?iji?1j?1NNij. 其中，当i?j时，?ij表示证券i和证券j收益的协方差，反映了两种证券的收益在一个共同周期中变动的相关程度，xi、xj表示组合中证券i，j所占的比例；当i?j时，?ij??i表示证券i收益的方差.

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2.2证券投资的有效组合

从上面可知，有了证券组合的收益和风险以及它们的衡量方法，那么什么样的证券组合才是最有效的组合呢？换句话说，投资者面临众多可以选择的证券时，如何进行组合，改变不同证券的投资比例，才能实现既定期望收益率下风险

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最小或者既定风险下期望收益最大的目标？马柯维茨采用“期望收益率－方差投资组合模型”来解决证券的确定和选择问题.

2.2.1无差异曲线

投资者在进行投资决策之前都会衡量自己对风险收益的偏好程度，这就需要利用无差异曲线了.一条无差异曲线代表能提供给投资者相同效用量的一系列风险和预期收益的组合.在同一条无差异曲线上的组合对于投资者来说是无差异的.无差异曲线可以在预期收益率－标准差平面上表示出来，其中横轴表示用标准差所测度的风险，纵轴表示用预期收益率测度的收益，如图1所示.

E(r)

U1U2

U3

?图1 无差异曲线

无差异曲线表现出以下几个特点：

1）每一个投资者都有无数条无差异曲线，位于上方的无差异曲线所代表的效用水平比下方的无差异曲线所代表的效用水平高，这是因为在同一风险水平下，上方的无差异曲线提供更高的预期收益，从另一个角度来看，在同一预期收益率水平下，上方的无差异曲线能提供更小的风险；

2）每一条无差异曲线都是上升的，因为投资者是风险厌恶的，所以如果要让他承担更大的风险就必须支付更高的收益；

3）无差异曲线上升的速度是递增的，也就是说无差异曲线是下凸的，这说明随着风险的增加投资者对它的厌恶程度是上升的，为弥补增加的一单位风险必须支付更多的收益；

4）无差异曲线是不相交的，因为如果两条无差异曲线相交，而又由于不同的两条无差异曲线代表不同效用水平，显然，这就会出现矛盾；

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每一投资者都拥有一组无差异曲线图形来表示他对预期收益率和标准差的偏好.这意味着投资者将对每一可能的组合确定预期收益率和标准差.从无差异曲线还可以看出一个投资者的风险厌恶程度，高度风险厌恶者的无差异曲线更陡峭一些，轻微风险厌恶者的无差异曲线就比较平缓一些，如图2所示.这是因为要让高度风险厌恶者再多承担一单位的风险时，他要求收益的增加要大于轻微风险厌恶者的要求.

高度风险厌恶

E(r)E(r)中等风险厌恶

E(r)轻微风险厌恶

? ? ?

图2 风险规避程度不同的投资者的无差异曲线

2.2.2有效市场边界

无差异曲线可以算是投资者对自己风险收益的主观偏好，用来评价各种资产组合的收益和风险，而有效市场边界就是投资者评价的客体.

图3中的阴影部分就是所有可能的证券组合，就是可行集.这无穷多的组合我们是不是都要考虑呢？答案是否定的，投资者仅仅只需要考虑可行集中的一个子集即可.一个投资者选择他的最优组合时将从下列组合中进行：

1）对每一水平的风险，该组合提供最大的预期收益； 2）对每一水平的预期收益，该组合能提供最小的风险.

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满足这两个条件的组合被称为有效集，也叫有效市场边界.从图中可以看出A点具有最小的标准差，也就是在可行集中A点的风险最小，B点的预期收益最高，夹在A、B两点中间的边界部分就是有效市场边界，也就是说投资者仅仅考虑这个子集就可以了，而不必考虑其它组合，因为只有在有效市场边界上才满足以上两个条件.

2.2.3最优投资组合的选择

我们已经知道，投资者将在有效市场边界中选择他的最优投资组合，至于选择哪一个点进行投资，则是由他对预期收益和风险的偏好决定的.投资者可以借助有效市场边界和无差异曲线来进行最优投资组合的选择.如图4，在同一坐标系上画出投资者的无差异曲线和有效市场边界，最优投资组合就是无差异曲线与有效市场边界的切点.

