概率论与数理统计习题答案

参考答案

安徽工业大学应用数学系编

概率论及统计应用练习题

1

第一章练习题

1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”Ai表示“第

i个开关闭合”请用Ai表示事件B

解：

B?A1A3?A2A3?A4?A5A

2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.

解：设事件A1表示被监测器发现，事件A2表示被保安人员发现，B表示小偷被设事件B表示小偷被发现。发现。 A1表示被监测器发现，A2表示被保安人员发现，P（B）?P（A1?A2）?P（A1）?P（A2）?P（A1A2）?0.6?0.4?0.2?0.8

3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？

解：三人到校先后共有3！种情形，周昂比张文丽先到校有C3种情形。 P?mn?C3223!?0.5

4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问

(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少?

(2) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少?

2

(3) 甲、乙两城市至少有一个为雨天的概率是多少? 解：设事件A1表甲市为雨天，A2表乙市为雨天。

(1)P(A1/A2)?P(A1A2)/P(A2)?0.12/0.18?2/3

(2)P(A2/A1)?P(A1A2)/P(A1)?0.12/0.2?0.6

(3)P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?0.2?0.18?0.12?0.26

5.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少?

解：设A1表活到20岁，A2表活到25岁。

P(A2/A1)?P(A1A2)/P(A2)?P(A2)/P(A1)?0.4/0.8?0.5

6.发报台分别以0.6和0.8发出信号”*”和”+”，由于通信受到干扰,当发出信号为”*”时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信号”*”和”+”.又若发出信号为”+”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号”+”和”*”，求当收报台收到信号”*”时，发报台确实发出信号”*”的概率.

解：设A1表发出信号﹡，A2表发出信号+，B1表收到信号﹡，B2表收到信号+。

P(A1/B1)?P(A1)?P(B1/A1)P(A1)?P(B1/A1)?P(A2)?P(B1/A2)?0.6?0.80.6?0.8?0.8?0.1?67

7.某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求全厂产品的次品率.

解：设A1,A2,A3分别表示产品为甲、乙、丙车间生产的，B表示产品为次品。

P(B)?P(A1)?P(B/A1)?P(A2)?P(B/A2)?P(A3)?P(B/A3)

?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02?0.0345

3

8.某高校甲系二年级1、2、3班的学生人数分别为16、25、25人,其中参加义务献血的人数分别为12、15、20人，从这三个班中随机抽取一个，再从该班的学生名单中任意抽取2人.

（1）求第一次抽取的是已献血的人的概率； （2）如果已知第二次抽到的是未参加献血的，求第一次抽到的是已献血的学生的概率. 解：设A1,A2,A3分别表示1，2，3班的学生，B1,B2分别表示第一，第二次抽取的是已献血的学生。

(1)P(B1)?P(A1B1)?P(A2B1)?P(A3B1)?313?(1216?1525?2025)?4360(2)P(B1/B2)?P(B1B2)P(B2)1?(121610???41520i?1P(AiB1B2)P(B1B2)?P(B1B2)?15255?10244?20253?52410)?3751

?1124954(???????????3161525242524161525242524315

9.美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三个持有不同经济理论的顾问(Perlstadt,Kramer,和Oppenheim)．总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响.每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，他们所预测的失业率的概率综述于下表：

Perlstadt Kramer Oppenheim 下降(D) 0.1 0.6 维持原状(S) 上升(R) 0.1 0.2 0.8 0.2 0.2 0.6 0.2 根据以前与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问有正确的经济理论的可能性的一个先验估计，分别为

P（Perlstadt正确）=1/6

P（Kramer正确）=1/3

P（Oppenheim正确）=1/2

假设总统采纳了所提出的政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其顾问的理论正确性的估计.

4

解：设Ai表第i个人正确(i?1,2,3)，B表失业率上升。

1P(A1/B)?P(A1)?P(B/A1)P(B)?16613?0.8?0.2?12??0.249

?0.8?1P(A2/B)?P(A2)?P(B/A2)P(B)?16313?0.2?0.2?12??0.229

?0.8?1P(A3/B)?P(A3)?P(B/A3)P(B)?16213?0.2?0.2?12??0.239

?0.8?

