第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)

多元函数微分法及其应用习题

第三节 三重积分的计算

习题 9-3

1. 化三重积分I=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为直角坐标系中的三次积分, 其中积分区

Ω

域Ω分别是:

(1) Ω={(x,y,z)0≤x≤2,1≤y≤3,0≤z≤2};

(2)

由锥面z=与平面z=1围成的闭区域;

(3) 由双曲抛物面z=xy及平面x+y=1,z=0围成的闭区域; (4) 由曲面z=x2+2y2及z=2 x2围成的闭区域. 解 (1) 易知∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫dyf(x,y,z)dz.

01

Ω

(2) 如图9.40, 区域Ω在xOy面上的投影

区域是圆域x+y≤1, 故

2

2

2

3

2

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz

Ω

=∫dx∫

1

1y1f(x,y,z)dz.

(3) Ω的顶z=xy和底面z=0的交线为x区域由x轴,y轴和直线x+y=1所围成. 于是Ω可用不等式表示为:0≤z≤xy, 0≤y≤1 x, 0≤x≤1, 因此

∫∫∫

Ω

f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫

11 x0

dy∫

xy0

f(x,y,z)dz.

22 z=x+2y,

(4) 如图9.41, 由

2

z=2 x

得x+y=1, 故区域Ω在xOy区域是圆域x2+y2≤1, 于是Ω示为:

22

x2+2y2≤z≤2 x2, ≤y≤

1

多元函数微分法及其应用习题

因此

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫ 1dx∫Ω

1y∫

2 x2x2+2y2

f(x,y,z)dz.

2. 如果三重积分∫∫∫f(x,y,z)dv的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x)、f2(y)、

Ω

f3(z)的乘积,即f(x,y,z)=f1(x) f2(y) f3(z),积分区域Ω是长方体:Ω={(x,y)a≤x ≤b,c≤y≤d,l≤z≤m}, 证明这个三重积分等于三个定积分的乘积, 即

∫∫∫

Ω

f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz=∫f1(x)dx ∫f2(y)dy ∫f3(z)dz.

a

c

l

bdm

证

∫∫∫f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz

Ωb

d

m

a

c

l

=∫[∫(∫f1(x)f2(y)f3(z)dz)dy]dx =∫[∫(f1(x)f2(y) ∫f3(z)dz)dy]dx

a

c

l

b

d

m

=∫[(∫f3(z)dz) (∫f1(x)f2(y)dy)]dx

a

l

c

bmd

=(∫f3(z)dz) ∫[f1(x) ∫f2(y)dy]dx

l

a

c

mbd

=∫f3(z)dz ∫f2(y)dy ∫f1(x)dx

l

c

a

mdb

=∫f1(x)dx ∫f2(y)dy ∫f3(z)dz.

a

c

l

bdm

3． 计算下列三重积分

(1) ∫∫∫xydxdydz, 其中Ω是由曲面z=xy, 平面z=0,x+y=1围成的闭区域;

Ω

(2) ∫∫∫

Ω

dv

, 其中Ω是由平面x+y+z=1和三个坐标面所围成的四

(1+x+y+z)2

面体;

(3) ∫∫∫xyzdxdydz, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=1与三个坐标面所围成的第

Ω

一卦限内的闭区域;

(4) ∫∫∫ycos(x+z)dv, 其中Ω

是由抛物柱面y=及平面y=0,z=0和x+z

Ω

2

多元函数微分法及其应用习题

=

π

围成的闭区域; 2

h22

(5) ∫∫∫zdv, 其中Ω是由圆锥面z=(x+y2)与平面z=h围成的闭区域.

