第二章 矩阵变换和计算

第二章 矩阵变换和计算

一、内容提要

本章以矩阵的各种分解变换为主要内容，介绍数值线性代数中的两个基本问题：线性方程组的求解和特征系统的计算，属于算法中的直接法。基本思想为将计算复杂的一般矩阵分解为较容易计算的三角形矩阵. 要求掌握Gauss（列主元）消去法、矩阵的（带列主元的）LU分解、平方根法、追赶法、条件数与误差分析、QR分解、Shur分解、Jordan分解和奇异值分解.

(一) 矩阵的三角分解及其应用

1．矩阵的三角分解及其应用

考虑一个n阶线性方程组Ax?b的求解，当系数矩阵具有如下三种特殊形状：对角矩阵D，下三角矩阵L和上三角矩阵U，这时方程的求解将会变得简单.

?d1??D?????d2??l11????l21L?, ????????ldn??n1l22?ln2??u11????U?, ????????lnn??u21?un1??u22?un2?.

????unn??对于Dx?b，可得解为xi?bi/di,i?1,2,?,n. 对于Lx?b，可得解为x1?b1/l11,xi?(bi??lk?1ni?1ikxk)/lii,i?2,3,?,n.

对于Ux?b，可得解为xn?bn/lnn,xi?(bi?k?i?1?likxk)/lii,i?n?1,n?2,?,1.

虽然对角矩阵的计算最为简单，但是过于特殊，任意非奇异矩阵并不都能对角化，因此较为普适的方法是对矩阵进行三角分解.

1）．Gauss消去法

只通过一系列的初等行变换将增广矩阵(A|b)化成上三角矩阵(U|c)，然后通过回代求与Ax?b同解的上三角方程组Ux?c的解．其中第k步消元过程中，在第k?1步得到的矩阵A(k?1)(k?1)的主对角元素akk称为主元.从A(k?1)的第j行减去第k行的倍数ljk?k?1)a(jk(k?1)akk（k?j?n）称为行乘数（子）.

2）．矩阵A的LU分解

对于n阶方阵A，如果存在n阶单位下三角矩阵L和n阶上三角矩阵U，使得A?LU, 则称其为矩阵A的LU分解，也称为Doolittle分解．Gauss消去法对应的矩阵形式即为LU分解, 其中L为所有行乘子组成的单位下三角矩阵, U为Gauss消去法结束后得到的上三角矩

阵. 原方程组Ax?b分解为两个三角形方程组?3）．矩阵LU分解的的存在和唯一性

?Ly?b.

?Ux?y如果n阶矩阵A的各阶顺序主子式Dk(k?1,2,?,n)均不为零, 则必有单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得A?LU, 而且L和U是唯一存在的．

4）．Gauss列主元消去法

矩阵每一列主对角元以下（含主对角元）的元素中, 绝对值最大的数称为列主元. 为避免小主元作除数、或0作分母，在消元过程中，每一步都按列选主元的Guass消去法称为Gauss列主元消去法．由于选取列主元使得每一个行乘子均为模不超过1的数，因此它避免了出现大的行乘子而引起的有效数字的损失.

5）．带列主元的LU分解

Gauss列主元消去法对应的矩阵形式即为带列主元的LU分解,选主元的过程即为矩阵的行置换. 因此, 对任意n阶矩阵A，均存在置换矩阵P、单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得PA?LU．由于选列主元的方式不唯一, 因此置换矩阵P也是不唯一的. 原方程组

?Ly?PbAx?b两边同时乘以矩阵P得到PAx?Pb, 再分解为两个三角形方程组?.

Ux?y?5）．平方根法(对称矩阵的Cholesky分解)

对任意n阶对称正定矩阵A，均存在下三角矩阵L使A?LL，称其为对称正定矩阵A 的Cholesky分解. 进一步地, 如果规定L的对角元为正数，则L是唯一确定的．原方程

T?Ly?bAx?b组分解为两个三角形方程组?T.

Lx?y?利用矩阵乘法规则和L的下三角结构可得

j?1???2???, ljj??a?ll?a?llij?jj?jk??ij?ikjk??/ljj, i=j+1, j+2,…,n, j=1,2,…,n.

k?1k?1????j?112计算次序为l11,l21,?,ln1,l22,l32,?,ln2,?,lnn．由于ljk?ajj，k=1,2,…,j．因此在分解

过程中L的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元．

6）．求解三对角矩阵的追赶法

?b1c1????a2b2c2??, 它的LU分解可以得到两个只有两条对???对于三对角矩阵A????an?1bn?1cn?1???anbn???角元素非零的三角形矩阵

?1??u1d1?????l1ud?2???22?,U???. L??l3????????1un?1dn?1????????l1unn?????di?ci,i?1,2,?,n?1?u?b?11其中?