10.甲、乙、丙三人向同一架飞机射击.设甲、乙、丙击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,又设只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若二人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机必坠毁.求飞机坠毁的概率.

解：设Ai表示有i人击中（i?1,2,3)，B表示飞机坠毁,Cj表第j人击中

(j?1,2,3)。

P(A1)?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36P(A2)?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)?P(C1C2C3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.41P(A3)?P(C1C2C3)?0.143P(B)??i?1P(Ai)?P(B/Ai)?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458

5

11.如果P(AC)?P(BC)，P(AC)?P(BC)，则P(A)?P(B). 证明：

?P(A/C)?P(B/C),?P(AC)P(C)?P(BC)P(C),?P(AC)?P(BC)（1）同理得，P（AC）?P（BC），（2）（1）?（2）得，P（AC）?P（AC）?P（BC）?P（BC）即P（A）?P（B）

12．选择题

(1)．设A,B,C三事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是（ A ）

(A) A与BC独立； (B) AB与A?C独立； (C) AB与AC独立； (D) A?B与A?C独立． (2)．设当事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下述结论正确的是（ B ）

(A) P(C)?P(A)?P(B)?1； (B) P(C)?P(A)?P(B)?1； (C) P(C)?P(AB)； (D) P(C)?P(A?B)．

(3)．设事件A和B满足A?B，P(B)?0，则下列选项必然成立的是（ B ）

(A) P(A)?P(AB)； (B) P(A)?P(AB)； (C) P(A)?P(AB)； (D) P(A)?P(AB)．

(4)．n张奖券中有m张可以中奖，现有k个人每人购买一站张，其中至少有一个人中奖的概率为（ C ）

(A)

CmCn?mCkn1k?1； (B)

mCnk； (C)

1?Cn?mkCnk； (D)?i?1kCmCkni．

(5)．一批产品的一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则该产品为一等品的概率为（ D ）

(A)

6

12； (B)

14； (C)

13； (D)

23．

第二章练习题

1. 1）有放回的情形

P(X?0)?C23582020111202?964， P(X?1)?C23582?3064，P(X?2)?C23582?2564

2）不放回的情形

21102P(X?0)?C3C05?3X?1)?C3C5?153C5?10C2828，P(C2828，P(X?2)?CC2828

2．解：P(X?k)?(1?p)kpk?0,1,2,?

3．解：学生答对题目的数量X~B(5,1)4

P(X?4)?P(X?4)?P(X?5)?C4143515305(4)(4)?C5(4)(4)

?164近似4．解：死亡人数X~B(1000,0.2%)~P(?)??2

4?2）

P(X?4)?C4(0.2%)4(99.8%)996（11000??ke??k!?2e4!

?0.947?0.857?0.0902?ke??（2）

P(X?2)??k?0k!?0.677

5． 解：（1）请三名代表，则赞成人数X~B(3,0.6)

P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?C2233(0.6)0.4?C3(0.6)3(0.4)0 ?0.648（2）请五名代表，则赞成人数X~B(5,0.6)

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?C332445(0.6)(0.4)?C5(0.6)(0.4)1?C555(0.6) ?0.682567

请五名代表好

6． 解：X~P(?)?P(4)

