柱体锥体台体的表面积和体积

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1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积

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提出问题在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

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引入新课正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和. 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

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棱柱的展开图棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？

S 直 棱 柱 侧 ch ( c 为 底 面 周 长 , h为 高 )

h正棱柱的侧面展开图

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棱锥的展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？

正棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

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棱锥的展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？S正棱锥侧 1 2 ch ( c 为 底 面 周 长 , h 为 斜 高 )

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

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棱锥的展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？S正棱台侧 1 2 ( c c ) h ( c , c 分 别 为 上 , 下 底 面 周 长 , h 为 斜 高 )

侧面展开h'

正棱台的侧面展开图

h'

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棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

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典型例题例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 解：先求 ABC 的面积,过点S作 SD BC , S a 交BC于点D.BC=a, BD ,2

A B D C

SD S SBC

| SB | | BD | 2 2

3 2

aa 3 422

1 2

BC SD

1 2

a

3 2

a

四面体S-ABC 的表面积为 4 S S B C 4

3 4

a

3a

2

.

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圆柱的表面积r O

lO

2 r

圆柱的侧面展开图是矩形

S 圆柱表面积

2 r 2 rl 2 r ( r l )2

r为底面半径,l为母线长

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圆锥的表面积

圆锥的侧面展开图是扇形

2 r

l

r

O

S 圆锥表面积

r rl r ( r l )2

r为底面半径,l为母线长

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圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 .2 r '

圆台的侧面展开图是扇环

r 'O’l

2 r

r O

S 圆台表面积

( r r r l rl )2 2

r, r’为上,下底面半径,l为母线长

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三者之间关系圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？

r O r’=r

r 'O’l

r’=0上底缩小

l

lO

上底扩大

r O2 2

r

O

S 柱 2

r ( r l )

S 台 ( r r r l rl ) S 锥 r ( r l )

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典型例题例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直径为 15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15cm.那么 花盆的表面积约是多少平方厘米( 取3.14,结果精确 到1 cm 2 )? 20 cm 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：2 15 2 15 20 1 .5 S 15 15 2 2 2 2

15 cm15 cm

999 ( cm )2

答：花盆的表面积约是999

cm

2

.

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3

课堂练习

1、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4, 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. 2、一个圆台，上、下底面半径分别为10、20, 母线与底面的夹角为60°,求圆台的表面积. 变式：求切割之前的圆锥的表面积 3、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面 积为 ，求这个圆锥的表面积 3 4、直角三角形，两直角边的长为3 , 4,绕 其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？

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知识小结圆柱 S 2 r ( r l )r r

柱体、锥体、台体的表面积

圆台S

( r r r l rl )2 2

r 0

展开图

圆锥 S r ( r l )

各面面积之和

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柱体体积以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： (S为底面面积，h为高). V Sh

一般棱柱体积也是：

V Sh 其中S为底面面积，h为棱柱的高.

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圆锥体积

圆锥的体积公式：

V

1 3

Sh (其中S为底面面积，h为高)1 3

圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的

.

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棱锥体积探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系.

三棱锥与同底等高的三棱柱的关系

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