?li?ai/ui?1,i?2,3,?,n??ui?bi?lici?1,i?2,3,?,n计算次序是u1?l2?u2?l3?u3???ln?un. 原方程组Ax?b分解为两个三角形方程组??Ly?b. 计算公式为

?Ux?yyi?bi?liyi?1,i?2,3,?,n,

,xi?(yi?cixi?1)/ui,i?n?1,n?2,?,1.

y1?b1,xn?yn/un该计算公式称为求解三对角形方程组的追赶法．当A严格对角占优时，方程组Ax?b可用追赶法求解, 解存在唯一且数值稳定．

7）．矩阵的条件数

?1设A为非奇异矩阵，?为矩阵的算子范数，称cond(A)?AA为矩阵A的条件

数．矩阵的条件数是线性方程组Ax?b, 当A或b的元素发生微小变化，引起方程组解的变化的定量描述, 因此是刻画矩阵和方程组性态的量. 条件数越大, 矩阵和方程组越为病态, 反之越小为良态.常用的矩阵条件数为

∞-条件数: cond?(A)?A?A1-条件数: cond1(A)?A1A2-条件数: cond2(A)?A?11?1?，

，

2A?12?max(AHA)?．

?min(AHA)矩阵的条件数具有如下的性质： (1) cond(A)?1;

(2) cond(A)?cond(A);

(3) cond(?A)?cond(A)，??0，??R;

(4) 如果U为正交矩阵，则cond2(U)?1，cond2(UA)?cond2(AU)?cond2(A).

?1一般情况下，系数矩阵和右端项的扰动对解的影响为

定理2.5 设Ax?b，A为非奇异矩阵，b为非零向量且A和b均有扰动．若A的扰

?1动δA非常小,使得AδA?1，则

δx?xcond(A)1?cond(A)?AA(δAδb?). Ab关于近似解的余量与它的相对误差间的关系有

x的事后估计定理2.6 设Ax?b，A为非奇异矩阵，b为非零向量，则方程组近似解~式为

~b?A~xx?xb?A~x1. ??cond(A)cond(A)bxbx的余量，简称余量。 其中称b?A~x为近似解~8）．矩阵的QR分解

利用正交变换保条件数的性质, 将满秩矩阵化为主对角元都大于零的上三角矩阵, 保持矩阵条件数不变.

设A是n阶可逆实矩阵, 则存在正交阵Q和对角元都大于零的上三角阵R，使得

A?QR, 称其为矩阵A的QR分解, 并且cond2(A)?cond2(R).

为实现矩阵一般的QR分解，我们引入Householder矩阵H(ω)?I?2?ωω, 其中?ωωω?Rn,ω?0. 该矩阵具有如下性质：

（1） 特征值为：?(H(?))?1?2?T??(??T) 即，1?2?T??T???1，1,?,1；

???n?1个（2） H(ω)?H(ω), 即H阵为对称阵； （3） H(ω)?H(ω)?In，即H阵为正交阵； （4） 如果H(ω)x?y，则y2??x2 (不变长度，镜面反射)；

（5） 设x?(x1,x2,?,xn)??Rn且x?0，取ω?x?x2e1，则

?x2????0?H(ω)x?H(x?xe)x?（6） ????x2e1. 21???0???提示：Householder变换并不是直接变换n阶矩阵A, 而是通过重复变换矩阵的下三角部分

的列向量得到上三角矩阵, 因此, 每次变换的Householder矩阵

H(ω1),H(ω2),?,H(ωn-1)在逐渐降阶, 然后将它们分别“嵌入”n阶单位矩阵得到相应的

n阶正交阵Q1,Q2,?,Qn-1, 最后得到正交阵Q?Q1,Q2,?,Qn-1.具体变换过程见例子.

(二) 特殊矩阵的特征系统

特征系统即为矩阵的特征值和特征向量, 本节主要介绍与其计算相关的Schur分解. 矩阵变换的思想主要为两点: 一是三角矩阵的主对角元素即为其所有特征值, 二是矩阵的特征多项式和特征值在相似变换下是不变的. 因此, 理论上获得矩阵特征值的方法就是通过相似变换将其变为一个三角矩阵.

Schur

定理

:

设

A?Cn?n，则存在酉阵

U?Cn?n使得

A?URUH, 其中R?Cn?n为上三角矩阵．

由于实矩阵的特征值可能是复数, 因此通常在复数域中考虑Schur分解. 复数域中相应的矩阵名称及记号为:

U的共轭转置: UH?UT, 它在实数域即为转置矩阵. U为酉阵: 若UHU?UUH?I, 它在实数域即为正交阵.

A为正规矩阵: 若AHA?AAH.常见的Hermite阵（AH?A）、实对称矩阵

THT（A?A）、斜Hermite阵（A??A）、实反对称矩阵（A??A）、酉阵（AA?AA?I）和正交矩阵（AA?AA?I）等均为正规矩阵． Schur分解的一些特殊情况如下:

? 上三角矩阵R为正规矩阵当且仅当R为对角矩阵.

? n阶方阵A为正规矩阵当且仅当存在酉阵U使得A?UDU,D为n阶对角阵. ? n阶方阵A为Hermite阵当且仅当存在酉阵U使得A?UDU,D为n阶实对角阵. ? n阶方阵A为酉阵当且仅当存在酉阵U使得A?UDU,D为n阶对角阵,且对角元的

模均为1.

