工程热力学课后答案--华自强张忠进高青(第四版)第4章

第四章 理想气体的热力过程

4-1 设气缸中有0.1 kg二氧化碳，其压力为0.1 MPa、温度为27 ℃。如进行一个定压过程，气体对外作功3 kJ。设比热容为定值，试求过程中气体热力学能和熵的变化，以及过程中气体吸收的热量。

解 由附表1 可知二氧化碳的气体常数为0.1889 kJ/(kg·K), 比定容热容为0.661 kJ/(kg·K) ，则有

mRgT10.1×0.1889×3003

==0.056 7 mV1=p1100

V2=V1+T2=V2

3W

= 0.086 7 m3=0.056 7+100p

300T1

= 459.04 K =0.086 7+

0.0567V1

U=mcv0 T=0.1×0.661×（459.04－300）=10.5 kJ Q= U+W=10.5+3=13.5 kJ

p2 T2T

=mcp0ln2 s=m lnlnRcp0g p1 T1T1 =0.1×（0.561+0.188 9）ln

4-2 有一气缸，其中氮气的压力为0.15 MPa、温度为300 K。

如果按两种不同的过程变化：(1)在定压下温度变化到450K；(2)

459.04

=0.036 1 kJ/K 300

在定温下压力下降到0.1 MPa。然后在定容下变化到0.15 MPa及450 K。设比热容为定值，试求两种过程中热力学能和熵的变化，以及从外界吸收的热量。

解 对于N2 有: Rg=0.296 8 kJ/(kg·K) ， cv0=0.741 kJ/(kg·K) （1）定压过程1－2

RgT10.2968×300

=0.593 6 m3

/kg v1==

150p1

v2=v1

450T2

=0.890 4 m3/kg =0.593 6×300T1

u12=cv(T2 T1)

=0.741×（450－300）=111.15 kJ/kg

450T

=0.421 kJ/(kg·K) s12=cpln2=（0.741+0.296 8）ln300T1

q12=cp(T2 T1)=1.038×（450－300）=155.7 kJ/kg （2）等温等容过程1－2’－2

热力学能及熵都是状态参数,与过程性质无关, 因此有:

u=111.15 kJ/kg s=0.421 kJ/(kg·K) 热量是过程量, 对于过程1－2’－2 有 :

q12′2=q12′+q2′2

p′

=T1 Rgln2 +cv(T2 T2′) p1

0.1

+0.741（450－300） 0.15

=36.1+111.15=147.25 kJ/kg =－300×0.2968ln

4-3 设气缸中空气的压力为0.5 MPa、温度为600 K，若经绝热过程膨胀到0.1 MPa，(1)按定值试求膨胀终了的温度及比体积：比热容计算；(2)按空气的热力性质表进行计算。

解 对于空气有

Rg=0.287 1 kJ/(kg·K) ， cv=0.716 kJ/(kg·K)

RgT10.2871×600

=0.345 m3/kg =v1=

500p1

(1)按定值比热容计算

p2

T2=T1 p

1 T1 v2=v1 T

2

k 1k

0.1 =600

0.5

0.41.4

=378.8 K

10.4

1k 1

600 =0.345

378.8

=1.089 m3/kg (2)按空气的热力性质表进行计算

=2.409 02 kJ/(kg·K) 由附表3 得 ST1

对于可逆绝热过程:

dTdp

ds=cp0 Rg=0

Tp

Rgln

T2dTT1dTdTT2p200

=∫0cp0 =∫cp0 ∫0cp0=ST ST

21

TTTp1T1

00

STS=+RglnT21

0.1p2

=2.409 02+0.287 1×ln0.5p1

=1.946 95 kJ/(kg·K)

由附表3用内插法求T2 及vr2, 得

T=380 K时, S0=1.940 01 kJ/(kg·K) , vr=343.4

T=390 K时, S0=1.966 33 kJ/(kg·K) , vr=321.5

390 380T2 380

=

1.94695 1.940011.96633 1.94001

T2=382.6 K

382.6 380390 380

=

vr2 343.4321.5 343.4

vr2=337.63

即可求得终态比容

v 337.63

v2=v1 =0.345 =1.100 95 m3/kg v

105.8 r1

4-4 柴油机吸气终了时气缸中空气的温度为60 ℃、压力为

为使压缩终了时空气温度超过柴油的自燃温度以使其着0.1 MPa。

火，故要求压缩终了的温度至少为720 ℃。设比热容为定值及压缩过程的多变指数为1.45，试求柴油机的压缩比(即压缩过程初始容积和终了容积之比)，及压缩终了的压力。

