安徽省六校教育研究会2013届高三素质测试文科数学试卷

安徽省六校教育研究会2012年高三素质测试

数学试题（文）

（满分：150分，时间：120分钟）

第I卷 选择题（共50分）

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意,

请把正确答案填在答题卷的答题栏内。）

1.已知集合A {0,1,a}，B {x|0 x 2}，若A B {1,a}，则a的取值范围是（ ） A．(0,1)

B．(1,2)

C．(0,2)

D．(0,1) (1,2)

2.设a log54，b log35，c log45，则 （ ） A. a b c B.b c a C. a c b

D.b a c

3. 若某多面体的三视图(单位: m) 如图所示, 则此多面体的体积是（ ） A．2m3 B．

23

m3

C．1m3 D．m3

第3题

13

4.直线y 2x 1与直线x ay 1相互垂直，则实数a的值为( ) A. 2

B. 2

C.

1 2

D.

1 2

)

5.设m,n是两条不同直线， , 是两个不同的平面，则下列命题错误的是 ( ．．A．若m//n,m ,则n B． 若m ,m ,则 // C．若m// , n,则m//n D．若m ,m ,则 6.为了解“伦敦奥运会开幕式”电视直播节目的收视情况，某机构在合肥市随机抽查了10000人，把抽查结果输入如图所示的程序框图中，其输出的数值是3700，则该节目的收视率为（ ） A.3700 B.6300 C.0.63 D.0.37

7.如果不等式f(x) ax2 x c 0的解集为{x| 2 x 1},那么函数y f( x)的大致图象是(

)

8．在 ABC中，a,b,c分别是 A, B, C的对边，若（ ） A．锐角三角形

B．钝角三角形

sinAcosBcosC

，则 ABC 的形状是

abc

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

0 x

9．已知在平面直角坐标系xOy上的区域D

由不等式组 y 2给定．若M(x,y)为D的动点，

x

点A

的坐标为，则z OM OA的最大值为（ ）

A．3

B．4

C

．D

．10.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f( x) f(x)，f( 2) 3，数列 an 满足

32

（其中Sn为 an 的前n项和）。则f(a5) f(a6) （ ） a1 1，且Sn 2an n， A．3

B． 2

C． 3

D．2

二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分）

11.已知向量a= 1,0 ,b= 1,1 ,则与a 4b同向的单位向量的坐标表示为________ 12.若点P 1,1 为圆(x 3) y 9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为

2

2

13.先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数

依次为m,n，则m n的概率是

1 ()x,x 4

14.已知函数f(x) 2，则f(2＋log23)的值为

f(x 1),x 4

15. 有下列命题： ①在函数y cos(x

4

)cos(x

4

)的图象中，相邻两个对称中心的距离为

2

；

②若锐角 , 满足cos sin ,则

2

.

2

③函数f(x) ax 2ax 1有且仅有一个零点，则实数a 1；

④要得到函数y sin(

x

2

4

)的图象，只需将y sin

x

的图象向右平移个单位。

42

⑤非零向量a和b满足|a| |b| |a b|，则a与a b的夹角为60． 其中所有真命题的序号是 .

三、解答题（本题6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，把解题过程和步骤写在答题卷上。）

16．（本小题满分12分）已知向量a (sinx,1),b (cosx,1)。

(1) 当a//b时，求2cos2x sin2x的值；

(2) 求f(x) a b的最小正周期和单调递增区间.

17．（本小题满分12分）某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩（单位:分）绘制成频率分布直方图，如图所示.其中落在[80,90)内的频数为36.

(1)请根据图中所给数据，求出a及n的值；

(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩?

(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中,随机抽取两名学生的成绩,求所取两名学生的平均分不低于70分的概率.

ABC, 18．（本小题满分12分）如图,在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1 底面AB BC,D为AC的中点,A1A AB 2,BC 3.

(1) 求证：AB1//平面BC1D； (2) 求四棱锥B AAC11D的体积.

C1

B1A1

A

D

B

C

19．（本小题满分12分） 已知方程x2+y2-2x-4y+m=0

(1) 若此方程表示圆，求实数m的取值范围；

(2) 若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为直径的圆上 求实数m的值.

20．（本小题满分13分）

定义在R上的增函数y=f (x)对任意x，y∈R都有f (x+y) = f (x)+ f (y)． （1）求证f（x）为奇函数；

（2）若f(k2)+f(2 4 2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

21. （本小题满分14分）

数列 an 的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A,B使an Sn An B对任意正整数n都成立。 （1）设A 0,求证：数列 an 是等比数列； （2）设数列 an 是等差数列，

x

x

x

111

,求n的值。

SnS2nS12

（3）设A 0,A 1,且

an

M对任意正整数n都成立，求M的取值范围 an 1

安徽省六校教育研究会2012年高三素质测试

数学试题（文）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. D 2. C 3.B 4. A 5. C 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. ,

1 34

12. 13. 14.

y 2x 1 24 55

三、解答题（本题6小题，共75分）。

16解：（1） a (sinx,1),b (cosx,1),a//b，∴sinx cosx 0 …..3分

2cos2x sin2x 2cosx(cosx sinx) 0。 ……………6分

（2）由已知可得： f(x) a b sinx cosx 1

∴ f(x)的最小正周期为T 令2k

1

sin2x 1………..9分 2

2

…………10分 2

2

2x 2k

2

(k Z)得 k

4

x k

4

(k Z)

故f(x)的单调递增区间为[k

4

,k

4

](k Z) ……………12分

17.(1)第四组的频率为:1 0.05 0.225 0.35 0.075 0.3 a

0.336

0.03, n 120 ………….4分 100.3

(2)第一组应抽:0.05 40 2个

第五组应抽:0.075 40 3个 …………8分

(3)设第一组抽取的2个分数记作A1,A2,第五组的3个记作B1,B2,B3,那么从这两组中抽取2个有:A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B310种,其中平均分不低于70分有9种, 所以概率为: P

9

…………………12分 10

A1

A

O,连接OD, 18. （1）证明:连接BC1,设BC1与BC1相交于点

∵ 四边形BCC1B1是平行四边形, ∴点O为BC1的中点.