（1）P(X?8)?4e8!8?4?0.03(查表）

10（2）P(X?10)?1?P(X?10)?1??k?o4ek!k?4?0.003(查表）

7．解：（1）P(X?1)?0.8，P(X?2)?0.2?0.8，P(X?3)?0.2?0.2?0.8

P(X?4)?0.2?0.8，P(X?5)?0.2?0.8?0.2

345（2）1?P(X?5)?0.9984 （3）0.24?0.8?0.00128

（4）设A?{用完子弹}， B?{击中目标}

P(B|A)?P(AB)P(A)?0.2?0.80.2?0.8?0.25044?0.8

8． 解：（1）1??????f(x)dx?0???cedx?x1x?12??0ce?x?xdx ,解得c?12

P(?1?X?1)???11212edx??0e?1edx?F(1)?F(?1)（2）

?1??12

?1?e?1e?1（3）F(x)??x??f(t)dt

当x?0,F(x)? 当x?0,F(x)?1212???edt?0txt12e

x?tx[???edt??0edt]?1?12e?x

9．解：

（1）P(2?X?5)?F(5)?F(2)??(1)??(?0.5)??(1)??(0.5)?1

P(?4?X?10)?F(10)?F(?4)??(3.5)??(?3.5)?2?(3.5)?1

P(X?2)?P(X?2)?P(X??2)?1?F(2)?F(?2)??(0.5)??(2.5)?1

P(X?3)?1?F(3)?1??(0)?12

（2）P{X?c}?P{X?c}

1?F(C)?F(C)

F(C)??(

C?31) 228

?C?3

0x?1?10．解：FX(x)???x?11?x?2?1x?2??1fX(x)???01?x?2其他

0??y?5y?2y?2FY(y)?P(Y?Y)?P(X?)?FX()??33?3?1?1?fY(y)??3??05?y?8其他y?55?y?8 y?8

即Y~U(5,8)

xt???1??00dt??te241dx?1?e241t?00f(x)dx???? 241?0t?0??50241?10024110．解：F(t)????tP{50?T?100}?e?e

11.选择题：

(1)．如果随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?min(X,2)的分布函数（ D ）． (2)．设X~N(1,1)，概率密度函数为?(x)，下述选项正确的是（B ）． (3)．设P(X?k)?a?ke??/k!(k?0,2,4,??)，是随机变量X的概率分布，则a,?一定满足（ ）．

(4)．设随机变量X的密度函数为

f(x)?1?(1?x)2，则Y?2X的概率密度函数为（B ）．

2(5) ．设随机变量X~N(?1,?12)，随机变量Y~N(?2,?2)，且P{X??1?1}?

P{Y??2?1},则必有（B

）

9

第三章练习题

1．解：

P(X=x,Y=y)=0.6x-1 0.4 0.4x-1+0.6x 0.4x-1 0.6

x-1 xx+1 x-1

=0.60.4+0.60.4

其中y=x-1或y=x.

????2． 解：(1)因为

??????f(x,y)dxdy?1，

124所以有

??k(6?x?y)dxdy?1，解得k?

0?x?20?y?4（2）P(X?1,Y?3)???0?x?10?y?312413(6?x?y)dxdy??dx?004124(6?x?y)dy?12

（3）P(X?1.5)???0?x?1.50?y?4124.1.5(6?x?y)dxdy??dx?00124(6?x?y)dy?1316

24?x04（4）P(X?Y?4)?3??f(x,y)dxdy??dx?x?y?43124(6?x?y)dy?89

03．.解：P(A)?P(B)??dx?81xa043481ydy?1?3a81

59?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2(1?a481)?(1?a481)

2解得a?454

4．解：（1）放回抽样

P(X?0,Y?0)?a22(a?b)P(X?0,Y?1)?ab(a?b)b222

P(X?1,Y?0)?ab(a?b)2P(X?1,Y?1)?(a?b)

P(X?0)?a?ab(a?b)22P(X?1)?b?ab(a?b)22

10

P(Y?0)?a?ab(a?b)22P(Y?1)?b?ab(a?b)22

P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)P(X?0,Y?1)?P(X?0)P(Y?1)P(X?1,Y?0)?P(X?1)P(Y?0)P(X?1,Y?1)?P(X?1)P(Y?1)

所以，X与Y相互独立。 （2）不放回抽样 P(X?0,Y?0)?a(a?1)(a?b)(a?b?1)P(X?0,Y?1)?ab(a?b)(a?b?1)

P(X?1,Y?0)?ab(a?b)(a?b?1)P(X?1,Y?1)?b(b?1)(a?b)(a?b?1)

P(X?0)?a(a?1)?ab(a?b)(a?b?1)P(X?1)?b(b?1)?ab(a?b)(a?b?1)

