正方形的性质与判定

正方形的性质与判定 同步练习

一、填空题

1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝ °. 2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，则∠AEC＝ °.

3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°； ②∠AFC=112.5°； ③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶2. 其中正确的有 个. 4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝ °；∠ACE＝ °.

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 °.

6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为 °

第6题图 第7题图 第8题图 第9题图

7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.

8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 .

9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B?处，点A对应点为A?，且B?C=3，则CN= ；AM的长是 .

110、正方形的面积是，则其对角线长是________.

311、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 12、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、?、An分别是正方形的中心，则n

个这样的正方形重叠部分的面积和为 .

O2

O

第11题图 第14题图

第12题图 第13题图

1 13、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如

图所示重叠部分），则这个风筝的面积是 .

14、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点

O，则四边形AB′OD的周长是 . 15、如右图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE

对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确的结论是 .（填序号）

16、如右图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边△ABE，CE与DB

相交于点F，则?AFD= 。 二、解答题

1、如图1：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E， PF⊥BD于F，则PE+PF= .可以用一句话概括：

正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 .

思考：如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请在图2中画出图形，写出你的结论，

并加以说明.

图2

2、（1）如图1，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 2EC．其中正确结论的序号是 ．

思考：（2）当点P在DB的长延长线上时，请在图2中补充完整，并思考（1）中AP 与EF的关系结

论是否依旧成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

图2 图1

3、已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB交AB于D，DF//BC,DE//AC. 求证：四边形DECF为正方形.

4、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC. 试判断△EFG的形状，并说明理由.

5、E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.

6、如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F. 求证：PM = QM.

7、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.

8、如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD.

9、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，

且PE=PB.试判断PE与PD的关系.

10、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

11、如图，已知□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三

角形．

E （1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若?AED?2?EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

A

D

O B C

12、如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，

（1）若∠PAQ=45°,求证：PQ=BP+DQ；（2）若PQ=BP+DQ，求∠PAQ的度数.

13、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交

BC于点E，A′D′交CD于点F. （1）求证：OE=OF；（2）若正方形ABCD的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积；（3）若正方形 A′B′C′D′绕着O点旋转，EF的长度何时最小，并求出最小值.

14、如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在

AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．如图②，若M为AD边的中点，

（1）△AEM的周长= cm；（2）求证：EP=AE+DP；

15、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形

ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；（无需证明）

（2） 将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、图3

情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立,并选取一种情况证明你的判断．

16、（1）如图（1），已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M为线段

AE的中点。探究：线段MD、MF的关系。

（2）如图（2），若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45?，使得正方形CGEF对角线CE在正方形

ABCD的边BC的延长线上， M为AE的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

图1 图2

17、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、

G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；

如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状是 ；（直接写出结果）

（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=?（0°＜?＜90°），

① 试用含?的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG；

③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

18、已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；

（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；

小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x2hh.html