根据无差异曲线与有效市场边界的切点P，我们找到了最佳组合点.虽然投资者更希望能达到U3的水平，但是这条无差异曲线上的组合已经落在可行集外，是不可能实现的.无差异曲线U1虽然也与有效市场边界有交点P1、P2，但是，因为U1?U2?U3，所以P点的效用最高，且落在有效市场边界上，也就是说，P点构成了多元证券组合的最佳组合点，而且我们知道无差异曲线是下凸的，而有效市场边界是下凹的，所以这也保证了切点的唯一性.

2.3马科维兹投资决策模型的建立

按照马柯维茨的想法，投资者需要找到一个最佳的证券组合.这个最佳组合最能满足投资者在收益和风险之间的平衡.

在一系列严格的假设条件下，马柯维茨提出了均值－方差模型.

设某个投资组合具有N种不同的风险证券，其中，第i种证券的收益序列为

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rit，其预期收益率为Ei，方差为?i2，i?1,2,???,N，它在投资组合中的权重为xi.

则该投资组合中的所有权重必须满足约束条件：

N?xi?1i?1. （1）

2投资组合的期望收益Ep和方差?p分别为：

? Ep?x1E1?x2E2?????NxNE?i?1Nixi E, （2）

??2p??xx?iji?1j?1NNij. （3）

在（3）式中，当i?j时，?ij表示证券i和j的协方差，当i?j时，?ij??i2为证券i的方差.故可把（3）式改为：

NNN???x????xxi?j. i j （3′）

2p2i2ii?1?i1?j1j?i根据投资者均为理性经济人的假设，马柯维茨理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在收益一定的条件下，将风险降到最小；或者在风险一定的条件下，获得最大的收益.为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型：

（Ⅰ）给定组合收益Ep?E0：

min???x????xixj?ij

2p2i2ii?1i?1j?1j?iNNN

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22（Ⅱ）给定组合风险?p??0：

maxEp??xiEi

i?1N

模型（Ⅰ）的意义是：在既定期望收益E0的情况下，使投资风险最小.模型（Ⅱ）的意义是：在愿意承担风险?0的条件下，使期望收益最大.事实上，模型（Ⅰ）与模型（Ⅱ）是等价的，即无论是使用模型（Ⅰ）还是使用模型（Ⅱ）确定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险一定满足期望收益率（E(rp)）－

2风险（?p）平面上的同一条曲线方程.获得了足够的数据，投资者就可以根据自

2己的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型（Ⅰ）或（Ⅱ）建立自己的投资组合，以达到满意的投资效果.

2.4用Lagrange方法解马柯维茨模型

模型（Ⅰ）和（Ⅱ）求解时，都可以采用Lagrange乘数法，通过构造Lagrange函数求解.现以模型（Ⅰ）为例：

利用Lagrange乘数法，作Lagrange函数：

L(x1,x2,???,xN,?1,?2)??x????xixj?ij??1[?xiEi?E0]??2(?xi?1).

2i2ii?1i?1j?1j?ii?1i?1NNNNN

其中，?1，?2为Lagrange乘数.函数L对x1，x2，???，xN，?1，?2的偏导数，并令其为零，可得：

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上述方程组共有(N?2)个未知数(x1,x2,???,xN,?1,?2)和(N?2)个方程，因此可以求出x1，x2，???，xN的解，用通式表示如下：

xi?ai?biE0,i?1,2,???,N.

其中，ai和bi为解方程组所求得的常数.

利用Lagrange乘数法，可以求出函数L的稳定点.在许多情况下，由问题的实际意义，而稳定点又唯一，因此，唯一的稳定点就是极值点.

对于给定的期望收益率E0，可以计算出xi的值，从而得到该期望收益率水

2平下方差?p最小的证券组合.改变E0的值，能够得到相应的期望收益率水平下方

差最小的证券组合.这样，由根据不同的E0确定的证券组合形成的集合即为有效市场边界.

3.模型的改进

上诉经典马科维兹投资模型是在预期收益或则预期风险给定的情况下给出

2的，但在实际生活中人们往往不能确定给定的E0或则?0能得出最佳的投资组合，2?或则?0?2使投资组合更优.在没有给定E0或则?0即没有其它的E0的情况下，该模

型也可等价写为：

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min???x????xixj?ij

2p2i2ii?1i?1j?1j?iNNNmaxEp??xiEi

i?1NN?xi?1,??s.t.?i?1

??xi?0,i?1,2?N.这是一个多目标线性规划（MLP）问题，为了能够解决这一问题需要将多目标规划转化为单目标规划问题，下面利用不同的转化方式对模型进行改进，以达到更好的优化效果.