P(Y?0)?a(a?1)?ab(a?b)(a?b?1)P(Y?1)?b(b?1)?ab(a?b)(a?b?1)

?a(a?1)a2因为P(X?0,Y?0)(a?b)(a?b?1)?(a?b)2?P(X?0)P(Y?0)所以，X与Y不相互独立。 5． 解：当-1

fX(x)??1212x24xydy?218x2(1?x4)

所以有

ff(x,y)?2y?1?x?1,x2?y?1;YX(y|x)????1?x4,f

X(x)??0,其他。1P(Y?3y74|X?12)??2341?1dy?15

166．

11

(1)P(X?1,Y?0)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?1,Y??1)?P(X?2,Y??1)?191(2)P(X?2|Y?0)?P(X?2,Y?0)?123P(Y?0)7?7 36

（3）因为P(X??1,Y??1)?0?P(X??1)P(Y??1) 所以，X，Y不相互独立

??7．解：fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx

??当0?z?1时，

zfz?x)Z(z)??e?(dx?e?z(ez?1)?1?e?z

0当z?1时，

1fx)Z(z)??e?(z?dx?e?z(e?1)

0?1?e?z,0?z?1;所以f)??Z(z?e?z(e?1)z?1;

??0其他。8． 解：

f?1,0?x?1;X(x)???0,其它.

?f??ey,?0;Y(y)??y??0,y?0.

从而有

12

?0,x?0;F)??X(x?x,0?x?1 ??1,x?1?1?e?yF,y?0;Y(y)???0,y?0. 令Z?X?Y

?ze?(z?y)dy?1?e?z?,f(z)???01???0e?(z?y)dy?(e?1)e?zZ,?0,?令T?max{X,Y}

则

?t(1?e?t),0?t?1;Ft)???1?e?tT(,t?1

??0,其他从而可得

?1?e?t?te?t,0?t?1;ft)???e?tT(,t?1??0,其他令R?min{X,Y}

则

?1?(1?r)e?rF,0?r?1;R(r)???0,其它.

从而可得

f)???(2?r)e?r,0?r?1;R(r

?0,其它.0?z?1;z?1其他

13

． 解：（1）P(Z??2)?P(X??1,Y??1)?110

P(Z?0)?P(X??1,Y?1)?210

P(Z?1)?P(X??1,Y?2)?P(X?2,Y??1)?12

P(Z?3)?P(X?2,Y?1)?110 P(Z?4)?P(X?2,Y?2)?110 （2）P(Z?1)?P(X??1,Y??1)?110 P(Z??1)?P(X??1,Y?1)?210

P(Z??2)?P(X??1,Y?2)?P(X?2,Y??1)?12P(Z?2)?P(X?2,Y?1)?110 P(Z?4)?P(X?2,Y?2)?110

（3）P(Z??2)?P(X?2,Y??1)?210

P(Z??1)?P(X??1,Y?1)?210

P(Z??132)?P(X??1,Y?2)?10

P(Z?1)?P(X??1,Y??1)?P(X?2,Y?2)?210

P(Z?2)?P(X?2,Y?1)?110

（4）

P(Z??1)?P(X??1,Y??1)?P(X??1,Y?1)?P(X??1,Y?2)?P(X?2,Y??1)?8

10P(Z?1)?P(X?2,Y?1)?110 P(Z?2)?P(X?2,Y?2)?110

9

14

10.选择题：

(1)．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.

(2)．设事件A,B满足P(A)?1412，P(A|B)?P(B|A)?．令 C ．

?1,若A发生,?1,若B发生,则P(X?0,Y?0)?X??Y??0,若A不发生.0,若B不发生.??

