高中数学第一章推理与证明1归纳与类比教材习题点拨北师大选修2-2

高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比教材习题点拨 北师大

版选修2-2

练习(P7)

1.解：杨辉三角形的第8行是：1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角形中的一般规律:

(1)表中每个数都是组合数,第n行的第r+1个数是Cn?rn!.

r!(n?r)!(2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是

rr?1r=CnCn?1+Cn?1.

rr?1(3)杨辉三角具有对称性(对称美),即Cn=Cn.

(4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)展开式,即

01r(a+b)=Cna+Cnab+?+Cnab+?+Cnb的二项式系数.

n

n

n-11

n-rr

n

n

n

2.答案:(1)证明:如图所示,P是等边△ABC内一点,PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,

111PD·AB+PE·AC+PF·BC, 2221111因为AB=BC=AC,所以S△ABC=PD·AB+PE·AB+PF·AB=(PD+PE+PF)AB,

2222则S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=所以PD+PE+PF=

2AB. S?ABC因为等边△ABC的面积和边长AB为一定值,所以PD+PE+PF为定值. 所以结论成立.

(2)猜想:将上述结论从平面类比到空间,可以得出的结论是:正四面体内一点到四面体的各个面的距离之和是一个定值。

证明:设P是正四面体ABCD内一点,PE，PF，PM，PN分别是点P到正四面体ABCD四个面的距离, 则VABCD=

1(PE+PF+PM+PN）S（S为正四面体ABCD一个面的面积), 3所以PE+PF+PM+PN=

3S

.

VABCD

因为S，VABCD为一定值,所以PE+PF+PM+PN为定值. 所以结论成立.

1

习题1-1(P7)

1.解：可以得出的结论是:37×3n=n×111(n=1，2，?，9).

思路分析：通过对各个等式的观察,注意其数量变化规律,就可以得出相应的通式.

3322

2.解：1+2=3=(1+2). 333221+2+3=6=(1+2+3), 3333221+2+3+4=10=(1+2+3+4), ??

对上述各式进行归纳,可以得出如下结论:

n(n?1)2n2(n?1)21+2+3+?+n=(1+2+3+?+n)=［］=.

243

3

3

3

2

3.解:1层六边形的点数和为S1=5=5×1,

2层六边形的点数和为S2=5+5+4=14=5×2+4,

3层六边形的点数和为S3=5+5+4+5+4+4=27=5×3+4×3, ??

对上述各式进行归纳,可以得出n层六边形的点数和为: Sn=5+5+4+5+4+4?+5+4+4+?+4=5n+4×

n(n?1)2

=5n+2n(n-1)=2n+3n. 24.解：类比1+2+?+n的求和的过程可得：

3322

因为n-(n-1)=n+n(n-1)+(n-1),

3322

(n-1)-(n-2)=(n-1)+(n-1)(n-2)+(n-2), ?? 33222-1=2+2×1+1,

3322222

从而有n-1=n+2(n-1)+2(n-2)?+2×2+1+n(n-1)+(n-1)(n-2)+ ?+2×1, 22222222

=n+2(n-1)+2(n-2)?+2×2+1+n-n+(n-1)-n-1+?+2-2+1-1

22222

=3［n+(n-1)?+2+1］-［n+(n-1)+ ?+2+1］-n-1

n(n?1)2

-n-1, 2222n(n?1)(2n?1)所以有1+2+?+n=.

6=3［n+(n-1)?+2+1］?2

2

2

2

5.解:与平面向量的坐标表示相类比,可以得出空间向量的坐标表示: 空间直角坐标系中的坐标:

已知空间直角坐标系和向量a,设i,j,k为坐标向量,则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3).

在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作

A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标. STS

类比推理的具体应用

1915年4月22日,第一次世界大战期间，德军和英法联军在比利时的伊普雷发生激战,德军使用了180吨的液态氯气攻击对方阵地,致使英法联军1 500人中毒,5 000多人丧命.毒气区的大量家禽、野生动物也遭厄运.但令人惊奇的是野猪安然无恙.

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这一现象引起了英法联军的极大兴趣,难道野猪天生有抗毒、解毒的腺细胞吗？经军事科研人员的多次试验观察,野猪并没有这种腺细胞,而是发挥了拱土的天赋才能幸免于难.原来,当毒气袭来时,野猪的呼吸道受到毒气的刺激,野猪不堪忍受,就拼命用嘴巴拱土.把土拱起后,将嘴埋在松软的泥土中.含有毒气的空气通过土壤大小不同的疏松颗粒时,毒气被土壤颗粒吸附,而野猪吸到的已是经过净化的空气.科研人员由此受到启发,根据这一原理找到了既能吸附有毒物质又能畅通空气的木炭并很快设计制造出世界上首批防毒面具.

向动物学习,古已有之,20世纪60年代甚至由此兴起一门新的学科——仿生学.这是专门研究生物(主要是动物)系统的结构和功能并创造出模拟它们的技术系统.例如,青蛙的眼睛是跟踪运动目标——飞虫的非常完善的器官,人们研究蛙眼的结构与反应原理,并设计出模拟蛙眼的“电子蛙眼”,它能跟踪天上的卫星以及监视空中的飞机.在茫茫雪原上,由于摩擦力减小,胶轮汽车前进极为困难,可是,生活在冰天雪地的南极的企鹅,只要扑倒在地,把肚子贴在雪地表面上,蹬动起双脚,就能以每小时达30千米的速度滑行前进.受此启示,人们设计制造了一种“极地越野车”,它宽阔的底部贴在雪地上,用转动的轮勺扒雪前进,行驶的速度达每小时50千米.

以上事例都是类比推理的具体应用.类比推理是这样的推理:它根据两个(或两类)对象在一系列属性上是相同或相似的,且已知其中一个(类)对象还具有其他的属性,由此推出另一个(类)对象也具有同样的其他属性.科研人员受野猪启发设计制造防毒面具的思路就是:土壤有大小不同疏松的颗粒,能吸附毒气且能畅通空气,木炭同样具有大小不同疏松的颗粒,因此,木炭也能吸附毒气且能畅通空气.

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