解 以ε 表示柴油机的压缩比, 则有:

ε=

v1 T2 = v2 T1

n

1

n 1

993 = 333

11.45 1

=11.33

v1 1.45n

=3.376 MPa ()ε0.111.33=p=×p2=p1 1 v

2

4-5 有一台内燃机，设其膨胀过程为多变过程，多变指数n＝1.3。已知燃气的Rg＝287.1 J/(kg·K)、cv0＝716 J/(kg·K)。若膨

胀开始时容积为12 cm、压力为6.5 MPa、温度为1 800 ℃，经膨胀过程其容积膨胀增至原容积的8倍，试求气体所作的功及其熵的变化。

解 燃气质量为

p1V16500×12×10 6

=0.000 13 kg m==

RgT10.2871×2073

对于多变膨胀过程 1－2, 有

V1

T2=T1 V

2

n 1

1

=207 3.2

8

1.3 1

=1 111 K

Rg

(T1 T2) W12=m n 1

0.2871 =0.119 7 kJ =0.000 13 ()2073 1111 0.3

V2 T2

s12=m +lnlnRcg v0TV1 1

=0.000 13（0.716ln

1111

+0.287 1ln8） 2073

=0.000 0195 kJ/K=0.0195 J/K

4-6 有一台压气机用于压缩氮气，使其压力由0.1 MPa提高至0.4 MPa。设比热容为定值及进气温度为300 K，试求压缩过程中消耗的容积变化功以及压气机消耗的轴功：(1)压缩过程为绝热过程；(2)压缩过程为定温过程。

解 对于氮Rg=0.296 8 kJ/(kg·K) ; cv0=0.741 kJ/(kg·K) ,

κ0=1.4

（1） 若压缩过程为绝热过程, 则有

p2

T2s=T1 p

1

κ0 1 κ0

0.4 =300

0.1

0.41.4

=445.8 K

qs= ut2s+w2s=0

w12s= u12s=u1 u2s=cv0(T1 T2)

=0.741×（300－445.8）=－108.04 kJ/kg

ws= h12=h1 h2s=cp0(T1 T2)

=1.038（300－445.8）=－151.34 kJ/kg

（2） 若压缩过程为等温压缩，则有：

d(pv)=dRgT=0

pdv+vdp=0 pdv= vdp qT=cVdT+∫pdv=cpdT ∫vdp

1

1

2

2

()

w12=∫pdv= ∫vdp=ws=qT

1

1

22

w12=ws=RgT1ln

p1

p2

0.1

=－123.44 kJ/kg0.4

=0.296 8×300×ln

4-7 有一台涡轮机，进入涡轮机的氦气的压力为0.84 MPa，温度为550 ℃。氦气在涡轮机中经绝热膨胀，其压力降低至0.14

MPa。若气流的动能及重力位能的变化可忽略不计，试求排气温度及涡轮机输出的轴功。

解 对于氦气（He）有：

Rg=2.077 kJ/(kg·K) , cv0=3.153 kJ/(kg·K) ，κ0=1.667;

p

绝热过程： T2=T1 2

p 1

κ0 1 κ0

0.14

=823.2×

0.84

0.6671.667

=401.93 K

Ws=h1 h2=cp0(T1 T2)

=（2.077+3.153）（823.2－401.93）=220 4.9 kJ/kg

4-8 有一台内燃机的涡轮增压器，在涡轮机进口处工质的压

力为0.2 MPa、温度为650 ℃，出口处压力为0.1 MPa。涡轮机所产生的功全部用于驱动压气机，在压气机入口处空气的压力为0.1 MPa、温度为27 ℃。设涡轮机及压气机中进行的过程为绝热过程，并假设工质为空气，试求涡轮机输出的功和排气温度，以及压气机输出的压缩空气的压力和温度。

解 工质为空气： Rg=0.287 1 kJ/(kg·K) , κ0=1.4,

cv0=0.716 kJ/(kg·K) ；

（1）对于涡轮机：

κ0 1 κ0

0.41.4

p2

T2=T1 p

1

0.1

=923.2×

0.2

=757.33 K

Ws=h1 h2=cp0(T1 T2)

=1.004×（923.2－757.33）=166.5 kJ/kg

（2）对于压气机： Ws′=Ws=166.5 kJ/kg

Ws′=cp0(T1′ T2′)