(3)．设随机变量X与Y相互独立且同分布：

P(X??1)?P(Y??1)?12P(X?1)?P(Y?1)?12，

，则P(XY?1)? A ．

(4)．设X~N?0?1?, Y~N?1?2?,X,Y相互独立，令Z?Y?2X，则Z~（ C ）

2 (5)．设二维随机变量（X,Y)服从G上的均匀分布，G的区域由曲线y?x与y?x所

围，则（X,Y)的联合概率密度函数为 A

第四章练习题

1.解：(1) (2)

EX?(?1)?0.35?0?0.15?0.5?0.10?1?0.15?2?0.25?0.35

2X?1 p (3)

E(2X?1)?(?3)?0.35?(?1)?0.15?0?0.10?1?0.15?3?0.25??0.3Xp22 ?3 ?1 0 1 3 0.35 0.15 0.10 0.15 0.25

0 0.25 1 4 0.15 0.10 0.5 0.25 EX?0?0.15?0.25?0.10?1?0.5?4?0.25?1.525

2. 解：设X表示甲4次射击所得分数，则X41?0,15,30,55,1003

222P(X?0)?(0.4) ，P(X?15)?C4(0.6)(0.4)，P(X?30)?C4(0.6)(0.4)

334 P(X?55)?C4(0.6)(0.4)，P(X?100)?(0.6)

EX?0?P(X?0)?15?P(X?15)?30?P(X?30)

?55?P(X?55)?100?P(X?100)?44.64

15

3.解：??0,10,20,30,

P(??0)?(1?0.53)3?0.67，P(??10)?C133230.5(1?0.5)?0.287

P(??20)?C2323333(0.5)(1?0.5)?0.041，P(??30)?(0.5)?0.002

? 0 10 20 30 p

0.67 0.287 0.041 0.002 E??3.75

4.解：设X表示完成任务所需天数

（1）P(X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)

?0.05?0.2?0.35?0.6

（2）EX?1?0.05?2?0.2?3?0.35?4?0.3?5?0.1?3.2 （3）设Y表示整个项目的费用，则Y?20000?2000X EY?E(20000?2000X)?20000?2000EX?26400

（4）EX2?1?0.05?4?0.2?9?0.35?16?0.3?25?0.1?11.3

DX?EX2?(EX)2?11.3?3.22?1.06 DX?1.03

5. 解：（1）EX?(1?2?3?4?5?6)?(1/6)?3.5

EX?(1?4?9?16?25?36)?(1/6)?91/6

DX?EX2?(EX)2?35/12

众数不存在，中位数是3.5 （2）EX?4,EX2?115196,DX?6

众数是5，6，中位数是3.5

6. 解：（1）X,Y~N(1,1/5) ，EX?EY?1,DX?DY?1/5 由D(X?aY?2)?E[(X?aY?2)2]，得E(X?aY?2)?0 EX?aEY?2?0, 1?a?2?0, 所以 a?3 （2）D(X?3Y?2)?DX?9DY?1/5?9/5?2 令Z?X?3Y?2，则Z~N(0,2)

16

z2(2E(X?3Y?2)?EZ????z1?e2)2dz ??2e?z24|???2

??2??2?0?z2 E(X?3Y?22)?EZ2????44??2

??z21?e?dz???0e?t2dt?2 D(X?aY?2)?2?4?

7.解：X~U[0,60]，f(x)??1/60,0?x?60X??0,其他

?5?X,0?X?5?Y?g(X)??25?X,5?X?25??55　?X,25?X?55

??60?X?5,55?X?60 EY?E[g(X)]????160??g(x)fX(x)dx?60?0g(x)dx

?1[?55560(5?x)dx?250?5(25?x)dx??25(55?x)dx??6055(65?x)dx]?11.67

8. 解：设X表示4天内的利润，则X?6,3,0,?1

P(X?6)?0.94，P(X?3)?C134(0.1)(0.9)，

P(X?0)?C222334(0.1)(0.9)，P(X??1)?C4(0.1)0.9?(0.1)4

EX?4.8077

9.解：X?0,1,2,3

P(X?0)?0.9?0.8?0.7?0.504

P(X?1)?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398

17

P(X?2)?0.1?0.2?0.7?0.1?0.8?0.3?0.9?0.2?0.3?0.092 P(X?3)?0.1?0.2?0.3?0.006 EX?0.6，EX2?0.82

DX?EX2?(EX)2?0.46

10.解：依题意 X~U[10,20]，Y~U[10,20]且相互独立 f(x)??1/10,10?x?20?1/10,10?y?20?其他，f(y)??0,?

