2013年中考数学冲刺-2013年中考数学压轴题（填空、选择、

2013年中考数学冲刺必备

压轴题汇编

安徽10.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）

A.10 B.45 C. 10或45 D.10或217

解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的. 解答：解：如下图，(2?2)?(4?4)?45，(2?3)?(4?4)45?10

2222② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_____________

解析：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和S2?S4等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和S1?S3等于矩形面积的一半. S1?S3=S2?S4,又因为S1?S2，则S2?S3=S1?S4?以④一定成立

安徽22.如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG. 解（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点 ∴DE∥AB,DF∥AC，

2211CGFE12SABCD,所

又∵△BDG与四边形ACDG周长相等 即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG

∴BG=AC+AG ∴BG=

AB?AC2 =

b?c2∵BG=AB

－

AG ADB（2）证明：BG=

b?c2，FG=BG－BF=

b?c2－

c2?b2

∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD又∵DE∥AB

∴∠EDG=∠FGD ∠FDG=∠EDG ∴DG平分∠EDF

14.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,

∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,

△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4 则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆, ∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG

1

23.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x－6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。 （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

23解：（1）把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x－6)2+h 即2=a(0－6)2+2.6， ∴a??160160＞0 ② 由① ②得h≥

83

北京8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的

A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q

∴y=? (x－6)2+2.6

160（2）当h=2.6时，y=?∴球能越过网 x=18时，y=?160 (x－6)2+2.6 x=9时，y=?160 (9－6)2+2.6=2.45＞2.43

(18－6)2+2.6=0.2＞0 ∴球会过界

【解析】 D

12．在平面直角坐标系xOy中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点

A?0，4?，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数

（3）x=0,y=2,代入到y=a(x－6)2+h得a?2?h362?h36为m．当m?3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为

4n；

2?h36（n为正整数）时，m? （用含n的代数式表示．）

【解析】 3或4；6n?3

(18－6)2+h8?3h北京24．在△ABC中，BA?BC，?BAC??，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2?得到线段PQ。

（1） 若?????且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点

x=9时，y=

(9－6)2+h?2?3h4＞2.43 ① x=18时，y=

2

D

，请补全图形，并写出?CDB的度数；

25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，

给出如下定义： 若|x1?x2≥||y1?y2，则点|P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|；

（2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，

猜想?CDB的大小（用含?的代数式表示），并加以证明；

（3） 对于适当大小的?，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重

合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ?QD，请直 若|x1?x2|?|y1?y2，则点|P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|.

例如：点P1(1，2，)点P2(3，5，)因为|1?3?||?2，5所以点P1与点P2的“非常距离”

接写出?的范围。

【解析】

⑴ ，

?CDB?30?

⑵ 连接PC，AD，易证△APD≌△CPD ∴AP?PC ?ADB??CD B

?PAD??PC D 又∵PQ?PA ∴PQ?PC，?AD?C2?C，D?BPQC??PCD??P A∴

?PAD??PQD??PQC??PQD?180?

∴?APQ??ADC3?60????PAD??PQD1?8 0?∴

?ADC?180???APQ?180??2?

∴

2?CDB?180??2? ∴?CDB?90???

⑶

∵

?CDB?90???，且PQ?QD

∴?PAD??PCQ??PQ2C??CD18?B0??2 ? ∵点P不与点B，M重合 ∴?BAD??PAD??MAD ∴2??18?0??2?? ∴45????60 ?

3

为|2?5|?3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。 （1）已知点A(?12，0)，B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线y?34x?3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相

应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标。

⑵ ①设C坐标?x0，x0?3?∴当?x0??4??815?C??，?7??7??3?3?34x0?2此时x0??87∴距离为

87此时

.

4?②E??，?55??35

?x0?34x0?3?45

∴x0??85

∴C??，??55??89?

【解析】⑴ ①?0，?2?或?0，2?1

②2

最小值1。

重庆10．已知二次函数y=ax2

+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（ ）

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b 解答： 解：A、∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交与负半轴，∴c＜0， ∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；

B、∵对称轴：x=﹣=﹣，∴a=b，故本选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，

故本选项错误；

D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，

∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故本选项正确．故选D．

16．甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4﹣k）张，乙每次取6张或（6﹣k）张（k是常数，0＜k＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张

数恰好相等，那么纸牌最少有 108 张．

4

分析： 设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出a、b之间的关系，再有取牌总数的表达式，讨论即可得出答案．

解答： 解：设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，

则甲取牌（60﹣ka）张，乙取牌（102﹣kb）张，则总共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162，

从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，由题意得，a≤15，b≤16，

又最终两人所取牌的总张数恰好相等，故k（b﹣a）=42，而0＜k＜4，b﹣a为整数， 则由整除的知识，可得k可为1，2，3，

①当k=1时，b﹣a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去； ②当k=2时，b﹣a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去； ③当k=3时，b﹣a=14，此时可以符合题意，

综上可得：要保证a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大，则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；

当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，继而可确定k=3，（a+b）=18，所以N=﹣3×18+162=108张．

故答案为：108．

a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节

重庆 企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：

≈28.4）

≈15.2，

≈20.5，

知识，分别直接写出y1，y2

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2?ax2?c(a?0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1?12x，该企业自身处34x?112x；7至

2理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2?12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关

与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加

5

∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；

（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t+17t﹣13=0， 解得：t=

解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1=，将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，故y1=且x取整数）；

根据图象可以得出：图象过（7， 10049），（12，10144）点，代入得：解得：

，

，故y2=x+10000（7≤x≤12，且x取整数）；

?x+（12000﹣

）

2

2

，∵

≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），∴a≈57，

答：a的值是57．

26．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E

（1≤x≤6，

为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．

（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（2）当1≤x≤6，且x取整数时：W=y1x1+（12000﹣y1）?x2=?（x﹣

x2），

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

解答： 解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，

=﹣1000x2+10000x﹣3000，∵a=﹣1000＜0，x=﹣（元），

=5，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000

∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x， ∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴（2）存在满足条件的t，

理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，

，即

，解得：x=2，即BE=2；

当7≤x≤12时，且x取整数时，W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），=﹣x2+1900， ∵a=﹣＜0，x=﹣

