第五章向量代数

教 案

课时 2 授课人:唐默

第五章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及其线性运算

一、内容要点

⒈向量的定义 向量是即有大小、又有方向的量 .

⑴向量的几何表示 有向线段 ﹙与起点无关，称为自由向量﹚. ⑵向量的坐标表示：a?(ax,ay,az)，其中ax、ay、az为向量a在三

个坐标轴上的投影.以M0(x0,y0,z0)为起点、M0(x,y,z)为终点的向量

M0M?(x?x0,y?y0,z?z0).

⑶向量的分解表示a?axi?ayj?azk，其 中i?(1,0,0)，j?(0,1,0)，

k?(0,0,1)

⒉向量的模与方向余弦

22?az设a?(ax,ay,az)则向量的模a?ax2?ay方向余弦为

ayaxa?分别为a与x轴、y轴、cos??,cos??,cos??z.其中?、?、

aaaz 轴正向的夹角﹙称为a的方向角﹚，

cos2??cos2??cos2??1

⒊向量的加法与数乘运算

向量的加法有平行四边形法则和三角形法则.

1

运算的代数表示：设a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz), 则 (1)a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz); (2)?a?(?ax,?ay,?az). 线性运算律为

a?b?b?a,

(a?b)?c?a?(b?c), ?(a?b)??a??b,

?(?a)?(??)a

基本定理：设a?0，则

ab????R，使得 b??a ； 或 设a?(ax,ay,az)?0 b?(bx,by,bz)，则a\\\\b?bxbybz??. axayaz 利用数乘 ,任何向量a可表示为a?aea，其中ea表示与a同方向的单位向量.

空间直角坐标系中，三个坐轴上正向的单位向量分别记为i,j,k ，则 a?(ax,ay,az)的分解表达式为:a?axi?ayj?azk .

二、数学要求和学习注意点

⑴理解空间直角坐标系，理解﹙自由﹚向量的概念及其几何表示和坐标表示；

⑵掌握向量的线性运算，了解两个向量平行的条件；

⑶理解单位向量、方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行线性运算的方法。

在学习这部分时，要注意掌握向量的几何表示与坐标表示之间的联系；会用向量及其运算﹙引进坐标、或不引进坐标、或两者结合﹚来解某些几何问题.

三、释疑解难

2

⒈设a、b为非零向量，指出它们具有什么几何特征，才能使下列各式成立？

⑴ a?b?a?b ； ⑵ a?b?a?b ； ⑶ a?b?a?b .

答 由向量加、减法的平行四边形法则知，当(a,b)?时，⑴式成立，﹙图5–1﹙a﹚﹚，当(a,b)?5–1﹙b﹚﹚.

由三角形法则知，一般有a?b?a?b ，当且仅当(a,b)??时，⑶式成立﹙图5–1﹙c﹚﹚.

b a a?b ba?b a?b b a?b a?b

????2，即a?b?2 时，⑵式成立﹙图

a a (a) (b) (c) 图5-1 2、下列说法是否正确，为什么？

⑴与x、y 、其方向角为(,,)； z三坐标轴的正向夹角相等的向量，

333???⑵ 2i?j；

⑶如图5–2所示，则力F在向量S上的分力为 F

Fcos? . )? S 答 图5-2 ⑴与三坐标轴的正向夹角相同的向量，其方向角不是.因为任一向量的三个方向角?、?、?应满足关系式

cos2??cos2??cos2??1，当????? 时，有

?3 3

3cos2??1?cos???1/3，即??arccos(?1/3)??/3 .故⑶的说法

是错误的.又因cos2?3?3?cos2?3?cos2?3?3?1 ，所以，还可看出，三个4方向角均为的向量根本不存在.

⑵不正确.不等号是用来比较两个实数的大小的，而向量是既有大小、又有方向的量，方向无所谓大小之分，故在向量之间，没有“大于”、“小于”这样的次序关系，正如复数之间没有大小次序关系一样.如果是比较两个向量的模的大小，则当然是可以的，比如2i?j.

⑶不正确.F在S上的分力是一个方向和S平行的力﹙向量﹚，而

Fcos?仍是一个与F同方向的力，F在S上分力的正确表示应是

SS ，其中es?表示分力的方向，是S方向的单位向SSFcos?es?Fcos?量.