T2′=T1′

Ws′166.5

=300+=466.1 K cp01.004

2

′=p1′ p2

T′ 1

κ0κ T′ 0 1

466.1

=0.1×

300

1.40.4

=0.466 Mpa

4-9 有一储气罐，其容积为0.2 m3，内储氧气的压力为3 MPa、温度为20 ℃。现因焊接用去了一些氧气，罐内压力降至2 MPa。假设在用气过程中储气罐和外界的热交换可以忽略不计，试求用去氧气的体积，并说明求解所必需的假设条件。

解 对于氧气O2 有:

Rg=0.259 8 kJ/(kg·K) , cp0=0.917 kJ/(kg·K) , γ0=1.395; 解法(1)：对于理想气体的绝热放气过程，可以证明，储气罐内剩余部分气体所经历的是一个可逆绝热过程，因此有：

p2

T2=T1 p

1 m1=

κ0 1 κ0

2

=293.2×

3

0.3951.395

=261.4 K

3000×0.2p1V

=7.877 kg =

RgT10.2598×293.2

m2=

p2V2000×0.2

==5.889 kg RgT20.2598×261.4

焊接过程中用去的氧气为me :

me=m1 m2=7.877－5.889=1.988 kg 解法(2)： Q=m2u2 m1u2+mehe mihi+Ws 其中： Q=0 ; Ws=0 ; mi=0 ; me=m1－m2因此： mehe=m1u1 m2u2 其中he的值可按初终两态得平均温度来计算

T1+T2

=cv(m1T1 m2T2) 2

2(m1T1 m2T2)cp

==γ0=1.395 （1）

meT1+T2cvmecp

其中: m1T1=

p1V3000×0.2

==230 9.47 kg·K Rg0.2598p2V2000×0.2

==153 9.65 kg·K Rg0.2598

m2T2=

2

式（1）可整理成: 293.2m2+333.37m2－121 27.82=0

m2=5.887 kg

1539.651539.65T2===261.5 K

m25.887

me=m1－m2=7.877－5.887=1.989 kg

4-10 气缸中空气的压力为0.09 MPa、温度为17 ℃，经压缩过程使空气压力升高到0.72 MPa，温度为207.1 ℃，试求该压缩过程为多变过程时多变指数n的数值。

解 已知 p1=0.09 MPa ; p2=0.72 MPa

T1=290.2 K ; T2=480.3 K 根据多变过程中的参数关系：

T2 p2

= T1 p1

n 1n

lnT2 lnT1=

n 1

(lnp2 lnp1) n

n 1lnT2 lnT1ln480.3 ln290.3

==0.242 3 =nlnp2 lnp1ln0.72 ln0.09

1

=1.32

1 0.2423

n=

4-11 根据图4-5所示p-v图及T-s图上自点1出发的四种基本热力过程的过程曲线的位置，在图上画出自点1出发的下列各种多变过程：

解

(1)过程中工质膨胀作功同时向外放热：

(2)过程中工质吸热、膨胀作功同时压力升高：

(3)过程中工质受压缩向外放热同时温度升高：

(4)过程中工质吸热膨胀同时温度降低。

4-12 测定比热比γ的一种方法如下：用一个刚性容器，其中充以需测定的气体，并使其压力p1略高于环境压力p0，而其温度等于环境温度T0。然后先放出一些气体，使容器内压力降低为p0，再放置于环境中使其温度恢复为T0而压力又升高为p2。 测定p0、p1 及p2的数值，并假定放热过程进行的很快而容器内气体基本上和外界没有热交换。这样即可确定比热比γ的数值。试推导

比热比与p1、p2、p0之间的函数关系。

证明 用上述方法测定γ值, 实际上经历了两个过程:绝热放

气及等容吸热。

102020测定值k的示意图

可以证明, 在绝热放气过程中,容器内的剩余气体经历了一个可逆绝热过程。假定在绝热放气过程中某一瞬间气体的状态参数及质量分别为: T、p及m，对于微元过程则有:

pdV+Vdp=mRgdT+RgTdm

或

dVdpdTdm

+=+

pTmV

对于刚性容器, dV=0 , 因此有： dmdpdT （1） = mpT能量方程： δQ=dU+dmehe dmihi+δWs 其中： δQ=0 , δWs=0 , dmi=0