=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5

在Rt△B′ME中，B′M=ME+B′E=2+（2﹣t）=t﹣2t+8，

（元），∵22000＞18975.5，

6

222222

∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴

2

2

2

2

，即

2

2

，∴ME=2﹣t，

∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；

③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，

在Rt△DHB′中，B′D=DH+B′H=3+（t﹣2）=t﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N， 则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM=DN+MN=t+t+1，

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=

，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=﹣1， ∴当2＜t≤﹣， ④如图⑥，当

，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t

时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D=B′M+DM，即t﹣4t+13=（t﹣2t+8）+（t+t+1）， 解得：t1=﹣3+

，t2=﹣3﹣

（舍去），∴t=﹣3+

；

＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解， 综上所述，当t=

或﹣3+

时，△B′DM是直角三角形；

﹣t）EM=EC=（4﹣t），

S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述： 当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤＜t≤4时，S=﹣t+．

时，S=﹣t2+2t﹣，当

（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=， ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，

②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC?tan∠DCB=EC?﹣1，

=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t

7

故选A．

15．如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，

则AD的长是______，cosA的值是______________．(结果保留根号) 180°－∠A解答：∵ △ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°．

2

1

∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°．∴ ∠A＝∠DBC＝36°，

2

又∵ ∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC，∴

ACBC

＝， BCCD

x5＋15－15－11

设AD＝x，则BD＝BC＝x．则＝，解得：x＝(舍去)或．故x＝ ．

x1－x222

如右图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，

AE5＋111

∴E为AB中点，即AE＝AB＝．在Rt△AED中，cosA＝＝＝．

AD2245－1

2

故答案是：5－15＋1

；． 24

1

2

福建福州10．如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、k

B两点，若反比例函数y＝(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是

x A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8

解答：解：∵ 点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，∴ 当x＝1时，y＝－1＋6＝5，

当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4，∴ 点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，

5)，

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2

最小，

设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，则k＝x(－x＋6)＝－x＋6x

＝－(x－3)＋9，

∵ 1≤x≤4，∴ 当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)，因此，k的取

值范围是2≤k≤9．

8

2

2

福建福州21．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．

(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．

(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，

说明理由．并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

解答：解：(1) QB＝8－2t，PD＝4

3

t．

B

B Q

Q

D D C

P

A C

P

A 第21题图①

第21题图②

y B B

M2 F Q Q

M3 D M

D

C N M1 P A x C

H N E

P

A

图2

图3

(2) 不存在．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴ AB＝10． ∵ PD∥BC，∴ △APD∽△ACB， ∴ ADAB＝APAC，即：AD10＝t6，∴ AD＝53

t，∴ BD＝AB－AD＝10－5

3

t．

9

∵ BQ∥DP，∴ 当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8－2t＝

4

3t，解得：t＝12

5

．

当t＝125时，PD＝43×125＝165，BD＝10－512

3×5

＝6，∴ DP≠BD，∴ □PDBQ

不能为菱形．

设点Q的速度为每秒v个单位长度， 则BQ＝8－vt，PD＝4

3t，BD＝10－

53

t． 要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ， 当PD＝BD时，即43t＝10－510

3t，解得：t＝3

．

当PD＝BQ时，t＝103时，即4101016

3×3＝8－3v，解得：v＝15

．

(3) 解法一：如图2，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

依题意，可知0≤t≤4，当t＝0时，点M1的坐标为(3，0)；

当t＝4时，点M2的坐标为(1，4)．设直线M1M2的解析式为y＝kx＋b， ∴ ?

?3k＋b＝0?k＋b＝4

，解得：?

?k＝－2?b＝6

．∴ 直线M1M2的解析式为y＝－2x＋6．

∵ 点Q(0，2t)，P(6－t，0)， ∴ 在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标

为(6－t2

，t)．

把x＝6－t2，代入y＝－2x＋6，得y＝－2×6－t2＋6＝t．∴ 点M3在直线

M1M2上．

过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝4，M1N＝2．∴ M1M2＝25． ∴ 线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度． 解法二：如图3，设E是AC的中点，连接ME．

当t＝4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF．

过点M作MN⊥AC，垂足为N，则MN∥BC．∴ △PMN∽△PDC．

MNPNPMMNPN11

∴ ＝＝，即：＝＝．∴ MN＝t，PN＝3－t，∴ CN＝PC－PNQCPCPQ2t6－t2211

＝(6－t)－(3－t)＝3－t．

22

MN11∴ EN＝CE－CN＝3－(3－t)＝ t．∴ tan∠MEN＝＝2．

EN22∵ tan∠MEN的值不变，∴ 点M在直线EF上．

过F作FH⊥AC，垂足为H．则EH＝2，FH＝4．∴ EF＝25．

∵ 当t＝0时，点M与点E重合；当t＝4时，点M与点F重合，∴ 线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度．

22．如图①，已知抛物线y＝ax＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．

解：(1) ∵ 抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．

?9a＋3b＝0?a＝1

?∴ ，解得：?．∴ 抛物线的解析式是y＝x2－3x． ?16a＋4b＝4?b＝－3

2

y A' N B y B A' N P1 A D N2 A P2 O P1 N1 B1 图1 x O P2 D x B2 图2 (2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，得：4＝4k1，解得k1＝1．∴ 直线OB的解析式为y＝x．

∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．

∵ 点D在抛物线y＝x－3x上．∴ 可设D(x，x－3x)．又点D在直线y＝x－m上，

∴ x－3x ＝x－m，即x－4x＋m＝0．

∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △＝16－4m＝0，解得：m＝4． 此时x1＝x2＝2，y＝x－3x＝－2，∴ D点坐标为(2，－2)．

(3) ∵ 直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)．

设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，∴ 4k2＋3＝4，解得：1

k2＝．

4

1

∴ 直线A'B的解析式是y＝x＋3．

4

1

∵ ∠NBO＝∠ABO，∴ 点N在直线A'B上，∴ 设点N(n，n＋3)，又点N

4

2

2

22

2

10

在抛物线y＝x2－3x上， 1∴ n＋3＝n2－3n， 4

3345

解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N的坐标为(－，)．

4416345

方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1(－，－)，

416B1(4，－4)，

∴ O、D、B1都在直线y＝－x上． ∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N1OB1，∴ 345

标为(－，－)．

832

453

将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)．

328345453

综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．

832328

45

方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2(，

163

)，B2(4，－4)， 4

∴ O、D、B2都在直线y＝－x上． ∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N2OB2，∴ 453标为(，)．

