传热学第四版课后习题答案(杨世铭-陶文铨)]

第一章

思考题

1．试用简练的语言说明导热、对流换热及辐射换热三种热传递方式之间的联系和区别。答：导热和对流的区别在于：物体内部依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递现象，称为导热；对流则是流体各部分之间发生宏观相对位移及冷热流体的相互掺混。联系是：在发生对流换热的同时必然伴生有导热。

导热、对流这两种热量传递方式，只有在物质存在的条件下

才能实现，而辐射可以在真空中传播，辐射换热时不仅有能 量的转移还伴有能量形式的转换。

2． 以热流密度表示的傅立叶定律、牛顿冷却公式及斯忒藩－玻耳兹曼定律是应当熟记的传热学公式。试写

出这三个公式并说明其中每一个符号及其意义。

答：① 傅立叶定律：

dx dt q λ-=，其中，q －热流密度；λ－导热系数；dx dt －沿x 方向的温度变化率，

“－”表示热量传递的方向是沿着温度降低的方向。 ② 牛顿冷却公式：)(f w t t h q -=，其中，q －热流密度；h －表面传热系数；w t －固体表面温度；f t －流体的温度。

③ 斯忒藩－玻耳兹曼定律：4T q σ=，其中，q －热流密度；σ－斯忒藩－玻耳兹曼常数；T －辐射物体的热力学温度。

3． 导热系数、表面传热系数及传热系数的单位各是什么？哪些是物性参数，哪些与过程有关？

答：① 导热系数的单位是：W/(m.K)；② 表面传热系数的单位是：W/(m 2.K)；③ 传热系数的单位是：W/(m 2.K)。这三个参数中，只有导热系数是物性参数，其它均与过程有关。

4． 当热量从壁面一侧的流体穿过壁面传给另一侧的流体时，冷、热流体之间的换热量可以通过其中任何一

个环节来计算（过程是稳态的），但本章中又引入了传热方程式，并说它是“换热器热工计算的基本公式”。试分析引入传热方程式的工程实用意义。

答：因为在许多工业换热设备中，进行热量交换的冷、热流体也常处于固体壁面的两侧，是工程技术中经常遇到的一种典型热量传递过程。

5． 用铝制的水壶烧开水时，尽管炉火很旺，但水壶仍然安然无恙。而一旦壶内的水烧干后，水壶很快就烧

坏。试从传热学的观点分析这一现象。

答：当壶内有水时，可以对壶底进行很好的冷却（水对壶底的对流换热系数大），壶底的热量被很快传走而不至于温度升得很高；当没有水时，和壶底发生对流换热的是气体，因为气体发生对流换热的表面换热系数小，壶底的热量不能很快被传走，故此壶底升温很快，容易被烧坏。

6． 用一只手握住盛有热水的杯子，另一只手用筷子快速搅拌热水，握杯子的手会显著地感到热。试分析其

原因。

答：当没有搅拌时，杯内的水的流速几乎为零，杯内的水和杯壁之间为自然对流换热，自热对流换热的表面传热系数小，当快速搅拌时，杯内的水和杯壁之间为强制对流换热，表面传热系数大，热水有更多的热量被传递到杯壁的外侧，因此会显著地感觉到热。

7． 什么是串联热阻叠加原则，它在什么前提下成立？以固体中的导热为例，试讨论有哪些情况可能使热量

传递方向上不同截面的热流量不相等。

答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。例如：三块无限大平板叠加构成的平壁。例如通过圆筒壁，对于各个传热环节的传热面积不相等，可能造成热量传递方向上不同截面的热流量不相等。

8.有两个外形相同的保温杯A 与B ，注入同样温度、同样体积的热水后不久，A 杯的外表面就可以感觉到热，而B 杯的外表面则感觉不到温度的变化，试问哪个保温杯的质量较好？

答：Ｂ：杯子的保温质量好。因为保温好的杯子热量从杯子内部传出的热量少，经外部散热以后，温度变化很小，因此几乎感觉不到热。

能量平衡分析

1-1夏天的早晨，一个大学生离开宿舍时的温度为20℃。他希望晚上回到房间时的温度能够低一些，于是早上离开时紧闭门窗，并打开了一个功率为15W 的电风扇，该房间的长、宽、高分别为5m 、3m 、2.5m 。如果该大学生10h 以后回来，试估算房间的平均温度是多少？

解：因关闭门窗户后，相当于隔绝了房间内外的热交换，但是电风扇要在房间内做工产生热量：为J 54000036001015＝??全部被房间的空气吸收而升温，空气在20℃时的比热为：1.005KJ/Kg.K,密度为

1.205Kg/m 3,所以89.11005.1205.15.235105400003

=?????=?-t

当他回来时房间的温度近似为32℃。

1-2理发吹风器的结构示意图如附图所示，风道的流通面积2260cm A =，进入吹风器的空气压力

kPa p 100=，温度251=t ℃。要求吹风器出口的空气温度472=t ℃，试确定流过吹风器的空气的质量流量以及吹风器出口的空气平均速度。电加热器的功率为1500W 。

解：

1-3淋浴器的喷头正常工作时的供水量一般为每分钟31000

cm 。冷水通过电热器从15℃被加热到43℃。试问电热器的加热功率是多少？为了节省能源，有人提出可以将用过后的热水（温度为38℃）送入一个换热器去加热进入淋浴器的冷水。如果该换热器能将冷水加热到27℃，试计算采用余热回收换热器后洗澡15min 可以节省多少能源？

解：电热器的加热功率： kW W t

cm Q

P 95.16.195060

)1543(101000101018.4633==-?????=?==-ττ 15分钟可节省的能量：

kJ J t cm Q 4.752752400)1527(15101000101018.4633==-??????=?=-

1-4对于附图所示的两种水平夹层，试分析冷、热表面间热量交换的方式有何不同？如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数，应采用哪一种布置？

解：（a ）中热量交换的方式主要为热传导。

（b ）热量交换的方式主要有热传导和自然对流。

所以如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数，应采用（a ）布置。

1-5 一个内部发热的圆球悬挂于室内，对于附图所示的三种情况，试分析：（1）圆球表面散热的方式；（2）圆球表面与空气之间的换热方式。

解：（2）圆球为表面传热方式散热。

（1）换热方式：（a ）自然对流换热；（b ）自然对流与强制对流换热相当的过渡流传热；（c ）强制对流换热；

1-6 一宇宙飞船的外形示于附图中，其中外遮光罩是凸出于飞船体之外的一个光学窗口，其表面的温度状态直接影响到飞船的光学遥感器。船体表面各部分的表面温度与遮光罩的表面温度不同。试分析，飞船在太空中飞行时与遮光罩表面发生热交换的对象可能有哪些？换热的方式是什么？

