2003年考研数学（一）试题及答案解析

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2003年考研数学（一）真题评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1（1） lim(cosx)ln(1?x) =

x?0?21e .

g(x)【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)计算求极限均可.

1(1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行

【详解1】 lim(cosx)x?0ln(1?x)2=ex?0ln(1?x2)lim1lncosx,

?sinxlncosxlncosxcosx??1， ?lim?lim而 limx?0ln(x?02x21?x2)x?0x2故 原式=e?12?1e.

12x12??， 2x2【详解2】 因为 lim(cosx?1)?x?01?limln(1?x2)x?0?所以 原式=e?12?1e.

【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.

22（2） 曲面z?x?y与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是

2x?4y?z?5.

【分析】 待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方

22程, 而切点坐标可根据曲面z?x?y切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.

22??【详解】 令 F(x,y,z)?z?x?y，则

Fx???2x，Fy???2y， Fz??1.

设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面

2x?4y?z?0平行，因此有

1

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?2x0?2y01??， 24?122可解得 x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5.

故所求的切平面方程为

2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5.

【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.

（3） 设x?2?an?0?ncosnx(???x??)，则a2= 1 .

【分析】 将f(x)?x(???x??)展开为余弦级数x?其系数计算公式为an?22?an?0?ncosnx(???x??)，

???2?0f(x)cosnxdx.

1?【详解】 根据余弦级数的定义，有 a2? = =

??120x?cos2xdx??02??0x2dsin2x

?1[x2sin2x??sin2x?2xdx]

0????01xdcos2x?[xcos2x?0???cos2xdx]

0? =1.

【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.

（4）从R的基

2?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为

?????????1??1??1??1?3??2???1?2?? . ??【分析】 n维向量空间中，从基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵P满足 [

?1,?2,?,?n]=[

?1?1,?2,?,?n]P，因此过渡矩阵P为：

P=[?1,?2,?,?n][?1,?2,?,?n].

【详解】根据定义，从R的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩

????????2?1??1??1??1? 2

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阵为

?11??11??1P=[?1,?2][?1,?2]????12?.

0?1???? =??13??11??11??2???12???1?2?.

0?1??????【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)???6x,0?x?y?1,

其他，?0,则P{X?Y?1}?

1 . 4【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率

P{g(X,Y)?z0}，一般可转化为二重积分P{g(X,Y)?z0}=

【详解】 由题设，有 P{X?Y?1}?g(x,y)?z0??f(x,y)dxdy进行计算.

x?y?1120??f(x,y)dxdy??dx?1201?xx6xdy

=

?1(6x?12x2)dx?.

4 y

1 D

O 1 1 x 2

【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x?y?1的公共部分D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.

（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个

,40.49) . 零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则?的置信度为0.95的置信区间是(39.51,?(1.645)?0.95.) (注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975 3

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【分析】 已知方差?2?1，对正态总体的数学期望?进行估计，可根据

X??X??~N(0,1)，由P{?u?}?1??确定临界值u?，进而确定相应的置信区间. 1122nn【详解】 由题设，1???0.95，可见??0.05. 于是查标准正态分布表知u??1.96.2本题n=16, x?40, 因此，根据 P{X???1.96}?0.95，有 1nP{40???1.96}?0.95，即 P{39.51,40.49}?0.95，故?的置信度为0.95的置

116,40.49) . 信区间是(39.51【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] y

O x

【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.

【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).

【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导f?(x)的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.

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（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有

n??n??n??(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.

(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ D ]

n??n??【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限limancn是0??型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极

n??限limbncn属1??型，必为无穷大量，即不存在.

n??【详解】 用举反例法，取an?21，bn?1，cn?n(n?1,2,?)，则可立即排除n2(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).

【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.

（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx?0,y?0f(x,y)?xy?1，则

(x2?y2)2(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.

(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.

【详解】 由

x?0,y?0limf(x,y)?xy?1知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222(x?y)，于是 f(x,y)?xy?(x2?y2)2 (x,y充分小时）

f(x,y)?f(0,0)?xy?(x2?y2)2.

