《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版习题解答
更新时间:2023-11-02 16:21:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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《初等数论》习题解答(第三版)广东石油化工学院
第一章 整数的可除性
§1 整除的概念·带余除法 1.证明定理3
?,an都是m得倍数,q1,q2,?,qn是任意n个整数,则定理3 若a1,a2,q1a1?q2a2???qnan是m得倍数.
证明:? a1,a2?,an都是m的倍数。
? 存在n个整数p1,p2,?pn使 a1?p1m,a2?p2m,?,an?pnm
又q1,q2,?,qn是任意n个整数
?q1a1?q2a2???qnan
?q1p1m?q2p2m???qnpnm?(p1q1?q2p2???qnpn)m
即q1a1?q2a2???qnan是m的整数 2.证明 3|n(n?1)(2n?1) 证明 ?n(n?1)(2n?1?)nn(? 1n)?(?2n? ?n(n?1)(n?2)?n(?1n)n(?
又?n(n?1)(n?2),(n?1)n(n?2)是连续的三个整数 故3|n(n?1)(n?2),3|(n?1)n(n?1)
?3|n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)
从而可知
3|n(n?1)(2n?1)
3.若ax0?by0是形如ax?by(x,y是任意整数,a,b是两不全为零的整数)的数中最小整数,则(ax0?by0)|(ax?by).
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证: ?a,b不全为0
?在整数集合S??ax?by|x,y?Z?中存在正整数,因而有形如ax?by的最小整数
ax0?by0
?x,y?Z,由带余除法有ax?by?(ax0?by0)q?r,0?r?ax0?by0
则r?(x?x0q)a?(y?y0q)b?S,由ax0?by0是S中的最小整数知r?0
?ax0?by0|ax?by
?ax0?by0|ax?by (x,y为任意整数) ?ax0?by0|a,ax0?by0|b ?ax0?by0|(a,b). 又有(a,b)|a,(a,b)|b
?(a,b)|ax0?by0 故ax0?by0?(a,b)
4.若a,b是任意二整数,且b?0,证明:存在两个整数s,t使得
a?bs?t,|t|?|b| 2成立,并且当b是奇数时,s,t是唯一存在的.当b是偶数时结果如何? 证:作序列?,?3b2,?b,?b2,0,b2,b,3b2,?则a必在此序列的某两项之间
即存在一个整数q,使
qq?1b?a?b成立 22qq,t?a?bs?a?b,则有 22(i)当q为偶数时,若b?0.则令s?bqqq0?a?bs?t?a?b?a?b?b?t?
2222 若b?0 则令s??,t?a?bs?a?q2bqb,则同样有t?
22(ii)当q为奇数时,若b?0则令s?q?1q?1,t?a?bs?a?b,则有 22 2 / 77
《初等数论》习题解答(第三版)广东石油化工学院 ?b2?t?a?bs?a?bq?1q?1b?a?b?0?t? 222若 b?0,则令s??bq?1q?1综上所述,存在性,t?a?bs?a?b,则同样有t?2,22得证.
下证唯一性
当b为奇数时,设a?bs?t?bs1?t1则t?t1?b(s1?s)?b 而t?b2,t1?b2?t?t1?t?t1?b 矛盾 故s?s1,t?t1
b为整数 2当b为偶数时,s,t不唯一,举例如下:此时
3?bbbbb?b?1??b?2?(?),t1?,t1?22222
§2 最大公因数与辗转相除法 1.证明推论4.1
推论4.1 a,b的公因数与(a,b)的因数相同. 证:设d?是a,b的任一公因数,?d?|a,d?|b 由带余除法
a?bq1?r1,b?r1q2?r2,?,rn?2?rn?1qn?rn,rn?1?rnqn?1,0?rn?1?rn?rn?1???r1?b
?(a,b)?rn
?d?|a?bq1?r1, d?|b?r1q2?r2,┄, d?|rn?2?rn?1qn?rn?(a,b),
即d?是(a,b)的因数。
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反过来(a,b)|a且(a,b)|b,若d??|(a,b),则d??|a,d??|b,所以(a,b)的因数都是a,b的公因数,从而a,b的公因数与(a,b)的因数相同。
2.证明:见本书P2,P3第3题证明。
3.应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在,并说明其求法,试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出(76501,9719).
解:有§1习题4知:
?a,b?Z,b?0,?s,t?Z,使a?bs?t,|t|?b。, 2??s1,t1,使b?s1t?t1,|t1|??sn,tn,tn?2?tn?1sn?tn; ?sn?1,tn?1,tn?1?tnsn?1?tn?1;
且|tn|?|t|b?,?,如此类推知: 222|tn?1||tn?2||t||b|?2???n?n?1 2222而b是一个有限数,??n?N,使tn?1?0
?(a,b)?(b,t)?(t,t1)?(t1,t2)???(tn,tn?1)?(tn,0)?tn,存在其求法为:(a,b)?(b,a?bs)?(a?bs,b?(a?bs)s1)??
?(76501,9719)?(9719,76501?9719?7)?(8468,9719?8468)?(1251,8468?1251?6) ???(3,1)?14.证明本节(1)式中的n?logb log2 4 / 77
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证:由P3§1习题4知在(1)式中有 0?rn?1?rn?rn?1rn?2rb?2???n1?1?n,而rn?1 2222 ?1?logblogbbn, ,即 ?n?logb?n?,?2?b2log2log22n§3 整除的进一步性质及最小公倍数
1.证明两整数a,b互质的充分与必要条件是:存在两个整数s,t满足条件ax?bt?1. 证明 必要性。若(a,b)?1,则由推论1.1知存在两个整数s,t满足:as?bt?(a,b),
?as?bt?1
充分性。若存在整数s,t使as+bt=1,则a,b不全为0。 又因为(a,b)|a,(a,b)|b,所以(a,b|as?bt) 即(a,b)|1。 又(a,b)?0,?(a,b)?1 2.证明定理3
定理3 ?a1,a2?,an???|a1|,|a2|?,|an|? 证:设[a1,a2,?,an]?m1,则ai|m1(i?1,2,?,n) ∴|ai||m1(i?1,2,?,n)又设[|a1|,|a2|,?,|an|]?m2 则m2|m1。反之若|ai||m2,则ai|m2,?m1|m2 从而m1?m2,即[a1,a2,?,an]=[|a1|,|a2|,?,|an|]2 3.设anxn?an?1xn?1???a1x?a0 (1)
是一个整数系数多项式且a0,an都不是零,则(1)的根只能是以a0的因数作分子以an为分母的既约分数,并由此推出2不是有理数.
证:设(1)的任一有理根为
p,(p,q)?1,q?1。则 q 5 / 77
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