四、例题增补

例1 已知三点Ａ﹙?1,2,3﹚,Ｂ ﹙1,1,1﹚，Ｃ ﹙0,0,5﹚. 求 ⑴ AB,BC,AC；

⑵ AB?AC在x轴上的投影及y轴上的分向量； ⑶三角形ＡＢＣ是什么三角形.

解 ⑴AB??1?(?1)?i?(1?2)j?(1?3)k?2i?j?2k; BC?(0?1)i?(0?1)j?(5?1)k??i?j?4k;

AC??0?(?1)?i?(0?2)j?(5?3)k?i?2j?2k.

⑵因为AB?AC?3i?3k，所以AB?AC在x轴的投影为3，在y轴上的分向量为?3j.

4

⑶因为

AB?22?(?1)2?(?2)2?3 AC?12?22?22?3BC?12?12?42?18

所以

AB?AC?BC, 故三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形.

例２ 证明空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形。

证 如图5–3，设空间四边形的四个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ；Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别为AB，BC，CD，DA四边的中点，因此

11AB,BN?NC?BC,22 C P

11DB?PC?DC,AQ?QD?AD.22AM?BM?222D

由于MN?MB?BN,QP?QD?DP, N Q 故 M B

1111AB?BC?(AB?BC)?AC, A 22221111QP?AD?DC?(AD?DC)?AC, 图5-3

2222MN?所以 MN?QP，

这就是说，四边形ＭＮＰＱ的一双对边平行且相等，所以ＭＮＰＱ是平行四边形.

五、习题解析

1、已知点Ａ﹙2,1,4﹚，Ｂ﹙4,3,10﹚，

5

（1）写出线段ＡＢ的中点坐标； （2）写出以线段AB为直径的球面方程.

解 ⑴记线段ＡＢ中点的坐标为﹙x0,y0,z0﹚，则 x0?2?41?34?10?3,y0??2,z0??7， 222⑵半径r?(3?2)2?(2?1)2?(7?4)2?11， 由(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2，得所求球面方程为 (x?3)2?(y?2)2?(z?7)2?11.

注 一般定比分点坐标的求法.

设点Ｍ﹙x,y,z﹚是线段M1M2的分点，且M1M??MM2，

(??0,内分点；??0，外分点，???1)，则分点Ｍ的坐标为

x?x1??x2y??y2z??z2,y?1,z?1, 1??1??1??当??1时，Ｍ为M1M2的中点.

５、已知点Ａ﹙3,?1,2﹚，Ｂ﹙1,2,?4﹚，Ｃ﹙?1,1,2﹚，试求点Ｄ，使得以Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ为顶点的四边形为平行四边形.

解 设平行四边形的4个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则由于

AB?DC，设Ｄ(x,y,z)，于是(?2,3,?6)?(?1?x,1?y,2?z),

所以x?1,y??2,z?8, 即Ｄ﹙1,?2,8﹚.

同理，若平行四边形的4个顶点分别别依次为Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ和Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ，则由AB?DB与AC?BD可得Ｄ﹙5,0,?4﹚与 Ｄ﹙?3,4,?4﹚.本题有且仅有这三解，而且三种情况下分别以 △ＡＢＣ的三条边为平行四边形的对角线，不妨画图试验证之.

6

10、设 a?i?j?k,b?i?2j?k,c??2i?j?2k ， 试用单位向量

,eb,ec表示向量 i,j,k.

解 用消元法解由题设等式组成的方程组，易得

j?13(a?b),k?14(a?b?c),i?51112a?12b?4c, 而

a?3ea,b?6eb,c?3ec， 于是得 i?5312e63a?12eb?4ec， j?3ea?6eb3， k?34e?63a4eb?4ec.

