第四章习题 稳恒电流的磁场

第四章 稳恒电流的磁场

一、判断题

1、在安培定律的表达式中，若∞→→21021aF r ，则。

2、真空中两个电流元之间的相互作用力满足牛顿第三定律。

3、设想用一电流元作为检测磁场的工具，若沿某一方向，给定的电流元l d I 0放在空间任意一点都不受力，则该空间不存在磁场。

4、对于横截面为正方形的长螺线管，其内部的磁感应强度仍可用nI 0μ表示。

5、安培环路定理反映了磁场的有旋性。

6、对于长度为L 的载流导线来说，可以直接用安培定理求得空间各点的B 。

7、当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流，并处在相同的磁场中，导体受到的安培力是相同的。

8、载流导体静止在磁场中于在磁场运动所受到的安培力是相同的。

9、安培环路定理I

l d B C 0μ=?? 中的磁感应强度只是由闭合环路内的电流激发的。

10、在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是一些平行直线，则该空间区域里的磁场一定均匀。 二、选择题

1、把一电流元依次放置在无限长的栽流直导线附近的两点A 和B ，如果A 点和B 点到导线的距离相等，电流元所受到的磁力大小

（A ）一定相等 （B ）一定不相等

（C ）不一定相等 （D ）A 、B 、C 都不正确

2、半径为R 的圆电流在其环绕的圆内产生的磁场分布是：

（A ）均匀的

（B ）中心处比边缘处强

（C ）边缘处比中心处强

（D ）距中心1/2处最强。

3、在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的线圈，一个是三角形，另一个是矩形，则两者所受到的

（A ）磁力相等，最大磁力矩相等

（B ）磁力不相等，最大磁力矩相等

（C ）磁力相等，最大磁力矩不相等

（D ）磁力不相等，最大磁力矩不相等

4、一长方形的通电闭合导线回路，电流强度为I ，其四条边分别为ab 、bc 、cd 、da 如图所示，设4321B B B B 及、、分别是以上各边中电流单独产生的磁场的磁感应强度，下列各式中正确的是：

()()12

1101111234000

C C C A B dl I

B B dl

C B B dl

D B B B B dl I

μμ?=?=+?=+++?=?

???（）（）（）（） 5、两个载流回路，电流分别为121I I I 设电流和单独产生的磁场为1B

,电流2I 单独产生的磁场为2B ,下列各式中正确的是：

L I

（A ）

()21012C B dl I I μ?=+? （B ）

1202C B dl I μ?=? （C ）()()1

12012C B B dl I I μ+?=+?

（D ）()()212012C B B dl I I μ+?=+?

6、半径为R 的均匀导体球壳，内部沿球的直线方向有一载流直导线，电线I 从A 流向B 后，再沿球面返回A 点，如图所示下述说法中正确的是： （A ）在AB 线上的磁感应强度0=B

（B ）球外的磁感应强度0=B

（C ）只是在AB 线上球内的部分感应强度0=B

（D ）只是在球心上的感应强度0=B

7、如图所示，在载流螺线管的外面环绕闭合路径一周积分

l d B L ??等于

（A ）0 （B ）nI 0μ （C ）20nI

μ （D ）I 0μ 8、一电量为q 的点电荷在均匀磁场中运动，下列说法正确的是

（A ）只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就相同。

（B ）在速度不变的前提下，电荷q 改变为-q ，受力方向反向数值不变。

（C ）电荷q 改变为-q 速度方向相反，力的方向反向，数值不变。

（D ）F B v 、、三个矢量，已知任意两个量的大小和方向，就能判断第三个量的方向与大

小

（E ）质量为m 的运动电荷，受到洛伦兹力后，其动能与动量不变。 9、一圆柱形的长直导线，截面半径为R ，稳恒电流均匀通过导线的截面，电流为I ，P 点到圆柱轴线的垂直距离为r ，如图所示设导线内的磁感应强度为内B