可见当y=x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)?x2?4x4?0；而当y= -x且x充分小时，

f(x,y)?f(0,0)??x2?4x4?0. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).

【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，

有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.

（4）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关. (C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关. [ D ]

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【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则当r?s时，向量组I必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，且向量组I线性无关，则必有r?s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.

【详解】 用排除法：如?1??则?1?0??1?0??2，但?1,?2?0??,?1???0??,?2???1??，??????线性无关，排除(A)；?1???0??,?2???0??,?1???0??，则?1,?2可由?1线性表示，但?1线??????性无关，排除(B)；?1???0??,?1???0??,?2???1??，?1可由?1,?2线性表示，但?1线性无??????关，排除(C). 故正确选项为(D).

【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定理11.

（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为m?n矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)?秩(B)； ② 若秩(A)?秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是

(A) ① ②. (B) ① ③.

(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.

【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A???0??1??0??0??1??1??1??1??0??10??，00???00?，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),B????01?故正确选项为(B).

【评注】 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题： 【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件

(A) r(A)=r(B). (B) A,B为相似矩阵.

(C) A, B的行向量组等价. (D) A,B的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.

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（6）设随机变量X~t(n)(n?1),Y? (A) Y~1，则 X2?2(n). (B) Y~?2(n?1).

(C) Y~F(n,1). (D) Y~F(1,n). [ C ] 【分析】 先由t分布的定义知X?UVn，其中U~N(0,1),V~?2(n)，再将其代入

Y?1，然后利用F分布的定义即可. 2XU【详解】 由题设知，X?，其中U~N(0,1),V~?2(n)，于是

VnVV11nY?2=2?2n，这里U2~?2(1)，根据F分布的定义知Y?2~F(n,1).故

UUXX1应选(C).

【评注】 本题综合考查了t分布、?2分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义, 见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.57第二大题第（6）小题（事实上完全相当于原题）和《数学复习指南》P.592的定义和P.595的【解题提示】.

三 、（本题满分10分）

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A;

(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.

【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.

【详解】 (1) 设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是 y?lnx0?1(x?x0). x0由该切线过原点知 lnx0?1?0，从而x0?e. 所以该切线的方程为 y?平面图形D的面积 A?1x. e?10(ey?ey)dy?1e?1. 2（2） 切线y?1x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积e 7

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为 V1?12?e. 3y2?(e?e)dy， ?01曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V2?因此所求旋转体的体积为

112?y22 V?V1?V2??e???(e?e)dy?(5e?12e?3).

036

y 1

D O 1 e x

【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用微元法分析，完全类似例题见《数学复习指南》P.197的【例7.34】和P.201的【例7.42】.

四 、（本题满分12分）

?1?2x(?1)n将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.

1?2x2n?1n?0【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数的幂级数展开和.

?211nn2n【详解】 因为f?(x)????2(?1)4x,x?(?,). ?2221?4xn?01 1?x1?1?x?x2???xn??即可，然后取x为某特殊值，得所求级数的1?x又f(0)=

?, 所以 4xf(x)?f(0)??f?(t)dt?0?4?2?[?(?1)n4nt2n]dt

0n?0x?(?1)n4n2n?111 =?2?x,x?(?,).

422n?02n?1??1(?1)n因为级数?收敛，函数f(x)在x?处连续，所以

2n?02n?1? 8

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(?1)n4n2n?111 f(x)??2?x,x?(?,].

422n?02n?1??令x?1，得 2?1?(?1)4n1??(?1)n f()??2?[, ?2n?1]???242n?142n?12n?0n?0再由f()?0，得

12(?1)n?1? ???f()?.

424n?02n?1?【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.228的【例8.25】.

五 、（本题满分10分）

已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??}，L为D的正向边界. 试证： (1) (2)

?xeLLsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx;

Lsiny?sinx2xedy?yedx?2?. ?【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭

正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.