7

ea

第二节 向量的乘法运算

一、内容要点

⒈ 数量积﹙点积、内积﹚ 定义 性质 夹角

ｂ在ａ上的投影 。 ⒉ 向量的向量积﹙叉积，外积﹚

定义： ，其中 是同时垂直于 符合右手法则。坐标表达式 设 ，则

性质

8

是同时垂直于ａ，ｂ的单位向量，并且ａ，ｂ，

几何意义：⑴ 等于以ａ，ｂ为边的平行四边形面积； ⑵ ⒊ 混合积 定义 。

坐标表达式，设 ， 性质 ⑴

⑵ａ、ｂ、ｃ共面 或存在一组不全为0的数 ，使得 。 几何意义 等于以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体的体积。 二、数学要求和学习注意点

⑴ 掌握向量的数量积、向量积、混合积运算以及两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件。

⑵ 掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，了解向量的向量积、混合积的几何意义。

学习本章节时，必须掌握向量的三种乘积的定义及其在直角坐标系中的计算公式，注意归纳三种乘积的主要应用，特别是这三种乘积的几何意义在空间解析几何中有应用。

三、释疑解难

⒈ 下列命题是否成立？为什么？ ⑴

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⑵ 若 ，则ａ，ｂ，ｃ共面； 答

⑴ 不成立。可用反例说明。取 ，则 但

注 由⑴知，叉积不满足结合律。

⑵ 当 时，等式两端分别与ｃ作数量积，得 即

故ａ、ｂ、ｃ共面，命题成立。

⒉ 请归纳一下向量的数量积、向量积和混合积在几何中的主要用途。

答 ⑴ 数量积

按定义， ，可知数量积与向量的长度和夹角都有关。因此反过来可以利用数量积确定向量的长度及两向量的夹角。又，在直角坐标系中，数量积的计算公式 也比较简单，这就更增加了数量积在应用上的方便，特别值得指出的是，由数量积的这个计算公式，可以很容易地将向量积推广到到高维向量空间中去﹙详见线性代数教材﹚。

这里仅列举数量积的几何应用的要点：

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﹙ⅰ﹚ 求向量的模： ；

﹙ⅱ﹚求两向量的夹角：当 时，

﹙ⅲ﹚求一个向量在另一个向量上的投影；

特别地，向量a在直角坐标系中的坐标为

﹙ⅳ﹚向量a和b垂直的充分必要条件是a·b＝0，或

以下再举一例说明数量积的应用。设

，已知向量 ，令 ，求 。

求解本题时，首先注意到 ，且 ，即 垂直的单位向量。在等式

两端与 作数量积，即得 类似可得 于是

为两两11

顺便指出，上式称为从坐标系Ⅰ﹙以 为基本单位向量的坐标系﹚到坐标系Ⅱ﹙以 、 、 为基本单位向量的坐标系﹚的坐标变换公式。由于 、 、 是两两垂直的单位向量，因此坐标系Ⅱ也是空间直角坐标系。两个直角坐标系之间的坐标变换通过数量积很容易计算出来。

⑵ 向量积 按定义

其中单位向量 同时垂直于ａ和ｂ，且ａ、ｂ、ｃ符合右手规则，在直角坐标系中，ａ×ｂ的计算公式是

以下列出向量积的几何应用要点：

﹙ⅰ﹚求与两个非共线向量ａ、ｂ同时垂直的向量ｓ，可取 ｓ＝ａ×ｂ 或 ｓ＝﹣ａ×ｂ

﹙ⅱ﹚求由两个非共线向量ａ、ｂ所确定的平面的法向量ｎ，可取

ｎ＝ａ×ｂ ﹙ⅲ﹚求以向量ａ、ｂ为邻边的平行四边形的面积

﹙ⅳ﹚给定不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ，则点Ｃ到直线ＡＢ的距离

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﹙Ⅴ﹚向量ａ与ｂ 共线的充分必要条件是ａ×ｂ＝０。 ⑶ 混合积

＝﹙ａ×ｂ﹚·c在直角坐标系中， 的计算公式是

混合积的主要几何应用是：

﹙ⅰ﹚向量ａ、ｂ、ｃ共面的充分必要条件是 ＝０ ； ﹙ⅱ﹚以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体积 。 ⒊ 已知向量ａ，ｂ，ｃ，ｄ，从几何上说明：