解：一遮光罩与外界发生辐射换热及遮光罩外表与船体外表进行辐射。传热方式为（辐射）

1-7 热电偶常用来测量气流温度。如附图所示，用热电偶来测量管道中高温气流的温度T f

,壁管温度f w T T <。试分析热电偶结点的换热方式。

解：具有管道内流体对节点的对流换热，沿偶丝到节点的导热和管道内壁到节点的热辐射。

1-8 热水瓶胆剖面的示意图如附图所示。瓶胆的两层玻璃之间抽成真空，内胆外壁及外胆内壁涂了反射率很低的银。试分析热水瓶具有保温作用的原因。如果不小心破坏了瓶胆上抽气口处的密闭性，这会影响保温效

果吗？

解：保温作用的原因：内胆外壁外胆内壁涂了反射率很低的银，则通过内外胆向外辐射的热量很少，抽真空是为了减少内外胆之间的气体介质，以减少其对流换热的作用。如果密闭性破坏，空气进入两层夹缝中形成了内外胆之间的对流传热，从而保温瓶的保温效果降低。

导热

1-9 一砖墙的表面积为122

m ，厚为260mm ，平均导热系数为1.5W/（m.K ）。设面向室内的表面温度为25℃，而外表面温度为-5℃，试确定次砖墙向外界散失的热量。

解：根据傅立叶定律有： W t A 9.207626.05)(25125.1=--?

?=?=Φδλ

1-10 一炉子的炉墙厚13cm ，总面积为202m ，平均导热系数为1.04w/m.k ，内外壁温分别是520℃及50℃。试计算通过炉墙的热损失。如果所燃用的煤的发热量是2.09×104kJ/kg ，问每天因热损失要用掉多少千克煤？ 解：根据傅利叶公式

KW t A Q 2.7513.0)50520(2004.1=-??=?=δλ

每天用煤 d Kg /9.3101009.22.753600244=???

1-11 夏天，阳光照耀在一厚度为40mm 的用层压板制成的木门外表面上，用热流计测得木门内表面热流密度为15W/m 2。外变面温度为40℃，内表面温度为30℃。试估算此木门在厚度方向上的导热系数。

解：

δλt q ?=，)./(06.0304004.015K m W t q =-?=?=δλ

1-12 在一次测定空气横向流过单根圆管的对流换热实验中，得到下列数据：管壁平均温度t w =69℃，空气温度t f =20℃，管子外径 d=14mm ，加热段长 80mm ，输入加热段的功率8.5w ，如果全部热量通过对流换热传给空气，试问此时的对流换热表面传热系数多大？

解：根据牛顿冷却公式

()f w t t rlh q -=π2

所以 ()f w t t d q h -=π＝49.33W/(m 2.k) 1-13 对置于水中的不锈钢束采用电加热的方法进行压力为1.013Pa 5

10?的饱和水沸腾换热实验。测得加热功率为50W ，不锈钢管束外径为4mm ，加热段长10mm ，表面平均温度为109℃。试计算此时沸腾换热的表面传热系数。

解：根据牛顿冷却公式有 t Ah ?=Φ 2.4423=?Φ=∴t A h W/(m 2

.K)

1-14 一长宽各为10mm 的等温集成电路芯片安装在一块地板上，温度为20℃的空气在风扇作用下冷却芯片。芯片最高允许温度为85℃，芯片与冷却气流间的表面传热系数为175 W/(m 2.K)。试确定在不考虑辐射时芯片最大允许功率时多少？芯片顶面高出底板的高度为1mm 。 解：()()[]???+??=?=Φ001.001.0401.001.0./175

2max K m W t hA (85℃-20℃) ＝1.5925W

1-15 用均匀的绕在圆管外表面上的电阻带作加热元件，以进行管内流体对流换热的实验，如附图所示。用功率表测得外表面加热的热流密度为3500W/2

m ；用热电偶测得某一截面上的空气温度为45℃，内管壁温度为80℃。设热量沿径向传递，外表面绝热良好，试计算所讨论截面上的局部表面传热系数。圆管的外径为36mm ，壁厚为2mm 。

解：由题意 3500W/??=?rl h Rl m ππ222（80℃-45℃） 又 r=δ-R =(18-2)mm=16mm

5.112=∴h W/(m 2

.K)

1-16为了说明冬天空气的温度以及风速对人体冷暖感觉的影响，欧美国家的天气预报中普遍采用风冷温度的概念（wind-chill temperature ）。风冷温度是一个当量的环境温度，当人处于静止空气的风冷温度下时其散热量与人处于实际气温、实际风速下的散热量相同。从散热计算的角度可以将人体简化为直径为25cm 、高175cm 、表面温度为30℃的圆柱体，试计算当表面传热系数为()K m W 2/15

时人体在温度为20℃的静止空气中的散热量。如果在一个有风的日子，表面传热系数增加到()

K m W 2/50，人体的散热量又是多少？此时风冷温度是多少？

辐射

1-17 有两块无限靠近的黑体平行平板，温度分别为21,T T 。试按黑体的性质及斯藩-玻尔兹曼定律导出单位面积上辐射换热量的计算式。（提示：无限靠近意味着每一块板发出的辐射能全部落到另一块板上。）

解：由题意 4

11T q f σ=; 422T q f σ=; 两板的换热量为 )(4241T T q -=σ

1-18 宇宙空间可近似地看成为0K 的真空空间。一航天器在太空中飞行，其外表面平均温度为250℃，表面发射率为0.7，试计算航天器单位表面上的换热量。

解：4T q εσ==0.7155250)./(1067.54

428=???-K m W W/2m

1-19 在1-14题目中，如果把芯片及底板置于一个封闭的机壳内，机壳的平均温度为20℃，芯片的表面黑度为0.9，其余条件不变，试确定芯片的最大允许功率。 解：()

00014.0])27320()27385[(1067.59.04484241?+-+??-=Φ-＝辐射T T A σε P 辐射对流＋ΦΦ＝1.657W

1-20 半径为0.5 m 的球状航天器在太空中飞行，其表面发射率为0.8。航天器内电子元件的散热总共为175W 。假设航天器没有从宇宙空间接受任何辐射能量，试估算其表面的平均温度。

解：电子原件的发热量＝航天器的辐射散热量即：4

T Q εσ= 4A Q

T εσ=∴ =187K

热阻分析

1-21 有一台气体冷却器，气侧表面传热系数1h ＝95W/(m 2.K)，壁面厚δ＝2.5mm ，)./(5.46K m W =λ水侧表面传热系数58002=h W/(m 2