，导线外的磁感应强度为外B ，则有 成反比与成正比，、与）（成正比与成反比，、与）（成反比都与、）（成正比都与、）（外内外内外内外内r B r B D r B r B C r B B B r B B A 10、如图所示一半径为R 的导线圆环同一个径向对称的发散磁场处处正交，环上各个磁感应强度B 的大小相同，方向都与环平面的法向成θ设导线圆环有电流I ，则磁场作用在此环上的合力大小和方向是：

（A ）F=RIB π2 垂直环面向上

（B ）F=RIB π2sin θ 垂直环面向上

（C ） F=RIB π2sin θ 垂直环面向下

（D ） F=RIB π2cos θ 沿环面背向圆心 B I r P

R

11、半径为R 的圆形回路中有电流2I ,另一无限长直载流导线AB 中有电流1I ,AB 通过圆心，且与圆形回路在同一平面内，圆形回路所受1I 的磁场力是：

（A ）F=0

（B ）F=R I I πμ22

10

（C ） F=210I I μ

（D ） F=R I I 22

10μ

12、一圆线圈的半径为R ，载有电流I ，放在均匀外磁场中，如图所示，线圈导线上的张力是：

（A ）T=2RIB （B ）T=IRB （C ）T=0

（D ）T=RIB π2 13、如图所示，两无穷大平行板上载有均匀分布的面电流密度均为i ，两电流平行且同向，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区的磁感强度B 的分布为：

C i

B i B i B D i B B i B

C i B B i B B i B i B

B A

030201032010

32010302102

022

0μ=μ=μ=μ==μ=μ==μ=μ=μ=

=；；）（；；）（；；）（；；）（ 14、已知α粒子的质量是质子的4倍，电量是质子的2倍，设它们的初速度为零，经相同的电压加速后，垂直进入匀强磁场作圆周运动，它们的半径比为：

（A ）1 （B ）1/2 （C ）2 （D ）22

三、填空题

1、一长螺线管通有电流I ，若导线均匀密绕，则螺线管中部的磁感应强度为（ ）端面处的磁感应强度约为（ ）

2、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ）

3、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ）

II I i i R I O

R I O

4、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强的大小为（ ）

5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强的大小为（ ）

6、载流导线形状如图所示，O 处的磁感应强D 的大小为（ ）

7、载流导线形状如图所示，O 处的磁感应强D 的大小为（ ）

8、载流正方形线圈的边长为2a ，通以电流I ，线圈轴线上距其中心O 为0r 处的磁感应强度的大小是（ ）

9、两条无限长的平行直导线相距a ，当通以相等同向电流时，则距直导线距离都为a 的一点P 的磁感应强度的大小是（ ）

10、电子以初速度0v 进入均匀磁场B v B 平行于中，0时，电子作（ ）运动；当B v 垂直于0时，电子作（ ）运动；当B v 与0成045角时，电子作（ ）运动。

11、以相同的几根导线焊成立方形如图，在A 、B 两端接上一电源，在立方形中心的磁感应强度B 等于（ ）

12

cm 8的轨道（玻尔轨道）上作匀速圆周运动，速度为s cm v /102.28?=已知电子荷C e 19106.1-?=电子的这种运R I O R I O 2R I O 1R I θ2R I O 1R I a P a a I

动在轨道中心处产生的磁感应强度B

的值是（ ）

13、均匀铁环上任意两点，用长直导线沿径向引到很远的电源上，那么其圆心处的磁感应强度为（ ）

14、长直螺线换管长度与其直径之比为L/2R=3，螺线管中点的磁感应强度为1B 若用无限长螺线管的公式计算，其相对误差是（ ）

15、一段导线弯成如图所示形状，它的质量为ｍ，上面水平一段长为Ｌ，处在均匀磁场中，磁感应强度为B ,B

与导线垂直，导线下面两端分别插在两个浅水银槽里，两槽水银与一带开关Ｋ的外电源联接，当Ｋ一接通，导线便从水银槽里跳起来，设跳起来的高度为ｈ，则

通过导线的电量ｑ＝（ ）

16、在磁感应强度为B

直方向从静止自由滑落，其所载电流为Ｉ，滑动中导线与B 正交，且保持水平。则导线下落的速度是（ ）

17、长直导线中流过电流为Ｉ，在它的径向剖面中，通过回路abcd 的磁通量是（ ）通过回路EFMN 的磁通量是（ ）。

18、一密绕的螺线环，其横截面为矩形，尺寸见图，通过螺线环截面的磁通量为（ ）

19、厚度为2d 的无限大导体平板，电流密度j

沿子方向均匀流过导体，当0≤X ≤d 时 =内B ( ),当X ≥d 时，=外B ( )

