考题集(39)：26.3 实际问题与二次函数

第26章《二次函数》中考题集（39）：26.3 实际

问题与二次函数

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第26章《二次函数》中考题集（39）：26.3 实际

问题与二次函数

解答题

1．（2007?深圳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线

与直线

相交于A，B两点．

（1）求线段AB的长；

（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少； （3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式

是否成立；

．

（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：

2．（2007?绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为

（2，0）、（1，

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）．将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B

的位置，抛物线y=ax﹣2x经过点A，点D是该抛物线的顶点． （1）求证：四边形ABCO是平行四边形； （2）求a的值并说明点B在抛物线上； （3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；

（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标．

3．（2007?山西）关于x的二次函数y=﹣x+（k﹣4）x+2k﹣2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面建立直角坐标系画出函数的草图；

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www.jyeoo.com （2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；

（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形？若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

4．（2007?三明）如图，抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标；

（2）求抛物线顶点M关于x轴对称的点M′的坐标，并判断四边形AMBM′是何特殊平行四边形．（不要求说明理由）

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5．（2007?泉州）已知抛物线y=x+4x+m（m为常数）经过点（0，4） （1）求m的值；

（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为﹣8． ①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式； ②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．

6．（2007?衢州）如图，顶点为D的抛物线y=x+bx﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC，

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已知tan∠ABC=1．

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（1）求点B的坐标及抛物线y=x+bx﹣3的解析式； （2）在x轴上找一点P，使△CDP的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）若点E（x，y）是抛物线上不同于A，B，C的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

7．（2007?青海）如图，抛物线y=x+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个

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交点为C，

抛物线的顶点为D．

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www.jyeoo.com （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标． 8．（2007?青岛）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时

间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（2）设四边形APQC的面积为y（cm），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC

面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由； （3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式． 9．（2007?钦州）如图，在平面直角坐标系中，一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上，A为坐标原点，点B的坐标为（m，0），对角线BD平分∠ABC，一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D

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运动（点P不与B，D重合）．过P作PE⊥BD交AB于点E，交线段BC（或CD）于点F．

（1）用含m的代数式表示线段AD的长是 _________ ；

（2）当直线PE经过点C时，它的解析式为y=x﹣2，求m的值； （3）在上述结论下，设动点P运动了t秒时，△AEF的面积为S，求S与t的函数关系式；并写出t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？

10．（2007?莆田）如图，抛物线y=

x+mx+n（其中m，n为常数且m＞n）与y轴正半轴交于A点，它的对

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称轴交x轴正半轴于C点，抛物线的顶点为P，Rt△ABC的直角顶点B在对称轴上，当它绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C． （1）写出点A，P，A′的坐标（用含m，n的式子表示）； （2）若直线BB'交y轴于E点，求证：线段B′E与AA′互相平分； （3）若点A′在抛物线上且Rt△ABC的面积为1时，请求出抛物线的解析式并判断在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△AA′D为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．

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www.jyeoo.com 11．（2007?宁德）已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）； 步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）

（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ _________ QE（填“＞”、“=”、“＜”号）； （2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是（ _________ ， _________ ）； ②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是（ _________ ， _________ ）； ③当PA=12厘米时，在图3中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；

（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点Q1，Q2，Q3，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式．③③

12．（2007?南通）已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正

半轴上．关于y轴对称的抛物线y=ax+bx+c经过A、D（3，﹣2）、P三点，且点P

关于直线AC的对称点在x轴上． （1）求直线BC的解析式；

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（2）求抛物线y=ax+bx+c的解析式及点P的坐标；

（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围． 13．（2007?南宁）如图1，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x（0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A'落在AH所在的直线上）． （1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；

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