解三角形练习题一参考答案

第一章 解三角形练习题一参考答案

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一、选择题：

1、已知△ABC的三个内角之比为A：B：C＝3：2：1，那么对应的三边之长a：b：c等于( D )

A．3：2：1 B.：2：1 3 2：1

D．23：1

a＋b＋c

2、在△ABC中，A＝60°，a，则等于( B )

sinA＋sinB＋sinC

823A. B. C. D．23

3333、在△ABC中，若b＝2asinB，则A等于( D )

A．30°或60° B．45°或60° C．60°或120° D．30°或150° cosAbcosBc

4、在△ABC中，若，且＝，则△ABC是( D )

cosBacosCb

A．直角三角形

B．等腰三角形 D．正三角形

C．等腰三角形或直角三角形

cosAbπcosBcπ

解析:由＝A＝B或A＋B＝；由＝B＝C或B＋C＝ ∴A＝B＝C，即△ABC为正三角形．

cosBa2cosCb2→→

5、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC( C )

3232

A．－ B．－ C. D.2323

AB2＋AC2－BC29＋4－101→→→→13

解析:由余弦定理，得cosA＝＝＝∴AB·AC＝|AB|·|AC|·cosA＝3×2×2AB·AC124426、在△ABC中，若sin∠A＞sin∠B，则∠A与∠B的大小关系为( A )

A．∠A＞∠B C．∠A≥∠B

B．∠A＜∠B

D．∠A、∠B的大小关系不能确定

asin A

解析：由正弦定理sin A＞sin B，∴a＞b，又在三角形中大边对大角，∴∠A＞∠B.

bsin B7、在△ABC中，若a 7,b 3,c 8，则其面积等于（ D ）

A．12 B．

21

C．28 D．63 2

8、已知A船在灯塔C北偏东85且A到C的距离为2km，B船在灯塔C西偏北25且B到

C的距离为

，则A,B两船的距离为（ D ）

A．

B．

C

D9、在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有两个不等的实数根，则A为( A )

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在

解析：把已知方程整理得(sinA－sinC)x2＋2sinB·x＋(sinA＋sinC)＝0 ∴Δ＝4sin2B－4(sinA－sinC)(sinA＋sinC)>0， 即sin2B＋sin2C－sin2A>0.

∴b2＋c2－a2>0，∴cosA>0，可知A为锐角．

10、台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动， 离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正 东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（B ） A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时

二、填空题：

11、在 ABC中,

若b c A 120 ,则 ABC的外接圆的半径为 ____ _____.

12、三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8：5，则此三角形面积为__40 ___． 64x2＋25x2－142解析:设另两边长为8x和5x，则cos60°＝x＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为

2×8x×5x1

S＝×16×10·sin60°＝402

7

13、在△ABC中，已知BC＝8，AC＝5，三角形面积为12，则cos2C＝______.

25

3 27113

解析:S＝·BCsinC＝×5×8sinC＝12，∴sinC＝∴cos2C＝1－2sin2C＝1－2× 5 ＝25225

14、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB2，则角A的大π

小为________．

6

πππ5πB＋＝2，∵0<B<π，∴<B＋<，∴B＝ 解析:sinB＋cosB＝2sin 44444ba1π

又∵＝，∴sinA＝ ∵a<b，∴A<B，故A＝sinBsinA26三、解答题：

15、在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B

（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求 ABC的面积.

【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．

（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B

西

4

，cosA

4

,b 5

4

,cosA

4， 5

C ∴

3 3

A,sinA ，

45

∴sinC sin

3

. A AA

4 3， ,sinC

510

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

sinA

B 又∵

∴a

4

,b 在△ABC中，由正弦定理，得

bsinA.

sinB5

∴△ABC的面积S

1163absinC . 221050

16、(2010·全国卷Ⅰ理，17)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝acotA＋bcotB，求内角C. 【解析】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用．结论所求为角，故将条件中的边利用正弦定理化为角后再化简即可．

由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得 sinA＋sinB＝cosA＋cosB， sinA－cosA＝cosB－sinB，

ππππ

从而sinAcoscosAsincosBsin－sinBcos

4444ππ

A－＝sin －B ， sin 4 4 又0<A＋B<π，

ππππ故A－＝－B，A＋B＝C＝.

4422

17、在 ABC中，已知a cB 600，求b及A 【解析】∵b2 a2 c2 2accosB

=2 2 2 cos450 =12 2 1) =8 ∴b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2 c2 a21

, ⑵解法一：∵cosA

∴A 600.

asin450,

解法二：∵

sinA sinB2.4 1.4

3.8,

2 1.8 3.6,

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A 600.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

2x

18、(2010·重庆理，16)设函数f(x)＝cos(x＋2cos2x∈R.

32

(1)求f(x)的值域；

(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝3，求a的值． 【解析】本题考查了三角函数的化简求值及解斜三角形的有关知识对于(1)先把f(x)化简为Asin(ωx＋φ)的形式，再进行求值，(2)问可先求出B的值再利用余弦定理解决．

22

(1)f(x)＝cosxcosπ－sinxsin＋cosx＋1

3313

＝－x－x＋cosx＋1

2213

＝cosx－sinx＋1 225π

＝sin(x＋)＋1.

6因此f(x)的值域为[0,2]．

5π5ππ

(2)由f(B)＝1得sin(B＋)＋1＝1，即sin(B＋＝0，又因0<B<π，故B＝.

666由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－3a＋2＝0， 解得a＝1或a＝2.

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