高二数学正弦余弦定理测试题

余弦定理训练题

1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )

A．8 B．217

C．62 D．219

解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219.

2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为( )

A.5719 B.217

C.338 D．－5719

解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcos C

＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.

∴c＝19.

由asin A＝csin C得sin A＝5719.

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．

解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a22 2a 2a＝78.

答案：78

4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．

解：法一：根据余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accos B.

∵B＝60°，2b＝a＋c，

∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos 60°，

整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.

∴△ABC是正三角形．

法二：根据正弦定理，

2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.

又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，

∴C＝120°－A，

∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，

整理得sin(A＋30°)＝1，

∴A＝60°，C＝60°.

∴△ABC是正三角形．

课时训练

一、选择题

1．在△ABC中，符合余弦定理的是( )

A．c2＝a2＋b2－2abcos C

B．c2＝a2－b2－2bccos A

C．b2＝a2－c2－2bccos A

D．cos C＝a2＋b2＋c22ab

解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．

2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是( )

A.1213 B.513

C．0 D.23

解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝0.

3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．不能确定

解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．

4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( )

A.π3 B.π6

C.2π3 D.π3或2π3

解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，

∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，

又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.

5．在△ABC中，下列关系式

①asin B＝bsin A

②a＝bcos C＋ccos B

③a2＋b2－c2＝2abcos C

④b＝csin A＋asin C

一定成立的有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．

6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )

A.14 B.34

C.24 D.23

解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，

∴b2＝2a2，

∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a 2a

＝34.

二、填空题

7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.

解析：由余弦定理，

得BC2＝AB2＋AC2－2AB AC cosA，

即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，

AC2＋5AC－24＝0.

∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．

答案：3

8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．

解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.

答案：21

9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．

解析：由正弦定理，

得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.

不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

则cos B＝ 5k 2＋ 8k 2－ 7k 22×5k×8k＝12，

∴B＝π3.

答案：π3

三、解答题

10．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.

解：A为b，c的夹角，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴16＝9＋c2－6×35c，

整理得5c2－18c－35＝0.

解得c＝5或c＝－75(舍)．

由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，

∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.

11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．

解：由题意可知，

(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，

即a2＋b2－c22ab＝12，

所以cos C＝12，所以C＝60°.

12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．

解：由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acos B，

得c＝a a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，

∴△ABC是以A为直角的直角三角形．

又∵b＝asin C，∴b＝a ca，∴b＝c，

∴△ABC也是等腰三角形．

综上所述，△ABC是等腰直角三角形．

高二数学正弦定理测试题

1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则( )

A．B＝45°或135° B．B＝135°

C．B＝45° D．以上答案都不对

解析：选C.sin B＝22，∵a＞b，∴B＝45°.

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )

A.6 B．2

C.3 D.2

解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C sin C＝12，

于是C＝30° A＝30° a＝c＝2.

3．在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.

解析：在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，

∴A为锐角，sin A＝110，BC＝1，

则根据正弦定理知AB＝BC sin Csin A＝102.

答案：102

4．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC＝ABAC.

证明：如图所示，设∠ADB＝θ，

则∠ADC＝π－θ.

在△ABD中，由正弦定理得：

BDsin A2＝ABsin θ，即BDAB＝sinA2sin θ；①

在△ACD中，CDsin A2＝ACsin π－θ ，

∴CDAC＝sinA2sin θ.②

由①②得BDAB＝CDAC，

∴BDDC＝ABAC.

一、选择题

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是( )

A.53 B.35

C.37 D.57

解析：选A.根据正弦定理得sin Asin B＝ab＝53.

2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为( )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，

又由正弦定理ac＝sin Asin C.

∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.

3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝( )

A．－223 B.223

C．－63 D.63

解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，

∴sin B＝10 sin 60°15＝10×3215＝33.

∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．

∴cos B＝1－sin2B＝1－ 33 2＝63.

4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

解析：选B.由题意有asin A＝b＝bsin B，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c＝( )

A．1 B．2

C.3－1 D.3

解析：选B.由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B，

∴sin B＝12，故B＝30°或150°.

由a＞b，得A＞B，∴B＝30°.

故C＝90°，由勾股定理得c＝2.

