自动控制原理精品课程第三章习题解(1)

长沙理工大学自控控制原理精品课程 第三章习题解答

3-1 设系统特征方程式：

s4?2s3?Ts2?10s?100?0

试按稳定要求确定T的取值范围。

解：利用劳斯稳定判据来判断系统的稳定性，列出劳斯列表如下：

s4s3 s212T?5(10T?250)/(T?5)100T10100100

s1s0欲使系统稳定，须有

?T?5?0?T?25 ??10T?250?0 故当T>25时,系统是稳定的。

3-2 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为,

1(t),t和t2 时，系统的稳态误差essp(?),essv(?)和essa(?).

(1)D(s)?10(0.1s?1)(0.5s?1)(2)D(s)?7(s?1)8(0.5s?1)(3)D(s)?s(s?4)(s2?2s?2)s2(0.1s?1)

解：（1）根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： D(s)?(0.1sz?1)(0.5s?1)?10?0.05s?0.6s?11?0

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。由G(s)

可知，系统是0型系统，且K=10，故系统在1(t),t和t2输入信号作用下的稳态误差分别为： essp(?)?11?,essv(?)??,essa(?)?? 1?K11(2)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为：

D(s)?s4?6s3?10s2?15s?7?0

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且

?2?a1a2?a0a3?45?0,以及?2?a12a4/a3?16.8，因此系统是稳定的。 D(s)?7(s?1)(7/8)(s?1)?

s(s?4)(s2?2s?2)s(0.25s+4)(0.5s2?s?1)长沙理工大学自控控制原理精品课程 第三章习题解答

由G(s)可知，系统式I型系统，且K=7/8,故系统在1(t),t和t2 信号作用下的稳态误差分别为：

essp(?)?0,essv(?)?1/K,essa(?)?? (3)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： D(s)?0.1s3?s2?4s?8?0

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且?2?a1a2?a0a3?3.2?0因此系统是稳定的。

由G(s)可知，系统是Ⅱ型系统，且K=8,故系统在1(t),t和t2 信号作用下的稳态误差分别为：

2?0.25 K3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为

essp(?)?0,essv(?)?0,essa(?)? G(s)?100

s(0.1s?1) 试求当输入信号r(t)?1?2t?t2时，系统的稳态误差.

解：由于系统为单位负反馈系统，根据开环传递函数可以求得闭环系统的特征方程为： D(s)?0.1s2?s?100?0

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。 由G(s)可知，系统是Ⅱ型系统，且K=8,故系统在1(t),t和t2 信号作用下的稳

1,?，故根据线性叠加原理有：系统的稳态误差为： K1 ess(?)?0?????

K3-4 设舰船消摆系统如图3-1所示，其中n(t)为海涛力矩产生，且所有参数

态误差分别为0,中除K1外均为已知正值。如果n(t)?10o×1(t)，试求确保稳态误差值

o的K1的值（e(t)在输入端定义）。 essn(?)?0.1

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消摆鳍?i?0N（s）舰船2?n2s2?2??ns??n希望摇摆角?K1?0实际摇摆角K2 图3-1 舰船消除摆系统

解：根据图可知系统的特征方程为：

2 D(s)?(1/?n)s2?(2?/wn)s?1?K1K2?0

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。

由图可知舰船消摆系统为一负反馈系统，且在扰动N(s)作用下，其前向通道传递函数为

2?n G(S)? 2s?2?s??n反馈通道传递函数为H(s)?K1K2 则?0(s)?G(s)1N(s)?N(s) 21?G(s)H(s)(1/?n)s2?(2?/wn)s?1?K1K2由于e(t)在输入端定义，可得 En(s)?0?K2?0(s)??K2N(s) 22(1/?n)s?(2?/wn)s?1?K1K2 用终值定理来求解系统的稳态误差，有

essn(?)?lims?s?0K2K21010K2N(s)?lims???0.1

s?0(1/?n2)s2?(2?/wn)s?1?K1K2(1/?n2)s2?(2?/wn)s?1?K1K2s1?K1K2故确保稳态误差值essn(?)?0.1o的K1?100?1/K2。 3-5 已知单位负反馈的开环传递函数如下： G(s)?K

s(0.1s?1)(0.5s?1) 试求位置误差系数Kp，速度误差系数Kv和加速度误差系数Ka，并确定输入r(t)=2t时系统的稳态误差ess(?)。 解：根据静态误差系数的定义式可得

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K??s?0s?0s(0.1s?1)(0.5s?1)K Kv?lims?G(s)H(s)?lims??K

s?0s?0s(0.1s?1)(0.5s?1)KKa?lims2?G(s)H(s)?lims2??0s?0s?0s(0.1s?1)(0.5s?1)Kp?limG(s)H(s)?lim由系统开环函数可知系统为Ⅰ型系统，故在输入r(t)=2t时，系统的稳态误

差 ess(?)?R/Kv?2/K

3-6 设前馈控制系统如图3-2所示，误差定义为e(t)=r(t)-c(t)。试选择前馈参数?和b的值，使系统对输入r(t)成为Ⅱ系统

R(s)?s?b?K1(T1s?1)(T2?1)C(s)

图3-2前馈控制系统

解：由图可知前馈控制系统的闭环系统传递函数为： ?(s)?K1(?s?b)

(T1S?1)(T2s?1)?K1根据误差定义：e(t)=r(t)-c(t)，可得：

E(s)?R(s)?C(s)?R(s)[1??(s)]

T1T2s2?(T1?T2?K1?)s?1?K1(1?b)?R(s)(T1s?1)(T2s?1)?K1 欲使系统对输入r(t)成为Ⅱ系统，须有：

R(s)?1/s2时，ess(?)?0;R(s)?1/s3时，ess(?)?0即

T1?T2?K1??0;1?K1?K1b?0;TT?0， 1则当选择前馈参数??(T1?T2)/K1,b?1?1/K1时，系统对输入r(t)成为Ⅱ型系统。

3-7 设控制系统如图3-3所示，其中K1,K2为正常；?为非负常数。试分析：（1）

?值对系统稳定性的影响；（2）?值对系统阶跃响应动态性能的影响；（3）?值

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对系统斜坡响应稳态误差的影响。

e(t)r(t)K1??K2s1sc(t)?5

图3-3 控制系统

解：根据图可得系统的开环传递函数为 G(s)?K1K2

s(s?K2?)（1）?值对系统稳定性的影响

通过系统开环传递函数，可得系统的特征方程为 D(s)?s?K2?s?K1K2?0

由赫尔维茨判据可知，n=2,若要求系统是稳定的，须有各项系数为正，因此当??0时，系统稳定。

（2）?值对系统动态性能的影响。 系统的开环传递函数为

2?nK1K2G(s)??s(s?K2?)s(s?2??n)

则?n?K1K2??0.5K2/K1?因此，?值通过影响阻尼比来影响系统的动态性能。?值越小，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。

（3）?值对系统斜坡响应稳态误差的影响

根据系统的开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，且静态速度误差系数为Kv?K1/?，则该系统对单位斜坡响应的稳态误差为

ess(?)?1/Kv??/K1

因此，?值越大，系统在斜坡响应作用下的稳态误差将越大。 3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数：

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