(三) 矩阵的Jordan分解介绍

矩阵的每一个特征值有两个重要的指标: 代数重数和几何重数. 一个特征值作为矩阵多项式的根个重数称为代数重数; 它对应的特征子空间的维数称为几何重数. 它们分别刻画了特征值在矩阵特征系统中的代数和几何的性质. 一般有, 代数重数?几何重数. 当一个特征值的代数重数?几何重数, 称它为半单的; 而当代数重数?几何重数时称它为亏损的.

n阶方阵A可对角化当且仅当它的所有特征值都是半单的, 此时称A为单纯矩阵; 否则, A不可对角化当且仅当它有亏损的特征值, 此时称A为亏损矩阵.

HHHHHTT

对于亏损矩阵, 只能将其经过相似变换为一个三角矩阵, 即为其Jordan标准型. Jordan标准型是一个块对角矩阵，每一个块称为Jordan块, 其对角元便为矩阵的特征值．所谓矩阵A的Jordan分解即为通过可逆变换矩阵T化为与之相似的Jordan标准型J, 使得

A?TJT?1.

1. 关于Jordan标准型J．对于特征值?i, 它的代数重复度就是Jordan标准型中以?i为特征值的Jordan块阶数的和，而其几何重复度（即与?i相对应的线性无关的特征向量的个数）恰为以?i为特征值的Jordan块的个数．J中以?i为特征值、阶数为l的Jordan块的个数为rl?1?rl?1?2rl,其中rl?rank(?iI?A)l, r0?rank(?iI?A)0?rank(I)?n．

2. 关于变换矩阵T可以通过Jordan链得到． 将T按J的对角线上的Jordan块相应地分块为T??T1,T2,?,Tk?, 其中Ti为n×ni型矩阵．记Ti?t1,t2,?,tni, 则

iii???At1i??it1i?iii?At2??it2?t1 ? tij?Cn, i?1,2,?,k, j?1,2,?,ni

??iii?Atn??t?tinnii?1?i我们称向量t1,t2,?,tni为关于特征值?i的长度为ni的Jordan链．显然该Jordan链的第一个向量就是矩阵A的关于特征值?i的特征向量，称其为链首．而链中的第j个向量则可由等价的方程

?A??iIn?tj?tj?1,iiiiij?2,3,?,ni （2-45）

求出．

但是应当注意:

1) Jordan链的链首t1不仅要求是一个特征向量，而且还要求利用（2-45）可以求出Jordan链中的其它向量t2,?,tni(即不是任何一个特征向量都可作为Jordan链的链首).

2) 对应于某个特征值?i 的Jordan链虽然一定存在，但当与?i 相对应的线性无关的特征向量的个数大于或等于2时，关于特征值?i的特征向量中的任何一个有可能都不能作为链首.

因此我们必须从?i的特征子空间中选取适当的向量作为Jordan链的链首．

(四) 矩阵的奇异值分解

对于方阵,利用其特征值和特征向量可以刻画矩阵的结构.对非方阵情形,这些方法已经

iii不适用.而推广的特征值--矩阵的奇异值分解理论能改善这种情况. 利用奇异值和奇异向量不仅可以刻画矩阵的本身结构,而且还可以进一步刻画线代数方程组的解的结构,是构造性的研究线代数问题的有利的工具.

设A?C数?i(A)?m?n, Hermite半正定矩阵AA的特征值为?1??2????n?0, 称非负实

H?i (i?1,2,?,n)为矩阵A的奇异值．

m?n奇异值分解: 设A?C, 且其秩rank(A)=r, 则存在m阶、n阶酉阵U、V使得

?ΣA?U??0?0?H?V, 其中Σ?diag(?1,?2,?,?r)，?i(i?1,2,?,r)为矩阵A的非零奇异?0?值．U与V的列向量u1,u2,?,um和v1,v2,?,vn分别称为矩阵A的与奇异值?i对应的左奇异向量和右奇异向量．

利用矩阵的奇异值讨论矩阵的性质:

(1) 矩阵A的非零奇异值的个数恰为矩阵A的秩．

(2) R(A)?span{u1,u2,?,ur}, N(A)?span{vr?1,vr?2,?,vn}，其中?A?Rm?n,

R(A)?{y?Rm|Ax?y,?x?Rn}为由A的列向量生成的子空间，称为A的值域或

像空间，即R(A)?span{a1,a2,?,an}。N(A)?{x?R|Ax?0}称为A的零空间或核，即N(A)?{xAx?0}。

222(3) 设?1??2????r?0，则A2??1, AF=?1??2????r．

n(4) 如果A为Hermite矩阵，则A的奇异值即为A的特征值的绝对值． (5) 如果A为n阶方阵，则 det(A)?(6) 秩为

r的

m×n

??i?1ni．

r个秩为

1

的矩阵的和

矩阵A可以表示为

HA??1u1v1H??2u2v2????rurvrH.