.K)。设传热壁可以看成平壁，试计算各个环节单位面积的热阻及从气到水的总传热系数。你能否指出，为了强化这一传热过程，应首先从哪一环节着手？ 解：;010526.0111==

h R ;10376.55.460025.052-?===λδR ;10724.1580011423-?===h R 则

λδ++=21111h h K ＝94.7)./(2K m W ，应强化气体侧表面传热。 1-22 在上题中，如果气侧结了一层厚为2mm 的灰，)./(116

.0K m W =λ;水侧结了一层厚为1mm 的水垢)./(15.1K m W =λ。其他条件不变。试问此时的总传热系数为多少？ 解：由题意得

5800115.1001.05.460025.0116.0002.09511111

2

3322111++++=++++=h h K λδλδλδ ＝34.6)./(2K m W

1-23 在锅炉炉膛的水冷壁管子中有沸腾水流过，以吸收管外的火焰及烟气辐射给管壁的热量。试针对下列三

种情况，画出从烟气到水的传热过程的温度分布曲线：

（1） 管子内外均干净；

（2） 管内结水垢，但沸腾水温与烟气温度保持不变；

（3） 管内结水垢，管外结灰垢，沸腾水温及锅炉的产气率不变。

解：

1-24 在附图所示的稳态热传递过程中，已知： 4601=w t ℃，3002=f t ℃，51=δmm ，5.02=δmm ，5.461=λW/(m.K)，16.12=λW/(m.K),58002=h W/(m 2.K)。试计算单位面积所传递的热量。

解：由题意得

00071.0122111=++=

λδλδh R Z Z f w Z R t t R t q -=?=∴ =225.35KW

1-25 在工程传热问题的分析中定性地估算换热壁面的温度工况是很有用的。对于一个稳态的传热过程，试概括出通过热阻以估计壁面温度工况的简明法则。

解：因为稳态传热所以通过每个截面的热流量都相等，热阻越小的串联环节温降小，则换热壁面温度越趋于接近，否则温差较大。

传热过程及综合分析

1-26 有一台传热面积为122m 的氨蒸发器，氨液的蒸发温度为0℃，被冷却水的进口温度为9.7℃，出口温度为5℃，蒸发器中的传热量为69000W ，试计算总传热系数。

解：由题意得 22

1t t t ?+?=

?＝7.35℃

又t KA ?=Φ

t A K ?Φ=∴

＝782.3)./(2K m W 1-27 设冬天室内的温度为1f t ，室外温度为2f t ，试在该两温度保持不变的条件下，画出下列三种情形从室内空气到室外大气温度分布的示意性曲线：

（1）室外平静无风；

（2）室外冷空气以一定流速吹过砖墙表面；

（3）除了室外刮风以外，还要考虑砖墙与四周环境间的辐射换热。

解

1f t 2f t

1-28 对于图1-4所示的穿过平壁的传热过程，试分析下列情形下温度曲线的变化趋向：（1）0/→λδ；（2）∞→1h

；

（3）∞→2h 。

1-29 在上题所述的传热过程中，假设0/=λδ，试计算下列情形中分隔壁的温度：（1）21h h =；（2）21215.0)3(;2h h h h ==。

解：21;0w w t t =∴=λδ

又()()222211f w f w t t Ah t t Ah -=- 21)1(h h =∴时22

121f f w w t t t t +==

（2）212h h =时322121f f w w t t t t +==

（3）215.0h h =时322121f f w w t t t t +== 1-30 设图1-4所示壁面两侧分别维持在20℃及0℃，且高温侧受到流体的加热，)./(200,100,08.02101K m W h C t m f ===δ,过程是稳态的，试确定壁面材料的导热系数。

解：()()21111w w w f t t t t h q -=

-=δλ

()21111w w w f t t t t h --=∴δλ

＝64)./(K m W

1-31 附图所示的空腔由两个平行黑体表面组成，空腔内抽成真空，且空腔的厚度远小于其高度与宽度。其余已知条件如图示。表面2是厚为m 1.0=δ的平板的一侧面，其另一侧表面3被高温流体加热，平板的导热系数)./(5.17K m W =λ。试问在稳态工况下表面3的温度3w t 为多少？

解：在稳态工况下因为

()414223w w w w T T A t t A -=-σδλ

()241423w w w w t T T t +-=∴λσ ＝132.67℃ 1-32 一玻璃窗，尺寸为60cm cm 30?，厚为4mm 。冬天，室内及室外温度分别为20℃及-20℃，内表面的自然对流换热表面系数为W ，外表面强制对流换热表面系数为50)./(K m W 。玻璃的导热系数)./(78.0K m W =λ。试确定通过玻璃的热损失。

1f t 2f t

解：

λδA Ah A h T ++?=

Φ2111

＝57.5W

1-33 一个储存水果的房间的墙用软木板做成，厚为200mm ，其中一面墙的高与宽各为3m 及6m 。冬天设室内温度为2℃，室外为-10℃，室内墙壁与环境之间的 表面传热系数为6)./(K m W ,室外刮强风时的表面传热系数为60)./(K m W 。软木的导热系数)./(044

.0K m W =λ。试计算通过这面墙所散失的热量，并讨论室外风力减弱对墙散热量的影响（提示：可以取室外的表面传热系数值为原来的二分之一或四分之一来估算）。 解：由题意

λδA Ah A h T W N ++?=

Φ111

=45.67W 当室外风力减弱时 30=W h W/(m 2.K)

λδA Ah A h T W N ++?=

Φ111＝45.52W 单位换算

1-34．一台R22的空调器的冷凝器如附图所示。温度为313K 的氟利昂22的饱和蒸气在管子内流动，温度为283K 的空气进入冷凝器冷却氟利昂蒸气使其凝结。该冷凝器的迎风面积为24.0m ，迎面风速为s m /2。氟利

昂蒸气的流量为s kg /011.0，从凝结氟利昂蒸气到空气的总传热系数为()

K m W 2/40,试确定该冷凝器所需的传热面积。提示：以空气进、出口温度的平均值作为计算传热温差的空气温度。所谓迎风面积是指空气进入冷凝器之前的流动面积。

1-35.一战车的齿轮箱外表面积为0.2㎡，为安全需要，其最高温度不超过65℃，为此用25℃的冷空气强制对流流过此表面。该齿轮箱在稳态运行时消耗的机械能为1000W 。假定这份能量全部通过对流传热散失到环境中，所需的对流传热系数应多大？如果齿轮箱四周的固体表面平均温度为30℃，试分析通过辐射传热最多可以带走多少热量？齿轮箱表明的发射率可取为0.85。

解：

1-36.航空喷气发动机的工作叶片与高温的燃气相接触，为了使叶片金属的温度不超过允许数值，常在叶片中间铸造出冷却通道，从压气机出口抽出一小部分冷空气进入这些通道。附图中示意性地画出了这样的叶片的截面。现在给出以下数据：空心叶片内表面面积A i =200mm 2，冷却空气的平均温度t fi =700℃，表面传热系数h i =320W/(m 2*K)；面积A o =2840mm 2的叶片外表面与平均温度为1000℃的燃气接触，平均表面传热系数h o =1420W/(m 2*K)。此时叶片外表面温度为820℃，内表面温度为790℃。试分析此时该叶片内的导热是否处于稳态？