B1

D

B

∵D为AC的中点，∴OD为△ABC1的中位线,

1

O

C

∴ OD//AB1. ……………………… 3分 ∵OD 平面BC1D,AB1 平面BC1D,

∴AB1//平面BC1D. …………………………………… 6分 (2)解法1: ∵AA1 平面ABC,AA1 平面AAC11C,

ABC 平面AAC AC. ∴ 平面ABC 平面AAC11C，且平面11C

作BE AC，垂足为E，则BE 平面AAC11C， …………… 8分 ∵AB BB1 2，BC 3， 在Rt△ABC

中，AC∴

四

棱

锥

BE AB BC … 10分

AC

B AAC11D

的体积

11

V ACBE

11 AD AA1

32

1 26 3.

3∴四棱锥B AAC11D的体积为. ……………………………………. 12分

解法2: ∵AA1 平面ABC,AB 平面ABC,∴AA1 AB.

∵BB1//AA1,∴BB1 AB. ∵AB BC,BC BB1 B,

∴AB 平面BB1C1C. ………………….. …… 8分 取BC的中点E,连接DE,则DE//AB,DE ∴DE 平面BB1C1C.

三棱柱ABC A1B1C1的体积为V 则VD BCC

C1

B1A1

A

D

B

O

C

1

AB, 2

1

1

AB BC AA1 6, ………… 9分 2

111111 1,V BC BB AB V 2. BC CC1 DE VA1 BB1C111111323326

…… 10分 而V VD BCC1 VA1 BB1C1 VB AA1C1D, ∴6 1 2 VB AAC. ∴VB AA1C1D 3. 11D

3∴四棱锥B AAC11D的体积为. …… 12分

19．解：(1)依题意得: (-2)2+(-4)2-4m>0，∴ m<5

或 原方程可化为 (x-1)2+(y-2)2=5-m，∴5-m>0，∴m<5；………………4分

x 2y 4 02

(2)联立 2，得5y-16y+8+m=0， 2

x y 2x 4y m 0

24

………………………………..6分 5

8 m16

设M(x1, y1)、N(x2, y2)，则y1·y2=，y1+y2=，

55

由△>0，得m<

于是x1·x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2) +4y1·y2，……………………………8分

由原点O在以MN为直径的圆上，得∠MON=90º，∴OM·ON=0，即

x1·x2+y1·y2=0， ……………………………..10分 解得m=20．解：

(1)令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．………2分 令y=-x，代入①式，得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有

0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，

所以f（x）是奇函数． ………………………………6分

(2) 因为f（x）在R上是增函数，又由（Ⅱ）知f（x）是奇函数．

8248

，满足m< ∴实数m值是 ………………12分 555

f(k2x)+f(2x 4x 2)＜0

f(k2x)＜-f(2x 4x 2)=f( 2x 4x 2)

k2x＜ 2x 4x 2

22x (1 k)2x 2＞0对任意x∈R成立． …… …………………8分

令t 2＞0，问题等价于t2-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．

x

令f(t) t2 (1 k)t 2，其对称轴为x

2

………………10分 当 0即k 1时，f(0) 2 0，符合题意；

2

0

当 0即k 1时，对任意t 0，f(t) 0恒成立 2

22

(1 k) 4 2 0

解得： 1 k 1 分

综上所述，当k 1

R恒成立. ………………13分 f(k2x)+f(2x 4x 2)＜0对任意x∈

法二：由k2x＜ 2 4 2 ………………8分

x

得k 2

xx

2

1 1，即u

的最小值为 1， ………12分 2x

2x

要使对x∈R不等式k 2 x

1恒成立，只要使k 1……13分

2u 2x

an Sn B

21.解：（Ⅰ）A 0时，an Sn B，当n 2时，由 得，an an 1 (Sn Sn 1) 0

a S B n 1n 1

即

2

1……………10分

2x

an1

，所以，数列{an}是等比数列． ……………………………4分 an 12

（Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n 1,2,3得：

a1 S1 A B 2 A B A 1

a2 S2 2A B，即 2d 3 2A B，解得 B 1， a S 3A B 5d 4 3A B d 0 33

即等差数列{an}是常数列，所以Sn n； ……………………………7分 又

111

，则n=18． ……………………………8分 n2n12(3)当n 1时，2=A B,所以B=2-A

所以an Sn An 2 A

an Sn An 2 A 当n 1时，由

an 1 Sn 1 A(n 1) 2 A

an 1 an (Sn 1 Sn) A

11

即an 1 an A

22

1

an 1 A (an A),又a1 A 0

2

1

所以{an 1 A}是公比为的等比数列，

2

111

所以an A (a1 A)()n 1 (1 A)()n 1,an (1 A)()n 1 A ……10分

222

an2nA 2A 21 A

n 1 n

an 12A A 1(2 1)A 1

①当A 1时

ana1 A

1 n 1且n的值随n的增大而减小， an 1(2 1)A 1an 1

即

2aa1a2a3

, )；12分 ，所以，M 1，即M的取值范围是[

A 1a2a2a3a4

ana1 A

1 n 1且n的值随n的增大而增大， an 1(2 1)A 1an 1

②当0 A 1时

即

a1a2a3

，所以，M 1，即M的取值范围是[1, )．………14分 a2a3a4

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