(7) ?A?Cn?nH为正规阵, ?是A的特征值, x是相应于?的特征向量, 则?是A的特征

值, 相应于?的特征向量仍为x. (8) ?A?Cn?n为正规阵, ?,?是A的特征值, x,y是相应的特征向量, 如果???, 则 x与y正交.

2.2典型例题分析

(k?1)例1 证明在对矩阵A?(ai,j)n?n进行Gauss消去法的过程中, 主元ak,k (k?1,2,?,n)

均不为零的充要条件是A的各阶顺序主子式Dk(k?1,2,?,n) 均不为零.

(0)证明 利用归纳法, 当k?1时, D1?a1,1?a1,1, 结论显然成立. 假设结论直到k?1成立,

则Gauss消去法可以进行到k?1步, 即存在k?1个Gauss变换L1,?,Lk?1, 使得

A其中A1,1(k?1)(k?1)?1)?A1(,k1?Lk?1?L1A???0?A1(,k2?1)??, (k?1)?A2,2?(k?1)是对角元为ai,i(i?1,2,?,k?1)的上三角阵, 于是A(i?1)的k阶顺序主子阵为

A(k?1)k?1)?A1(,k1???0?*??1(k?1)?. 另一方面, 将的两端在第k行k列A?(L?L)Ak?11(k?1)?ak,k?k?k处分块有

A?(Lk?1?L1)A?1(k?1)?L*1???*?0??Ak(k?1)??*??L2??**??, *??A的k阶顺序主子式 其中L*1为k阶单位下三角阵. 因此

(k?1)(k?1)(0)(k?1)Dk?det(L*)?det(Ak)?a11)det(Ak,1?ak,k,

由归纳假设知, 主元ak,k(k?1)(k?1)?0当且仅当Dk?0, 即结论对k成立. 故由归纳法, ak?0 ,k(k?1,2,?,n)当且仅当Dk?0(k?1,2,?,n) .

例2 证明: 若A?(ai,j)n?n为可逆矩阵, 则A可进行LU分解的充要条件是A的各阶顺序主子式Dk(k?1,2,?,n) 均不为零.

证明 充分性. 由例1结论知如果Dk(k?1,2,?,n) 均不为零, 则主元ak,k对A进行Gauss消去法, 从而得到A的LU分解.

必要性. 若存在单位下三角阵L和上三角阵U使得A?LU, 则

(0)(n?1)det(A)?det(L)det(U)?det(U)?a1,1?an,n,

(k?1)由A可逆知主元ak,k?0(k?1,2,?,n), 再由例1可得A的各阶顺序主子式

(k?1)?0, 于是可

Dk?0(k?1,2,?,n).

例3 证明, 若可逆矩阵A可进行LU分解, 则分解必唯一.

证明 如果A存在两个LU分解, 即A?L1U1?L2U2, 其中L1,L2皆为单位下三角阵,

1?1U1,U2皆为上三角阵. 由A可逆知U1,U2也可逆, 于是有L?L?UU2121. 不难验证, 单

位下三角阵的逆矩阵为单位下三角阵, 而上三角阵的逆也为上三角阵. 进一步, 单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵, 而上三角阵的乘积也为上三角阵. 因此上式左端为一个单位下三角阵, 而右端为一个上三角阵. 显然, 等式成立当且仅当两端皆为单位矩阵

1?1L?2L1?U2U1?I, 故可得L1?L2,U1?U2, 即分解唯一.

??1??1例4 n阶Hilbert矩阵为Hn??2???1??n??1?1解 H3???2?1??31213141213?1n?11??n?1??n?1?, 计算H3的条件数. ???1???2n?1??1??3??3630??9??1?, H3?1???36192?180?. 4??30?180180?1????5?1(1) 计算H3的条件数, 容易得到H3?H3??11?1, H361?H3?1??408,

H32?1.40832,

H3?12?372.115, 于是co(nHdnHd83)1?co(3)??74,

cond(H3)2?524.057. 同样可计算cond(H6)??2.9?107, cond(H7)??9.85?108.

当n越大, Hn矩阵病态越严重. (2) 考虑方程组H3x?(111347T,,)?b, 设H3和b有微小误差（取3位有效数字）有 61260?1.000.5000.333??x1??x1??1.83???????0.5000.3330.250x??x?1.08???2??， 2??0.3330.2500.200??x??x??0.783?3????3??简

记

为

(H3??H3)(x??x)?b??b，其解为

(x??x)?(1.089512538,0.487967062,1.491002798)T. 而方程组H3x?b的精确解为

x?(1,1,1)T. 于是?x?(0.089,?50.512,00.491)T0,

?H3H3???0.18?10?3?0.02%,

?bb???0.182%,

?xx???51.2%. 这就是说H3和b的相对误差不超过0.3%, 而引起解

的相对误差超过50%.

例5 n阶复Householder矩阵定义为H(ω)?I?2ωωH, 其中ωHermite矩阵, 也是酉矩阵, 并求它的特征值.