解：

1-37.一宇航员在太空模拟舱内工作（检测仪器仪表的工作性能），该模拟舱外表面面积为3㎡，外表面温度为0℃，表面发射率为0.05。模拟舱位于表面温度为-100℃的人工环境的大壳体内。此时模拟舱内的温度保持恒定，试确定模拟舱表面的辐射散热量。这份能量都是有宇航员身上散失的吗？

解：

1-38.在例题1-6中，为获得1h 后该男子的体温平均下降的数值，可以近似地认为他向环境的散热量为一常数。实际上，这一散热量是随时间而变化的。（1）分析该男子向环境散热的方式；（2）如何计算其辐射传热量随时间的变化，并估算考虑这一变化后1h 内的辐射总散热量，皮肤与衣料的表面发射率可取为0.9，刚开始时平均表面温度为31℃，环境为10℃；（3）如何计算其向四周冷空气的对流传热量随时间的变化，并估算考虑这一变化后1h 内的对流总散热量。由于人体的颤抖，人体向冷空气散热的对流传热表面传热系数可取为20W/(㎡·K)。该男子的散热面积可以用直径为0.318cm 、高1.7m 的圆柱体的面积来近似代替。

解：

1-39 当空气与壁面的平均温度在30～50℃范围时，空气在水平管外自然对流的 表面传热系数可按下列式计算：

4/1)

/(d t C h ?= 式中：常量)../(04.125.175.1C h m kcal C ?=;直径d 的单位为m;温差t ?的单位为℃，h 的单位为)../(2C h m kcal ?。试用我国法定计量单位写出此公式。

解：

1-40 对于水在大容器内的饱和沸腾试验，有人提出了下列经验公式：

7.02114.02)(q p C p C h +=

式中：86.172.1141/10339.9N m C -?=,)../(628

.014.032.03.02N m K W C =;其他各量的单位为p )./(,/,/22K m W h m W q m N ---。试将此式改用工程单位制单位写出。

第二章

思考题

1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。

答：傅立叶定律的一般形式为：n x t gradt q ??-=λλ＝－，其中：gradt 为空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；q 为该处的热流密度矢量。

2 已知导热物体中某点在x,y,z 三个方向上的热流密度分别为y x q q ,及z q ，如何获得该点的 热密度矢量？ 答：k q j q i q q z y x ?+?+?=，其中k j i ,,分别为三个方向的单位矢量量。

3 试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。

答：导热微分方程式所依据的基本定律有：傅立叶定律和能量守恒定律。

4 试分别用数学语言将传热学术语说明导热问题三种类型的边界条件。

答：① 第一类边界条件：)(01ττf t w =>时，

② 第二类边界条件：)()(02τλτf x t w =??->时

③ 第三类边界条件：

)()(f w w t t h x t -=??-λ 5 试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。

答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。

7.通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关，而通过球壳的导热量计算式却与半径的绝对值有关，怎样理解？

答：因为通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关，而通过球壳的导热热阻却和球壳的绝对直径有关，所以绝对半径不同时，导热量不一样。

6 发生在一个短圆柱中的导热问题，在下列哪些情形下可以按一维问题来处理？

答：当采用圆柱坐标系，沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。

8 扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么？有人认为，只要扩展表面细长，就可按一维问题来处理，你同意这种观点吗？

答：只要满足等截面的直肋，就可按一维问题来处理。不同意，因为当扩展表面的截面不均时，不同截面上的热流密度不均匀，不可看作一维问题。

9 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热数流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。

答：错误，因为当肋片高度达到一定值时，通过该处截面的热流密度为零。通过肋片的热流已达到最大值，

不会因为高度的增加而发生变化。

10 在式（2-57）所给出的分析解中，不出现导热物体的导热系数，请你提供理论依据。

答：由于式（2-57）所描述的问题为稳态导热，且物体的导热系数沿x 方向和y 方向的数值相等并为常数。 11 有人对二维矩形物体中的稳态无内热源常物性的导热问题进行了数值计算。矩形的一个边绝热，其余三个边均与温度为f t 的流体发生对流换热。你能预测他所得的温度场的解吗？

答：能，因为在一边绝热其余三边为相同边界条件时，矩形物体内部的温度分布应为关于绝热边的中心线对称分布。

习题

平板

2-1 用平底锅烧开水，与水相接触的锅底温度为111℃，热流密度为424002

/m W 。使用一段时间后，锅底结了一层平均厚度为3mm 的水垢。假设此时与水相接触的水垢的表面温度及热流密度分别等于原来的值，试计算水垢与金属锅底接触面的温度。水垢的导热系数取为1W/(m.K)。

解：由题意得

424001003.0111=-=w t q ＝

w/m 2

所以t=238.2℃

2-2 一冷藏室的墙由钢皮矿渣棉及石棉板三层叠合构成，各层的厚度依次为0.794mm.,152mm 及9.5mm ，导热系数分别为45)./(K m W ,0. 07)./(K m W 及0.1)./(K m W 。冷藏室的有效换热面积为37.22m ，室内外气温分别为-2℃及30℃，室内外壁面的表面传热系数可分别按1.5)./(2K m W 及2.5)./(2

K m W 计算。为维持冷藏室温度恒定，试确定冷藏室内的冷却排管每小时需带走的热量。

解：由题意得

332211212

111λδλδλδ++++-?

=Φh h t t A ＝2.371.00095.007.0152.045000794.05.215.11)2(30?++++-- ＝357.14W

357.14×3600＝1285.6KJ 2-3有一厚为20mm 的平板墙，导热系数为1.3)./(K m W 。为使每平方米墙的热损失不超过1500W,在外表面上覆盖了一层导热系数为0.12)./(K m W 的保温材料。已知复合壁两侧的温度分别为750℃及55℃，试确定此时保温层的厚度。

解：依据题意，有

150012.03.1020.0557********

1≤+-=+-=δλδλδt t q ，解得：m 05375

.02≥δ 2-4 一烘箱的炉门由两种保温材料A 及B 组成，且B A δδ2=(见附图)。已知)./(1.0K m W A =λ,)./(06.0K m W B =λ,烘箱内空气温度4001=f t ℃，内壁面的总表面传热系数)./(501K m W h =。为安全起见，希望烘箱炉门的 外表面温度不得高于50℃。设可把炉门导热作为一维问

题处理，试决定所需保温材料的厚度。环境温度=2f t 25℃，外表面总传热系数)./(5.922K m W h =。

解：热损失为()()22111f f B B A A fw f t t h t t h t t q -+-=+-=

λδλδ

又50=fw t ℃；B A δδ=

联立得m m B A 039.0;078.0==δδ

2-5 对于无限大平板内的一维导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解？

解：两侧面的第一类边界条件；一侧面的第一类边界条件和第二类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件。

平壁导热

2-6一火箭发动机燃烧室是直径为130mm 的圆筒体，厚2.1mm ，导热系数为23.2W/(m ·K)。圆筒壁外用液体冷却，外壁温度为240℃。测得圆筒体的热流密度为4.8×106W/㎡，其材料的最高允许温度为700℃。试判断该燃烧室壁面是否工作于安全温度范围内？