⑴ 若ａ，ｂ不平行且ａ，ｂ，ｄ共面时，则存在 ， ，使得

⑵ 若ａ，ｂ，ｃ不共面，则存在， ，使得

答 ⑴ 由于ａ，ｂ不平行，故ａ≠０，ｂ≠０，因此当ｄａ 或ｄ ｂ 时，易知结论成立。否则设 ＝ａ， ＝ｂ ，＝ｄ过点Ｄ分别作 ， 的平行线，与直线ＯＢ，ＯＡ分别交于 ， ﹙如图５–４﹚，则

由于 ， ，故存在 ， ，使得 ， ， ，从

⑵ 当ｄ与ａ、ｂ或与ｂ、ｃ或与ｃ、ａ共面时，由⑴可知结论

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成立，否则设 ＝ａ，＝ｂ，＝ｃ，＝ｄ，过点Ｄ分别作平面平行平面ＯＡＢ，ＯＢＣ，ＯＣＡ，如图5﹣5得到一个平行六面体，则

由于 ， ， ，故存在 ， ，使得 ， ， ，从而有

注 本题的结论说明：在分解向量时，并不一定要分解成相互正交的分向量之和，也可分解成两﹙在平面情形﹚或三个﹙在空间情形﹚相互斜交的分向量之和，这是建立斜坐标系的理论依据。

四、例题增补

例1 设﹙ａ×ｂ﹚·ｃ＝２，求﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚

解 ﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚ ＝﹙ａ+ｂ﹚×ｂ·﹙ｃ+ａ﹚＋﹙ａ+ｂ﹚×ｃ·ａ

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＝﹙ａ×ｂ﹚·ｃ+﹙ｂ×ｃ﹚·ａ＝﹙ａ×ｂ﹚·ｃ+﹙ａ×ｂ﹚·ｃ＝４。

例２ 设ａ、ｂ是两个非零向量，且 ＝１，〈ａ，ｂ〉＝ ，求

解

例３ 证明向量ｃ＝ 是表示向量ａ与ｂ夹角平分线方向的向量﹙ａ≠０，ｂ≠０﹚。

证 设 ， 分别表示与ａ，ｂ同方向的单位向量，则

由以 、 为边所构成的平行四边形为菱形，知其对角线平分顶角，于是

这是与ａ、ｂ夹角平行线平行之向量。 又

其中 ﹥０，故ｃ是表示ａ与ｂ夹角平分线方向的向量。

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五、习题解析﹙习题５–２，教材下册第２２页﹚ ⒈ 设ａ＝３， ，求

⑴ ａ·ｂ；⑵ａ×ｂ；⑶ ｂ；⑷ａ；⑸。

解 ⑴ ａ·ｂ＝３×１＋﹙－１﹚×２+﹙－２﹚×﹙－１﹚＝３ ⑵ ａ×ｂ＝

⑶ ⑷ ⑸

⒎ 用向量法证明

⑴ 直径对的圆周角是直角； ⑵ 三角形的三条高交于一点。

证 ⑴ 如图５－６，AB是⊙Ｏ的直径，ｃ是半圆周上AB所对的任意一点，记＝ａ，＝ｂ，＝ｄ，＝＝ｃ，则

ａ＝ｃ+ｄ，ｂ＝－ｄ+ｃ， 因为

所以ａ·ｂ＝ ＝０，

由≠０，≠０，知＝０，所以ａ⊥ｂ，即直径所对的圆周角是直角。 ⑵ 如图５－７，在△ABC中，记＝ｃ，＝ｂ，＝ａ，则ａ＝ｂ+ｃ，设高线BE与CF相交于o，连AO，于是

