陕西省西工大附中2013届高三上学期第五次适应性训练数学理试题

陕西省西工大附中2013届高三上学期第五次适应性训练数学理试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。 考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A??x?Rlog2(3x?4)?1?，B??x?R????0?， 则A?B? x?3?23,3) D．(??,?1)

x?1A．(3,??) B．(?1,?23) C．(?2. 设x?R，i是虚数单位，则“x??3”是“复数z?(x2?2x?3)?(x?1)i为纯虚数” 的

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

4. 已知A?0,2?,B?0,?1?，动点M满足MA?2MB，则动点M的轨迹所包围的图形的面积等于

A．? B．4? C．8? D．9?

5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做调查，为此将他们编号为1,2，??，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人数为

A．10

B．14

C．15

D．16

6．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE?1，连接EC,ED，则

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DCsin?CED?

A．

31010 B．1010 C．510 D．515

7．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?2,CC1?22，则直线AC1 E为CC1的中点，与平面BED的距离为

A．2 B． 3 C．2 D．1

8．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为

A．18 B．15 C．12 D．9

9．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为 A．

16 B．

13 C．????23 ?? D．

45

?????????10．对任意两个非零的平面向量?和?，定义??????2；若平面向量a,b满足

?????a?b?0，

??????????n?a与b的夹角??(0,)，且a?b，b?a都在集合?n?Z?中，则a?b?

4?2?

A．

??

B．

?? C．1 D．

12

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

5=3125，5=15625，5=78125，11. 观察下列各式：…，则55672013的末四位数字为 . x?0?y?11?y?012．设x,y满足约束条件?，若z?的最小值为，则a的值为

x?14?4x?3y?12a?__________.

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13. 已知x?0，则(x?1x?2)的展开式中常数项等于 . 12314．若椭圆中心为坐标原点，焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分

别为A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .

15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分.) A.（不等式选做题）不等式3x?6?x?4?2的解集为 ．

CB.(几何证明选做题)如图，直线PC与圆O相切于点C， 割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E， PC?4，

PB?8，则CE? . DBOEAPC.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆??4co?s的圆心到直线

?sin?(??4?)2的距离为2 .

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. (本小题满分12分)

在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA?acosC. （1）求角C的大小； （2）求3sinA?cos(B?17．（本小题满分12分）

袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个．从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用?表示取出的2个小球上的最大数字，求： （1）取出的2个小球上的数字不相同的概率； （2）随机变量?的分布列和数学期望.

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P?ABCD的底面是平行四边形，PA?平面ABCD,AC?AB,AB?PA,点E是PD的中点．

?4)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

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（1）求证：PB?AC；

（2）求二面角E?AC?B的大小． 19．（本小题满分12分）

22已知数列?an?各项均为正数，且a1?1，an?an?1?an?an． ?1（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?1a2n,数列?bn?的前n项和为Tn,求证:Tn?2.

20．（本小题共13分） 若双曲线E:xa22?yb22?1(a?0,b?0)的离心率等于2，焦点到渐近线的距离为1，直

线y?kx?1与双曲线E的右支交于A,B两点. （1）求k的取值范围；

????????????（2）若AB?63，点C是双曲线E左支上一点，满足OC?m(OA?OB)，求C点坐

标.

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)?e?xk2x?x.

2（1）若k?0，求f(x)的最小值；

（2）若当x?0时f(x)?1恒成立，求实数k的取值范围.

数学（理科）试题参考答案

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. A 2．C 3．D 4．B 5. C 6. B 7．D 8．D 9．C 10． B

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中

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的横线上．

11.3125 12. 1 13. 20 14.

15.A. ?x|0?x?3? B.

125x25?y24?1

C.2

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分) 解：（1）由正弦定理得sinCsinA?sinAcosC.