20、霍耳效应高斯计的探头条用n 形锗半导体薄片，其厚度为0.18mm ，材料的载流子浓度n=，若薄片载流315100.4-?cm 10mA 与薄片垂直的磁场T B 3100.1-?=,则霍耳电势差为

（ ）

21、在方向一致的电场和磁场中运动着的电子，（1）电子的速度V 沿着场的方向时，切向加速度=τa （ ）。法向加速度n a =( ).。（2）电子的速度垂直于场的方向时，切向加速度τa =（ ），法向加速度n a =( )。 I R R 43R a b c d 4R R M N E F R 21D 2D h

22、电子的荷子比e/m=1.76Kg C /1011?,初速度07060/100.7，并以s m v ?=角进入

B=2.0310-?T 的匀强磁场，作螺旋线运动，其螺距h=（ ）。

四、问答题

1、设想用一电流元作为检测磁场的工具。若沿某一方向，给定的电流元dl I 0放在空间任一点都不受力作用，你能否由此断定该空间不存在磁场？为什么？

2、把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触形成串联回路，再把它们接到直流电源上通以电流（如图），问弹簧将发生什么现象？怎样解释？

（3题图）

3、在测量霍耳电势差时，为什么两测量点必须是霍耳导体两侧相对处，如图中A 、‘A 两点？如不是相对处则可带来什么问题？

4、稳恒电流磁场与静电场本质上有哪些不同？

5、在回旋加速器中，电场和磁场各起着什么主要的作用？

6、试探电流元l Id

在磁场中某处沿直角坐标系的X 轴方向放置不受力，把这电流元转到+y 轴方向时受到的力沿-Z 轴方向，此处的磁感应强度设B 指向何方？

五、证明题

1、 通电线圈中任一电流元IdI 均处于线圈的其余部分所产生的磁场中，试证明通电圆环线

圈中每一小元段所受的磁场力均为背离圆心的径向力，线圈所受的合力为零。

2、是从毕奥—萨伐尔定律出发，证明稳恒电流磁场的高斯定理。（提示：利用叠加原理）。

3、在无限长导体薄板中，通以电流I ，薄板的宽为2a ，取宽度方向为X 轴，导体板边缘位于X=±a ，电流沿Z 轴的正方向，证明对Oxy 平面上第一象限内的点，有

12

00ln 44r r a I B a I B y x πμαπμ=-=；式中r 1与r 2分别是从考察点到薄板上x=+a 点和x=-a 点的距离，α是r 1与r 2之间的夹角。当保持面电流密度i=I/（2a ）的值不变而令板的宽度趋向无穷大时，则上述结果趋向何值？

4一个塑料圆盘，半径为R ，电荷q 均匀地分布于表面。圆盘绕通过圆心且垂直于圆盘面的轴转动，角速度为ω，试证明：（1）在圆盘在中心处的磁感应强度为R q B πωμ=20。（2）若A 'A I r l Id F d 'l Id

此圆盘放入与盘平行的均匀外磁场B 0中，外磁场作用在圆盘上的力矩为B R q 42

ω=τ。

5、一半径为R 的带电导体球壳，电势为U ，绕其中一直径以角速度ω匀速转动，在实验室坐标系中，（1）证明导体球壳表面的面电流密度θωε=sin 0U i ; (θ为球心与考察点的连线与固定轴的夹角)；（2）求出轴线上任一点（球内和球外）的磁感应强度；（3）证明此旋转导体的磁偶极矩。

Uk R m ωεπ=0334 其中k 是沿着轴的单位矢量，其方向与旋转方向组成右手螺旋系。

6、一半无限长螺线管，如图6-1所示，证明：（1）端面上的磁通量正好等于线圈内部磁通量的一半；（2）过螺线管内部离轴r 0处的任一条磁感线到达端面时，离轴线的距离r 1应满足关系012r r =；（3）过端面边沿的磁感线FGH ，从G 点经H 直到无穷远是一根与螺线管轴线相垂直的直线。