3.1改进一：引入决策变量?

为了能够使多目标规划转化为单目标规划，需要有一个变量?来描述预期收益与预期风险之间的关系，定义?为：

??其中

EP2?P，

E?EminEP?PEmax?Emin22???2Pmin??，P22，

?max??min

Ei|i?1,2,?,N.}， Emin?min{Ei|i?1,2,?N.}Emax?max{22?ij|i,j?1,2,?,N.}. ?min?min{?ij|i,j?1,2,?,N.}?max?max{2

则模型可写为：

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max??s.t.EP2?P?xi?1Ni?1,

i?1,2,?,N.决策变量?所表示的意义是承担单位风险的情况下投资所能获得的收益.因为EP,?P实际数值差距较大，往往EP22???P，这样就可能导致风险稍微减小

一点对于?的影响也是巨大的，在实际投资中就是人们尽量减小风险以获得更大的收益，但是这往往是片面的.因此需要对EP,?P进行归一化处理，以使得两者的数值具有可比性.

引入?的好处在于能够使多目标规划问题转化为单目标规划，而且?有其实际的含义即单位风险回报率，人们应该选择??1的投资组合，因为得到的收益如果不能大于风险这是不合理的.而且?能够很好的衡量不同投资组合的优劣，人们也往往选择风险小收益大的投资组合，即?较大的投资组合.

但是引入决策变量?使得原本线性规划问题变为了非线性规划问题，大大增加了模型求解的难度.我们很难求解出问题的最优解，甚至我们很难判断问题是否有唯一的最优解.但是如果我们已经知道了投资组合的比例，即

2xi(i?1,2,?,N)的值，那么可以用决策变量?来进行比较进而确定最优的组合.

3.2改进二：引入偏好程度?

在改进一中是通过引入一个变量使得预期收益与预期风险有关联，虽然使多目标规划问题得以转化为单目标规划问题，但是并没有降低难度，难度反而有所增加.在多目标规划中，是极小化预期风险，极大化预期收益，为了能够使两者统一，将目标函数化为极小化风险以及极小化预期收益的相反数即：

min

Z??EP?? 17

2P

其中EP,?P与上诉定义相同.

目标函数值Z越小，就说明预期收益越大，风险越小，这正是我们所期望的.但是上诉目标函数并没有考虑的人的偏好程度，因为每个人对风险及收益的偏好不同，正如第2部分马科维兹模型理论中所介绍的大体上分为：高度风险厌恶、中等风险厌恶以及轻微风险厌恶.因此引入风险偏好程度?，则模型改进为：

2minN2Z??(1??)?EP???Ps.t.?xi?1i?1,

i?1,2,?,N.2E,?其中PP与模型改进一中定义相同.

?的大小体现了人们对风险的偏好程度，?越大说明人们能承受的风险越

大，即对风险的厌恶小.人们可以通过调整?的大小来选择最适合自己的投资组合.

该模型的改进巧妙的将多个目标统一化，并且依旧为线性规划问题，而我们知道线性规划问题是可以通过单纯形法解决的.更加贴近实际的是考虑到了人对风险的偏好程度，在模型中引入?，使模型具有更好的科学性和适用性.

3.3改进三：目标规划

上诉两种改进方案都是在未给定预期收益和预期风险的情况下进行的改进，但是人们也可能在预定的预期收益和预期风险下进行投资组合，即给定E0,?0，那么我们也可以通过目标规划来解决.

2??,d2引入EP的正负偏差量d1?,d1?，?P的正负偏差量d2，优先因子或则权系

2数P1,P2，则目标规划模型如下：

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??minPd?Pd1122EP?d1??d1??E0,2???P?d2?d2??02,s.t.?xi?1Ni?1,

xi?0,i?1,2?,N,Pj,d,d?0,j?1,2.?j?j2E0?Emin?02??min22E,?其中E0?，?0?2，2PP与上诉定义相同. Emax?Emin?max??min