解：

2-7如附图所示的不锈钢平底锅置于电器灶具上被加热，灶具的功率为1000W ，其中85％用于加热平底锅。锅底厚δ=3㎜，平底部分直径d=200㎜，不锈刚的导热系数λ=18W/（m ·K ），锅内汤料与锅底的对流传热表面传热系数为2500W/（㎡·K ），流体平均温度t f =95℃。试列出锅底导热的数学描写，并计算锅底两表面的温度。

解：

2-8一种用比较法测定导热系数装置的原理示于附图中。将导热系数已知的标准材料与被测材料做成相同直径的圆柱，且标准材料的两段圆柱分别压紧置于被测材料的两端。在三段试样上分别布置三对测定相等间距两点间温差的热电偶。试样的四周绝热良好（图中未示出）。已知试样两端的温度分别为t h =400℃、t c =300℃、Δt r =2.49℃，Δt t,1=3.56℃、Δt t,2=3.60℃，试确定被测材料的导热系数，并讨论哪些因素会影响Δt t,1与Δt t,2不相等？

解：

2-9 双层玻璃窗系由两层厚为6mm 的玻璃及其间的空气隙所组成，空气隙厚度为8mm 。假设面向室内的玻璃表面温度与室外的玻璃表面温度各为20℃及-20℃，试确定该双层玻璃窗的热损失。如果采用单层玻璃窗，其他条件不变，其热损失是双层玻璃的多少倍？玻璃窗的尺寸为cm cm 6060?。不考虑空气间隙中的自然对流。玻璃的导热系数为0.78)./(K m W 。 解：332211211λδλδλδ++-=

t t q ＝116.53W/2m m w t t q /520011212=-=λδ

W Aq Q 95.41==∴

所以 62

.4453.116520012==q q

2-10某些寒冷地区采用三层玻璃的窗户，如附图所示。已知玻璃厚δg =3㎜，空气夹层宽δair =6㎜，玻璃的导热系数λg =0.8W/（m ·K ）。玻璃面向室内的表面温度t i =15℃，面向室外的表面温度t o =-10℃，试计算通过三层玻璃窗导热的热流密度。

解：

2-11提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效方法。为了是发动机的叶片能承受更高的温度而不至于损坏，叶片均用耐高温的合金制成，同时还提出了在叶片与高温燃气接触的表面上涂以陶瓷材料薄层的方法，如附图所示，叶片内部通道则由从压气机来的空气予以冷却。陶瓷层的导热系数为 1.3W/（m ·K ），耐高温合金能承受的最高温度为1250K ，其导热系数为25W/(m ·K)。在耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料，

其造成的接触热阻为10-4㎡·K/W 。如果燃气的平均温度为1700K ，与陶瓷层的表面传热系数为1000W/(㎡·K)，

冷却空气的平均温度为400K ，与内壁间的表面传热系数为500W/(㎡·K)，试分析此时耐高温合金是否可以安全地工作？

解：

2-12 在某一产品的制造过程中，厚为1.0mm 的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为0.2mm 。薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为20℃，对流换热表面传热系数为40)./(2

K m W 。同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。基板的另一面维持在温度301=t ℃。生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度600=t ℃，试确定辐射热流密度q 应为多大？薄膜的导热系数)./(02

.0K m W f =λ,基板的导热系数)./(06.0K m W s =λ。投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。薄膜对60℃的热辐射

是不透明的。

解：根据公式t K q ?=得

2/1800306006.0001.03060m W q =?=-=

()23/8.114202.0102.040112060m W q =?+?-='- 2/8.2942m W q q q Z ='+=

2-13 在附图所示的平板导热系数测定装置中，试件厚度δ远小于直径d 。由于安装制造不好，试件与冷热表面之间平均存在着一层厚为mm 1.0=?的空气隙。设热表面温度1801=t ℃，冷表面温度302=t ℃，空气隙的导热系数可分别按21,t t 查取。试计算空气隙的存在给导热系数测定带来的误差。通过空气隙的辐射换热可以略而不计。

解：查附表8得1801=t ℃，

);./(1072.321K m W -?=λ 302=t ℃，);./(1067.222K m W -?=λ 无空气时430180221d A t t f f πλδλδ?-=-=

Φ

δλλδ32.34029315.0=∴=∴

f f

有空气隙时 A t t f '

++-=Φλδλδλδ221121 得

δλ98.43='f 所以相对误差为%1.28=-'f f f λλλ

圆筒体

2-14 外径为100mm 的蒸气管道，覆盖密度为203

/m kg 的超细玻璃棉毡保温。已知蒸气管道外壁温度为400℃，希望保温层外表面温度不超过50℃。且每米长管道上散热量小于163W ，试确定所需的保温层厚度。 解：保温材料的平均温度为 t=225250400=+℃

由附录7查得导热系数为)./(08475.00023

.0033.0K m W t =+=λ ()21212ln t t l d d -Φ=πλ

代入数据得到 2d ＝0.314mm

所以 m m d d 107212=-=δ

2-15 外径为50mm 的蒸气管道外，包覆有厚为40mm 平均导热系数为0.11)./(K m W 的煤灰泡沫砖。绝热层

外表面温度为50℃，试检查矿棉渣与煤灰泡沫砖交界面处的温度是否超过允许值？又。增加煤灰泡沫砖的厚度对热损失及交界面处的温度有什么影响？蒸气管道的表面温度取为400℃。

解：由题意多层蒸气管总热流量

()

()()2

2312121/ln /ln 2λλπd d d d t t l Z +-=Φ

代入数据得到 W Z 25

.168=Φ 由附录知粉煤灰泡沫砖材料最高允许温度为300℃

由此设在300℃时

()()W d d t t l 33.72/ln 21

21211=-='Φλπ

()()W d d t t l 29.358/ln 22

23212=-='Φλπ 因为z Φ>'Φ+'Φ21 所以不会超过允许温度。当增加煤灰泡沫砖的厚度会使热损失增加，从而边界面处温度下降。

2-16 一根直径为3mm 的铜导线，每米长的电阻为 2.22Ω?-310。导线外包有厚为1mm 导热系数为

0.15)./(K m W 的绝缘层。限定绝缘层的最高温度为65℃，最低温度为0℃。试确定在这种条件下导线中允许通过的最大电流。 解：根据题意有：

()()W r r t t l q l Q 8.1195.1/5.2ln 06515.012)/ln()(221221=-??=-=

=ππλλπ R I 286.119=

解得：A I 36.232=

2-17 一蒸汽锅炉炉膛中的蒸发受热面管壁受到温度为1000℃的烟气加热，管内沸水温度为200℃，烟气与受热面管子外壁间的复合换热表面传热系数为100)./(2

K m W ，沸水与内壁间的表面传热系数为5000)./(2K m W ，管壁厚6mm ，管壁=λ42)./(K m W ，外径为52mm 。试计算下列三种情况下受热面单位长度上的热负荷：