?0,其他f(x,y)??1/100,10?x,y?20??0,其他

设经销该商品每周所得利润为Z，则

Z?g(X,Y)??1000Y,Y?X?1000Y,Y?X??1000X?500(Y?X),Y?X??

?500(X?Y),Y?XEZ?E[g(X,Y)]??20x10dx?1000y?110100dy??2010dx?201x500(x?y)?100dy?14167

11.解：?X,Y)XY?Cov(DX?DY??

?)Cov(aX?b,cY?d)???Cov(?,??

D??D?D(aX?b)?D(cY?d)?acCov(X,Y)?aDX?cDY???

18

12. 解：（1）EX?0,DX??12，EY?0,DY??22

EU?E(a1X?a2Y)?a1EX?a2EY?0

2222DU?D(a1X?a2Y)?a1DX?a2DY?(a1?1)?(a2?2)

EV?E(a1X?a2Y)?a1EX?a2EY?0

DV?D(a1X?a2Y)?a1DX?a2DY?(a1?1)?(a2?2) U,V~U?N(0,(a1?1)?(a2?2))

?2u222222222f(u)?12?[(a1?1)?(a2?2)]2e2[(a1?1)?(a2?2)]

f(v)?12?[(a1?1)?(a2?2)]22?v222e2[(a1?1)?(a2?2)]

（2）EX2??1，EY222??2

2222 E(UV)?E(a12X ?UV??a2Y)?a1EX?a2EY222?a1?1?a2?2

2222222222Cov(U,V)DU?DV?E(UV)?EUEVDU?DV?a1?1?a2?a?2121?a?2222

（3）在正态分布中，不相关与独立是等价的，故a1?1?a2?2时U,V独立

22 （4）f(u,v)?fU(u)fV(v)?

12?[(a1?1)?(a2?2)]22?u?v2222e2[(a1?1)?(a2?2)]

13.解：EX?P(A)?P(A)，EY?P(B)?P(B)

E(XY)?1?[P(AB)?P(AB)]?(?1)?[P(AB)?P(AB)]

X和Y不相关?E(XY)?EXEY

19

?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)

? A与B相互独立.

14. 解：Y1?X2?1~??0.5??? , Y2?X0.5???10.2510.2543??8~??0.25??10.2510.25?1~??0.5?８?? 0.25??16?? 0.5??XY1?X3??8~??0.25?８?? , XY2?X0.25??4EY1?2.5,EY2?0,EX?0,E(XY1)?0,E(XY2)?8.5 Cov(X,Y1)?E(XY1)?EXEY1?0

?XY?0，所以Y1?X2与X不相关

1Cov(X,Y2)?E(XY2)?EXEY2?8.5

?XY?0，所以Y2?X3与X相关．

1

15．选择题：

(1)．随机变量X的概率分布为：P(XE(X)?n)?12n(n?1)，(n?1,2,3,?)．则其数学期望

为（ D ）.

(2)．随机变量X与Y独立同分布，令??X?Y?，

?X?Y，则随机变量?和?必然（ C ）

(3)．对任意随机变量X与Y，则下列等式中一定成立的为（ B ）

(4)．设X与Y为任意随机变量，若E(XY)?E(X)E(Y)，则下述结论中成立的为（ A ）

(5)．设离散型随机变量X的可能取值为1、2、3，且E(X)?2.3，E(X2)?5.9，则对应取值1、2、3的概率应为（ D ）

20

第五章练习题

1、证明：设X表示掷1000次硬币出现的正面数,则X~b(1000,12)

故 E(X)?500D(X)?250

P(400?X?600)?P(400?500X?500?500510?510?600510)?P(X?500510?210)

?P(X?500?100)?1?250104?0.975从而得证 P(400?X?60?0)0 .