图6-1

7、试证明：在没有电流的空间区域里，如果磁感线是一些平行直线，则该空间区域里的磁场一定均匀。

8、试证明：在实际磁场中边缘效应总是存在的，即在一个均匀磁场的边缘处，磁应强度B 不可能突然降为零（如图所示）。

9、在一个半径为R 的无限长半圆筒状的金属薄片中，电流I 沿圆筒的轴向从下而上流动若A 为该金属薄片的两条竖边所确定的平面上的一点（A 点在竖边之间如图9-1所示），试证明A 点的磁感应强度B 的方向一定平行于该平面。

图9-1

六、计算

1、分析两平等的无限长载流直导线间的相互作用力。

2、 求无限长载流直导线的磁场

3、求圆电流轴线上的磁场

4、求载流螺线管内部的磁场

5、电流均匀地通过无限长的平面导体薄板,求到薄板距离为x 处的磁感强度.

6、半径为R 的薄圆盘均匀带电,电荷面密度为σ,若盘绕自身的中心轴线以角速度ω旋转，求轴线上离盘心为z 处的P 点的磁感强度。

7、 一圆柱形的长直导线,截面半径为R,稳恒电流均匀通过导线的截面,电流为I,求导线内和导线外的磁场分布。

8、用安培环路定理计算载流长螺线管内部的磁场 N S 0r 1r F G H I R A

9、在半径为a 的圆柱形长直导线中挖一半径为b 所圆柱形空管(a>2b)空管的轴线与柱体的轴线平行,相距为d,当电流仍均匀分布在管的横截面上且电流为I 时,求空管内磁场强度B 的分布。

10、回旋加速器D 形盒圆周的最大半径R=0.6m,若用它加速质子,将质子从静止加速到4.0MeV 的能量,(1)磁场的磁感强度B 应多大?(2)若两D 形盒电极间距离很小,极间的电场可视为均匀电场,两极的电势差为 求加速到上述能量所需的时间。

11、研究磁控管中电子的运动，两同轴金属圆管半径分别为a 和b(a

均匀磁场中，磁感强度B 平行于圆筒的轴线，设两圆筒间电压为U ，因此两圆筒之间存在一正交的电场和磁场,即，?z B Be =，

?()E E e

ρρ=自内圆筒表面出发的电子在电场作用下加速,飞向外圆筒，而磁场使电子运动方向偏转，甚至有可能使电子又返回内圆筒表面，若磁场的作用刚能使电子不能达到外圆筒，求磁场的磁感强度。

12、边长为2a 的等边三角形载流回路，电流为I 。求过三角形重心且与三角形平面垂直的轴线上距重心为r 0处的磁感强度。 13、在一半径R=1cm 的无限长半圆柱面状的金属薄片中，沿圆柱轴线方向自下而上地均匀通过电流I=5A 的电流，试求圆柱轴线上任意一点P 的磁感强度。

14、一多层密绕螺线管内半径为R 1、外半径为R 2长为2L 。设总匝数为N ，导线中通过的电流

为I,求这螺线管中心O 点的磁感强度。

15、在半径为R 的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，以单层盖住半个球面（如图15-1所示）。沿导线流过的电流为I ，总匝数为N 。求此电流在球心处O 产生的磁感应强度。

16、一半径为R 的无限长直圆筒，表面均匀带电，电荷密度为σ，若圆筒绕其轴线匀速旋转，角速度是ω，试求轴线上任一点处的磁感应强度。 17、在顶角为2θ的圆锥面上密绕N 匝线圈，通过电流I ，圆锥台的上下底半径分别为r 和R ，求圆锥顶点处的磁感应强度。

18、横截面积S=2.0mm 2

的铜线弯成如图所示形状,其中OA 和D O '段固定在水平方向不动,ABCD 段是边长为的正方形的三边,可以绕O O '转动;整个装置放在均匀磁场B 中,B 的方向垂直向上.已知铜的密度3/9.8cm g =ρ,当这铜线中的电流I=10A 时,在平衡情况下,AB 段和CD 段与竖直方向的夹角015=θ求磁感应强度B 的大小.