328

345

将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－，－)．

832345453

综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．

832328

福建龙岩10．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB所在直线旋

11

转一周所得圆柱的侧面积为

A．10? B．4? C．2? D．2 B

（第10题图） OP1OD1

＝＝，∴ 点P1的坐ON1OB12

（第17题图）

17．如图，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1?x1,y1?、P2?x2,y2?在反比例函数y?1x（x>0）的图象上，则y1?y2?_________．2

福建龙岩24．矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的

对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．

（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；

（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是 时，四边形AEA′F

是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．

OP1OD1

＝＝，∴ 点P1的坐ON2OB22

24． (1) 5 ……………………………………………………2分

?5 ?A??EA?D?90° 解法1：由折叠（轴对称）性质知 A?D?AD

在Rt△A?DC中，DC?AB=3 ∴ A?C?5?3?4

22?F∴四边形AEA是菱形．

∴A?B?BC?A?C?5?4?1

∵?EA?B??BEA???EA?B??FA?C?900 ∵?BEA???FA?C 又 ∵?B??C?90°

∴Rt△EBA?∽Rt△A?CF ∴

A?EA?F2法二：由折叠（轴对称）性质知AE?A?E，AF?A?F，AB?A?B?

过A?作A?G?BC，交AD于G，证明?A?GF??A?B?E得 A?F?A?E

?F∴AE?A?E?A?F?AF ∴四边形AEA是菱形

?A?BFC A?E?5103A?BFC?A?F?53

25．在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴

上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、

C三点的抛物线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），

在Rt△A?EF中，EF?A?E?A?D2?259?25?…6分

解法2：同解法1得A?B?1设A?E?AE?x，则BE?3?x ………4分

在Rt△EBA?中，A?E2?BE2?A?B2 ∴x??3?x??1x?2253

把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（1）B（3，0），C（0，3）

备用图

在Rt△A?EF中，EF?A?E?A?D22?259?25?125103……6分

解法3：同解法1得Rt△EBA?∽Rt△A?CF S?A?FC??A?B?12?S??6? ??A?FC93?FC?AB?3?4?6

2 S?A?BE??∴S四边形A 连

S四边形AE=S?F矩形A-SA?FC?DC-S=15－6－??AB23=253

AA?=AB+A?B=9+1=10

22结

=?FA12AA?，AA??EF??E=AAF1210?EF=253，∴ EF=5103E

（2）①3?x?5 ②证明：

?,EA?F?A? A 法一：由折叠（轴对称）性质知?AEF??FE AE?A F 又 ∵AD∥BC ∴∠AFE=∠FEA′ ∴∠AEF=∠AFE ∴AE=AF ∴AE?A?E?A?F?AF

12

解：法1： 设过A、B、C三点的抛物线为y?a?x?x1??x?x2?(a?0)，则

∵A（—1，0）B（3，0） ∴y?a?x?1??x?3? 又∵C（0，3）在抛物线上 ∴3?a?0?1??0?3?

∴a??33 ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x?1的交点 ∴P(1，

233)

233 ∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，23）或（1，233）

∴y??33OCOB?x?1??x?3? 即y?OEOC??33x?2时，△EPM为等腰三角形．

x?3

福建南平 10. 如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】

（2）①解：当△OCE∽△OBC时，则OB=3 ∴33?x?13 ∵OC?3， OE=AE—AO=x?1，

∴x?2 ∴当x?2时，△OCE∽△OBC．

A．

32 B．

52 C．

94 D．3

（2）②解：存在点P. 理由如下： 由①可知x?2 ∴OE=1 ∴E（1，0） 此时，△CAE为等边三角形

∴∠AEC=∠A=60°

又∵∠CEM=60° ∴∠MEB=60° ∴点C与点M关于抛物线的对称轴

x??b2a?1对称.

【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。

设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。 在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：x?∴DF=

3232。

，EF=1＋=2352。故选B。

∵C（0，3） ∴M2,3

过M作MN⊥x轴于点N（2，0） ∴MN=3 ∴ EN=1 ∴ EM=

EN?EM22???2

若△PEM为等腰三角形,则:

ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x?1上 ∴P(1，2)或P(1，

—2)

ⅱ）当EM=PM时,点M在EP的垂直平分线上 ∴P(1，23)

13

2? am?bm?c?0 a??1 ? ??∴?c?m ，解得?b?m?1 。∴此抛物线的解析式为：y=?a?b?c?0?c?m??－x2＋（m－1）x＋m。

， 18．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是 －1）▲ ．（填写所有正确结论的序号）①[0）=0；②[x）－x的最小值是0；③[x）－x的最大值是0；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立．

【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案：

①[0）=1，故结论错误；②[x）－x＞0，但是取不到0，故结论错误； ③[x）－x≤1，即最大值为1，故结论错误；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立，

例如x=0.5时，故结论正确。

福建南平25．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′． （1）写出点A、A′、C′的坐标；

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）

（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值．

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），∴A（m，0），C（0，1）。

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转90°而成，∴A′（0，m），C′（－1，0）。（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2＋bx＋c，

∵A（m，0），A′（0，m），C′（－1，0），

14

2

（3）∵点B与点D关于原点对称，B（m，1），∴点D的坐标为：（－m，

假设点D（－m，－1）在（2）中的抛物线上，

∴0=－（－m）2＋（m－1）×（－m）＋m=1，即2m2－2m＋1=0， ∵△=（－2）2－4×2×2=－4＜0，∴此方程无解。∴点D不在（2）中的

抛物线上。

26．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．

（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）， ①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长． 【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。

∴AC?22BC?22?2?2。

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。∴AD：AC=AE：AD，∴AE?AD2AC?AD2 2?22AD 。

2当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=

12BC=1。∴AE的最小值为

22?1?222。

∴CE的最大值=

2?22?22。

18．如图，点M是反比例函数y＝

1

在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于点B．过x

1

点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝A1M，

2△A1C1B的面积记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象 1

于点C2，且A2C2＝A2M，△A2C2B的面积记为S2；过点M的第三条直线交y

4

轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝

1

AM，△A3C3B的面积记为83

②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。∴点D与B重合，不合题意舍去。 当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。 当DA=DE时，如图2，∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。∴DC=CA=2。∴BD=BC－DC=2－2。

