《概率论与数理统计》复习资料

《概率论与数理统计》复习资料

一、考试说明

考试形式和试卷结构

考试形式：当堂开卷

试卷内容比例：概率论部分约占 72% 数理统计部分约占28％ 题型比例：选择题约占24%，填空题约占24％，解答题约占52%

说明:在下列的复习题中，包括试题中题目分数约为70分，包括了所有试题题型，由于考试形式为开卷，所以请同学们认真做一下下面的复习题，这样至少保证通过考试，在确保通过考试的基础上，请同学们认真复习，取得满意的成绩。

二、复习题

(一)

单项选择题

1、A、B、C表示事件，下列三个有关事件的关系式中，正确的有（ ）． （1）A+BC＝(A+B)(A+C) （2）

知识点 等可能概型 A+B=AB （3）A+B=AB

答案 c A、0个； B、1个； C、2个； D、3个

2、掷2颗骰子，设点数之和为3的事件的概率为p，则p?（ ）

11; (B) ; 2411(C) ; (D) .

1836（A）

知识点 等可能概型 答案 c

3、一部文集，按顺序排放在书架的同层上，则各卷自左到右或自右到左卷号恰好为1、2、 3、4顺序的概率等于（ ）

(A)

18知识点 等可能概型 (B)112答案 b (C)116(D)124

4、某次国际会议共有1000人参加，其中有400人来自天津，350人来自北京，250人来自国外。已知有100人将在会议发言，则恰好有40个发言者是天津人的概率为（ ）．

40604060403525403525C400C600C400C600C400C350C250C400C350C250A、400350250 B、 C、400350250 D、 100100C1000C1000C1000C1000C1000C1000C1000C1000

知识点 超几何概型 答案 b 5、已知A,B两事件满足P(AB)?P(AB)，若P(A)?p，则P(B)?（ ） A. 1?p B. p C. p(1?p) D. p2

知识点 随机事件概率 答案 a

6、已知甲乙两人射击的命中率分别为0.8和0.9，现让他们各自独立地对同一目标各射一次，求目标被命中的概率为（ ）。

A、0.72； B、0.84； C、0.93； D、0.98

知识点 条件概率

7、袋中有三张彩票，其中只有一张是可以中奖的。甲、乙、丙三个人一次从袋中取出一张彩票，则（ ）．

A、甲中奖的概率最大 B．乙中奖的概率最大 C、丙中奖的概率最大 D、三个人中奖的概率相同

知识点 条件概率与全概率公式

8、设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%. 现从中任取一件，取到的恰好是次品的概率为（ ）.

A．0.035 B．0.038 C．0.076 D．0.045

答案 D 答案 d

知识点 全概公式

119、设事件A，B相互独立，且P（A）=,P(B)?，则P(A|B)=（ ）

35答案 a A．C．

1 154 151B．

51D．

3知识点 随机事件的独立性 答案 d 5,则P{Y?1}?( )． 9312219A. B. C. D. 

1513274110、设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X?1}?知识点 二项分布

11、设随机变量X~N(1,4)，已知???1.96??0.025，则P(X-1)/2?1.96?（ ）. A、0.025 B． 0.050 C、0.950 D、0.975

知识点 正态分布 答案 d 答案 b ??

12、设随机变量X~ N(μ，σ2)，若μ不变，当σ增大时概率P{|X-μ|<1}（ ）． A、增大 B． 减小 C、不变 D、增减不定

知识点 正态分布

13、设X的概率密度为fX(x)?答案 b 1，则Y?2X的概率密度fY(y)?（ ）.

?(1?x2)（A）

21; (B) ; 22?(4?y)?(1?4y)(C)

11arctgy. ; (D) ??(1?y2)知识点 答案 随机变量函数的分布 a 14、设X和Y是相互独立的两个随机变量，X服从[0,1]上的均匀分布，即X~U(0,2),Y服从参数为2的指数分布,即Y~e(2)，则E(XY)?（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4

知识点 期望和方差 答案 b

15、对两个随机变量X和Y，若E[X+Y]=E[X]+E[Y]，则（ ）．

A、D(X+Y)=D(X)+D(Y); B、 E[XY]=E[X]E[Y]; C、D(XY)=D(X)D(Y); D、上述结论都不一定成立．

知识点 数学期望的性质

16、随机变量X~b(n,p),且已知E(X)?2.4, D(X)?1.44，则此二项分布中参数n和

答案 d p?（ ）.

（A）n?6,p?0.4; (B) n?4,p?0.6; (C) n?6,p?0.6 ; (D) n?4,p?0.4.