因为0?A??,所以sinA?0.从而sinC?cosC.又cosC?0,所以tanC?1, 又0?C??,故C?（2）由（1）知B?3sinA?cos(B??0?A?3?4,???444

?A.于是

3sinA?cos(??A)?3sinA?cosA?2sin(A?3??)??6)

?6?A?,即A??6?11?12,

从而当A??6?2?3时,2sin(A??6)取最大值2．

故3sinA?cos(B??4)的最大值为2，此时A??3,B?5?12.

17．（本小题满分12分）

解：(1) 记“取出的2个小球上的数字不相同”为事件A， 则P(A)?C3C2C2C26211?45

(2)由题意，?可能的取值为：1，2，3．

C2C622P(??1)??1151， P(??2)?C2?C2CC622112?515?13，

P(??3)?C2?C2C4C2621?915?35

所以随机变量?的分布列为

? 1 1152 133 35P 第 5 页 共 8 页

因此?的数学期望为

E??1?115?2?13?3?35?3815.

18．（本小题满分12分） 解：（1）证明： ?PA?平面ABCD，?PA?AC

?AC?AB,?AC?平面PAB,?PB?AC

（2）取AD的中点F,连结EF，则EF∥PA,?PA?平面ABCD,?EF?平面

ABCD.

取AC的中点O,连结OF,则OF∥AB，?AB?AC?OF?AC, 连结OE, 则OE?AC,??EOF是二面角E?AC?D的平面角， 又?EF?12PA,OF?12AB,?EF?OF,且EF?OF??EOF?45.

???二面角E?AC?B大小为135

19．（本小题满分12分）

解：（1）由已知得：(an?1?an)(an?1?an?1)?0

∵?an?各项均为正数，∴an?1?an?1

∴数列?an?是首项为1，公差为1的等差数列, ∴an?n. (2)由（1）可知 bn? 当n?2时

?Tn?1?1221n12 ?1n?1?1n1n2?n(n?1)12

n111111?1?(1?)?(?)???(?)?2??2

223n?1nn?132???

20．（本小题共13分）

?c2???2?a?122解：（1）由?a 得? 故双曲线E的方程为x?y?1

2??b?1?b?1? 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，

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由??y?kx?1?x?y?122得?1?k2?x2?2kx?2?0

又已知直线与双曲线右支交于A,B两点，由

2?1?k?0?22????2k??8?1?k??0?? 解得1?k?2k?x1?x2?2?0?k?1?2?x1x2?2?0?k?1?2 （2） AB?1?k2??x1?x2?2?4x1x2?2?1?k??2?k??k?1?2222?63 得 28k4?55k2?25?0

5754∴k?2或k?2kk?122 又1?k?2 ∴k?52 那么x1?x2??45，y1?y2?k?x1?x2??2?8

????????????设C?x3,y3?，由已知OC?m(OA?OB)，得

∴(x3,y3)?m(x1?x2,y1?y2)?(45m,8m)

?80m2?64m2?11因C是双曲线E左支上一点，所以? 得m??，

4?m?0故C点的坐标为(?5,?2)

21．（本小题满分14分）

xx解：（1）k?0时，f(x)?e?x，f'(x)?e?1.

当x?(??,0)时，f'(x)?0；当x?(0,??)时，f'(x)?0. 所以f(x)在(??,0)上单调减小，在(0,??)上单调增加 故f(x)的最小值为f(0)?1

xx（2）f'(x)?e?kx?1，f??(x)?e?k

ⅰ.当k?1时，f??(x)?0 (x?0)，所以f?(x)在?0,???上递增，

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而f?(0)?0，所以f'(x)?0 (x?0)，所以f(x)在?0,???上递增， 而f(0)?1，于是当x?0时，f(x)?1 . ⅱ.当k?1时，由f??(x)?0得x?lnk

当x?(0,lnk)时，f??(x)?0，所以f?(x)在(0,lnk)上递减，

而f?(0)?0，于是当x?(0,lnk)时，f'(x)?0，所以f(x)在(0,lnk)上递减， 而f(0)?1，所以当x?(0,lnk)时，f(x)?1. 综上得k的取值范围为(??,1].

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