综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－2。 福建宁德

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的

各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【 】

A．10 B．13 C．210 D．213 【答案】D。

S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ． 【答案】

255512。

25．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90o，小敏将一块三角板中含45o角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角?，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

(2)当0o＜?≤45o时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)； 小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90o得到△ACG，连接EG(如图3)． 请你从中任选一种方法进行证明；

(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45o＜?≤135o且?≠90o时，等量关系BD＋CE＝DE

15

2

2

2

2

2

仍然成立．现请你继续探究：当135o＜?＜180o时(如图4)，等量关系BD＋CE＝DE是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．

2

（3）当135o＜?＜180o时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明

如下：

如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45o，∠BAD＝∠FAD。

又∵AC=AB，∴AF＝AC。

又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45o－∠BAD）＝45o＋∠BAD＝45o＋∠FAD＝∠FAE。

在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45o。

又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45o，∠AGF＝∠BGE，

【答案】解：（1）证明：∵∠BAC＝90o，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45o，∴∠BAD＋∠EAC＝45o。

又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM。∴∠MAE＝∠EAC。∴AE平分∠MAC。

（2）证明小颖的方法：

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45o，∠BAD＝∠FAD。

又∵AC=AB，∴AF＝AC。 由（1）知，∠FAE＝∠CAE。

在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45o。 ∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90o。

在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。

16

∴∠FAG＝∠BEG。

又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝

1212（∠ADB＋∠DAB）＝

∠ABC＝90o。∴∠DFE＝90o。

在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。

26．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，

OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )； (2)若抛物线y＝－ 1 2

x＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式3

NA=6－m。

设M?m，???13m+2101210?m?8?，则N（m，0）MN=?m+m?8，333? 又DA=4，CD=8，

是 ；

(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明

理由；

(4)当 7

2≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大

值．

【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。 （2）y＝?123x+103x?8。

（3）存在。

17

①若点M在点N上方，

MNCD?NADA，则△AMN∽△ACD。

?1m2+10m?8∴33?6?m284，即m?16m+60=0，解得m=6或m=10。

与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。∴此时不存在点

M，使△AMN与△ACD相似。

②若点M在点N下方，

MNNACD?DA，则△AMN∽△ACD。

1m2?10+8∴33m8?6?m4，即m2?4m?12=0，解得m=－2或m=6。

与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。∴此时不存在点

M，使△AMN与△ACD相似。

③若点M在点N上方，

MNDA?NACD，则△AMN∽△ACD。

?1m2+10m?8∴334?6?m8，即2m2?23m+66=0，方程无解。∴此时不存在点

M，使△AMN与△ACD相似。

④若点M在点N下方，

MNNADA?CD，则△AMN∽△ACD。

1m2?10m+8∴

336?m4?8，即2m2?17m+30=0，解得m=52或m=6。

当m=

相似。

52时符合条件。∴此时存在点M（，?2574），使△AMN与△ACD

?1?1210?1?12101????p+p??p+???p+p+8???6?p???6?82?33?2?332?

22??p+6p=??p?3?+9综上所述，存在点M（（4）设P（p，?p2+3110352，?74），使△AMN与△ACD相似。

13x2∴当4≤x＜6时，S?ABP随p的增加而减小。∴当x=4时，S?ABP取

得最大值，最大值为8。

， 在y＝?p?8）

10+x?3中，令y=0，8－6，PH=p2?31103③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H。则OH=p，HA= p

p+8。

得x=4或x=6。

7 7

∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：

22 ①如图，当

－p ，PH=p2?31103p+8。

∴S?ABP?S梯形OBPH?S?OAB?S?APH

?1?121011??1210???p?p+8+8??p??6?8???p?6???p?p+8?2?33223??3?

22 7

≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H则OH=p，HA=62

?p?6p=?p?3??9∴S?ABP?S?OAB?S梯形OBPH?S?APH

1?12101??1210???6?8???p?p+8+8??p???6?p???p?p+8?22?3323??3? ??p+6p=??p?3?+922∴当6≤x≤7时，S?ABP随p的增加而增加。∴当x=7时，S?ABP取得

最大值，最大值为7。

7 35综上所述，当x=时，S?ABP取得最大值，最大值为。

24福建泉州

⒎如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ）

A .EF>AE+BF B. EF

1 7

∴当≤x＜4时，S?ABP随p的增加而减小。

2 7 35∴当x=时，S?ABP取得最大值，最大值为。

24②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC

于点G。

则BH= p，HG=6－p，PH=?p+312103p?8+8=?13p+2103p，

思考归纳：解：如图：可作出过切点的几条半径，则其与切线互相垂直，再过点E、F作AB的垂线段，通过证明三角形全等，将EF进行转化，从而得到EF=AE+BF。 ⒘在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的

∴S?ABP?S?BPH+S梯形PHGA?S?ABG

18

三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点△ABC简记为．．P．的．．．．．的相似线，．．．．．P(lx),(x为自然数).

（1）.如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC．．的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外还有_______条. （2）.如图②，∠C=90°，∠B=30°，当

BPP(lx)截得的三角形面积为△ABC?_______时，

面积的14.

BA福建泉州25.（12分）已知：A、B、C不在同一直线上.

（1）.若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，A、B、C如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；

Ⅱ.如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=

BC；

2R（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，

试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.

解：（1）. ①∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）；

由勾股定理可知BC=1?1=2 （提示：也可延长BO或过点O作BC边

的垂线段）

②证明：可连接BO并延长，交圆于点E，连接EC.

19

可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°） 且∠E=∠BAC（同弧所对的圆周角相等）

故sin∠A=

BC2R可知BO=AQ=2；∠AOB=90°，故四边形AOBQ为正方形。 二、如图二，当直线l不平行与x轴时，四边形AOBQ为梯形。

.（或过点O作BC边的垂线段）。 连接BQ，设P（a,14， a?1）

142Q(b,214b?1);(a?0?b)

142 （2）.保持不变.可知△CQP∽△BQA，且∠AQP=∠BQC，所以△BCQ∽△APQ; 即

BCAP?CQPQ直线BC：y?k1x?1过低点P,即

y?1142a?1?ak1?1，得k1??a；

; AP=

BCcos30?=

433（为定值）. 故保持不变。

a?1；点B为(?144a2,0);同理直线l：y?k2x?2；

4a26.（14分）如图，点O为坐标原点，直线l绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的二次函数

y?14x?h交于不同的两点P、Q. （1）.求h的值； （2）.通过操

24a?1?k2a?2；b?1?k2b?2；得b=?；

作、观察算出△POQ面积的最小值；

（3）.过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.