19、安培秤（如图19-1所示）一臂挂一个矩形线圈，线圈共有九匝，线圈的下部处再均匀磁场在均匀磁场B 内，下边一段长为L ，方向与天平底座平面平行，且与B 垂直，当线圈中通过电流I 时，调节砝码使两臂达到平衡，然后再使电流反向，这时需要在一臂上添加质量为m 的砝码才能使两臂达到重新平衡。（1）求磁感应强度B 的大小；（2）当L=100cm ，I=0.100A ，m=9.18g 时，求B 的大小（取g=9.8m/s 2）（3）在上述使用安培称的超作程序中，为什么要使电流反向？（4）利用这种装置是否能测量电流？

20、一边长为a 的正方形线圈载有电流I ，处在均匀而沿水平方向的外磁场B 中，线圈可以绕通过中心的竖直轴00'（如图所示）转动，转动惯量为J ，求线圈在平衡位置附近作微小② 4210V

??()E E e e

ρ= I I L 砝码反射镜天平梁B

摆动的周期T 。

21、电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，这球以角速度ω绕它的一个固定直径匀速旋转，求：（1）球内离转轴为r 处的电流密度j ；（2）该球的总磁矩m 。

22、同轴电缆由一导体圆柱和一它同轴的导体圆筒所构成。使用时，电流I 从一导体流入，从另一导体流出，设导体中的电流均匀地分布在横截面上。圆柱的半径为r 1，圆筒的内外半径分别为r 2和r 3，试求空间各处的磁感应强度。

23、将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，已知平面两侧的磁感应强度分别为B 1与B 2（如图23-1所示），求该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小及方向。

24、两个相同导体球，半径为a ，球心相距为d （d?a），浸没在电导率为γ的均匀无限大欧姆介质中，如图24-1所示，若两球间的电压保持为U ，试求在两球心连线的中垂面上距垂足O 为r 处的电流密度j 和磁感应强度B 。

25、在空间有互相垂直的均匀电场E 和均匀磁场B ，电场方向为x 轴方向，磁场方向为z 轴方向。一电子从原点O 静止释放，求电子在x 方向前进的最大距离

26、回旋加速器D 形电极圆周的最大半径R=0.6m ，用它来加速质子，要把质子从静止加速到4.0MeV 的能量。（1）求所需的磁感强度B ；（2）设两D 形电极间的距离为1.0cm ，电压为4

100.2?V ,其间电场是均匀的。求加速到上述能量所需时间

27、在空间有互相垂直的均匀电场E 和均匀磁场B ，B 沿x 轴方向，E 沿z 轴方向，一电子开始以速度v 向y 轴方向前进，图27-1所示。求电子运动的轨迹。

O

'O B I

1B 2

i

y z x o E B v

答案

一：

1-5 XXXVX 6-10 XXVXV 二：

1-5 CCAAD 6-10 ADBDB 11-14 CBCA

三：

1、

nI

nI 0021

μμ； 2、

R

I

40μ

3、 0

4、

()

R I ππ+μ210

5、

R

I

80μ

6、

??

?

?

??-πθμ120114R R I

7、 ??

??

??+210114R R I μ

8、()2

20

22

2021

2a r r a Ia ++πμ 9、

a

I

πμ230

10、匀速直线 圆圈

螺旋线 11、零

12、12.5T

13、０

14、５％

15、

LB qh m 2

16、 t m LIB g ）-

(

17、。 ()2ln 214400+πμπμIR R I ；

18、 210ln 2D D NIh πμ

19、

jd jx

00μμ

20、V 61079-?

