《经济数学基础3》形考作业二讲评

《经济数学基础3》形考作业二讲评

(满分100分)

第3章 随机变量与数字特征（上）

一、单项选择题(每小题2分，共18分)

3??0121、设离散型随机变量X的分布列为 X~??，若c为常数，F(x)为分布

?0.2c0.30.1?函数，则（B）。

A. c?0.4,F(2)?0.3 B. c?0.4,F(2)?0.9 C. c?0.3,F(2)?0.3 D. c?0.3,F(2)?0.9

分析：根据概率分布的性质?pk?1，可以确定c=0.4，可以排除C、D，再根据分布

k（x）=P(X?x)，F(2)?P(X?2)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?0.2?0.4?0.3?0.9,函数F故本题选B。

2、设离散型随机变量X的分布列为P(X?k)?a(k?1,2,?,n)，则a?（D）。 3n1 A. B. 1 C. 2 D. 3

3分析：根据概率分布的性质?pk?1，由于P(X?k)?ka(k?1,2,?,n) 3n即1??pk?P(X?1)?P(X?2)???P(X?n)?n?ka，求得a?3，故选D。 3n?Ax,3、设随机变量X的密度函数的是f(x)???0, A. 2 B. 3 C.

0?x?2其它 ，则A?（C）。

11 D. 23??分析：根据连续型随机变量概率密度函数性质1???2???f(x)dx来考虑。

1????1221f(x)dx??Axdx?Ax?2A，解得A?,故选C。

02204、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，则P(a?X?b)?（D）。

A. F(a)?F(b) B. ?F(x)dx C. f(a)?f(b) D. ?f(x)dx

aabb 1

分析：参看教材P119定义3.2，故选D。

?c,3?x?55、设随机变量X服从均匀分布，其概率密度函数为f(x)?? ，则c?（B）。

其它?0,11 A. B. C. 1 D. 2

32??分析：根据连续型随机变量概率密度函数性质1???5???f(x)dx来考虑。

1????15f(x)dx??cdx?cx3?2c，解得c?，故选B。

236、设随机变量X~?(?)（泊松分布），且已知P(X?2)?P(X?3)，则常数??（C）。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 分析：根据泊松分布的定义P(X?k)?由P(X?2)?P(X?3)，则有

?kk!e?? （k?0,1,2,?；??0）

?22!e????33!e??，解得?=3，故选C。

7、设随机变量X~N(0,1)，又常数c满足P(X?c)?P(X?c)，则c?（B）。 A. ?1 B. 0 C.

1 D. 1 2P(X?c)?1-P(X?c)=P(X?c)分析：根据标准正态分布的定义，，故选B。 1P(X?c)=，即?(c)?0.5，查表知c=028、每张奖券中末尾奖的概率为0.1，某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中末尾奖的张数为X，则X服从（C）。

A.泊松分布 B. 指数分布 C.二项分布 D. 正态分布 分析：由于购买奖券只有两个结果：中奖与未中奖，购买了20张，即这种试验重复了20次，随机变量服从二项分布。故选C。

9、设随机变量X~N(?3,2)，则X的概率密度函数f(x)?（B）。

1?x21?(x?43) A. e(???x???) B. e(???x???)

2?2?1?(x?43)1?(x?43)C. e(???x???) D. e(???x???)

2?2?分析：参看教材P123正态分布的定义，故选B

2

2222二、填空题(每小题2分，共18分)

1、设随机变量X~?(?)，且已知P(X?1)?P(X?2)，则常数P(X?4)?2?2e。 3分析：根据泊松分布的定义P(X?k)?由P(X?1)?P(X?2)，则有

?kk!e?? （k?0,1,2,?；??0）

???1!e??24?22?2?e，解得?=2，P(X?4)?e=e 2!4!3?2x?0?0,?2、设随机变量X~U(0,1)，则X的分布函数F(x)??x,0?x?1。

?1,x?1?分析：由X~U(0,1)，知a?0,b?1，根据教材P133均匀分布的分布函数，知

x?0?0,?F(x)??x,0?x?1。

?1,x?1?3、设每次打靶中靶的概率是p，则10次独立射击中至多有2次中靶的概率为

(1?p)8(36p2?8p?1)。

分析：设X表示10次独立射击中中靶的次数，则X~B(10,p)，10次独立射击中至多有

P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?10??10??10?2次中靶的概率为???p0(1?p)10???p1(1?p)9???p2(1?p)8

?0??1??2??(1?p)8(1?8p?36p2)4、设X~N(?,?2)，则P(|X??|?3?)?0.9974。

分析：由X~N(?,?2)，P(|X??|?3?)?P(?3??X???3?)?P(?3?P126相关内容，知

X???N(0,1),所以

X????3),根据

?P(|X??|?3?)??(3)??(?3)??(3)?(1??(3))?2?(3)?1?2?0.9987?1?0.9974

x5、设?(x)????1?t2edt，则?(0)?0.5。 2?2分析：这是标准正态分布的分布函数，查表知?(0)?0.5

6、设随机变量X的分布函数F(x)?A?Barctanx(???x???)，则常数A?11，B?。 2?3

分析：根据P131分布函数的基本性质limF(x)?0,limF(x)?1，则有

x???x???1???A?A?B(?)?0limF(x)?lim(A?Barctanx)?0????x?????x???22,即?，解得? ?limF(x)?lim(A?Barctanx)?1????B?1x????x???A?B()?1????2?7、设随机变量X的分布函数是F(x)，则P(a?X?b)?F(b)?F(a)。 分析：参看教材P131分布函数定义。

8、已知连续型随机变量X的分布函数F(x)，且密度函数f(x)连续，则f(x)?F?(x)。 分析：参看经济数学基础1，变上限定积分部分内容。

9、设随机变量X~N(13,52)，且P(X?k)?0.8413，则k?18。 分析：由X~N(13,52)，Y?P(X?k)?P(查表知k??X???k??X????N(0，1)，所以

??)??(k???)?0.8413?=k?13=1，解得k?185

三、解答题(每小题8分，共64分)

1、袋中装有5个大小、形状相同的球，编号为1~5，现从中任取3个球，设X表示取出的3个球中最大号码数，

试求（1）X的概率分布列； （2）X的分布函数F(x)； （3）P(2?X?4.5)。

3分析：（1）任取3个球，全部可能的取法有C5?10,X表示取出的3个球中最大号码数.