证明 H(ω)H?(I?2ωωH)H?I?2ωωH?H(ω),

2?1. 证明H(ω)为

H(ω)HH(ω)?H(ω)H(ω)?(I?2ωωH)2?I?4ωωH?4(ωωH)2?I, 即H(ω)为Hermite矩阵, 也是酉矩阵. 由

矩

阵

特

征

值

的

性

质

知

,

?(H(ω))?1?2?(ωωH), 而

,??,1. ?(ωωH)??(ωHω),0,??,0?1,0,??,0, 因此H(ω)的特征值为?1,1??????n?1个n?1个n?1个

例6 已知x?(3,0,4)T, 求Householder矩阵H, 使得Ηx?x2e1.

解 由x2?3??5???2????????5, 取ω?x?x2e1??0???0???0?, 则

?4??0??4???????4??30??100??40?8??55??2????2H(ω)?I?HωωH??010???000???010?,

ωω?001?20??8016??40?3??????5??5?使得Ηx?x2e1?(5,0,0).

例7 设A为n阶正规矩阵, 证明若A?0, 则A?0.

H证明 根据Shur定理, 正规矩阵A存在分解A?UDU, 其中U为n阶酉阵, D为n阶对

kT

??1??角矩阵D??????2???, ?i?C, i?1,2,?,n. 于是 ????n??由A?UDUkkHk??1???U?????k2???HU?0, 当且仅当?i?0, i?1,2,?,n, 即???k??n?A?0.

?2??1例8 求矩阵A??0??0?020000??1?1?的Jordan分解. ?22?02??解 det(?I?A)?(??2)4, 于是A的特征值为??2, 代数重数为4, 故以??2为特征值的Jordan块阶数之和为4. 而??2的几何重数为4?rank(?I?A)?2, 故以??2为特征值的Jordan块的个数为2. 注意到

r1?rank(?I?A)?rank(2I?A)?2,

r2?rank(?I?A)2?rank(2I?A)2?1,

故以??2为特征值的阶数为1的Jordan块的个数为r2?r0?2r1?1?4?2?2?1. 因此

?2??0A的Jordan标准型为J??0??0?T020001200??0?. ?1?2??T下面求矩阵A化Jordan标准型的变换矩阵T. 首先求出??2所对应的线性无关的特征向量为x1?(1,0,?1,0), x2?(0,1,0,0). 其次确定长度为3的Jordan链的链首, 令

?0??1t1?k1x1?k2x2, 由(A??I|t1)??0??0?000000k1??1?1k2?, 为使(A??I)y?t1有解,

02?k1??000??TT只需取k1?0即可. 再取k2?2, 此时t1?(0,2,0,0)为链首, 解得y1?(0,1,2,0),

?0??1y2?(1,0,1,0)T. 令t2?c1y1?c2y2, 由(A??I|t2)??0??0?000000c2??1?1c1?, 为使?022c1?c2?000??(A??I)z?t2有解, 只需取c2?0即可. 再取c1?1, 此时t2?(0,1,2,0)T, 解得链尾

t3?z1?(1,0,1,1)T或者t3?z2?(0,1,2,1)T. 于是可得

?1??0T???1??0?0200?101201??1??0??0或者T???11?????01??020001200??1?, ?2?1??故有A的Jordan分解为A?TJT.

例9 证明若n阶方阵A的奇异值满足?1??2????n?0, 则A可逆, 而且A2??1,

A?12?1??n.

22det(A)?det(AHA)??12?2??n?0, 知

2证明 由奇异值的定义,

det(A)??1?2??n?0, 则A可逆, 且A2??max(AHA)??1.

H?1于是, AA也可逆, 且(AA)的特征值为

H?1?1?1, 注意到?n??n?1????1(A?1)HA?1?(AAH)?1的特征值与(AHA)?1的特征值相同, 因此

A?1

例10 设A,B?Rm?n2?H?1??ma(AA?1)??n. x, 如果存在m阶和n阶的正交矩阵U和V, 使得

T?1B?UAV?UAV, 则称A和B正交相抵. 证明正交相抵的矩阵有相同的奇异值.

T证明 由B?UAV?UAV?1,

BTB?(UAVT)TUAVT?VAT(UTU)AVT?V(ATA)VT?V(ATA)V?1, 知BTB与

ATA相似, 从而它们由相同的特征值, 故A和B有相同的奇异值.

注: 不难验证, 正交相抵具有自反性、对称性和传递性. 因此正交相抵是等价关系. 它所形成的等价类称为正交相抵等价类. 此例说明, 正交相抵等价类中的矩阵都有相同的奇异值, 所

以对此类中任一矩阵A, 所作的奇异值分解A?UDV中的对角矩阵D相同, 并由它们的奇异值组成. 即D是该矩阵类中的标准型矩阵.

2.3 习题 1. 填空题

T?1?a2??(1) A??,当a满足条件 时，A可作LU分解. ?2?1??(2)A????2?2?TALL?, 当满足条件 时，可作分解，其中L是对角元素a???2a??????. ?为正的下三角阵，则L????2?10???(3) A???12?1?，则cond2(A)= .