知识点 数学期望 答案 a 17、设随机变量X服从正态分布N(0,1)，Y=3X+4，则D(Y)=（ ）. A、3 B、4 C、9 D、16

知识点 期望和方差 答案 c 18、设随机变量X和Y都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E[X+Y]=（ ）．

A、1/6； B、1/2； C、1； D、2

知识点 期望和方差

19、两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,4)和N(0,9)，则D(2X+3Y)=（ ）．

A、72 B、 84 C、97 101 知识点 数学期望与方差 答案 C 答案 c

20、对两个随机变量X和Y,若E(XY)?E(X)E(Y),则（ ）成立。

（A）D(XY)?D(X)D(Y); (B) D(X?Y)?D(X)?D(Y); (C) X和Y相互独立; (D) X和Y不相互独立.

知识点 期望和方差 答案 b

21、设随机变量X和Y的方差D(X)，D(Y)都不为零，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X与Y（ ）．

A、不相关的充分必要条件; B、独立的充分条件，但不是必要条件; C、独立的充分必要条件; D、不相关的充分条件，但不是必要条件．

知识点 方差的性质

22、设D(X)?2,则根据切比雪夫不等式P{|X?E(X)|?3}?（ ）

. （A）

答案 a 21; (B) ; 9431(C) ; (D) .

43知识点 切比雪夫不等式 答案 a

23、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ未知，σ2已知X1，X2，X3是取自总体X的

一个样本，则以下不能作为统计量的是（ ）．

A、X1+μ B、X1+X2/4 C、2X1+3X2+4X3 D、(X1+X2+X3)/σ2

知识点 统计量

24、设X1,X2,?,Xn是正态总体N(μ,σ2)的样本,则样本均值 X的方差D( X)=（ ）． A、σ2 B、nσ2 C、σ2/n D、σ2/n2

答案 a 知识点 统计量

答案 C 25、随机变量X服从(0-1)分布,参数p未知,有容量为n的样本观察值x1, x2,?, xn,则参数p的

最大似然估计为（ ）．

A、x1, x2,?, xn中的最大值max{x1, x2,?, xn} B、x1, x2,?, xn中的最小值min{x1, x2,?, xn} C、x1, x2,?, xn的中间值xn/2 D、x1, x2,?, xn的平均值(x1+x2+?+xn)/n

知识点 最大似然估计

26、设总体X~N(?,?2),?2已知而?为未知参数，X1,X2,?Xn是从总体X中抽取的

答案 D 1n样本，记X??Xi，又?(x)表示标准正态分布的分布函数，已知Ф（1.96）=0.975，

ni?1Ф(1.28)=0.90，则?的置信度为0.95的置信区间是（ ）。

A、(X?0.975??n,X?0.975??n),

),

B、(X?1.96??n,X?1.96??nC、(X?1.28??n,X?1.28??n),

D、(X?0.90??n,X?0.90??n).

知识点 区间估计

答案 b 27、设总体?服从正态分布N(?,?)，其中?,?均为未知参数，?1,?2,??n是取自总体?221n1n22的样本，记????i，Sn??(?i??)，则?的置信度为1??的置信区间为

ni?1ni?1（ ）。

A、(??t?(n?1)?2Snn,??t?(n?1)2Snn) Snn?1B、(??t?(n?1)?2Snn?1,??t?(n?1)2)

C、(??t?(n?1)?2?n,??t?(n?1)2?n)

D、(??t?(n?1)?2?n?1,??t?(n?1)2?n?1)