【详解】 方法一：

(1) 左边=

???0?esinydy???e?sinxdx

??00 =? 右边=

??(esinx?e?sinx)dx，

?siny?0?e?0dy???esinxdx

?0 =?所以

(esinx?e?sinx)dx，

Lsiny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx. ??L(2) 由于e

sinx?e?sinx?2，故由（1）得

?0siny?sinxsinx?sinx2xedy?yedx??(e?e)dx?2?. ??L方法二：

（1） 根据格林公式，得

siny?sinxsiny?sinxxedy?yedx?(e?e)dxdy， ???LD 9

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?sinysinx?sinysinxxedy?yedx?(e?e)dxdy. ???LD因为D 具有轮换对称性，所以 故

??(eDsiny?e?sinx)dxdy=??(e?siny?esinx)dxdy，

DLsiny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx. ??L (2) 由(1)知

siny?sinxsiny?sinxxedy?yedx?(e?e)dxdy ???LD = = =

??eDDsinydxdy???e?sinxdxdy

DDsinx?sinxedxdy?e????dxdy （利用轮换对称性） sinx?sinx2(e?e)dxdy?2dxdy?2?. ????DD【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期

望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.

本题完全类似例题见《数学复习指南》P.325的【例12.15】, 相当于此例题中取

?(x)?e?sinx，也就是说，本题是【例12.15】的特殊情形.

六 、（本题满分10分）

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0

(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m表示长度单位米.）

【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.

【详解】 (1) 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为

Wn(n?1,2,3,?). 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，

所以

k2k2kxdx?x1?a， ?022x2k2k222 W2??kxdx?(x2?x1)?(x2?a).

x122 W1?x1由W2?rW1可得

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2 x2?a2?ra2 2即 x2?(1?r)a2.

W3?k2k222kxdx?(x?x)?[x?(1?r)a]. 323?x222x3由W3?rW2?r2W1可得

2 x3?(1?r)a2?r2a2， 2从而 x3?1?r?ra，

即汽锤击打3次后，可将桩打进地下1?r?r2am.

2n?1（2） 由归纳法，设xn?1?r?r???ra，则

Wn?1?? =

xn?1xnk22kxdx?(xn?1?xn)

2k2[xn?1?(1?r???rn?1)a2]. 2由于Wn?1?rWn?r2Wn?1???rnW1，故得

2n?12n2 xn?(1?r???r)a?ra, ?1从而 xn?11?rn?1?1?r???ra?a.

1?rn于是 limxn?1?n??1a， 1?r1a m. 1?r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下

【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度。但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单，变力更复杂的情形可参见《数学复习指南》P.202的【例7.44-45】.

七 、（本题满分12分）

设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.

d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微2dydy分方程；

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(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?3的解. 2【分析】 将

1dydxdx1?，关键是应注意： 转化为比较简单，=

dxy?dydydydxd2xddxd1dx?()=()? dy2dydydxy?dy =

?y??1y??. ???y?2y?(y?)3然后再代入原方程化简即可.

【详解】 (1) 由反函数的求导公式知

dx1?，于是有 dyy?y??d2xddxd1dx?y??1()?==. ????()232????ydydydxydyy(y)dy代入原微分方程得

y???y?sinx. ( * )

(2) 方程( * )所对应的齐次方程y???y?0的通解为 Y?C1e?C2e. 设方程( * )的特解为

y?Acosx?Bsinx，

*x?x11*，故y??sinx，从而y???y?sinx的通解是 221*x?x y?Y?y?C1e?C2e?sinx.

23由y(0)?0,y?(0)?，得C1?1,C2??1. 故所求初值问题的解为

21x?xx. y?e?e?sin2代入方程( * )，求得A?0,B??【评注】 本题的核心是第一步方程变换，完全类似例题见《数学复习指南》P.53的【例2.8】.

八 、（本题满分12分）

设函数f(x)连续且恒大于零，

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??? F(t)??(t)f(x2?y2?z2)dv2D(t)??f(x?y)d?2，G(t)?D(t)??f(x2?y2)d??t，

?1f(x)dx22222222其中?(t)?{(x,y,z)x?y?z?t}，D(t)?{(x,y)x?y?t}.

(1) 讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2) 证明当t>0时，F(t)?2?G(t).

【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数F?(t)的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.