?0?12???(4) 设A?Cn?n,其Schur分解为A?URU，其中U?CHn?n为酉矩阵，R?Cn?n为

上三角矩阵．特别地，当A为正规矩阵时，R为 矩阵，A的特征值为 ，A

的特征向量为 ；当A为Hermite矩阵时，R为 矩阵；当A为斜Hermite矩阵时，R为 阵.

2．利用①Gauss消去法，②Gauss列主元法解方程组

1?2??x1??4??x??7?3?2?2??????

??1?35??x3??????23??x4??0?3．用Gauss列主元法求解方程组，并求出系数矩阵A的行列式det（A）的值．

2?1?25???2?2?3?1?12x1?3x2?3x3?15???18x1?3x2?x3??15 ?x?x?3x?6123?2?1?254．设A????2?2?3?11?2?3?2??, 利用1题消元过程求出L和U矩阵，并验证 A=LU 35??23?5．下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一？

?123??111??,B??221?,A??241???????467???331???41??x1??5??152??x???8? ???2??????28????x3???10???4?11???7．设A?332，求A的QR分解. ????043??8．证明

（1）cond(A)?1；

?126??

C??2515????61546??6．利用Doolittle分解法，Cholesky法和三对角追赶法三种方法求解线性方程组：

（2）cond(kA)?cond(A)（k为非零常数）． 9．设A、B都是n阶非奇异方阵，试证

cond(AB)?cond(A)?cond(B)

10．证明上三角矩阵R为正规阵的充分必要条件为R为对角矩阵． 11．证明Schur不等式：

??i???aij，其中?i为A??aij?n?n的特征值，并证明

22i?1i?1j?1nnnSchur不等式等号成立的充分必要条件是A为正规矩阵．

?4?1?10???40?20??12．求矩阵A??的Jordan分解． ?0020???0061???13．证明定理2.15.

14．证明 正规矩阵的奇异值是其特征值的模，Hermite半正定矩阵的奇异值为其特征值． 15.设M?C4?4,特征值??2的代数重数为4, 已知r1?2，r2?0,其中

rl?ran(kM?2I)l，求M的Jordan标准型.

16.设A的奇异值分解为

?35?450??800??45?350???060??3545?

A??453500???????01?0?1??0???002????0?求A2，cond2(A)，AF．

17.设A????2?4??, 求A的奇异值分解,并据此计算 A2，cond2(A). ??4?2?

2.4 习题解答

1. (1) 当a??1时, A可作LU分解. 注: 矩阵A的各阶顺序主子式均不为零只是A可作LU分解的一个充分条件. 当a??3时, A????42??, 虽然A的行列式(2阶顺序主子式)为??21?零, 但经第一步消元可得???42??, 这已是一个上三角矩阵, 说明此时A也可作LU分解. ??00??2??2???. a?2??0T(2) 当a?2时, A正定, 可作LL分解, L??(3) cond2(A)?3?22. (4) 设A?Cn?n,其Schur分解为A?URU，其中U?CHn?n为酉矩阵，R?Cn?n为上三

角矩阵．特别地，当A为正规矩阵时，R为 对角 矩阵，A的特征值为 R的对角元素 ，A的特征向量为 U的列向量 ；当A为Hermite矩阵时，R为 实对角 矩阵；当A为斜Hermite矩阵时，R为 对角元素为纯虚数或零的对角 阵.

2．解 (1) Gauss消元法:

2?1?5?2??2?2??13?

1?24??1??3?27?L1?0????35?1?0???0230???21211?24??1??12?1?L2?0????517?0???0154???21001?24??12?1? ?3?39?03?3???1???2其中L1??2???1?010000100??10??0??01, L2??0?0?2???011???00100??0?, 所求解为 ?0?1???x1?2?x??1?2. ??x3?2??x4??1(2) 带列主元的Gauss消元法:

2?1?5?2??2?2??13?1?24?5?2??3?27?P1?12?????2?235?1?????1230?3?7??25??1?24?L1?0?12????0335?1?????01230?2?3?23?12612?27??1?12?36??7?4?2?

?25??03P2????0?12??012?36?1212?237??2??6?L2?0??????1102????04?72??5303612?23?12720?127??2??6?L3?0????3?02???0??9?2?53?236301?1220037??6?3?2??3??其中

?0??1P1??0??0?100000100??0?0??1??,

?1?1??L1??21??1?2000??100?010??001??,

?1??0P2??0??0?001001000??0?0??1??,

?10??01L2??016??0?16? 3. 解

00??10??00??01, L?10?3?00????0001??00110??0?, 所求解为 0??1???x1?2?x??1?2. ?x?2?3??x4??1??183?1?15??12?3315???183?1?15????P1??L1?7???12?3315?????0?135? ??183?1?15???0?1?175331?136?136?????6186????183?1?15???183?1?15?????P2L27533175331????0????06186?6186?, 其中

?0?066??175?01023217?????1?010??2??P?100L?,??1?31?1?001????1800??100??100??????10?,P2??001?,L2??010?, 解为

?061??010?01???7???11?x1?17?8?x2??17. ?x?33?317??183?1???753由L2P2L1PU)/det(L2P2L1P1A?U??01)??102. 618?, det(A)?det(?0?010221??