＝0 ＝0。

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将上二式最后的等式相加，得

＝0，即 ＝0， ⊥ａ，得证。

⒐ 证明三个向量共面的充要条件是其中一个向量可表示为另两个向量的线性组合。

证 充分性 设ｃ＝，则 ＝0，故ａ、ｂ、ｃ共面。 必要性 参阅本节释疑解难问题3第1小题。

第三节 平面与直线

一、 内容要点 ⒈ 平面

点法式方程：Ａ﹙﹚＋Ｂ﹙﹚＋Ｃ﹙﹚＝０，平面的法向量ｎ＝﹙ＡＢＣ﹚。

一般方程：＝０，平面的法向量ｎ＝﹙ＡＢＣ﹚。 两平面间的关系：设 ＝０，则 １﹚ ２﹚

３﹚ 与的夹角 由下式确定

点与平面间的距离：设平面Ⅱ ＝０及Ⅱ外一点ｐ,则ｐ到Ⅱ的距离为

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⒉ 直线 一般方程

其中直线方向向量为

点向式﹙对称式﹚方程

其中ｓ＝﹙ｍ，ｎ，ｐ﹚为直线的方向向量。

参数方程

其中ｓ＝﹙ｍ，ｎ，ｐ﹚。 两直线的关系：设 ，则

⑴； ⑵＝０；

⑶两直线夹角，由下式确定：

⑷与共面 ＝０，其中点，点。

直线与平面有关系：设 ＝０，则 ⑴＝０；

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⑵；

⑶直线与平面的夹角，由下式确定：

⒊ 平面束方程

过直线Ｌ： 的平面束方程为 ＝０，其中为参数。 二、数学要求和学习注意点

掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面与平面、平面与直线、直线与直线的相互关系解决有关关问题。

学习本节内容时，要注意掌握平面和直线方程中各常数的几何意义，会根据所给的几何条件来选择恰当的方程并确定方程中的常数。确定平面的法向量和直线的方向向量是确定平面和直线方程的关健，要尽可能地把所给的几何条件归结到这上面去。此外，解题时要注意形数结合，尽可能作出示意图形以帮助思考。

三、释疑解难

⒈ 平面的一般方程 ＝０中含４个常数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，为了确定平面

方程所给的几何条件必须足够列出４个方程，这种说法对吗？

答 不对。事实上，由于常数Ａ、Ｂ、Ｃ不能为零，比如说Ａ≠０，这时＝０与 ＝０表示的是同一平面。记 ，则方程

＝０

只含３个待定常数，故只需要３个几何条件即可确定方程了。比如说，

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给出不在同一直线的三个点，就能把平面方程确定下来。

以上说明还适合于平面法向量ｎ＝﹙Ａ，Ｂ，Ｃ﹚和直线方向向量ｓ＝﹙ｍ，ｎ，ｐ﹚的确定。为了求得平面法向量ｎ，只需列出Ａ、Ｂ、Ｃ满足的2个方程就足够；为了求得直线方向向量ｓ，只需列出满足ｍ、ｎ、ｐ的2 个方程也就足够。

⒉ 在利用平面束方程来求通过直线 ，且与平面Ⅱ：＝０垂直的平面方程时，设所求平面的方程为

即 ＝０

此为矛盾方程，即无解。因此所求平面不存在。 上述解答对吗？

答 得出无解，不能断言所求平面不存在。因为平面束方程①并没有包含通过直线的所有平面，而是缺了一个平面；＝０。因此得出无解时，应再去验证平面 是否符合要求。若不符合，则问题无解；若符合，则 即为所求之平面。对于本题，由﹙１，１，–１﹚，﹙１，–２，–１﹚＝０知 ＝０恰为所求之平面。

四、例题增补

例１ 求过原点及点﹙６，–３，２﹚且与平面＝８垂直的平面方程。

分析 求平面方程的问题，要根据题设条件选取适当形式的平面方程，进而计算方程中的待定系数，最基本的方法是尽量归结到点法式方程讨论，若题设条件给出平面通过某一直线，则可利用平面束方

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程处理。

解 原点与点﹙６，–３，２﹚连线的方向向量为ｓ＝﹙６，–３，２﹚，平面＝８的法向量为ｎ＝﹙４，–１，２﹚。由题设，所求平面的法向量可取为

或取＝﹙２，２，–３﹚，故所求平面方程为２﹙﹚＋２﹙﹚–３﹙﹚＝０，即

＝０。

例２ 设直线过点Ａ﹙–３，５，–９﹚且与两直线： ，和 相交，求此直线方程。

解 先求由点Ａ及所确定的平面

方向向量为ｓ＝﹙１，３，２﹚，过点﹙０，５，–３﹚。 设的法向量为，则 故为

＝０ 即

＝０ 同理，可求得由Ａ及所确定的平面为 ＝０ 故所求直线为

21

例３ 判断下列两直线 ＝ ， ： ＝ ＝是否在同一平面上，在同一平面上求直线间的距离。

分析 判断两直线是否异面，最方便的方法是在两直线上各取一点与，检查向量 ﹙﹚是否为０。两直线之间的距离是指两直线的点之间的最短距离，也就是 在两直线的公垂线方向上的投影线段的长度，即有