【详解】 (1) 因为

? F(t)?2?0d??d??f(r)rsin?dr?t22?02?00td??f(r)rdr0t2?2?f(r2)r2drt?0t，

0f(r)rdr2 F?(t)?2tf(t2)?f(r2)r(t?r)dr[?f(r)rd]r00t22，

所以在(0,??)上F?(t)?0，故F(t) 在(0,??)内单调增加.

（2） 因 G(t)???f(r2)rdrt?20t，

0f(r)dr22要证明t>0时F(t)?

?G(t)，只需证明t>0时，F(t)?tt?G(t)?0，即

?t0f(r2)r2dr?f(r2)dr?[?f(r2)rdr]2?0.

00令 g(t)??t0f(r)rdr?f(r)dr?[?f(r2)rd]r2，

00222t2t则 g?(t)?f(t)?t0f(r2)(t?r)2dr?0，故g(t)在(0,??)内单调增加.

因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0).

又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,

因此，当t>0时，F(t)?2?G(t).

【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：

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[?baf(x)g(x)dx]??f(x)dx??g2(x)dx，

aa2b2b在上式中取f(x)为

f(r2)r，g(x)为f(r2)即可.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.129【例9.21】、【例9.24】和《数学复习指南》P.305的【例11.26】.

九 、（本题满分10分）

?322??010??????1*设矩阵A?232，P?101，B?PAP，求B+2E的特征值与特征

???????223???001??向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.

【分析】 可先求出A*,,P?1，进而确定B?PAP及B+2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，

最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量.

【详解】 方法一： 经计算可得

?1**?5?2?2??01?1??????1 A*??25?2， P?100，

????????2?25???001??00??7???1* B?PAP=?25?4.

?????2?23??从而

00??9??，

?4 B?2E??27?????2?25????9?E?(B?2E)?22004?(??9)2(??3)，

??72??5故B+2E的特征值为?1??2?9,?3?3.

当?1??2?9时，解(9E?A)x?0，得线性无关的特征向量为

??1???2????? ?1?1, ?2?0, ???????0???1??

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所以属于特征值?1??2?9的所有特征向量为

??1???2????? k1?1?k2?2?k11?k20，其中k1,k2是不全为零的任意常数. ???????0???1??当?3?3时，解(3E?A)x?0，得线性无关的特征向量为

?0??? ?3?1， ????1???0???所以属于特征值?3?3的所有特征向量为k3?3?k31，其中k3?0为任意常数. ????1??方法二：设A的特征值为?，对应特征向量为?，即 A????. 由于A?7?0，所以??0.

又因 A*A?AE，故有 A*??A??.

A于是有 B(P?1?)?PA*P(P?)?A?1?1?(P?1?)，

(B?2E)P?1??(??2)P?1?.

因此，

A??2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P?1?.

??3由于 ?E?A??2?2?2?2?(??1)2(??7)，

??3?2?2??3故A的特征值为?1??2?1,?3?7.

??1???1?????当?1??2?1时，对应的线性无关特征向量可取为?1?1， ?2?0. ???????0???1???1???当?3?7时，对应的一个特征向量为?3?1. ????1??

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由 P?1?01?1??1???1??0??，得P?1????1?，P?1????1?，P?1???1?.

??100123?????????????001???0???1???1??因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.

对应于特征值9的全部特征向量为

?1???1??????1?1 k1P?1?k2P?2?k1?1?k2?1，其中k1,k2是不全为零的任意常数；

???????0???1??对应于特征值3的全部特征向量为

?0????1 k3P?3?k31，其中k3是不为零的任意常数.

????1??【评注】 设B?PAP，若?是A的特征值，对应特征向量为?，则B与A有相同的特征值，但对应特征向量不同，B对应特征值?的特征向量为P?1?.

本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。不过利用

相似矩阵有相同的特征值以及A与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量，这方面可参见类似例题《考研数学大串讲》P.214【例5】，《数学最后冲刺》P.136【例3】.

十 、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.

【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.

【详解】 方法一：必要性

设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组

?1?ax?2by??3c,??bx?2cy??3a, (*) ?cx?2ay??3b,??a2b??a2b?3c?????有唯一解，故系数矩阵A?b2c与增广矩阵A?b2c?3a的秩均为2，于是???????c2a???c2a?3b??