4. 解: 由第2题中Gauss消元过程可知

?1??0L2L1A??0??0?21001?2??1????12??21??1, ?UL?(LL)?21??221?, 容易验证A?LU. 3?3???????03??1101?3??123??12??第一次消元???5?不能继续消元, 因此不能进行LU分解. 5. 解A??241???????00?467??0?25??????111??111??111???L1??L2??B??221????U1??00?1????U2??00?1??331??00?2??000???????, 其中

?100??100?????L1???210?, L2??010?. 经过第一次消元得到一个上三角矩阵U1?L1B,

??301??0?21?????由于第2列主对角线以下的元素已经是0, 还可以利用L2把最后一行消去, 也得到一个上三

?1角矩阵U2?L2L1B. 因此得到了矩阵B两个不同的LU分解B?L1U1?(L2L1)?1U2. 这说

明在某些情况下, 即使矩阵的各阶顺序主子式不为0, 也能进行LU分解, 但分解不唯一.

?100??126?????13?. 对于矩阵C, 其各阶顺序主子式为1,1,1. 可得唯一的LU分解C??210???631??1?????

6. 解 (1) Doolittle分解

?410??4???A??152???????0?028??0????1?1A?LU??4?0?01819?100??1???410??001???1194210??4??2????????0?08???0??2?136?19??10??01??0?819?0??0??1??119400??2?, 则A的Doolittle分136?19?解为

0??4??0??0?1???0194. 按

LUx?b得

0?Ly?b??Ux?y, 由

?1?1?4?0?018190??y1??5??y1?5?4???????0??y2???8?解得?y2?27, 再由?04?0?????y?1361???y3??10??319?119400??x1??5??x1?1????27??2??x2???4?解得?x2?1.

?x?1136??136?x???319??3??19?(2) Cholesky分解

?l110?TLL?由?l21l22?l?31l320??l11l21??0??0l22?l33???00?2l31??410?????l32???152?解得L??12?????0l33??028??01924190??0?.按136??19??2??Ly?bTLLx?b得?T, 由?12??Lx?y?0?0192419?y1?50??y1??5?2??????, 再由0??y2???8?解得?y2?22719?136??136??y??y??10?19??3?319??2??0??0?1219200?x1???????4??x2???19??136??x??19??3??522721913619??x1?1???解得?x2?1. ??x?1??3?(3) 追赶法

利用三对角矩阵的LU分解公式可得与Doolittle分解一致的结果.

?4?11??4?????7. 解:A??332?, 记a1??3?,

?043??0?????34?55?32T4Q1?H(?1)?I?T?1?1??5?5?1?1?00??4??5???1?????????, a1?5?3???0???3?, 1?0??0??0???????2??51??H(?1)A??0?3?1??043???,

0??0?1??, . 记

??3?1??A1???43???,

?3?~???a1?4????T24535,

~?5a1?2???4?????0?????4?????????53?H(?2)A1???01??????3??5???8?,

3??5H(?2)?I?T?2????4?2?2?52????, ,

?100???13Q2???0H(?)????0?52???045?94?25?5?312TT其中Q?Q1?Q2??525?045?0??512????4Q?Q?A?053, 则有???R, 得到分解A?QR, 215??001?3???5??1225162535???. ??

8. 证明: (1) 根据矩阵范数的相容性和单位矩阵的算子范数为1的性质有

cond(A)?AA?1?AA?1?I?1.

(2) 当k?0, 根据矩阵范数的齐次性和逆矩阵的性质有

cond(kA)?kA(kA)?1?k?A?k?1?A?1?AA?1?co(nA)d.

9. 证明: 由矩阵范数的相容性

cond(AB)?AB?(AB)?1?A?B?A?1?B?1?c

(oA)?cn(oB)d. nd?r1,1??0R?10. 证明: 由定义, 上三角阵????0??r1,1??r1,2????r?1,n0r2,2?????rn?1,nr1,n??r2,2???是正规矩阵当且仅当

??rn?1,n???0rn,n???0r2,2?????rn?1,n0????0??rn,n??r1,20??r1,1r1,2?r1,n??r1,1r1,2?r1,n??r1,1?????????0r2,2????0r2,2????r1,2?0?????rn?1,n?????rn?1,n??????????????rn,n??0?0rn,n??0?0rn,n???r1,n分别比较等式两端乘积矩阵的主对角元素即可得知ri,j?0, i?1,2,?,n?1; j?i, 即R为对角矩阵.

