高考数学椭圆与双曲线抛物线的经典性质（绝对的全，超级好） - 图文

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抛物线焦点弦性质总结30条 A'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aOFB'B(X2,Y2) 基础回顾 1. 以AB为直径的圆与准线L相切； 22. x1x2?p4; 3. y1y2??p2;

4. ?AC'B?90; 5. ?A'FB'?90;

6. AB?xp2p1?x2?p?2(x3?2)?sin2?; 7.

1AF?12BF?P; 8. A、O、B'三点共线； 9. B、O、A'三点共线；

SAOB?P210.2sin?；

S211. AOB?(P2)3AB（定值）； 12. AF?P1?cos?；BF?P1?cos?；

13. BC'垂直平分B'F；

14. AC'垂直平分A'F；

15. C'F?AB；

16. AB?2P； 17. CC'?12AB?12(AA'?BB')； 18. KAB=Py； 319. tan?=y2xp;

2-220. A'B'2?4AF?BF; 21. C'F?12A'B'. 22. 切线方程 y0y?m?x0?x?

性质深究

一)焦点弦与切线

1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有

何特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦AB?x轴时，则点P的坐标为???p?2,0???在准线上． 证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB是抛物线y2?2px（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1?l，BB1?l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有

结论6PA⊥PB． 结论7PF⊥AB． 结论8 M平分PQ．

结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．

结论10FA?FB?PF2 结论11S?PABmin?p2

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二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①xp?y1y2y?y2，yp?1 2p2结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．

结论14 ?PFA??PFB 结论15 点M平分PQ 结论16 FA?FB?PF

相关考题

1、已知抛物线x?4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且AF??FB（?＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M， （1）证明：FM?AB的值；

（2）设?ABM的面积为S，写出S?f???的表达式，并求S的最小值．

2、已知抛物线C的方程为x?4y，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B； （1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：AF?DF；

（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上． 3、对每个正整数n，An?xn,yn?是抛物线x?4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn?sn,tn?，

2222（1）试证：xn?sn??4（n≥1）

n（2）取xn?2，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：

FC1?FC2???FCn?2n?2?n?1?1（n≥1）

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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

xxyyx2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程

abxxyy是02?02?1. abx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点

ab角形的面积为S?F1PF2?btan2xxyyx2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是02?02?1.

ababx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则

abxxyy切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

abx2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，

ab则双曲线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot2?2.

?2x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别

交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于

点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

.

x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦

点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P

和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

b2x2y211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2，

aabb2x0即KAB??2。

ay0x0xy0yx02y02x2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.

abababx2y2x0xy0yx2y213. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2.

abababx2y211. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2x0b2x0KOM?KAB?2，即KAB?2。

ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

abx0xy0yx02y02?2?2?2. a2babx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

abx2y2x0xy0y??2?2. a2b2ab第 5 页 总策划：小柏---武汉中学高三数学组

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