知识点 区间估计

答案 b 2

28、设总体ξ服从正态分布N（?,?2），其中?未知而?已知，（?1,?2,??n）为取自总

??1n,??Z0.05?)作为?的置信区间，其置体?的样本，记????i，则(??Z0.05?ni?1nn信度为（ ）。

A、0.95 B、 0.05 C、0.975 D、0.90

知识点 区间估计 答案 d

29、在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，则称（ ）为犯第二类错误。

A、H0为真，接受H1 B、H0不真，接受H0 C、H0为真，拒绝H1 D、H0不真，拒绝H0

知识点 假设检验

30、在假设检验中，显著性水平?表示（ ）。

A、P{接受H0|H0为假} B、置信度为? C、P{拒绝H0|H0为真} D、无具体意义

知识点 假设检验

31、在假设检验中，下列结论正确的是（ ）。

A、只犯第一类错误 B、只犯第二类错误

C、既可能犯第一类也可能犯第二类错误 D、不犯第一类也不犯第二类错误

知识点 假设检验 答案 c 答案 c 答案 a （二）填空题

1、 从一个装有10个黑球和4个白球的袋中，抽出5个球、其中2个是黑球、3个是白球的

抽取方法共有 种． （答案：180）

知识点 等可能概型 2、有5只球，随机地放入5个盒子中，则每个盒子中恰好有1只球的概率为_____ _．

（答案：4!/54=24/625） 知识点 等可能概型

3、由50人组成的人群中至少有两个人在同一天过生日的概率为 ． （答案：0.97）

知识点 等可能概型

4、设P(A)=P(B)=1/2, P(AB)=1/3,则A与B都不发生的概率为______ （答案：1/3） 知识点 随机事件的概率

5、设A、B是两随机事件，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，A?B，则P(A|B)= ． （答案：6/7）

知识点 条件概率 6、若P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(B|A)=1/3,则P(A|B)= ． （答案：1/2）

知识点 独立性

7、一项任务同时拍甲、乙二人分别单独去完成。甲能完成任务的概率为0.9，乙能完成任

务的概率为0.8，则该项任务将被完成的概率为 ． （答案：0.98）

知识点 独立性 8、同时掷3枚均匀的硬币，则至多有一枚硬币字面朝上的概率为__ ___ _． （答案：7/8）

知识点 伯努利概型

9、离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=k/a，k=1，2，3，则常数a为 ． （答案：6）

知识点 离散型随机变量的分布律

10、一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，则某一分钟呼唤次数大于

2的概率是___________．

（答案：1?13e）

知识点 泊松分布

11、 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为 . （答案：1/3） 知识点 二项分布 12、设随机变量X的概率密度函数如下，则常数a为 ．

?4????acosx??x?f(x)??22

?其它?0（答案：1/2） 知识点 概率密度

13、设X在(0,a)服从均匀分布，已知方程4x?4Xx?X?2?0有实根的概率为0.8，则a?______________． （答案：10） 知识点 均匀分布

14、设随机变量X的概率密度函数f(x)=í2 （答案：2）

知识点 连续型随机变量的分布

ìAx0￡x￡1,则A= ．

else??015、设随机变量X服从二项分布B(5,p)、Y服从二项分布B(5,p)，且它们相互独立，则Z=X+Y服从二项分布B(n,p)，其中n= ． （答案：10） 知识点 随机变量函数的分布 16、在句子“the girl put on her little red hat”中随机的取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，则E(X)?_________． （答案：27/8） 知识点 数学期望

?-1?00.51217、设随机变量X的分布律为?，则EX= ． ÷è1/31/61/61/121/4? （答案：1／2） 知识点 数学期望

18、 设X~N(1,4), Y~N(-1,9)， 且X与Y相互独立,则D(-3X-4Y)= ． （答案：180） 知识点 方差

19、设D(X)=1，D(Y)=2，且X与Y相互独立，则D(X-2Y)= ． （答案：9）

知识点 方差的性质

20、设X~P(λ)，若E[(X-1)(X-2)]=1，则λ= . （答案：1）

知识点 数学期望

ì1-x10?e21、设随机变量X服从指数分布，X的概率密度为f(x)=í10?0? DX＝ ．

（答案：100） 知识点 数学期望与方差

22、设E[X]=E[Y]=2,cov(X,Y)= -1/6,则E[XY]= ． （答案：23/6） 知识点 协方差与相关系数 x>0,则X的方差x￡0

23、设E(X)=0，D(X)=1，则根据切比雪夫不等式P{-2

知识点 切比雪夫不等式

24、设总体X~?2(n)，X1,X2,?X10是来自X的样本，则

1n（其中X??Xi）． D(X)?_________ni?1（答案：n/5） 知识点 ?2分布

25、已知X~t(n)，则X2~ ．

（答案：F(1,n)）

知识点 F分布

26、数理统计中的一类基本问题是依据样本所提供的信息，对总体分布的未知参数作出估计，称之为 ，这是数理统计的基本问题之一。 （答案：参数估计） 知识点 参数估计

27、采用的估计方法不同，同一未知参数有不同的估计量，这就要求建立衡量一个估计量优劣的标准，一般来说,其评价标准有三种： ， 和相合性。

（答案：无偏性；有效性）

知识点 估计量的评选标准 28、设总体X~N(?,?2),且?已知，X1,X2,?,Xn为来自总体X的容量为n的样本，

2??1n,X??),则X??Xi，总体均值?的置信水平为1??的置信区间是(X??ni?1nn??______.