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A?0.

a由于 A?b2b2c2a?3c?3a?6(a?b?c)[a2?b2?c2?ab?ac?bc] ?3bc =3(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2], 但根据题设 (a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0，故 a?b?c?0.

充分性：由a?b?c?0，则从必要性的证明可知，A?0，故秩(A)?3. 由于

a2b?2(ac?b2)??2[a(a?b)?b2]

b2c1232b)?b]?0， 24 =?2[(a?故秩(A)=2. 于是，

秩(A)=秩(A)=2.

因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.

方法二：必要性

?x0???设三直线交于一点(x0,y0)，则y0为Ax=0的非零解，其中 ????1???a2b3c??? A?b2c3a. ????c2a3b??于是 A?0.

a2b3c 而 A?b2c3a??6(a?b?c)[a2?b2?c2?ab?ac?bc] 2a3b222c =?3(a?b?c)[(a?b)?(b?c)?(c?a)], 但根据题设 (a?b)?(b?c)?(c?a)?0，故 a?b?c?0.

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充分性：考虑线性方程组

?ax?2by??3c,? ?bx?2cy??3a, (*)

?cx?2ay??3b,?将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组

?ax?2by??3c, ? (* *)

bx?2cy??3a.?因为

a2b?2(ac?b2)??2[a(a?b)?b2]

b2c =-[a2?b2?(a?b)2]?0,

故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.

【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.

完全类似例题见《数学最后冲刺》P.196【例5】.

十一 、（本题满分10分）

已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

(1) 乙箱中次品件数的数学期望；

(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.

【详解】 (1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为

3?kC3kC3 P{X?k}?， k=0,1,2,3. 3C6即 X 0 1 2 3 P 因此

EX?0?1991 2020202019913?1??2??3??. 202020202{X?1}，{X?2}，(2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X?0}，{X?3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有

P(A)??P{X?k}P{AX?k}

k?03 18

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k13 =?P{X?k}???kP{X?k}

66k?0k?0 =

31131EX???. 6624【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：

设

Xi??则Xi的概率分布为

Xi 0 1

P i件产品是合格品,?0,从甲箱中取出的第

i件产品是次品,?1,从甲箱中取出的第11 i?1,2,3. 22 因为X?X1?X2?X3，所以 EX?EX1?EX2?EX3?3. 2完全类似例题见《考研数学大串讲》P.256【例20】，利用分解法求数字特征的思想见《数学题型集粹与练习题集》P.280【例3.18-21】.

十二 、（本题满分8分） 设总体X的概率密度为

?2e?2(x??),x??, f(x)??

x??,?0,其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记

??min(X,X,?,X). ?12n(1) 求总体X的分布函数F(x); (2) 求统计量??的分布函数F??(x)；

(3) 如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.

【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量??的分布函数F??(x)，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验

???是否成立. E?【详解】 (1)

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F(x)??x???1?e?2(x??),x??, f(t)dt??x??.0,???x}?P{min(X,X,?,X)?x} (2) F??(x)?P{?12n =1?P{min(X1,X2,?,Xn)?x} =1?P{X1?x,X2?x,?,Xn?x} =1?[1?F(x)]n

?1?e?2n(x??),x??, =?

x??.0,?(3) ??概率密度为 f??(x)?dF??(x)dx?2ne?2n(x??),x??, ??x??.0,?????因为 E??????xf??(x)dx??2nxe?2n(x??)dx

? =??1??， 2n所以??作为?的估计量不具有无偏性.

【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点. 将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.

完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》试卷（七）第十二题（从题型到求解方法完全一致）,《数学题型集粹与练习题集》P.292【例5.8】,在文登学校辅导班上也介绍过几乎完全一致的例题（参加过辅导班的同学可查看笔记）.

注： 1.《数学复习指南》 （2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 2.《数学题型集粹与练习题集》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 3.《文登数学全真模拟试卷》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 4.《数学最后冲刺》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 5.《考研数学大串讲》（2002版，理工类）世界图书出版公司

主编: 黄先开、曹显兵、施明存

(文登学校供稿)

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x003.html