解 直线上、的方向向量分别为＝﹙１，１，２﹚，＝﹙１，３，４﹚，两直线分别通过﹙–１，０，１﹚，﹙０，–１，２﹚ ＝﹙１，–１，１﹚，因为

所以，两直线， 为异面直线。 又因为

五、习题解析﹙习题５—３ 教材下册第３３页﹚ ⒎ 求下列投影点的坐标

⑴ 点﹙–１，２，０﹚在平面 ＝ ＝０上的投影点； ⑵ 点﹙２，３，１﹚在直线 ＝ ＝ 上的投影点。 分析 ⑴先求过该点与平面垂直的直线，再求垂线与平面的交

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点，即为所求投影；⑵先求过该点与已知直线垂直的平面，再求此平面与直线的交点，即为所求投影。

解 ⑴平面的法向量ｎ＝﹙１，２，–１﹚，即为平面的垂线的方向向量ｓ，于是过题设点的垂线方程为

＝ ＝

为了便于求垂线与平面的交点，将它化为参数式，为

＝ ＝ ＝ 代入平面方程，解得

＝

＝ ＝ ＝ 故所求投影为﹙–5∕3，2∕3，2∕3﹚。

⑵ 记过点﹙2，3，1﹚且与已知直线垂直的平面为Ⅱ，显见Ⅱ与该直线的交点即为所求投影点，易知Ⅱ的方程为

＝0 即 ＝0

在上述平面束中取一平面垂直于 面﹙＝0﹚，令 ＝﹙﹚⊥k。 即 ＝ 将 ＝ 代回平面束方程，得 ＝0， 于是直线在 面上的投影直线为

23

同理，直线在 与 坐标上的投影直线分别为 与

注 将直线主方程 中消去 ，就得 ＝0，

这是已知直线向 面的投影面方程，与 面方程 ＝0联列就得投影直线方程

﹙参见教材第五节是曲线在坐标面上的投影﹚。

⑵ 直线 ，在平面 ＝0上的投影直线。 分析 这类问题，用平面束方程求解较简便。 解

过题设直线的平面束方程为

＝ ＝0， 即 ＝ ＝3。

将 ＝3代入①，于是得投影平面的方程为 ＝0， 将它与题设平面联立，即得投影直线的一般方程为

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⒒ 设 是直线Ｌ外的一点，Ｍ是直线Ｌ上的任意一点，且直线Ｌ的方向向量为ｓ，证明：点 到直线Ｌ 的距离为ｄ＝ ，由此计算

⑴ 点 ﹙３，–４，４﹚到直线 ＝ ＝ 的距离； 证 可借助向量积的几何意义证之。 如图５–８，记 ， ＝d,则面积 即得

⑴ 这里点M﹙4，5，2﹚s＝﹙2，–2，1﹚ ，

代入已证公式，得所求距离

⒔ 已知入射光线有路径为 ，求光线经平面 ＝0反射线后的反射 线方程。

解 平面 ＝0的法向量为n＝﹙1，2，5﹚，入射光线方向向

25

量为 ＝﹙4，3，1﹚。设反射光线的方向向量为，则n为 与 夹角的平分向量，故当 时， ，从而存在 ≠0，使得 ， 从而 故

又将已知直线化为参数式方程

代入平面方程，解得

于是入射光线与平面的交点这M﹙–7，–5，所在直线方程为

第四节 曲面

一、内容要点

0﹚，因此，反射光线26

量为 ＝﹙4，3，1﹚。设反射光线的方向向量为，则n为 与 夹角的平分向量，故当 时， ，从而存在 ≠0，使得 ， 从而 故

又将已知直线化为参数式方程

代入平面方程，解得

于是入射光线与平面的交点这M﹙–7，–5，所在直线方程为

第四节 曲面

一、内容要点

0﹚，因此，反射光线26

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