2、证明： ?EX????0x?xe?xdx??e?xx2??0?????x02xedx

??2xe?x???2e?x??00?2EX2????2?x0x?xedx??e?xx3??2?x0?3???0xedx?6

故D(X)?EX2?(EX)2?6?4?2

21

?P(0?X?4)?P(X?2?2)?1??1?DX412?12

3、解：设n表示该车间每月生产的显象管数，X表示显象管的正品数。则X~b(n,0.8)

由题意知： P(X?1000)?P(X?0.8n0.8n0.16n?1000?0.16n)

?1??(1000?0.8n0.16n)?0.997?n?12654

5、解：设X表示抽查的100人中能治愈的人数,则X~b(100,0.8)

则 E(X)?80D(X?) 1（1）

P(X?75)?P(X?804?7?58)04 ?1??(?54)

??(54)?0.8944（2） 若治愈率为0.7，则X~b(100,0.7) 故E(X)?70D(X)?21

22

P(X?75)?P(X?7021521?)75?7021)

?1??(?0.1379

6、解：设X表示在一段时间内需要此商品的人数，Y表示应预备的商品件数。则

X~b(1000,0.6) 则E(X)?600D(X)?240

P(X?Y)?P(??(X?600240Y?600240)?Y?600240)

?99.7%则

Y?600240?2.75

Y?643

7．选择题

B BD D C C

第六章练习题

1. 在总体N(52,6.32)中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值X落在50.8至53.8之间的概率.

解：由题意：X~N(5.2,)， 3653.8?5250.8?52?P(50.8?X?53.8)??()??()6.36.36??(1.7143)??(?1.1429)?0.9564?[1?0.8729]?0.829366.32

23

2. 已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布, 在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(以小时计)为:

1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948

试用样本数字特征法求出寿命总体的均值?和方差?的估计值,并估计这种灯泡的寿

2命大于1300小时的概率.

解：由题设知：样本容量n?10 样本均值

1X?(1067?919?1196?785?1126?936?918?1156?920?948) 10?997.1样本方差

12S?(10679?92022?9192?119622?7852?11262?9362?9182?11562

?9482?10?997.1)?173051300?997.117305)P(X?1300)?1?P(X?1300)?1??(?1??(1300?997.1131.55)?1??(2.3026)

?1?0.9893?0.0107.

3. 设各种零件的重量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布,其数学期望为0.5公斤,均方差为0.1公斤,问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少?(提示:当n较大时,随机变量之和X?X1?X2???Xn近似地服从正态分布,以下第6题,第7题也适用)

5000解：由题设知n?5000，已知X?

?P(X?2510)?P(X5000?25105000X5000??i?1Xi近似5000~N(0.5,0.15000)

)?P(X?0.5020)0.5020?0.50.15000)?1?P(X?0.5020)?1??(

?1??(0.0020.0045)?1??(0.444)?1?0.6700?0.33

24

4. 部件包括10个部分, 每部分的长度是一个随机变量, 它们相互独立, 且服从同一分布. 其数学期望为2毫米, 均方差为0.05毫米,规定总长度为20格, 试求产品合格的概率.

解：由题设知n?10,10?0.1毫米时产品合

EXi?2,D(Xi)?0.05,i?1,2?10

则总长度X??i?1Xi，且EX?10?2?20,DX?10?0.05?0.5

则产品合格的概率为

P(20?0.1?X?20?0.1)??(0.10.5)??(?0.10.5)

?2?(0.1414)?1?0.1114.

5. 计算机进行加法时, 对每个加数取整(即取最接近于它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布.

(1) 若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ (2) 几个数加在一起, 可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？

1解：由题设知n?1500,EXi?0,D(Xi)?,i?1,2?1500

1215001500则误差总和X??Xi，且EX?0,DX?

i?11215P(X?15)?1?P(X?15)?1?[2?()?1]1500（1）

12?2[1??(1.3416)]?0.1802.

n（2）Xn??i?1Xi且EXn?0,DX?10n12n12

P(Xn?10)?1?2?()?1?0.90

??(10n12)?0.95?10n12?n?441

6.设总体X具有概率密度

?2xf(x)???00?x?1其它

?max从总体X抽取样本X1,X2,X3,X4，求最大顺序统计量T密度．

(X1,X2,X3,X4)的概率

25

解：FT(t)?[F(t)]4,?0?2f(t)dt??t?1?3fT(t)?4[F(t)]f(t)