dU=d(mu)=mdu+udm

dme= dm , Te=T

因此有: mdu+udm= dmehe=dmhe

mcvdT+cvTdm=cpTdm

cvdTdm1dT

（2） ==

mcp cvTk 1T

（2）代入（1）:

dpdT 1 dTk =+1 = pT k 1 Tk 1

k

k 1

p′ T′

既有: 2= 2

p1 T1 v1

（3） = v′ 2

k

对于等容吸热过程 2'－2: v2′=V2=v2=常数 因此有: RgT1=RgT0=p1v1

RgT2=RgT0=p2v2

p′ v v p 代入式（3）有: 2= 1 = 1 = 2

′ p1 v2 v2 p1

k=

′p1)ln(p0p1)ln(p2

=

lnp2p1lnp2p1

4-13 试证明: 在T-s图上，如图4-9所示的理想气体的任意两条定压过程曲线(或定容过程曲线)1-1'及2-2'两者间的水平距离处处相等，即 Δs1,2＝Δs1',2'

k

k

k

图 4-9 图 4-10 证明 由图4-9知，p1=p1′,

′ 且T1=T2T2′=T1′, 有 p2=p2

p′ p2 2 s12= Rgln = Rlng p p′ = s12

1 1

两条等压线（或等容线）之间的水平距离处处相等，即为所证。

4-14 试证明: 在p-v图上，如图4-10所示的理想气体的任意两条绝热过程曲线1-1'及2-2'的纵坐标之比保持不变，即

p1p＝1' p2p2'

解 依题意，1 1′和2′ 2过程均为绝热过程，可以有

(k 1)

(k 1)

T1 p1

T′ = p′ 1 1

k

T p 和 2 = 2

T′ p′ 2 2

k

……（1）

1 1′和2′ 2过程均为等压过程，其熵变为

T2 T

及 s1′2′=cv0ln 2′ =0 s12=cv0ln 0= T

1 T1′

因此有：

T2T2′

=

T1T1′

既有： 与式（1）联得，既有：

T1T2

=

T1′T2′p1p=1′ p2p2′

4-15 试证明: 在T-s图上，如图4-11所示的理想气体的任意两条定压过程曲线(或定容过程曲线)1-1'及2-2'的纵坐标之比保持不变，即

T1T1′

=

T2T2′

证明 由绝热过程1 1′和2′ 2有： 图

4-11

ppTT

s12=cpln2 Rgln2=0 即 cpln2=Rgln2

p1p1T1T1

s1′2′=cpln

T2′ppT

Rgln2′=0 即 cpln2′=Rgln2′ T1′p1′p1′T1′

T2T2′

=

T1T1′

由 s12= s1′2′=0 可得：

4-16 试证明当理想气体的比热容关系式为cp0 ＝a＋bT时， 定熵过程中温度和压力的关系为

T.[(a+bT)]＝cp

式中c为常量。

(Rg)

图 4-12

证明 因为cp0=a+bT，所以有

cv0=cp0 Rg=a+bT Rg k=

cp0cv0

=

a+bT

a+bT Rg

k 1=

对于等熵过程:

Rga+bT

1=

a+bT Rga+bT Rg

T

上式可写成:

kk 1

p

=c1 或 T

kk 1

=T

a+bTRg

=c1p

T

a+bTRgRga

=(c1p)a=T T

a+bTa

Rg

bTa

因此:

Rg

cp

a

=T=T T

bTa

证毕

4-17 有一直立放置的气缸，在活塞和重物作用下，气缸中氮气的压力为0.5 MPa、温度为50 ℃。现突然从活塞上拿去一块重物，使活塞对气体的作用降为0.2 MPa，气体发生膨胀推动活塞上升。设比热容为定值，膨胀过程中气体和外界的热交换可以忽略不计，试求当活塞和气体重新达到力平衡时，气体的温度及气体膨胀所作的容积变化功。

解 对于氮气（N2）有：

Rg=0.296 8 kJ/(kg·K) ， cv=0.741 kJ/(kg·K)