（1） 换热表面是干净的；

（2） 外表面结了一层厚为1mm 的烟灰，其=λ0.08)./(K m W ；

（3） 内表面上有一层厚为2mm 的水垢，其=λ1)./(K m W 。 解：⑴ ()()W r h r r h r t t l 98.12532100026.014240/52ln 02.0500012001000121)/ln(1)(2221121121=?++?-?=++-=

πλπφ

⑵

()()()W r h r r r r r h t t l 94.5852100027.014240/52ln 08.052/54ln 500002.012001000121)/ln()/ln(1)

(2221120200121=?+++?-?=

+++-=

πλλπφ ⑶

()()()()()W r h r r r r r r r h t t l i

i i 06.5207027.01001136/40ln 4240/52ln 08.052/54ln 018.0500012001000121/ln )/ln()/ln(1)

(2211120200121=?++++?-?=++++-=πλλλπφ

2-18 在一根外径为100mm 的热力管道外拟包覆两层绝热材料，一种材料的导热系数为0.06)./(K m W ，另一种为0.12)./(K m W ，两种材料的厚度都取为75mm ，试比较把导热系数小的材料紧贴管壁，及把导热系数大的材料紧贴管壁这两种方法对保温效果的影响，这种影响影响对于平壁的情形是否存在？假设在两种做法中，绝热层内外表面的总温差保持不变。

解：将导热系数小的材料紧贴壁管

()19.19227550757550ln 2507550ln 212121t t l l l t t -=??? ??++++??? ??+-=

Φππλλπ

将导热系数大的材料紧贴壁管则 ()()47.1526.1ln 5.2ln 2211

221t t l t t l -=+-=

Φ'πλλπ 故导热系数大的材料紧贴管壁其保温效果好。 若为平壁，则平壁221121λδλδ+-=

t t q

由于21δδδ==所以不存在此问题。

2-19 一直径为30mm ，壁温为100℃的管子向温度为20℃的环境放热，热损失率为100W/m 。为把热损失减

少到50W/m ，有两种材料可以同时被应用。材料A 的导热系数为0.5)./(K m W ，可利用度为3.14m m /1033-?；

材料B 的导热系数为0.1)./(K m W ，可利用度为4.0m m /103

3-?。试分析如何敷设这两种材料才能达到上述要求。假设敷设这两种材料后，外表面与环境间的表面传热系数与原来一样。

解：根据题意有： 100)20100(103

.0)(221=-??=-=h t t rlh ππφ，解得 h ＝13.2696 按题意有：将导热系数大的放在内侧，

32211014.3)015.0(-?=-r π

m r 035.01=，32122104)(-?=-r r π049.02=r m

解方程组得： ()()()()()()1.76049.026.1311.0035.0/049.0ln 5.0015.0/035.0ln 2010021/ln /ln 22

21210121=?++-=

++-=

Φ'πλλπhr r r r r t t l ② 3221104)015.0(-?=-r π

m r 03871.01=，321221014.3)(-?=-r r π

049.02=r

()()()()()()72.43049.026.1315.003871.0/049.0ln 1.0015.0/03871.0ln 2010021/ln /ln 2221210121=?++-=++-=

Φ'πλλπhr r r r r t t l

2-20 一直径为d 长为l 的圆杆，两端分别与温度为1t 及2t 的表面接触，杆的导热系数λ为常数。试对下列两种情形列出杆中温度的微分方程式及边界条件，并求解之：

杆的侧面是绝热的；

杆的侧面与四周流体间有稳定的对流换热，平均表面传热系数为h ，流体温度

f t 小于1t 及2t 。 解：① 421d x t πλφ??-=， 4)(22d x dx x t t πλφ???+

?-=，在侧面绝热时，有21φφ=得微分方程为：022=??x t ，

边界条件为：21,,0t t l x t t x ==== 解微分方程得：

112t x l t t t +-=

② )(3f t t ddxh -=πφ，根据条件有：321φφφ+= 得微分方程为：0)(422=--??f t t d h x t λ，边界条件为：21

,,0t t l x t t x ==== 解微分方程得：

x d h x d h f e C e C t t )2(2)2(1λλ-+=-

代入边界条件得： x

d h l d h l d h f f l d

h x d h l d h l d h l d h f f f e e e t t t t e e e e e

t t t t t t λλλλλλλλ222212222212)()()()(--------+----=- 2-21 一直径为20mm,长300mm 的钢柱体，两端分别与温度为250℃及60℃的两个热源相接。柱体表面向温

度为30℃的环境散热，表面传热系数为10

)./(2K m W 。试计算该钢柱体在单位时间内从两个热源所获得的热量。钢柱体的=λ40)./(K m W 。 解：根据上题结果得： ()()()])([2112mx ml ml f f ml mx ml ml ml

f f e e e t t t t e e e e e t t t t m x t ------------=??－ 其中：d h m λ2=＝07.702.040102=?

12.2=ml m

12.212.212.212.212.212.20)3060()30250()30250()3060([07.7|---=------?---?=??e e e e e e x t x

＝－1549.1 W d d dx t Q 46.194)1.1549(4042

20=-?-=?-=ππλ ()()()])([|2112ml ml ml f f ml ml ml ml ml f f l x e e e t t t t e e e e e t t t t m x t ----=--------=??－

12.212.212.212.212.212

.212.212.2)3060()30250()30250()3060([07.7|----=-----?---?=??e e e e e e e e x t l x － =-162.89 W

Q l x 05.24d )89.162(402

=?-==π－ 球壳

2-22 一个储液氨的容器近似的看成为内径为300mm 的圆球。球外包有厚为30mm 的多层结构的隔热材料。

隔热材料沿半径方向的当量导热系数为

)./(108.14K m W -?，球内液氨的温度为-195.6℃，室温为25℃，液氨的相变热为199.6kJ/kg 。试估算在上述条件下液氨每天的蒸发量。 解：W 822.04165.0115.01)6.195(25108.14=??--?=Φ-π－〕〔

Kg m 3562.010006.199360024822.0=???= 2-23 有一批置于室外的液化石油气储罐，直径为2m ，通过使制冷剂流经罐外厚为1cm 的夹层来维持罐内的温度为-40℃。夹层外厚为30cm 的保温层，保温材料的导热系数为0.1 )./(K m W 。在夏天的恶劣条件下，

环境温度为40℃，保温层外表面与环境间的复合换热表面传热系数可达30

)./(2K m W 。试确定为维持液化气-40℃的温度，对10个球罐所必须配备的制冷设备的容量。罐及夹层钢板的壁厚可略略而不计。

解：一个球罐热流量为()R 21t t -=

Φ

1785.04301)3.1101.11(1.04141)11(

412221=?+-?=?+-=ππππλr h r r R W 168.4481785.0)40(40=--=Φ

所以10个球罐热流量为W 68.448110=Φ=Φ' 2-24 颗粒状散料的表面导热系数常用圆球导热仪来测定。如附图所示内球内安置有一电加热器，被测材料安装在内外球壳间的夹套中，外球外有一水夹层，其中通以进口温度恒定的 冷却水。用热电偶测定内球外壁及

外球内壁的平均温度。在一次实验中测得以下数据：200,25.0;15.00===t i t m d m d ℃，40

0=t ℃，电加

热功率P=56.5W 。试确定此颗粒材料的表观导热系数。

如果由于偶然的事故，测定外球内壁的热电偶线路遭到破坏，但又急于要获得该颗粒表观导热系数的近似值，试设想一个无需修复热电偶线路又可以获得近似值的测试方法。球壳内用铝制成，其厚度约为3～4mm 。 解：根据题意：W 5.56425.0115.0140200=??-?