aΩ

2

解 (1) 由1.(3)知, d∫∫∫xyxdydz=∫dx∫

Ω

11 x0

dy∫

xy0

xydz=∫dx∫

11 x0

x2y2dy

=∫

1x0

2

(1 x)31

. dx=

3180

(2) Ω={(x,y,z)0≤z≤1 x y,0≤y≤1 x,0≤x≤1} (如图9.42), 故

11 x1 x dv=ddxy∫∫∫(1+x+y+z)2

∫0∫0∫0Ω

=∫dx∫

11 x0

11

y (

1+x+y2

11

=∫(ln2 (1 x) ln(1+x))dx 02

3

= ln2. 4

(3) 区域Ω={(x,y,z)0≤z≤≤y≤≤x≤1}, 故

∫∫∫xyzdxdydz=∫0xdx∫0

Ω1

1ydy0

dz

1 x2 y2y =∫xdx∫dy

002111=∫x(1 x2)2dx=. 8048(4) Ω={(x,y,z)0≤z≤

ππ

x,0≤y≤0≤x≤, 故 22

∫∫∫ycos(x+z)dv=∫

Ω

ππ

x

2dxy2000

∫∫

ycos(x+z)dz

=∫

π

2dxy00

∫-ysinx)dy=∫

π

20

x(1 sinx)π21

dx= . 2162

3

多元函数微分法及其应用习题

2h222 z=2(x+y),

(5) 法1 不妨设h>0, 如图9.43所示. 由 消去z, 得 a

z=h x2+y2=a2, 故Ω在xOy面上的投影区域

Dxy={(x,y)x2+y2≤a2},

故Ω={(x,y,z≤z≤h,(x,y)∈Dxy}

因此

+y2)

∫∫∫zdv=

Ω

Dxy

∫∫dxdyhzdz

图9.43

1h222

=∫∫[h (x+y2)]dxdy

2Daxy

12h2=[h∫∫dxdy 22Da

xy

h2h22

∫∫(x+y)]dxdy]=2 πa 2a2Dxy

2

2

∫0

2π

dθ∫ρ3dρ=

a

122πah. 4

法2 用过点(0,0,z)且平行于xOy面的平面截Ω得平面圆域Dz,

其半径为

azπa22

=, 面积为2z, Ω={(x,y,z)(x,y)∈Dz,0≤z≤h}, 于是

hh

∫∫∫zdv=∫0zdz∫∫dxdy=∫0

Ω

hh

Dz

πa221

z zdz=πa2h2.

4h

4. 设积分区域Ω

是由曲面z=

,z=与平面x=0,y=0 围成的位于第一卦限内的闭区域, 试将三重积分∫∫∫f(x2+y2+z2)dv分别表示为直

Ω

角坐标, 柱面坐标和球面坐标系中的三次积分.

解 如图9.44, 在直角坐标系中,Ω可表示为

z=

≤z≤

0≤y≤

0≤x≤4

故

∫∫∫f(x

Ω

2

+y2+z2)dv

多元函数微分法及其应用习题

=∫

x∫

yf(x2+y2+z2)dz,

π

, 于是

2

在柱面坐标系下,Ω

可表示为ρ≤z≤

, 0≤ρ≤, 0≤θ≤

2

2

2

π

2dθρ

ρ00

∫∫∫f(x

Ω

+y+z)dv=∫∫f(ρ2+z2)ρdz,

在球面坐标下,Ω可表示为0≤r≤2, 0≤ ≤

2

2

2

ππ

2

2dθ4d 000

ππ

, 0≤θ≤,于是 42

∫∫∫

Ω

f(x+y+z)dv=∫∫∫

f(r2)r2sin dr.

5. 利用柱面坐标计算下列三重积分

(1) ∫∫∫(x+y+z)dv, 其中Ω

是由圆锥面z=1 与平面z=0围成的闭

Ω

区域;

(2) ∫∫∫v, 其中Ω

是由柱面y=z=0,z=1及y=0

Ω

围成的闭区域.

解 (1) Ω可表示为0≤z≤1 ρ, 0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π, 故

∫∫∫(x+y+z)dv=∫

Ω

2π0

dθ∫dρ∫

11 ρ0

(ρ(sinθ+cosθ)+z)ρdz=

π. 12

(2) 如图9.45,Ω可表示为0≤z≤1, 0≤ρ≤2cosθ, 0≤θ≤

π

, 故

2

∫∫∫Ω

v;

=∫=∫

π

2cosθ

2dθ00

∫dρ∫(zρ)ρdz

1

483

cosd=. θθ∫239

6. 利用球面坐标计算下列三重积分

dρ=∫

(1) Ω

π

2cosθ

2dθ00

ρ2

π

20

2

2

, 其中Ω是由x2+y2+z2=2az围成的闭区域(a>0);

(2) ∫∫∫sin(x+y+

Ω

322z)dv

, 其中Ω

是由曲面z=, z=

5

多元函数微分法及其应用习题

所围闭区域.

