《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)3-4-1

高考调研

新课标A版 ·数学 ·必修5

第三章

不等式

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不等式

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a+b 3.4 基本不等式： ab≤ (第一课时) 2

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不等式

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授 人 以 渔

课 时 作 业

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第三章

3.4

第一课时

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要点1 当a,b是任意实数时，有a2+b2≥2ab,当且仅当

a=b 时，等号成立.要点2 基本不等式 当a,b是任意正实数时，a,b的几何平均数不大于它们的 a+b 算术平均数，即 ab≤ ,当且仅当 a=b 时，等号成立. 2

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第三章

3.4

第一课时

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要点3 利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数，则： ①如果积xy是定值P,那么当x=y时，x+y有最小值2 P ;

1 2 ②如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 4 S .(可简 记为：积定和最小，和定积最大) (2)利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件： ①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成 立.即“一正，二定，三相等”.第 5页

第三章

3.4

第一课时

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a+b 1.基本不等式：“当a,b都是正数时，有 ab ≤ 2 ”, 如果将条件“a,b都是正数”改为“a,b都非负”,基本不等 式是否还能成立？答：能成立.

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第三章

3.4

第一课时

高考调研2.基本不等式的常用推论： a+b 2 a2+b2 (1)ab≤( 2 ) ≤ 2 (a,b∈R).

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1 1 (2)当x>0时，x+ ≥________;当x<0时，x+ ≤________. x x b a b a (3)当ab>0时， a + b ≥________;当ab<0时， a + b ≤________. (4)a2+b2+c2________ab+bc+ca,(a,b,c∈R).答：(2)2 -2 (3)2第 7页

-2 (4)≥第三章 3.4 第一课时

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授 人 以 渔

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3.4

第一课时

高考调研题型一

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利用基本不等式比较大小

例1

(1)已知a、b∈(0,1),且a≠b,那么在a+b,2 ab ,a2

+b2,2ab中的最大者为________.

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3.4

第一课时

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【解析】

方法一

∵a、b∈(0,1)且a≠b,

∴a+b>2 ab,a2+b2>2ab. 又∵当a、b∈(0,1)时，a>a2,b>b2, ∴a+b>a2+b2.∴最大者为a+b. 方法二 1 1 (特值法),取a=2,b=3,代入即得结论.

【答案】 a+b

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3.4

第一课时

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a+b (2)设a>0,b>0,试比较 ， ab , 2 小，并说明理由.

a2+b2 2 , 的大 2 1 1 + a b

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第一课时

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【解析】 2

1 1 2 方法一 ∵a>0,b>0,∴ + ≥ , a b ab

即 ab≥1 1(当且仅当a=b时取等号). a+b a+b 2 a2+2ab+b2 a2+b2+a2+b2 a2+b2 又( )= ≤ = , 2 4 4 2 a+b ∴ 2 ≤ a2+b2 2 (当且仅当a=b时等号成立),

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第一课时

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a+b 而 ab ≤ ,故 2 =b时等号成立).

a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ (当且仅当a 2 2 1 1 + a b

方法二 取a=1,b=4代入即得.

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探究1 (1)利用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用 方法；(2)代入特殊值，通过计算先估算大小关系，后比较大小 更具有目标性. 思考题1 (1)设0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b B.a< ab< 2 <b a+b D. ab<a< <b 2 )

a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2

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第一课时

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【解析】

∵0<a<b,∴a· a<ab.∴a< ab.

a+b 由基本不等式知 ab< 2 (a≠b), a+b 又∵0<a<b,a+b<b+b,∴ <b. 2 a+b ∴a< ab< 2 <b.【答案】 B

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3.4

第一课时

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(2)已知a>b>1,P=

1 lga· lgb ,Q= (lga+lgb),R= 2

a+b lg 2 ,比较P、Q、R的大小. 【思路分析】 比较P、Q、R三式结构，利用均值不等式及

对数函数单调性比较出大小关系.

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第一课时

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【解析】 ∵a>b>1,∴lga>lgb>0. 1 ∴2(lga+lgb)> lga· lgb,故Q>P. a+b a+b 又由 > ab,得lg >lg ab. 2 2 a+b 1 即lg 2 >2(lga+lgb),故R>Q. 从而P<Q<R.

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高考调研题型二

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利用基本不等式求最值

例2

(1)已知a>0,b>0,且a· b=2,则当a=b=________

时，a+b有最小值________. (2)已知a>0,b≥0,且a+b=2.则当a=b=________时，a· b 有最大值________.

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第一课时

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【解析】 (1)∵a+b≥2 ab ,∴当a=b= 2 时，a+b有最 小值2 2. a+b 2 (2)∵ab≤( 2 ) ,∴当a=b=1时，a· b有最大值1.【答案】 (1) 2 2 2 (2)1 1

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3.4

第一课时

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