所以点Q、B同横坐标，即为AC∥BQ，且AQ不与OB平行；故四边形AOBQ为梯形。

福建三明10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（▲）

A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个

16．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是 ▲ ．

解：（1）.0,1)带入二次函数

l∥x轴时，其面积最小；

y?14x?h中，得h?1； (2). 操作、观察可知当直线

2 将y=2带

20

入二次函数y?14x?1中，得x??2， S最小=（2×4）÷2=4.

2（3）由特殊到一般：一、如图①所示，当直线l∥x轴时，四边形AOBQ为正方形。

10. C 16. 900

福建三明22．已知直线y?2x?5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线

y??x?bx?c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

2（2）存在. M1(2?,1 ) , M2(4,3. )

23．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝

12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，

（1）如图①，当点M与点A重合时，求：①抛物线的解析式；（4分）②点N的坐

标和线段MN的长；（4分）

（2）抛物线y??x2?bx?c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB

相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

5垂足为F，交AC于点G．

（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分） （2）通过观察、测量、猜想：

BFPE= ▲ ，并结合图②

22．（1）解：①∵直线y?2x?5与x轴和y 轴交于点A和点B，∴A(,0)，B(0,?5)． 证明你的猜想；（5分） 2解法一：当顶点M与点A重合时，∴M(,0). ∴抛物线的解析式是：

25（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=?，

求

BFPE的值．（用含?的式子表示）（5分）

y??(x?52)．即y??x?5x?22254．

523.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合,

b2?(?1)2解法二：当顶点M与点A重合时，∴M(,0). ∵ ?4?(?1)c?b4?(?1)2?52， ∴b?5.

254∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°． ……2分

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，

又∵∴c???0，

254. ∴抛物线的解析式是：y??x2?5x?254．

∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO， ∴∠GBO=∠EPO ． ∴△BOG≌△POE． （2）

BFPE?12②∵N在直线y?2x?5上，设N(a,2a?5)，又N在抛物线y??x2?5x?∴2a?5??a2?5a?254上，

．

．解得 a1?12 ， a2?152（舍去）∴N(12,?4．)

证明：如图②，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°， ∠BPN=∠OCB．

过N作NC⊥x轴，垂足为C(如图①)．∵N(,?4)，

2∴

MN?C(,0)221．

2∴

?2NC?4． MC?OM?OC?52?12∵∠OBC=∠OCB =45?， ∴ ∠NBP=∠NPB．

?2． ∴

∴NB=NP．

∵∠MBN=90°—∠BMN， ∠NPE=90°—∠BMN，

21

NC?MC4?2?25．

2

∴∠MBN=∠NPE． ∴△BMN≌△PEN． ∴BM=PE．∵∠BPE=∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90?. 又PF=PF， ∴△BPF≌△MPF． ∴BF=MF ． 即BF=

1212A．根据表格对应数据代入不能全得出y=x，故此选项错误； B．根据表格对应数据代入均能得出y=2x+1，故此选项正确； C．根据表格对应数据代入不能全得出y＝x2＋x＋1，故此选项错误； 3

D．根据表格对应数据代入不能全得出y＝ ，故此选项错误。故选B。

x

πr

17．如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，BC＝，半径为r的⊙O

2从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意，

∠ACB， ∠BPN=∠ACB，

BM．∴BF=

12PE ． 即

BFPE?12．

（3）解法一：如图③，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=?，∠PNE=∠BOC=90°. 由（2）同理可得BF=∴△BMN∽△PEN．∴

在Rt△BNP

2BFPE?tan?．∴

BFPEBMPE12在图上画出圆心．．O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是 ▲ .

BM， ∠MBN=∠EPN． ∵∠BNM=∠PNE=90°， ．

BNPN?BNPN中，tan???12tan?．

， ∴

BMPE?tan?．即

福建厦门已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示.

x y －1 －1 0 1 1 3

【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO1，O1O2 ，O2O3，分别计算出各部分的长再相加即可：

C．y＝x2＋x＋1

3

D．y＝

x

圆心O运动路径如图： ∵OO1=AB=πr；O1O2 =

90?r180?12则y 与x之间的函数关系式可能是【 】 A．y＝x B．y＝2x＋1

【分析】观察这几组数据，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，找出符合要求的关系式：

22

?r；O2O3=BC=?r ，

21∴圆心O运动的路程是πr+?r+?r =2πr。

2211福建厦门25．已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P

分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF． （1）如图，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋32－4，求BC的长．

【答案】解：（1）连接PO , ∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，

∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。∴∠EPO＝∠FPO。 EO3

在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，

PE3∴ ∠EPO＝30°。∴ ∠EPF＝60°。 （2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。 又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。 ∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。

∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ABCD是矩形。 ∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。

∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形。 332

∴ BD＝2BC。∵ BF＝BD，∴BC＋32－4＝BC，解得，BC＝4。

44

k2

26．已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点．

x （1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若AM＝BM，求点B的坐标； k2（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝（k2＞0）

x 于点N．当

k2

【答案】（1）解：∵点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y＝（k2

x ＞0）上，∴ c＝k2＝3d 。

∵ k2＞0， ∴ c＞0，d＞0。 ∴A(1，c)和点

B (3，d )都在第一象限。∴ AM＝3d。 过点B作BT⊥AM，垂足为T。∴ BT＝2，TM＝d。 ∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。

在Rt△BTM中，TM 2＋BT2＝BM2，即 d2＋4＝9d2，∴ d＝

点B(3，

2

)。 2

k2

（2）∵ 点A(1，c)、B(3，d)是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）

x

23

2

。∴2

PN1

取最大值时，若PN＝ ，求此时双曲线的解析式． NE2

的交点，

14

∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b。∴k1＝－k2，b＝k2。

33∵ A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限，∴ 点P在第一象限。设P

（x，k1x＋b），

PEk1x＋bk12b14142∴＝ ＝x＋x＝－x2＋x＝??x?2?+ NEk2k2k23333x

PEPE4PE

∵当x＝1，3时，＝1，又∵当x＝2时， 的最大值是。∴1≤

NENE3NE

4

≤.。∴ PE≥NE。 3

∴

PNPEPN1112＝－1＝??x?2?+。∴当x＝2时，的最大值是。 NENENE333

16．如图，点A(3，n)在双曲线y=

3x上，过点A作 AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的

垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是________． 10.D 16．4

福建漳州24．已知抛物线y=__)，对称轴是____；

(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若

△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点M在直线．．AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN

为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；．．若不存在，请说明理由．

24． 解：(1)顶点坐标是(0，1)，对称轴是y轴(或x=O)． (2) ∵△PAB

o

o

o

14x2 + 1 (如图所示)． (1)填空：抛物线的顶点坐标是(____，

133由题意，此时PN＝，∴ NE＝。∴ 点N(2，) 。 ∴ k2＝3。∴此

222

3

时双曲线的解析式为y＝。

x福建漳州10．在公式I=用图象大致表示为

UR中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可

是等边三角形， ∴∠ABO=90－60=30． ∴AB=20A=4．∴PB=4． 解法一：把y=4代人y=

14x2 + 1，得 x=±23. ∴P1(23，4)，P2(－23，4)．

(3)存在.N1(3，1)，N2(－3，－1)，N3(－3，1)，N4(3，－1).

25．如图，在□ OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60，0C=4cm．OA=8cm．动点P从

24

o

点0出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm．．／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：点C的坐标是(___，____)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?

(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

25． 解：(1)C(2，23)，OB=47cm．……………………4分 (2)①当0

过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=

12 =－34t2+33t． 当t=8时，S最大．

(3)①当△OPM～△OAB时(如图4)，则PQ∥AB． ∴CQ=OP． ∴at－4=t，a=1+ t的取值范围是0

②当△OPM～△OBA时(如图5)， 则

tOM8OPOB?OMOA4t.

，

∴

47?, ∴OM=

277t．

QBOPBMOM 又∵QB∥OP， ∴△BQM～△OPM， ∴

277t?,

32t．

∴

12-att47-?, 整理得t－277 ∴S=OP·QD=

34t2. ………………………5分

at=2，∴a=1－2t ②当4≤t≤8时，

作QE⊥x轴于点E(如图2)，则QE=23. ∴S = ③当8≤t<12时，

解法一：延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)． 易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，∴OF=OA+AP=t,AP=t－8． ∴PH=

3212.

4t t的取值范围是6≤t≤8．综上所述：a=1+

2t(0

(6≤t≤8)．

甘肃白银10．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，

DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是

【 】

(t－8). ∴S=S△OQF－S△OPF =

12t·23－12t·

32(t－8)

25

甘肃白银27．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE?延长DB到点F，使FB?

1212ED，

（1）证明：△BDE∽△FDA；（2）试判断BD，连接AF．

直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明． 【答案】解（:1）证明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝

12BD，AE＝

12ED，∴

BDFD?EDAD?23。

又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。 （2）直线AF与⊙O相切。证明如下：

A．

B．

C．

D．

连接OA，OB，OC，

∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA， ∴△OAB≌△OAC（SSS）。∴∠OAB＝

∠OAC。

∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的

平分线。

∴AO⊥BC。

∵△BDE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA。 ∵AO⊥BE，∴AO⊥FA。∴直线AF与⊙O相切。

18．在－1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线y?kx【分析】如图，根据题意知，当点C在AB上运动时，DE是一组平行线段，线段DE从左向右运动先变长，当线段DE过圆心时为最长，然后变短，有最大值，开口向下。观察四个选项，满足条件的是选项A。故选A。

28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求点C的坐标；

（2）若抛物线y?ax?bx(a?0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式； （3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴

2，该双曲线位于第一、三象限的概率是 ▲ ．

由树状图可知，在－1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，符合要求的点有（－1，1），（－1，2），（1，－1），（1，2），（2，－1），（2，1）6种情况，双曲线位于第一、三象限时，xy?k＞0，只有（1，2），（2，1）符合xy?k＞0。∴该双曲线位于第一、三象限的概率是：

26?13。

26

的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯

形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）过C作CH⊥OA于H，

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=23。 ∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，

∴OC=OA=23，∠AOC=60°。∴OH=3，CH=3 。∴C的坐标是（3，3）。 （2）∵抛物线y?ax2?bx(a?0)经过C（3，3）、A（23，0）两点，

甘肃兰州15．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)

与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【 】

A．

∴???3=3a+3b??0=12a+23b B．

，解得???a=?1??b=23。∴此抛物线的解析式为y=?x2+23x

（3）存在。

∵y=?x2+23x的顶点坐标为（3，3），即为点C。

MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，

∵∠BOA＝300，所以ON＝3t

∴P（3t, t）

作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E。

把x?3t代入y=?x2+23x得：y??3t2?6t。

∴ M（3t，?3t?6t），E（3，?3t?6t）。 同理：Q（3，t），D（3，1）。

要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，

1t1? 即3???3t?6?t?t?，解得：

222C． D．

【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水

面后y不变。

因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。 故选C。

20．如图，M为双曲线y=3x上的一点，过点M作x轴、y轴

的垂线，分别交直线y＝－x＋m

于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD?BC的值为 ▲ ．

，t2?1（舍去）。

【分析】如图，作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，

在y＝－x＋m中，

令x＝0，则y＝m；令y＝0，－x＋m＝0，解得

x＝m。

27

43 ∴ P点坐标为（

433，43）。

∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（

433，43）。

∴A(0，m)，B(m，0)。∴△OAB等腰直角三角形。 ∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形。

设M的坐标为(a，b)，则ab＝3，CE＝b，DF＝a。

∴AD＝2DF＝2a，BC＝2CE＝2b，∴AD?BC＝2a?2b＝2ab＝23。 甘肃兰州27．若x1、x2是关于一元二次方程ax＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝?2

2

∴

b?4ac4a2=32?b?4aca2。∵b－4ac＞0，∴b－4ac＝12。

22

28．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝点B，且顶点在直线x＝

5223x2＋bx＋c经过

ba，x1?x2＝

ca上．

．把它称为一元二次方

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； (3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求

2

程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝?x1+x2?24cb?4ac?b?=?4x1x2=????=2aaa??2