21、 E m e - 0 2

2E vB m e +）（

22、0.62m

四、问答题

1、

答：不能。根据安培定律()002?4r I dl Idl e dF r μπ??=知，当l d I 0与r e l Id ?? 平行，但r e l Id 与不平行时，

0,0≠=B F d ，故不能断定该空间不存在磁场 2、

答：弹簧将作机械振动。因为弹簧通电后，整个弹簧的线圈电流可看成是同向平行的，同向平行相互吸引，因此，弹簧被压缩，下端离开水银面，磁力消失，弹簧恢复原状，于是电流又被接通，弹簧又被压缩……。这样周而复始地进行下去，弹簧不停地振动。 3、

答：当导体中有电流通过时，电流从高电势流向低电势，因而导体的不同截面上电势不相同，但同一垂直截面上各点的电势相等。当通有电流的导体处于磁场B 中时，在同一截面上的A 和A’两点间存霍耳电势差。若A 和A’不相对，那么测得的电势差就不只是霍耳电势差，还包括无磁场时所存在的电势差。所以为了只测霍耳电势差，必须A 和A’相对。 4、

答：1）激发场的源不同，静电场是由静止电荷激发的，而稳恒磁场是由稳恒电流（运动电

荷）激发。

2）电场线起于正电荷（或来自无穷远），终于负电荷（或伸向无穷远），不闭合，静电场是有源场。磁感线是闭合线，无头无尾，磁场是无源场。

3）由于静电场力作与路径无关，所以静电场是保守力场，可以引电势的概念。故静电场又称有势场。而磁场力作功与路径有关，所以磁场不是保守场，是涡旋场。

5、答：在回旋加速器中，电场对带电粒子运动起加速作用，而磁场使带电粒子偏转作圆周运动。在这样的电磁场作用下，带电粒子在一个不太大的D 形盒内多次被加速从而得到高

能粒子。

6、答：由安培定律B l Id F d

?=进行判断，由于电流元l Id 在磁场中某处沿X 轴方向放置

时，F d =0, 故l Id B l Id 可见0=?所在处l Id B 与同向或反向，即B 是沿X 轴的正方向或负方向。当把l Id 转到+y 轴方向时,已知F d 沿-Z 轴方向，故由安培定律，立即判断出B

的

方向为沿+X 轴方向。

五、证明题

1、证明：在通电圆环线圈中任取一小元段'l Id ，它与l Id 的距离为r

根据

02?'4r Idl e dB r μπ?=知，?'r dB Idl e ⊥?由右手螺旋定则,l Id 处的B 方向垂直纸面向上。再根据

B l Id F d B d l Id F d ?⊥?=,知，由右手螺旋定则，l Id F d

⊥向外，即沿背离圆心的径向

方向。在载流圆环线圈上总能找到一对电流元，它们受到磁场力大小相等，方向相反，其合力为零。线圈可看成是无限个这样电流元组成，根据叠加原理，故线圈所受合力为零。 2、

证明：首先证明电流元磁场的高斯定理：

在电流元Idl 的磁场中取任一闭合曲面S ，并以电流元方向为轴，以某一长度为半径作一圆

形磁感应线管，在截面'','dS dS 处与闭合曲面相交，两截面处磁感强度为'','B d B d 两面元

法向单位矢''?,'?n n ，'?'n B d 与 ，''?''n

B d 与

间之夹角为'','θθ 通过'dS 和''dS 的磁通量为

'

''''

'''''cos ''''''''''cos ''''⊥

⊥

=θ=?=Φ-=θ=?=ΦdS dB dS dB S d B d d dS dB dS dB S d B d d B B

根据毕——萨定律知B d

具有轴对称性和横向性得

所以

''','''dB dB dS dS ==⊥⊥ 0

00

'''

=?=Φ=φ+φ=φ????S d B d d d d S B B

B B

再证明任意电流磁场的高斯定理：

把任意电流分解为许多电流元 ,,21Idl Idl 它们在场点产生的感应强度分别为

21,dB dB 根据叠加原理，电流在场点产生的磁感应强度

2121=+?+?++=????