（答案：Z?）

2知识点 区间估计

29、设(?1,?2,?,?n)是取自正态总体N(?,?2)的样本，若?已知，要检验H0:???0(?0为已知常数），H0:??2

?0，应用 检验法；检验的统计量是 ；当H0成立时，

该统计量服从 分布。 （答案：U；U????0 ；标准正态）

?/n知识点 假设检验 30、设E总体X~N(μ，σ2)，X1，X2，?，Xn为其样本，其中σ2未知。则对假设检验问题

H0: μ=μ0，H1: μ≠μ0，在显著水平α下，应取拒绝域 。 （答案：x??0s/n?t?(n?1)）

2知识点 假设检验

31、设总体?~N(?,?2)，如果使用?2检验法，且在给定的显著性水平?，其拒绝域为

2(??(n?1),??)，则相应的假设检验H0： ；若拒绝域为

2(0,?2?(n?1)]?[??(n?1),??)，则相应的假设检验H0： 。

1?22（答案： H0: ?2??0； H0: ?2??0）

知识点 假设检验

（三）计算和证明题

1、有两台钻机钻孔，第一台钻孔数量是第二台的两倍，第一台钻孔不合格率为0.05，第二台钻孔不合格率为0.08，现发现一钻孔不合格，求是第一台钻孔的概率.

（答案：5/9）

知识点 贝叶斯公式

2、某种型号的电器的寿命X（以小时记）具有以下的概率密度：

22?1000?x?1000f(x)??x2

?其它?0现有一大批此种器件，设各器件损坏与否相互独立，任取5只，问其中至少有2只寿命大于

2000小时的概率是多少？ （答案：

知识点 二项分布

13） 16

3、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为120小时的指数分布，现随机地取100个，设他们的寿命是相互独立的，求这100个元件的寿命的总和大于12960个小时的概率.

标准正态分布数值表：

x Φ(x)

（答案：0.2119）

知识点 正态分布 4、 X的概率密度为

0.7 0.7580 0.75 0.7734 0.8 0.7881 0.85 0.8023 0.9 0.8159 0.95 0.8289 ?x?fX(x)??8??0

知识点 0?x?4其它，求随机变量Y?2X?8的概率密度。

随机变量函数的分布

1?1?y?8?y?16答案：fY(y)??32 4?其它?0

5、一枚均匀的硬币抛掷3次，设X为3次抛掷中正面出现的次数，Y为反面出现的次数，求并列出(X,Y)的联合分布律。 （答案：

X\\Y 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 3/8 2 0 3/8 0 3 1/8 0 0 3 ）

知识点 联合分布

1/8 0 0 0 6、有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk (k=1,2)（小时）服从同一指数分布e(250)，

x?1?250e?其概率密度为f(x)??250?0?x?0x?0，若将这两个电子装置串联组成整机，求整机寿命

Y的均值。 （答案：125）

知识点 多维随机变量

7、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??（1）求常数c；

（2）求边缘概率密度fX(x)和fY(y)，并说明X和Y是否相互独立．

?c,|y|?x,0?x?1，其中c为常数．

其它?0,?1?y?1?y?0?2x0?x?1?0?y?1；X和（答案：（1）c?1；（2）fX(x)??；fY(y)??1?y0其它??0其它?Y不相互独立）

知识点 多维随机变量

8、设随机变量X和Y具有联合概率密度

?6,f(x,y)???0,x2?y?x其它,求边缘概率密度fX(x)和fY(y).

知识点 中心极限定理

x?1???22、设总体X的概率密度为f(x,?)???e??0x?0，其中未知参数??0.设x1,x2,?,xnx?0是来自总体X的样本.

（1） 求?的最大似然估计量；

(2) 说明该估计量是否为无偏估计量.

??X；(2) 是无偏估计量） （答案：（1）?

知识点 点估计

?(??1)x?23、设总体X的概率密度为f(x,?)??0?0?x?1其它，(???1)，X1,X2,?,Xn是来

自总体X的样本，求?的矩估计量和最大似然估计量.

??（答案：矩估计量?

1?2Xn??；最大似然估计量??1）

X?1?lnX1?lnX2???lnXn 点估计

24、一公交车起点站候车人数服从泊松分布P(λ)，观察40趟车的候车人数如下：

知识点 车的趟数 候车人数 求λ的矩估计值．

答案：λ的矩估计值5.625

1 1 3 2 5 3 5 4 6 5 7 6 3 7 3 8 4 9 3 10 知识点 矩估计

25、设总体X的均值和方差分别为E(X)??和D(X)??2，X1,X2,?Xn是来自总体X?2?X1都是?的无偏估计量，且??2有效。 ?1较??1?X和?的容量为n的样本，试证明?

知识点 估计量的评选标准

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