若X=3，那么剩余两个数字只能是1和2，即只有1种可能的结果；

若X=4，剩余的两个数字可以从1、2、3三个数字中任选两个，有C32?3种可能的结果；

2若X=5，剩余的两个数字可以从1、2、3、4四个数字中任选两个，有C4?6种可能的结

果。

（2）

P(X?3)?0;P(3?X?4)?P(X?3)?P(X?3)?0.1;P(4?X?5)?P(X?4)?P(3?X?4)?0.1?0.3?0.4P(X?5)?P(4?X?5)?P(X?5)?0.4?0.6?1

（3）根据离散型随机变量分布函数定义（P132）

45??3解答：（1） X~?? ；

?0.10.30.6?

4

x?3?0,?0.1,3?x?4?（2）F(x)?? ；

?0.4,4?x?5?x?5?1,（3）P(2?X?4.5)?P(X?3)?P(X?4)?0.1?0.3?0.4 。

2、已知100个产品中有5个次品，现从中任取1个，有放回地取3次，求在所取的3个产品中恰有2个次品的概率。

111分析：100个产品，有放回地取3次，每次取1个，共有C100C100C100?1003种取法。

恰有2个次品，意味着在有放回地3次取法中，2次取到次品，一次取到正品，这个结

111果是明确的，这样就有C5C5C95?95?52种取法。

95?52解答：所取的3个产品中恰有2个次品的概率为 。 31003、设随机变量X的概率分布列为

123456??0X~??，试求P(X?4),P(2?X?5),P(X?3)。

?0.10.150.20.30.120.10.03?分析：根据离散型随机变量分布函数定义（P132） 解答：P(X?4)?0.1?0.15?0.2?0.3?0.12?0.87 ； P(2?X?5)?0.2?0.3?0.12?0.1?0.72 ；

P(X?3)?1?P(X?3)?1?0.3?0.7。

4、设随机变量X具有概率密度

?2x,f(x)???0,0?x??其它 试求（1）? ； （2） P(X?0.5),P(0.25?X?2)。

分析：（1）由概率密度函数性质确定?，本题要求掌握定积分计算知识；

（2）由连续型随机变量的定义确定，本题要求掌握定积分计算知识。

???2f(x)dx??2xdx?x2|?0???1???1 ；

0解答：（1）

???0.5P(X?0.5)??2xdx?0.25 ；010.25（2）

P(0.25?X?2)??2xdx?15 。16。

5、已知某型号电子管的寿命X（单位：h）服从指数分布，其概率密度为

5

x?1?1000e,?f(x)??1000x?0 ，一台仪器中有3只此类型电子管，任一只损坏时仪器便

??0,其它不能正常工作，求仪器正常工作1000h以上的概率。

分析：参看教材P122指数分布相关内容

1000解答：P(X?1000)?1?P(X?1000)?1?1?x?100001000edx?1e。 ?0,x?06、设随机变量X的分布函数为 F(x)???Ax2,0?x?1 ，试求：（1）常数A；??1,x?1（2）X的密度函数f(x)。

分析：（1）根据连续型随机变量在分段点处的连续性来确定常数A。

（2）变上限定积分的相关知识（或原函数概念）F?(x)?f(x)

解答：（1）由limx?1?F(x)?F(1)?1，得lim2x?1?Ax?A?1； （2）f(x)???2x,0?x?1 。

?0,其它7、设随机变量X~N(2,0.04)，计算⑴P(1.8?X?2.4)；⑵P(|X?2|?0.2)。 分析：将正态分布转化为标准正态分布。X~N(2,0.04)，那么有

Y?X????N(0，1)，然后利用标准正态分布的计算方法进行计算。

解答：（1） P(1.8?X?2.4)?P(1.8?20.2?X?20.2?2.4?20.2)?P(?1?X?20.2?2)； ?(2)??(?1)?0.9772?0.8413?1?0.8185P?|X?2|?0.2??1?P(|X?2|?0.2)?1?P(?0.2?X?2?0.2)（2）?1?P(?1?X?20.2?1)?1?[?(1)??(?1)]?2[1??(1)]。

?2(1?0.8413)?0.31748、设随机变量X~N(1,0.64)，计算（1）P(0.2?X?1.8)；（2）P(X?0)。 分析：将正态分布转化为标准正态分布。X~N(1,0.64)，那么有

Y?X????N(0，1)，然后利用标准正态分布的计算方法进行计算。

6

0.2?1X?11.8?1X?1??)?P(?1??1)解答：（1） ； 0.80.80.80.8??(1)??(?1)?2?0.8413?1?0.6826P(0.2?X?1.8)?P(X?10?1X?1?)?1?P(??1.25)（2）。 0.80.80.8?1??(?1.25)??(1.25)?0.8944P?X?0??1?P(X?0)?1-P(

7

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