22b?4aca2。

参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形． (1)当△ABC为直角三角形时，求b－4ac的值；(2)当△ABC为等边三角形时，求b－4ac的值．

【答案】解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE。 ∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b－4ac＞0，则|b－4ac|＝b－4ac。 ∵a＞0，∴AB=b?4aca22

S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

222

【答案】解：（1）∵抛物线y＝

23x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。

52=b?4aca22。又∵CE=4ac?b4a2=b?4ac4a2，

∵顶点在直线x＝上，∴?b2?23=52，解得b=?103。∴

∴b?4aca2=2?b?4ac4a2。∴b2?4ac=b?4ac2，即b2?4ac=?b?4ac42?2。

所求函数关系式为y=23x?2103x+4。

∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4。

（2）当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝32（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，

AB，

22∴AB=OA?OB?5。

∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。∴C、

D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，

28

当x＝5时，y=23?5?2103?5+4=4； 当x＝2时，y=23?2?2103点C和?2+4=0。∴

广东佛山10．如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】

A．π B．3 C．

3?4+32点D都在所求抛物线上。

D．

11?12+34

15．如图，边长为m?4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ▲

【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即

29

可得解：

设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m＋4）2－m2=（m＋4＋m）（m＋4－

m）=8m＋16，解得x=2m＋4。

广东佛山24.规律是数学研究的重要内容之一． 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面． 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：

(1)写出奇数a用整数n表示的式子； (2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；

(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律 下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：

由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5... 请回答：

当x的取值从0开始每增加当x的取值从0开始每增加

xi yi yi+1－yi

25.（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．

若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？ （2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．

【答案】解：（1）作图如下：能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件

30

12个单位时，y的值变化规律是什么？ 个单位时，y的值变化规律是什么？ 1 1 3 2 4 5 3 9 7 4 16 9 5 25 11 ... ... ... 1n0 0 1

是a+b＞4。

（2）连接BD，交AC于E，∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。 设CE=x，则AE=4－x，∵BC= b=3，AB= a=2，

2（4?x） 解得：x?∴由勾股定理得：BE2?32?x2?22?218。

∴BE?315?21?2。 3????8?8?12?AC?BE?4?31583152?31522∴四边形ABCD的面积是2?。

答：四边形ABCD的面积是。

k2x广东广州10．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、

【分析】由已知，第3个半圆面积为：

??222B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是【 】

A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1

【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2。故选D。

16．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，

以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆， …按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 ▲ 倍，第n个半圆的面积为 ▲ （结果保留π）

=2?，第4个半圆的面积为：

??422 =8?，

∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 由已知，第1个半圆的半径为

11208?2?=4倍。

12?2，第3个半圆

1?2，第2个半圆的半径为1的半径为?22，······第n个半圆的半径为?2n?1。 ∴第n个半圆的面积是

2211?1n?1?n?2?????2=?2?22?2?2??2?=238?1?22n?4?=22n?5?。

广东广州24.如图，抛物线y=?侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标；

31

x?234x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 【答案】解：（1）在y=?x2=2。

∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。

38x?23?3??4k+b=0?k=，解得∴直线AC解析式为y?x?3。 4??b=34??b=3。?直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（

38x?292个长度单位）而形成的，

3432??9434x+3中，令y=0，即?34x+3=0，解得x1=﹣4，

∴直线L1的解析式为y?34x?3?92?34x?9432。则D1的纵坐标为???1??。∴D1

（﹣4，?）。

92同理，直线AC向上平移D2（﹣1，

274个长度单位得到L2，可求得

）。

94综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，?

设△ACD中AC边上的高为h，则有

12），D2（﹣1，

274）。

（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F

。

的切线，这样的切线有2条．

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

AC?h=9，解得h=

185185如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。

又FE=5，则在Rt△MEF中，－ ME=52?32?4，sin∠MFE=

45分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。 设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=

18185，

，cos∠MFE=。

541253∴CE?CFsin?CEF??9?5?。 4sin?OCA25CF在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=3×?5，

设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得 FN=MN?cos∠MFE=3×?5395。

32

则ON=。∴M点坐标为（

44，

12）。直线l过M（

4，

12），E（4，0），

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=

11BC=5。

55555?设直线l的解析式为y=k+b?4k+b=12??k=?3∴AG=AF。

1x1，则有?55，解得?4。

??4k+b=0??b=3∴直线l的解析式为y=?34x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=?34x﹣3。

综上所述，直线l的解析式为y=?34x+3或y=?34x﹣3。

25．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE的长； （2）当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

②连接CF，当CE2

﹣CF2

取最大值时，求tan∠DCF的值． 【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=

CEBC，即sin60°=

CE?3102，解得CE=53。

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G， ∵F为AD的中点，∴AF=FD。

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。 在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD， ∴△AFG≌△CFD （AAS）。∴CF=GF，AG=CD。 ∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。

广东河源

33

22∴∠AFG=∠G。

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。 ∵CF=GF（①中已证）， ∴CF2=（

12112CG）=4CG2=

4（200﹣20x）=50﹣5x。

∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣

52）2+50+

254。∴当x=

52，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。

此时，EG=10﹣x=10﹣5=1522，

CE=100?x2=100?25154=52，

515∴tan?DCF?tan?G?CG215EG?15?3。

2

1

5．在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝的交点个数为【 】

xA．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】A。

10．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按

ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达点G时，微型机器人移动了 ▲ cm；

②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 ▲ 点．

平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60o．

(1)点B的坐标是 ，∠CAO＝ o，当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；

(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】7；E。

21．(1)已知方程x＋px＋q＝0(p－4q≥0)的两根为x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．

(2)已知抛物线y＝x＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为

何值时，d取得最小值并求出该最小值．

【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴x1?x2??2

2

2

2

2

ba=?p，x1?x2?ca=q。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，

0）。

∵d=|x1﹣x2|，∴d=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4 x1?x2=p﹣4q=p﹣4p+8=（p﹣2）+4。∴当p=2时，d 的最小值是4。

22．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴

34

2

2

2

2

2

2

2

2

【答案】解：（1）（6，23）。 30。（3，33）。

（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得

梯形，其面积为：

S?S梯形EFQO14343?（EF?OQ）?OC?（3?x）=x?43 233广东梅州22.（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．