对上诉模型有如下几点说明：

1当P??P或则P??P时，P,P称为优先因子，表示优先考虑预期收益或则○

122112优先考虑预期风险.这时，人们往往只看到了收益或则风险一面，对于另一面考虑甚少；

2当P,P在同一数量级时，P,P称为权系数，类似于改进二中偏好程度，不同○

1212的人对于预期收益和预期风险的重视程度不同，因此对于两者的全系数也不同，一般情况下取P1?P2?1； 3d1,d1○

??表示EP的偏差，d1?表示实际收益比预期收益的减少量，d1?表示实际

收益比预期收益的增加量，为了能够尽可能的达到预期收益，即使没有达到预期收益偏差也应该尽可能的小，因此在目标中是极小化d1?；

2??4d2,d2表示?P的偏差，d2表示实际风险比预期风险的减少量，d2表示实际○

??风险比预期风险的增加量，为了能够尽可能减少风险，即使超过预期风险，也应

?该使超过预期风险的偏差量尽可能的小，因此在目标中是极小化d2.

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使用目标规划改进马科维兹投资模型具有模型改进二的所有优点，能够个性化的“定制”最优投资组合，并且引入偏差变量能够使目标尽可能的优化，也使模型更具实际意义和应用的广泛性.

3.4总结

每一个模型的改进方案都有其优缺点和其适用的地方，不过统一的一点是都他通过构造使预期收益与预期风险能够同时考虑，而不再是静态的只考虑一个因素，通过下表1来比较各个方案.

表1：各种模型改进方案对比表 改进方案 适用范围 优点 将预期收入与预期风险有机方案一：引入已知投资组合没有确定投资结合，能够计来选择最优的组合下计算较算出单位风险决策变量? 组合 为困难 的收益，能够比较两个不同组合的优劣 引入人的偏好程度，更加贴未给定预期收方案二：引入合实际，且不益和预期风险计算较为简单 偏好程度? 需要给定预期的情况下 收益和预期风险 计算难度 缺点 计算较为困难，且没有考虑人的偏好程度 不能比较两个不同投足组合的优劣 不能比较两个给定预期收益引入偏差变量不同投足组合方案三：目标和预期风险的计算较为简单 使模型更具适的优劣，且需规划 情况下 用性 要给定预期收益和预期风险

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4.对马科维兹模型的评价

马科维兹模型的创立被誉为金融理论的一场科学革命.马科维兹本人也在模型创立的38年后获得了诺贝尔经济学奖的殊荣.但是任何理论都有其优越性和局限性，我们需要全面的看待马科维兹模型. 4.1优越性

1马科维兹模型利用均值－方差建立模型，简单易懂，改变了传统投资者的基○

本信念，人们开始摆脱经验投资，而是通过科学理论分析来进行投资； 2马科维兹模型从理论上否定了持有证券越多，分散风险效果约好的错误观点.○

利用协方差很好的体现了证券间风险和收益的互补性，一般来说，证券组合中各证券之间的相关程度越低，该组合的风险也就越低；

3马科维兹利用数学图解法科学地确定了最优投资比例关系，而不再是盲目地○进行投资.

4.2局限性

1马科维兹模型的建立进行了苛刻的理论假设，往往在实际生活中很难满足； ○

2在模型中利用了预期收益和预期风险对实际的收益和风险进行考量，以及用○

以往数据进行协方差估计以此来衡量证券间的相关性是不符合实际的，因为历史的数字资料并不能准确反映未来的收益和风险的状况，一种证券的各种变量也会随时间的推移不停地变化；

3即使得到了某一时刻的各种证券的收益和风险，由于证券种类繁多，导致计○

算量太大而无法给出最优的投资建议；

4该模型用证券未来预期收益率变动的方差或标准差来度量风险的大小.这样○

尽管风险的大小明确且易于度量，但是由于方差和标准差在计算中的双向性，就会将预期收益率有益于投资者的变动划入风险的范畴，这是有待商榷的； 5用方差作为资产风险的度量这只适用于对称分布的资产收益，不具备一般性.○

而马科维兹也认识到了原模型的缺陷，提出了运用半方差作为测定风险的参数； 6均值方差理论不能确定具体投资者的最优组合，投资者还需根据风险偏好从○

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有效集中选择最优组合；

7马科维兹最优投资组合只是在一个暂时的资产组合，即要求所有投资者有一○

个共同的单一投资期，所有的证券组合有一个特有的持有期，但是这在实际生活是做不到的.金融环境瞬息万变，模型得出的投资组合有可能不是最优的，而且还可能是无效的.

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