=Φπλ－〕〔

解得：)./(07.0K m W ＝λ 如果电偶损坏，可近似测量水的出入口温度，取其平均值代替球外壳温度计算。

2-25 内外径各为0.5m 及0.6m 的球罐，其中装满了具有一定放射性的化学废料，其容积发热率为

35/10m W =Φ。该罐被置于水流中冷却，表面传热系数h=1000)./(2K m W ,流体温度25=f t ℃。试：（1）

确定球罐的外表面温度；（2）确定球罐的内表面温度。球罐用铬镍钢钢板制成。 解：球罐的体积为：065416.025.014.3343433=??==

r V π

总发热热流为：W 67.654110065416

.05=?=Φ 球的外表温度：

67.6541)25(42=-=Φt h r π 解得：t ＝30.78℃

℃＝解得－〕〔62.53t 67.654143.0125.0178.302.15W t =??-?=Φπ

2-26 附图所示储罐用厚为20mm 的塑料制成，其导热系数=λ 1.5)./(K m W ，储罐内装满工业用油，油中安置了一电热器，使罐的内表面温度维持在400K 。该储罐置于25℃的空气中，表面传热系数为10)./(2K m W 。m l m r 0.2,5.00==。试确定所需的电加热功率。

2-27 人的眼睛在完成生物功能过程中生成的热量要 通过角膜散到周围环境中，其散热条件与是否带有隐性眼镜片有关，如附图所示，设角膜及隐性镜片均呈球状，且两者间接触良好，无接触热阻。角膜及镜片所张的中心角占了三分之一的球体。试确定在下列条件下不戴镜片及戴镜片时通过角膜的散热量：1r =10mm ，2r =12.5mm ，3r =16.3mm ，fi t ＝37℃200=f t ℃， i h ＝12W/(m2.K)，0h ＝6W/(m2.K)，1λ＝0.35 W/(m.K)，2λ＝0.8 W/(m.K)。 解：不戴镜片???? ??-++=

211114111r r A h A h R o o i i πλ 所以W R t o 109.0=?=

Φ 有效热量W o 0363.031=Φ=Φ 戴镜片时???? ??-+???? ??-++=

32

22111141114111r r r r A h A h R o o i i πλπλ 所以W R t o 108.0=?=

Φ 即散热量为W o 036.031=Φ=Φ 2-28 一储存液态气体的球形罐由薄金属板制成，直径为 1.22m ，其外包覆有厚为0.45m ，导热系数为

0.043)./(K m W 的软木保温层。液态气体温度为-62.2℃，与金属壳体间换热的表面传热系数为21

)./(2K m W 。由于软木保温层的密闭性不好，大气中的水蒸气浸入软木层，并在一定深度范围内冻结成了冰。假设软木保温层的导热系数不受水蒸气及所形成的冰层的影响，试确定软木保温层中冰层的深度。球形罐金属壳体的热阻可不计。在 实际运行中，因保温层的密闭性不好而在软木保温层中出现的水和冰，对球形罐的保温性能有何影响？

2-29 在一电子器件中有一晶体管可视为半径为0.1mm 的半球热源，如附图所示。该晶体管被置于一块很大的硅基板中。硅基板一侧绝热，其余各面的温度均为∞t 。硅基板导热系数120=λ)./(K m W 。试导出硅基板中温度分布的表达式，并计算当晶体管发热量为=Φ4W 时晶体管表面的温度值。

提示：相对于0.1mm 这样小的半径，硅基板的外表面可以视为半径趋于无穷大的球壳表面。

变截面变导热系数问题

2-30 一高为30cm 的铝制圆台形锥台，顶面直径为8.2cm ，底面直径为13cm.。底面及顶面温度各自均匀，并分别为520℃及20℃，锥台侧面绝热。试确定通过该锥形台的导热量。铝的导热系数为100)./(K m W 。 解：根据傅利叶导热公式得dx dt x A λ

)(-=Φ 因为：5.6301

.40

0+=x x 得23.510=x

301.45.60-=+x r dx x 得dx r x 082.041.0+=

代入数据积分得W 1397=Φ

2-31 试比较附图所示的三种一维导热问题的热流量大小：凸面锥台，圆柱，凹面锥台。比较的条件是2

11,,t t d 及导热系数均相同。三种形状物体的直径与x 轴的关系可统一为n ax d =，其中a 及n 值如下：

凸面锥台 柱体 凹面锥台

a 0.5062/1m 0.08m 20.242/1-m

n 0.5 0.0 1.5 mm x mm x 125,2521==。

解：对于变截面导热

()?-=

Φ2121x x x A dx t t λ 凸面锥台

?21x x X A dx ＝21223204821-+=+?m dx x a n x x n π 柱体 ?21

x x X A dx ＝21235.320421--=?m dx x a x x π 凹面锥台 ?21x x X A dx ＝()24223.26324201621-=??m

dx x x x π

由上分析得 213Φ>Φ>Φ

2-32 某种平板材料厚25mm ，两侧面分别维持在40℃及85℃。测得通过该平板的热流量为1.82km ，导热面

积为0.22m 。试：

确定在此条件下平板的平均导热系数。

设平板材料导热系数按

)1(0bt +=λλ变化（其中t 为局部温度）。为了确定上述温 度范围内

0λ及b 值，还需要补充测定什么量？给出此时确定0λ及b 的计算式。 解：由dx dt A λ-=Φ得)./(5K m W =λ

补充测定中心位置的温度为

0t dx dt A λ

-=Φ 又)1(0bt +=λλ 所以

()()??? ??++-=-Φ212121012t t b t t x x A λ （1） 代入数据解得2

20211202224t t t t t t b +---=

（2） 将（2）代入（1）得到

0λ

2-33 一空心圆柱，在1r r =处1t t =，2r r =处2t t =。

)1()(0bt t +=λλ，t 为局部温度，试导出圆柱中温度分布的表达式及导热量计算式。

解：导热微分方程式简化为

0=??? ??dr dt r dr d λ 即1c dr dt r =λ

所以()r dr c dt bt 1

01=+λ 即21200ln 2c r c t b t +=+λλ

当在1r r =处1t t =即21121010ln 2c r c t b t +=+λλ （1）

2r r =处2t t = 即22122020ln 2c r c t b t +=+λλ （2） 两个式子联立得 ()()212102101l n 21r r t t b t t c ??