?r1,1??0H11． 证明: 设矩阵A的Shur分解为A?URU, 其中R?????0?r1,n??r2,2???, 由相???rn?1,n??0rn,n???r1,2似变换保持矩阵的特征值不变可知R的主对角元为A的所有特征值, 即ri,i??i,

i?1,2,?,nnn2. 再

H由矩阵的

H迹

H等于特

H征值

nn之和

2,

n因

2此

AAc)?etr(URacRUe)?tr(aRRc)?e??ri,j???i. 其??ai,j?tr(ai?1j?1i?1j?ii?1中等号成立的充要条件是R的非主对角元素为0, 即R为对角矩阵. 由上题结论可知等价于A为正规矩阵.

312. 解: 由?I?A?(??1)(??2)得矩阵A的特征值为1和2 (3重). 当??2时, 矩阵

?I?A的秩为2, 则??2的几何重数?4?2?2. 因此由特征值的代数重数和几何重数?1??0A的意义可知矩阵的Jordan标准型为J??0??0?020000200??0?. 1??2??下面计算变换矩阵T. 对?1?1求得对应特征向量为{0,0,0,1}T, 对?2?2求得对应两

T个线性无关的特征向量为{1,2,0,0}T和{1. 对应?2?2在Jordan标准型中的2阶,0,1,6}2Jordan块需要计算长度为2的Jordan

链. 以{1,2,0,0}T为链首, 由

?2?1?10??x1??1????????4?2?20??x2??2?T(A?2I)x???可解得链尾为. 因此可得变换矩阵{1,1,0,0}?????0000x30???????00????6?1????x4??0?11??012??0021???1T??, 则矩阵A的Jordan分解为A?TJT. ?0100???1600???

13. 证明: 由定义矩阵A的奇异值为半正定矩阵AA的特征值的平方根, 则A的非零奇异值的个数等于AA的非零特征值的个数即为AA的秩. 因此只要证明A与AA的秩相

H等即可. 事实上, 方程组Ax?O的任意解x显然满足方程组AAx?O. 反过来, 方程组

HHHHAHAx?O的任意解x满足xHAHAx?O, 则Ax2?xHAHAx?O于是满足Ax?O.

HH这说明两个方程组Ax?O和AAx?O是同解方程组, 故系数矩阵A与AA的秩相等.

2

14. 证明: 由Shur分解的性质, 正规矩阵A?Cn?n酉相似于对角矩阵, 即存在酉阵

U?Cn?n?d1??和对角矩阵D?????d2????Cn?n使得A?UDUH. 则???dn??AHA?UDHDUH, 于是A的奇异值为矩阵DHD的特征值的平方根di, 即为A的特征

值的模. 特别, 当A为Hermite半正定矩阵时, 其特征值为非负的实数di?di, 即A的奇异值为其特征值.

15. 解: 由??2的代数重数为4知矩阵M的Jordan标准型中以2为特征值的Jordan块的

阶数和为4, 再由??2的几何重数?4?r1?2知应有两个Jordan块. 其中阶数为1的Jordan块的个数为r2?r0?2r1?0?4?2?2?0, 故M的Jordan标准型由两个2阶Jordan

?21???2??块组成J??.

21????2???

16. 解: 矩阵A奇异值为?1?8,?2?6,?3?2, 则A2??1?8, cond(A)?22AF??12??2??3?104.

?1?3?4,

17. 解: 矩阵AHA????20?16??的特征值为?1?36,?2?4, 对应的标准正交的特征向???1620?2222?22?????v?,v?量为1??2?2??2???22?60??????02??, V???2???2解为A?U?V

参考文献:

H??, 因rank(A)?2, 则A的奇异值为?1?6,?2?2, ??2222???, 计算得U?AV??1????????62????????02??????22222222?2222??, 故矩阵A的奇异值分???????2222?2222?2222??1?. A??1?6, cond(A)???3. 32??李庆扬、王能超、易大义，数值分析（第四版），清华大学出版社，2001. 程云鹏，张凯院，徐仲，矩阵论（第二版），西北工业大学出版社，2000.

阶数和为4, 再由??2的几何重数?4?r1?2知应有两个Jordan块. 其中阶数为1的Jordan块的个数为r2?r0?2r1?0?4?2?2?0, 故M的Jordan标准型由两个2阶Jordan

?21???2??块组成J??.

21????2???

16. 解: 矩阵A奇异值为?1?8,?2?6,?3?2, 则A2??1?8, cond(A)?22AF??12??2??3?104.

?1?3?4,

17. 解: 矩阵AHA????20?16??的特征值为?1?36,?2?4, 对应的标准正交的特征向???1620?2222?22?????v?,v?量为1??2?2??2???22?60??????02??, V???2???2解为A?U?V

参考文献:

H??, 因rank(A)?2, 则A的奇异值为?1?6,?2?2, ??2222???, 计算得U?AV??1????????62????????02??????22222222?2222??, 故矩阵A的奇异值分???????2222?2222?2222??1?. A??1?6, cond(A)???3. 32??李庆扬、王能超、易大义，数值分析（第四版），清华大学出版社，2001. 程云鹏，张凯院，徐仲，矩阵论（第二版），西北工业大学出版社，2000.

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