气缸中的气体在内外压力差下膨胀到 p2 , 这是一个不可逆过程，能量方程：

Q12= U12+W12=0

W12=p2(V2 V1)= U12=mcv(T1 T2) RgT2RgT1

cv(T1 T2)=p2 p p 1 2

cvT1+T2=

RgT1p2

=

0.2968×323×0.2

0.2986+0.741

p1

Rg+cv

0.741×323+

=267.74 K=－5.4℃

w12=cv(T1 T2)=0.741（323－267.74）=41.1 kJ/kg

4-18 一密闭的气缸如图4-12所示，其内有一无摩擦的绝热活塞。开始时活塞处于中间位置，把气缸分为容积均等于500 cm

3

的两部分，其中分别充以压力均为2 MPa、温度均为27 ℃氧气和氮气。气缸是绝热的，仅氧气一端的顶面透热。现向氧气加热使其压力升高至4 MPa，试求所需热量及氧气的温度。

解 对于氧气（O2）:

Rg=0.259 8 kJ/(kg·K)， cv0=0.657 kJ/(kg·K)

pV2000×500×10 6

=0.012 8 kg =m=

RgT10.2598×300

对于氮气（N2）有:

Rg=0.296 8 kJ/(kg·K)， cv=0.741 kJ/(kg·K)

′V1′2000×500×10 6p1

=0.011 22 kg m′==

0.2968×300p′T1′

氮气（N2）经历一个可逆绝热压缩过程:

p2′

T2′=T1′ p′

2 V2′=

κ′ 1 κ′

4 =300

2

0.41.4

=366 K

m′RgT2′0.01122×0.2968×366

=304.9×10-6 m3 =

′p24000

-6-63

V2=V V2′=（100 0－304.9）×10=695.1×10 m

p2V24000×695.1×10 6

==836.1 K T2=

0.0128×0.2598mRg

能量方程: Q= U+ U′

=mcv(T2 T1)+m′cv′(T2′ T1′)

+0.011 22×0.741 =0.012 8×0.657（836.1-300）（366－300）

=5.057 kJ

4-19 试求上题中氧气状态变化过程的过程方程式，并在p-v图及T-s图上把氧气和氮气的变化过程曲线画在同一图上，定性地表示两者变化的对应关系。

解 由上题知：氮气（N2）经历一个可逆绝热压缩过程，n′=k′；氧气（O2）经历一个可逆多变膨胀过程，其多变指数n可由下式求得：

p2 4 ln ln p

2= 2.11 n=1=

500 V1

ln ln V 695 2

又知N2与O2的终态压力是相等的，它们在p v图和T s图上的过程线可表示如下：

1-2’表示氮气（N2）的过程线 n′=k′

1-2表示氧气（O2）的过程线 n= 2.11

4-20 一容器中有隔板，并均为绝热材料所制。容器两部分的容积均为500 cm，其中一部分充有压力为0.5 MPa，温度为100 ℃的空气，另一部分为真空。设在隔板上打开一个小孔使空气充满两部分。试求两部分中压力相等时，每一部分中空气的压力及温度的数值。

3

解 对于空气 Rg=0.287 1 kJ/(kg·K), κ=1.40

cp=1.004 kJ/(kg·K) ，cp=0.716 kJ/(kg·K)

初始状态是完全确定的，可以算出m1：

p1V1500×500×10 6

=0.233 3×10-2 kg m1==

RgT10.2871×373.2

以整体作为热力系统，按题意有：

Q= U+W=0 W=0

U=U2 U1=0 U2=U1

因此有： mAcvTA+mBcvTB=m1cvT1

m1T1=mATA+mBTB

又知： mATA=

pAV1pBV1

=mBTB =

RgRg

pV500×500×10 6

m1T1===0.87 kg·K

Rg0.2871 m1T1=2MBTB ,

p1V1pVpV

=2A1=2B1 RgRgRg

pA=pB=

p10.5==0.25 MPa 22

在绝热放气过程中刚性容器内的剩余气体经历了一个可逆的

绝热过程（参见题4－12），因此有：

TA pA

= T1 p 1

κ 1 κ

pA

TA=T1 p

1

利用状态方程：

κ 1 κ

=373.2(0.5)1.4=306.1 K

0.4

pAV250×500×10 6

mA===0.142 3×10-2 kg

RgTA0.2871×306.1

mB=m1 mA=（0.233 3－0.142 3）×10-2=0.091×10-2 kg 250×500×10 6pBVTB===478 K

RgmB0.2871×0.091×10

4-21 设把上题中的真空部分改为充有压力为0.1 MPa、温度为17 ℃的空气。试求当空气经小孔充满两部分而压力相等时，每一部分中空气的压力及温度的数值。

解 初态时的质量mA、mB：

pA1V500×500×10 6

=0.233 3 kg mA==

RgTA10.2871×373

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