解 (1) 球面坐标系中, 球面x2+y2+z2=2az的方程为r=2acos , 于是Ω 可表示为:0≤r≤2acos , 0≤ ≤

π

, 0≤θ≤2π, 故

2

Ω

=∫

2π0

dθ∫

π

2acos

2d 00

∫

12

rsin dr r

=∫

2π02π

dθ∫

π

22a2cos2 sin d 0

2a24πa2

dθ=. =∫033

(2) 如图9.46, 在球面坐标系中, Ω可表示为:

0≤r≤R, 0≤ ≤

2

2

π

, 0≤θ≤2π, 6

322z)dv

z=故

∫∫∫sin(x

Ω

+y+

=∫=∫

2π02π

dθ∫dθ∫

π

R

6d sinr300

∫

r2sin dr

1

sin (1 cosR3)d

032π1π

(1 cosR3)dθ=(2 cosR3). =∫0323

7. 选用适当的坐标计算下列三重积分

(1) ∫∫∫xy2z3dxdydz, 其中Ω是由曲面z=xy, 平面y=x, x=1,z=0围成的

Ω

π60

闭区域;

(2) ∫∫∫

Ω

dv

, 其中Ω是由圆锥面x2+y2=z2与平面z=1围成的闭区域; 22

1+x+y

(3) ∫∫∫(x2+y2)dv, 其中Ω=(x,y,z)a2≤x2+y2+z2≤b2,z≥0;

Ω

{}

(4) ∫∫∫z2dxdydz, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=R2与x2+y2+z2=2Rz

Ω

(R>0)围成的闭区域;

6

多元函数微分法及其应用习题

(5) ∫∫∫ydv, 其中Ω是由曲面z=3 x2 y2与z= 5+x2+y2以及平面x=0,

Ω

y=0围成的位于第一及第五卦限的闭区域;

(6) ∫∫∫zdv, 其中Ω=(x,y,z)x2+y2≤z,1≤z≤4;

Ω

{}

(7)

Ω

v, 其中Ω是由曲面y=x2+z2与平面y=4围城的闭区域.

解 (1) 如图9.47, 用直角坐标,

232

∫∫∫xyzdxdydz=∫xdx∫ydy∫

1

x

xy30

Ω

00

zdz=

x611511121dddxxyy=xx=. ∫0

4∫028∫0364

z

(2) 如图

, 易知

2π112π1dv1ρ1d

ddd(=θρ ρz=θ+∫∫∫1+x2+y2∫0∫0∫ρ1+ρ2∫0∫01+ρ21+ρ2 1)dρ

Ω

=∫

2π0

1ππ(ln2+ 1)dθ=π(ln2 2+. 242

π

, 0≤θ≤2π, 2

(3) 如图9.49, 在球面坐标系下,Ω可表示为

a≤r≤b, 0≤ ≤

∫∫∫(x

Ω

2

+y)dv=∫

=2

2π0

dθ∫

π

b2

2d r

a0

∫

sin2 r2sin dr

2π

dθπ2154π5(b a5)sin3 d =(b a5). 7

多元函数微分法及其应用习题

(4) 如图9.50,当0≤z≤π(2Rz z2); 当

R

时,

面积是 2

R

≤z≤R时,

,面积是π(R2 z2). 故 2

22

∫∫∫zdxdydz=∫zdz∫∫dxdy

R

Ω

Dz

=π∫z2(2Rz z2)dz+π∫Rz2(R2 z2)dz

2

RR

=

59

πR5. 480

(5) 如图9.51, 利用柱面坐标, 故

∫∫∫ydv

Ω

=∫

π

23 ρ2

2dθdρ00 1

∫∫

ρsinθ ρdz ρsinθ ρdz

+∫=∫

π

2 1

2dθdρ00 5+ρ2

∫∫

π

2

2dθ00

∫

ρ(4 ρ)sinθdρ

ρ2(4 ρ2)sinθdρ

22

+∫

π

2

2dθ00

∫

128=. 15(6) 利用柱面坐标计算,

∫∫∫zdv=∫

Ω

2π0

dθ∫dρ∫z ρdz+

1

14

∫0

2π

dθ∫dρ∫

1

24

ρ2

z ρdz

=∫

2π0

dθ∫

1150

2

ρdρ+∫

2π0

dθ∫

2

1

1

(16 ρ4)ρdρ=21π. 2

(7) 利用柱面坐标计算,

∫∫∫

Ω

v=∫dθ∫ρ2dρ∫2dy=

2π24

ρ

128

π. 15

8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x2f4.html