S

S

S d B d S d B d B d B d B

3、 证明：（1）建立直角坐标系，如图所示，在距原点ox 处，取一宽度为dx 无限长载流直导线；该直导线载流为

dx a I dI 2=

由无限长载流直导线场强公式得

dx ar I

r dI dB πμπμ4200==

n

n

''B d '

B d ''?'?l

Id S

'

dS '

'dS a

+a

+x y

dx

1

x B

d β

2r r

1

r β1

β2βα

1

y o x

将B d

分解到x 轴上有

βπμcos 40dx ar I dB x -=……①

其中 ()21211cos y x x y +-=

β……② ()2121y x x r +-=……③ 将②、③式代入①式得 ()dx y x x y a I dB x 2121104+-?-

=πμ

所以 ()()a a a a x y x x arctg y a Iy y x x x x d a Iy B ---=+--=?

|144111102121110πμπμ 011114I x a x a arctg arctg a y y μπ??+-=-

- ???……④

将

11121112,,

ββαββtg y a x tg y a x =-=+=-代入④式得 ()απμββπμa I a I B x 440120-=--

= ……⑤ B d 的y 轴分量为

βπμ=

sin 40dx ar I dB y ……⑥ 其中 21211)(sin y x x x

x +--=β……⑦ 将⑦式代入⑥式得

()()()()()212111*********y x x x x d x x a I y x x dx x x a I dB y +---πμ-=+--?πμ=

所以 ()[]()?-+-+--πμ=a a y y x x y x x d a I B 212121210214 ()()212121210ln )21(4y a x y a x a I +++--=πμ……⑧ 将()()22211212121,r y a x r y a x =++=+-代入⑧式得

120ln 4r r a I B y πμ=

（2）将a I i 2=代入⑤式和⑧式得

απμ20i B x -

=……⑨

120ln 2r r i B y πμ=……⑩

当πα→∞→,a

所以，由⑨式得 20i

B x μ= 当

0ln ,,1221→→∞→r r r r a 所以，由⑩式得

0=y B

4、 证明（1）取距圆盘中心O 为r 处，宽度为dr 的圆环，如图所示，在此圆环上的电量为

rdr R q rdr R q dq 2222==ππ……①

当圆盘以角速度ω转动时，该圆环中的电流为 dq dq dI π

ωω

π22==……②

将①式代入②式得 rdr R q dI 2πω=……③

由载流圆环中心处场强公式得

r dI

dB 20μ=……④

将③式代入④式得

dr R q dB 202πωμ=

所以 R q dr R q dB B R R

πωμπωμ2200

200===??……⑤ （2）该圆环电流的磁矩为

2r dI dm π?=……⑥

将③式代入⑥式得

dr r R q dm 32ω=……⑦

圆环在均匀磁场中所受力矩为 B m d d ?=τ dmB d =τ……⑧

将⑦式代入⑧式得

dr r R qB

d 32ωτ= σr ωo

所以

2

03204R qB dr r R qB d R R ωωττ===??……⑨

5、

证明：(1)根据题意有

R q U 04πε=

所以 RU q 04πε=

R U R q 02

4επσ== 图5-1 在球面上取一圆环带，如图5-1所示，当球壳以ω旋转时，其上电流为

00sin 2sin 2U dI R Rd UR d R εωθπθεωθθπ=????= 面电流密度为 θωεθθθωεsin sin 00U Rd Rd UR dl dI i ===

（2）由圆电流轴线上的场强公式得在如图5-2所示，距原点r 处的磁感应强度为 ()[][]23

22022023

222

0cos 22sin sin )sin (cos 2)sin (θ++θθωθε?μ=θ+θ+θμ=rR R r d UR R R R r R dI dB

()23223300cos 2sin 2θ

θθωεμrR R r d UR

++=

所以 ()?+=πθθθωεμ02

32233

00cos 2sin 2rR R r d UR B

令θcos =U ， θθd dU sin -= 图5-2 则有 ()()?-+-=2

3222

3

00212rRU R r

dU U UR B εμ ()[][]{}R r R r rR R r R r R r r U -++---++=223003ωεμ

当R r >，则

R r R r -=-，得 3

0032??? ??=r R U B ωεμ

当R r >，则

R r R r -=-得 U B ωεμ0032=

（3）圆电流dI 的磁偶极矩为 ()θθπωεθπθθωεd UR R d UR S dI dm 33020sin sin sin )(=?=?= θr ωθθ

d R

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