速度之 合成与分解之 绳拉物体问题

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专注 轻重缓急 劳逸结合 速度之 合成与分解之 绳拉物体问题

物体与轻绳连接这一种模型是高中物理中的一种常见模型，有关物体在绳子作用下的运动的问题是一种常见问题。下面主要就这类问题的主要情形及同学们易出错的地方加以分析剖析。

一、有关运动的合成和分解问题

绳拉物体问题在运动的合成与分解这一部分非常常见，处理这类问题应牢记两个原则。

①当物体的运动方向沿绳子方向（与绳子平行）时，物体的速度与绳子的速度相同。

【例1】如右图所示，A 、B 两物体通过一条跨过定滑轮的绳子相连接。A 沿斜面下滑，B 沿水平面滑动。由于A 、B 的运动方向均沿绳子的方向，所以两物体的速度均和与它们相连接的绳子的速度相同。因而A 、B 两物体的速度大小相等。

②当物体的运动方向不沿绳子方向（与绳子不平行）时，物体的速度与绳子的速度不相同，此类问题应该用运动的合成和分解的知识解答。

【例2】如右图所示，人用绳子通过定滑轮拉物体A ，当人以速度0v 匀速前进时，求物体A 的速度。

首先要分析物体A 的运动与人拉绳的运动之间有什么关系。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于0v ；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得物体A 的速度0cos A v v θ

=

。当物体A 向左移动，θ将逐渐变大，A v 逐渐变大。虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动。

【例3】光滑水平面上有A 、B 两个物体，通过一根跨过定滑轮的轻绳子相连，如右图所示，它们的质量分别为A m 和B m 。当水平力F 拉着A 且绳子与水平方向的夹角为45A θ=，30B θ=时，A 、B 两物体的速度之比是多少？

【解析】在本题中，由于A 、B 的速度方向均不沿绳子方向，所以两物体的速度均不等于绳子伸长或缩短的速度。设沿绳子方向的分速度大小为v ，则由速度的合成与分解可得：

cos cos 45A A v v v θ==，cos cos30

B B v v v θ=

=

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可得：A B v v =∶

二、有关物体速度的突变问题

对于物体的速度方向与绳子不平行的此类问题，由前面的分析可知，物体的速度可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度。那么当绳子突然停止伸长或缩短时，沿绳子方向的分速度突变为零，而垂直于绳子方向的分速度保持不变。

【例4】如右图所示，有一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板中央小孔O 的轻绳相连，用力拉着绳子另一端使P 在水平板内绕O 做半径为a 、角速度为1ω的匀速圆周运动。求：

（1）此时P 的速率多大？

（2）若将绳子从这个状态迅速放松后又拉直，使P 绕O 做半径为b 的匀速圆周运动，从放松到拉直这段过程经过了多长时间？

（3）P 做半径为b 的圆周运动的角速度2ω？

【解析】（1）根据线速度与角速度的关系可知：11v a ω=

（2）如右图，绳子放松后，小球保持1v 的速度沿切线做匀速直线运动，从放开到拉紧这段位移为x 。

x =又因为1x v t =

则可得：11

x t v ==。 （3）在拉直过程中，P 的速度1v 可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度。当绳子突然拉直时，由于绳子弹力的作用，使沿绳子方向的分速度突变为零，而垂直于绳子方向的分速度2v 保持不变，所以小球P 将以速度2v 做半径为b 的匀速圆周运动。所以有：21cos v v α=，其中22v b ω=，cos a b

α=。 则可解得：2

212a b

ωω= 【点评】本题的第（3）问是同学经常出错的地方，错误的原因就在于，没有注意到小球的速度在绳子拉直的瞬间会发生突变，而错误地认为小球的速率仍然为1v 。

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