????++-=

λλ

()()2112102102ln ln 21r r r t t b t t c ??????++-=

λλ （1）-（2）得()()??? ??=-+-21122210210ln 2r r c t t b t t λλ （3）

将21,c c 代入（3）得温度表达式

()()()211210210200ln .ln 2

12r r r r t t b t t t b t ?

?????++-=+λλλλ

由傅利叶公式dx dt q λ

-= 得()()??? ????

????++--=-

=212102101ln .21r r r t t b t t r c q λλ 2-34 设一平板厚为δ，其两侧表面分别维持在温度1t 及2t 。在此温度范围内平板的局部导热系数可以用直线

关系式)

1()(0bt t +=λλ来表示。试导出计算平板中某处当地热流密度的表达式，并对b>0,b=0及b<0的三

种情况画出温度分布的示意曲线。 2-35 一圆筒体的内外半径分别为

i r 及0r ，相应的壁温为i t 及0t ，其导热系数与温度关系可表示为)1()(0bt t +=λλ的形式，式中λ及t 均为局部值。试导出计算单位长度上导热热流量的表达式及导热热阻的

表达式。 2-36 q=1000W/m 2的热流沿x 方向穿过厚为20mm 的平板（见附图）。已知x=0mm,10mm,20mm 处的温度分别为100℃，60℃及40℃。试据此确定材料导热系数表达式)1(0b +=λλ（t 为平均温度）中的0λ及b 。 解：x=0mm,x=10mm 处的平均温度

80260100=+=

t ℃ 又)1(0b +=λλ 所以热量

()21t t q -=δλ 即

()

()6010002.080110000-+=b λ （1） 同理x=10mm,x=20mm 处得

()

()406002.050110000-+-=b λ （2）

联立得b=-0.009 687.00=λ

2-37 设某种材料的局部导热系数按

)1()(0bt t +=λλ的关系式来变化，对于由该材料做成的一块厚为δ的无

内热源的平板，试： 导出利用两侧面温度)(),0(21δ==x t x t 计算导热量的公式；

证明下列关系式成立：

δλλλλx =--21

2221 其中21λλ为相应于21t t 的导热系数，λ为x 处的导热系数。

导出平板中温度沿x 方向变化的下列两个公式：

()b x b x t 11)(2/12122210-??????-+=λλδλλ b qx t b x t 121)(021--??? ??+=λ 2-38一厚δ的平壁，两侧面分别维持在恒定的温度t 1、t 2。平壁的导热系数是温度的函数：λ（t ）=λ0（1+

βt 2）。试对稳态导热给出热流密度的计算式。

解：

一维有内热源的导热

2-39 试建立具有内热源()x Φ，变截面，变导热系数的一维稳态导热问题的温度场微分方程式（参考附图）。 解：一维代入微分方程式为

()()0=Φ+????????? ??x dx dt x x A dx d λ

2-40 试由导热微分方程出发，导出通过有内热源的空心柱体的稳态导热热量计算式及壁中的温度分布。Φ为常数。

解：有内热源空心圆柱体导热系数为常数的导热微分方程式为 01=Φ+??? ?????? r t r r r λ

经过积分得 λr r c r c t Φ

-+= 2

21ln 因为

00,0;,t t r t t r r w ==== 所以得 λλλ30300003001ln /ln 1ln /r r r t t t r r r t t t w w Φ--Φ---+-Φ--=

对其求导得 2-41确定附图所示氧化铀燃燃料棒的最大热功率。已知：氧化铀燃料棒的最高温度不能高于1600℃，冷却水平均温度为110℃，表面传热系数为12000W/(㎡·K)，氧化铀燃料棒与包覆它的锆锡合金层间的接触热阻为

2.22×10-4㎡·K/W 。包覆层的内外半径为 6.1㎜及 6.5㎜，氧化铀燃料棒和锆锡合金的导热系数分别为

7.9W/(m ·K)、14.2W/(m ·K)。

解：

2-42 一具有内热源Φ外径为0r

的实心圆柱，向四周温度为∞t 的环境散热，表面传热系数为h 。试列出圆柱体中稳态温度场的微分方程式及边界条件，并对Φ为常数的情形进行求解。

解：利用2-33题的结果立即可得温度场应满足的微分方程为： 0)()(=Φ+r r dr dt dr d λ（设λ为常数）， 其边界条件为：。，；，)(000f t t h dr dt r r dr dt r -=-===λ

对于Φ 为常数的情形，积分一次得：。)(f t t h dr dt r -= 再积分一次得：2214ln c r r c t +Φ-=λ 由r=0，0=dr dt ，得01=c ；

由0r r =，

??????-+Φ-=Φ-=-f f t c r h r t t h dr dt 22042)(λλλ ，得， 由此得：f t h r r h r c +Φ+Φ+Φ=24202002 λ。

2-43 在一厚为2b ，截面积为C A 的金属薄条中有电流通过。金属条置于不导电的沸腾液体中。设沸腾换热表

面传热系数是均匀的，金属条的电阻率为ρ（单位为m m /.2Ω），导热系数为λ〔单位为)./(K m W 〕，物性

为常数。试证明该金属条的截面平均温度要比表面温度高()

2223/C A b I λρ。金属条的端部散热不予考虑。

2-44 一半径为0r 的实心圆柱，内热源为)1()(0Ar r +Φ=Φ ，0Φ ,A 为常数。在0r r =处0t t =。试导出圆柱体中的温度分布。

解： 01=Φ+??? ?????? r t r r r λ (1) r=0,0=dx dt (2)

00,t t r r == (3)

三式联立最终可解得

()()[]

03302200436t r r A r r q t +-+-Φ= 2-45 一厚为δ的大平板具有均匀内热源Φ ，X=0及X=δ处的表面分别与温度为21,f f t t 的流体进行对流换热，表面传热系数分别为h1及h2。试导出平板中温度分布的解析表达式，并据此导出温度最高点的位置。对于h1=h2,tf1＝2f t 及1221,f f t t h h <=的情形定性地画出平板中的温度分布曲线。

2-46 一厚为7cm 的平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，内热源Φ ＝0.336/10m W ?。对

流换热表面传热系数为450

)./(2K m W ，平壁的导热系数为18)./(K m W 。试确定平壁中的最高温度及其位置。

2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有

ax e -Φ=Φ0 的内热源，其中0Φ 是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。已知x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达

式及最高温度的所在位置。导热系数λ为常数。

解：由题意导热微分方程 0022=Φ+-ax e dx t d λ

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