3t?00?t?1 t?17F(t)??t???8t?fT(t)?4[F(t)]f(t)???00?t?1others

7.已知一台电子设备的寿命T（单位:h）服从指数分布，其概率密度为

?0.001t?,t?0?0.001ef(t)???t?0?0,

现在检查了100台这样的设备，求寿命最短的时间小于10h的概率

解：设M?min(X1,X2?X100)

FM(m)?1?[1?F(m)]m??100,?0.001mfM(m)?100[1?F(m)]99f(m)

F(m)???1?ef(t)dt??0?m?0others

?fM(m)?100[1?F(m)]99?0.1ef(m)???0?0.1m?0others

则

P(M?10)?1?e0.1

8.设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，Sn为样本方差，求满足下式的最小值n: P((n?1)Sn?222Sn22??1.5)?0.95．

解：因为~?(n?1)

2P(

Sn?22?1.5)?0.95?P((n?1)Sn?22?1.5(n?1))?0.95

26

?n?27

9.设X1,X2,?,X10为N(0,0.32)的一个样本，求P{?i?11010Xi2?1.44}

解：因为?Xi/0.32~?(9)

i?1102P{?Xi?12i10?1.44}?P{?Xi?1102i/0.3?1.44/0.3}

222?1?P{?Xi?1i/0.3?16}?0.1

2

10.假定(X1,X2)是取自正态总体N(0,?2)的一个样本，试求概率

P[(X1?X2)/(X1?X2)22?4].

X1?X22?2解：?X1?X22?2~N(0.1),?~N(0.1),

?(X1?X2)2?2~?(1)，?2(X1?X2)2?2~?(1)

2?(X1?X2)/(X1?X2)~F(1,1) ?P[(X1?X2)/(X1?X2)?4]?0.7.

2222

11.已知X1,?,X32是从正态总体N(0,?2)抽取的样本．证明：

2i?1T??(Xi?116?X2i)/?(Xi?12162i?1?X2i)2~F(16,16)

证明：

?X2i?1?X2i2?16~N(0.1),?X2i?1?X2i2?16~N(0.1),

??i?1(X2i?1?X2i)2?1622~?(16),，?162?i?1(X2i?1?X2i)2?2i22~?(16),

2?T??(Xi?12i?1?X2i)/?(Xi?122i?1?X)

2 27

16??i?1(X2i?1?X2i)2?2216/?i?1(X2i?1?X2i)2?22~F(16,16)

12．选择题 （1）、设(X1,X2,?,Xn)为来自总体X的一个样本，则X1,X2,?,Xn必然满足（C） （A）独立不同分布 （B）不独立但同分布 （C）独立同分布 （D）无法确定

（2）、设(X1,X2,?,Xn)为来自总体X~N(?,?2)的一个样本，其中?,?2未知，则下 面不是统计量的是（D） （A）Xi （B）X?1ni?1?Xin （C）

1n?1i?1?(Xi?X)n2 （D）

1ni?1?(Xi??)n2

（3）、设总体X~N(3,16)，X1,X2,?,X6为来自总体X的一个样本，X为样本均值，则 （没正确答案） （A）（C）

X?3~N(0,1)X?34 （B）4(X （D）

?3)~N(0,1)

~N(0,1)X?32~N(0,1)

(4)、设(X1,X2,?,Xn)(n?1)来自总体X~N(0,1)，X与S分别为样本均值和样本标准差，则有（C）

（A）X~N(0,1) （B）nX~N(0,1) (C)

?Xi~?(n)n22 （D）

?XS~t(n?1)

i?1(5)、设(X1,X2,?,Xn)为来自总体X~N(0,1)的一个样本，统计量Yn?1X1?Xi?2n2i，则（B）

（A）Y~?2(n?1) (B) Y~t(n?1) (C) Y~F(n?1,1) (D) Y~F(1,n?1)

28

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