EFOQ=PEPO=DCDO?333?13，∴EF=（3+x），此时重叠部分是

31（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值． 【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴x1?x2??ba=?p，x1?x2?ca =q。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，

0）。

当3＜x≤5时，如图2，

S?S梯形EFQO?S?HAQ?S梯形EFQO? ?433x?43?321232?AH?AQx?2?x?3?2=?1333x?32

。2322

∵d=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4 x1?x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=

（p﹣2）2+4。

∴当p=2时，d 2的最小值是4。

x）3（12?当5＜x≤9时，如图3，

1S?（BE?OA）?OC?2 =?233x?123。

23．如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且

与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）

当x＞9时，如图4，

S?12OA?AH?12?6?183x=543x。综上所述，S与x的函数关系式

（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由． （3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x

为：

?43x?43?0?x?3??3??321333x?x??3

?23?x?123?59???x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】解：（1）①（6，23）。 ②30。③（3，33）。

（2）存在。m=0或m=3﹣3或m=2。

（3）当0≤x≤3时，

如图1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线l∥BC∥OA，

35

可得

EFOQ=PEPO=DCDO?333?13，∴EF=（3+x），

31此时重叠部分是梯形，其面积为：

14343S?S梯形EFQO?（EF?OQ）?OC?（3?x）=x?43

233当3＜x≤5时，如图2，

S?S1梯形EFQO?S?HAQ?S梯形EFQO?2?AH?AQ

?433x?43?3?x?3?2=?3133322x2?3x?2。当5＜x≤9时，如图3，

S?12（BE?OA）?OC?3（12?23x） =?233x?123。当x＞9时，如图4，

S?135432OA?AH?12?6?18x=x。

综上所述，S与x的函数关系式为：

??43x?43?0?x?3??3??3x2?133x?3?3

???23x?123?59? ②由正切函数，即可求得∠CAO的度数： ∵tan?CAO?OCOA=236=33，

∴∠CAO=30°。

③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合

时，过点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，33），∴PE=33。

∴AE?PEtan600?3。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，33）。 （2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即

可求得答案：

情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。

∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。 ∴点P与D重合。∴此时m=0。

情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。 MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600

?（OA?IQ?OI）?sin60??32（3?m） 36

又MJ?12AM=12AN=32，

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。 ∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。

3。

∴33（3?m）=，解得：m=3﹣22以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32。故选C。 16．（2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为 ▲

情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，

过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G， ∴MG=32。

PK333MGtan600∴QK?tan600??3，GQ?12?12。

∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。

综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣3或m=2。

（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解

即可求得答案。

广东深圳12．如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】

A．6 B．12 C．32 D．64 【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。 ∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。 又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。 ∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。 ∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。

37

广东深圳22．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F， 为顶点的三角形与△ABC相似吗？ 请说明理由．

∴点

BF?F的坐标为（

22210?， 33 ）。则

255?2??10?? ?1??0?，AF?????333?????2?? ?? ???4????1?3??【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)， ∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。

又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1。 ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1）， 即y=－x2－3x＋4。

（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

? k?b?0 ? k??2 ?由题意得：??2k?b?6? ，解得：?b?2。∴直线BC的解析式为y=－2x+2．

∴点

E

的

坐

标为（0

，

2）

。

∴

AE?AO2?OE2 ?42?22 ?25，CE???2?0?2??6?2?2?25。

∴AE=CE。

??4k1?b1?0?（3）相似。理由如下：设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ? b1?4，解得：?k1?1?? b1?4。

∴直线AD的解析式为y=x+4。

??? x??23? y?x?4 ??? y?10联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：?y??2x?2，解得：??3。 。 又

∵AB=5，

BC? ??2?1?2??6?0?2 ?3 5，

BF?5∴AB3， AB ?5BFBC3?AB 。∴ABBC。

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。 23.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化． (1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2． 当b= 时，直线l：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M： 当b= 时，直线l：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：

(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).

设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

38

1令y=2，即－2x＋b=2，解得x=2AD=2

1b?11，则H（2b?11，2）。∴DH=2b?31，AG=2b?2。

【答案】解：（1）10；10?25。

（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。

如图，当直线l经过A(2，0)时，b=4；当直线l经过D（2，2）时，b=6；当直线l经过B（6，0）时，b=12；当直线l经过C(6，2)时，b=14。

∴S=2??DH+AG??AD?12??b?5??2?b?5。

当12＜b≤14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积

1b?11b?1在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=2令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。

7?12b，则M（2，0），

∴MC=

4?2?12，NC=14－b。

?MC?NC?8?∴S=

1?1?12??7?b???14－b???b+7b?412?2?4。

当b＞14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。综上

当0≤b≤4时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为0。

当4＜b≤6时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1）， 在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），

1所述。S与b的函数关系式为：

?0?0?b?4???1b2－2b+4?414???。

令y=0，即－2x＋b=0，解得x=21b?2b1，则F（2?AF?AE?b，0）。

1?112???b?2???－4＋b??b－2b+42?24?。

1

∴AF=2，AE=－4＋b。∴S=2【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)， ∴2=－2×4＋b，解得b=10。

②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点

当6＜b≤12时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），

1在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=2

b1，则G（2b，0），

39

P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别

交于点A，B。

MH?AOOB?12。 ∴可设直线MP的解析式

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE

的面积

=4?1?30???23602 则由△OAB∽△HMP，得PHy?12x＋b1?12?2?1?3?13?。

为。

2?12?4＋b112广东21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，

，解得b1?0。∴直线MP的解析式为

x=25b, y?2 由M(4，2)，得

y?12x使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD。

于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长． 【答案】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′， ∴△ABG≌△C′DG（ASA）。

（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。 设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，

即6+x=（8﹣x），解得x=。

472

2

2

联立y=－2x＋b和

y?x15，解得

b1b, b5）。 ∴P（5。

22 由

?2??1?b-4+ ???b-2??4??5?PM=2，勾股定理得，?5，化简得

204b-20b+80=0。 解得b=1?2。5

（2）求出直线l经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。

广东5．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】 A． 5 D． 16

【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C。

10．如图，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．

【分析】过D点作DF⊥AB于点F。

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD?sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。

40

B． 6 C． 11

7∴tan?ABG?AG7?4?。 AB624（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分

AD。∴HD=AD=4。

21∵tan∠ABG=tan∠ADE=

724。∴EH=HD×

724=4×

724=76。

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