6．(2011年天津质检)在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有( )

A．两解 B．一解

C．无解 D．无穷多解

解析：选B.因csin A＝23＜4，且a＝c，故有唯一解．

二、填空题

7．在△ABC中，已知BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________.

解析：AB＝sin Csin ABC＝2BC＝25.

答案：25

8．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.

解析：A＝180°－30°－120°＝30°，

由正弦定理得：

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3.

答案：1∶1∶3

9．(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.

解析：由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B，

∴sin B＝12.∵∠C为钝角，

∴∠B必为锐角，∴∠B＝π6，

∴∠A＝π6.

∴a＝b＝1.

答案：1

三、解答题

10．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a.

解：∵sin A∶sin B∶sin C＝a2R∶b2R∶c2R＝a∶b∶c，

∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×415＝8.

11．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝2，B＝120°，解此三角形．

解：法一：根据正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝asin Bb＝5×322＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解．

法二：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以A＞B＝120°.所以A＋B＞240°，这与A＋B＋C＝180°矛盾．所以此三角形无解．

法三：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以asin B＝5sin 120°＝532，所以b＜asin B．又因为若三角形存在，则bsin A＝asin B，得b＞asin B，所以此三角形无解．

12．在△ABC中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC的形状．

解：法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，

∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a a2R＝b b2R，

∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．

法二：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，

∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：

2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，

∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)

故△ABC为等腰三角形．

高二数学一元二次不等式及其解法检测题

1．下列不等式的解集是 的为( )

A．x2＋2x＋1≤0 B.x2≤0

C．(12)x－1＜0 D.1x－3＞1x

答案：D

2．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－2，2] B．(－2，2)

C．[－2，2) D．[－2，2]

解析：选D.Δ＝(－2a)2－4×1×2≤0，∴－2≤a≤2.

3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．

解析：由Δ＝(m－3)2－4m≥0可得．

答案：m≤1或m≥9

4．若函数y＝kx2－6kx＋ k＋8 的定义域是R，求实数k的取值范围．

解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；

②当k＞0时，必有Δ＝(－6k)2－4k(k＋8)≤0，

解得0＜k≤1.综上，0≤k≤1.

一、选择题

1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是R，则( )

A．a＜0，Δ＞0 B．a＜0，Δ＜0

C．a＞0，Δ＜0 D．a＞0，Δ＞0

答案：B

2．不等式x2x＋1＜0的解集为( )

A．(－1,0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－1,0) D．(－∞，－1)

答案：D

3．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是( )

A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12

C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12

解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－2×3＝n2.∴m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.

4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠ ，则m等于( )

A．1 B．2

C．1或25 D．1或2X k b 1 . c o m

解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜52，x∈Z}＝{1,2}，∴m＝1或2.

5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的集合为( )

A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4}

C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}

解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝ .当a≠0时，若A＝ ，

则有a＞0Δ＝a2－4a≤0 0＜a≤4.

综上，a∈{a|0≤a≤4}．

6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )

A．100台 B．120台

C．150台 D．180台

解析：选C.3000＋20x－0.1x2≤25x x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.

二、填空题

7．不等式x2＋mx＋m2＞0恒成立的条件是________．

解析：x2＋mx＋m2＞0恒成立，等价于Δ＜0，

即m2－4×m2＜0 0＜m＜2.

答案：0＜m＜2

8．(2010年高考上海卷)不等式2－xx＋4＞0的解集是________．

解析：不等式2－xx＋4＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，∴－4＜x＜2.

答案：(－4,2)

9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝12t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．

解析：依题意有12t2－2t＞30，

解得t＞10或t＜－6(舍去)．

答案：t＞10

三、解答题

10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.

解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．

又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，

∴lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜110或x＞100.

∴原不等式的解集为{x|0＜x＜110或x＞100}．

11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围． 解：当a＝0时，

不等式为－x－1＜0 x＞－1不恒成立．

当a≠0时，不等式恒成立，则有a＜0，Δ＜0，

即a＜0 a－1 2－4a a－1 ＜0

a＜0 3a＋1 a－1 ＞0

a＜0a＜－13或a＞1 a＜－13.

即a的取值范围是(－∞，－13)．

12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？

解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－52t)万亩．则税收收入为(20－52t)×24000×t%.

由题意(20－52t)×24000×t%≥9000，

整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.

∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元． 资料来自：悦考网http://www.77cn.com.cn

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x2ki.html