人教版高二数学必修5不等式期中复习题及答案解析

不等式复习题

一．选择题

1.已知非零实数a,b满足a?b，则下列不等式成立的是

11ab? C、a2b?ab2 D、2?2 abba1122解析：法1：当b?0时a?b?a?b，淘汰A；当a?0?b时a?b??，淘

abA、a2?b2 B、

汰B；当a?0?b时a?b?ab?ab，淘汰C；故选D； 法2：∵a,b为非零实数且满足a?b ∴a3?b3，即法3：代特殊值进行验证淘汰；

2．已知四个条件，①b＞0＞a ②0＞a＞b ③a＞0＞b ④a＞b＞0能推出( )

A.1个 B.2个

22ab，故选D； ?22ba11?成立的有ab C.3个 D.4个

解析：运用倒数法则，a＞b，ab＞0?

11?，②、④正确.又正数大于负数，故选Ｃ. ab3. 若a、b、c是常数，则“a?0且b2?4ac?0”是“对任意x?R，有ax2?bx?c?0”的 ( )

A．充分不必要条件. B．必要不充分条件.

C．充要条件. D．既不充分也不必要条件. 解析：易知a?0且b2?4ac?0?ax2?bx?c?0对任意x?R恒成立。

反之，ax2?bx?c?0对任意x?R恒成立不能推出a?0且b2?4ac?0 反例为当a?b?0且c?0时也有ax2?bx?c?0对任意x?R恒成立

“a?0且b2?4ac?0”是“对任意x?R，有ax2?bx?c?0的充分不必要条件,选A．

?y?x?4.已知x、y、z满足不等式组?x?2y?4, 则t=x2+y2+2x－2y+2的最小值为( )

?y??2?9

A. 5 B.

2 C.3 D. 2

解析: 可行域如图, t=(x+1)2+(y－1)2 表示点可行域内的点到A(－1,1)的距离的平方的最小值,

y y=x A(－1,1) y=－4 O x x+2y=4

由图知tmin = 2 .选D

5.如果关于x的方程x2?ax?a2?3?0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ） （A）[?2,2]（B）(3,2]（C）(?3,2]（D）[?3,2]

???a2?4(a2?3)?0,?a?0?2解析：由a?3?0,或?2，或?a?0,得，a?(?3,2]，故选C

?a?3?0?2?a?3?0,26. 不等式x??2的解集是（ ）

x?2A、(?1,0)?(1,??) B、(??,?1)?(0,1) C、(?1,0)?(0,1) D、(??,?1)?(1,??) 解析：法一：x+

22x（x?1）＞2?x－2+＞0?＞0?x（x－1）（x+1）＞0?x?1x?1x?11不满足不等式，排除B、C、D.答案：A 2－1＜x＜0或x＞1. 法二：验证，x=－2、

7. 不等式1?log2x> 1 – log 2 x的解是（ B ）

（A）x ≥ 2 （B）x > 1 （C）1 < x < 8 （D）x > 2

?1?log2x?0?1?log2x?0，或? 1?log2x?1?log2x??21?logx?01?logx?(1?logx)?2?22?0?log2x?1，或log2x?1，故选B

a2?b28.已知a?b,ab?1,则的最小值是（ ）．

a?b A 22 B 2 C 2 D 1

a2?b2t2?22解：记a?b?t，则t?0，??t??22，（当且仅当

tta?b

t?2,即a?6?26?2时取等号）．故选A． ,b?22?x?049.（2009安徽卷理）若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?分为面

?3?3x?y?4?积相等的两部分，则k的值是（A）

7343 （B） （C） （D） 3734[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由?B y ?x?3y?44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

3?3x?y?4C O y=kx+ D 3A x 4144(4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的 2331215交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD?

23225147∴?k??,k?选A。 2233∴S△ABC=

?3x?y?6?0?10．(2009山东卷理)设x，y满足约束条件?x?y?2?0 ，

?x?0,y?0?若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，

23?的最小值为( ). ab25811A. B. C. D. 4 633则

【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而答案:A

23232a?3b13ba1325,故选A. ?=(?)??(?)??2?abab66ab66

y x-y+2=0

z=ax+by

2 -2 O 2 x 3x-y-6=0

二．填空题

11.若关于x的不等式－

12

x+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为_______. 2解析：由题意，知0、2是方程－

2?m12

x+（2－m）x=0的两个根，∴－=0+2.∴m=1.

12?2答案：1

x2?212. 已知不等式a≤对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.

|x|x2?2解析：要使a≤对x取一切负数恒成立，新课标第一网

|x|t2?2t2?222t令t=|x|＞0，则a≤.而≥=22，∴a≤22.答案：a≤22

ttt13．函数y?loga(x?3)?1(a?0,a?1)的图象恒过定点A, 若点A在直线mx+ny+1=0上, 其12

中mn>0, 则m + n 的最小值为

x?3)?1解析: ∵ y=logax恒过(1,0)点, ∴函数y?loga(恒过(－2,－1)点, 代入直线

1212n4m

mx+ny+1=0中去, 有2m+n=1, mn>0, 又∵m + n =(2m+n) (m + n )=4+ m + n ≥4+2411

=8. 当且仅当n=2, m=4时取\ 三．解答题

14．（本题满分13分）已知函数y?lg(4x?3?x)定义域为M，求x?M时，函数

2f(x)?2x?2?4x的值域。

解析：由4x?3?x2?0 ----------（1分） 即 (x?1)(x?3)?0 得 1?x?3

所以 M??x|1?x?3? ------------------------（5分） 由f(x)?2x?2?4x??(2x)2?4?22??(2x?2)2?4 ------------- （8分）

x ?x?M ?当 1?x?3时 0?2?2?6??32?f(x)?4 --------------------------- （11分）

所以 函数f?x?的值域是??32,4? --------------------------- (13分)

15．（本题满分14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时

截得三种规格小钢板的块数如下表所：

类型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 1 1 B规格 2 1 C规格 1 3

每张钢板的面积：第一种为1m2,第二种为2m2。今需要A、B、C三种规格的成品各12、

15、27块．问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小? 解：设需截第一种钢板工张x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为zm2，（1分）

?x?y?12?2x?y?15??则有?x?3y?27

?x?0,???y?0 （5分）

作出可行域（如图） 目标函数为：z?x?2y

（8分）

作出一组平行直线x?2y?t（t为参数）．由?由于点A(,?x?3y?27,915得A(,), （11分）

22?x?y?12915)不是可行域内的整数点，而在可行域内的整数点中，点（4，8）和点22

（13分）

（6，7）使z最小，且zmin?4?2?8?6?2?7?20.

答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，或第一种钢板6张，第二种钢板7张，得所需三种规格的钢板，且使所用的钢板的面积最小． （14分）

16．（本题满分14分）5.12四川汶川大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广

大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房（每套长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内，试计算：

（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x,y表示p； （2）求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？ （1）P?2x?450?2y?200?xy?200?900x?400y?200xy ??? 3分 即p?900x?400y?200xy ????????? 6分 （2）S?x?y，且p?32000 ；

由题意可得：p?200S?900x?400y?200S?2900?400S ???? 8分

?200S?1200S?p?32000?(S)2?6S?160?0

?0?S?10?S?100 ； ????????????????? 9分

当且仅当??900x?400y20取最大值 ； ??????????12分 ?x?xy?1003?答：简易房面积S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为

20米. ?? 14分 317 某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5

2倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到

32000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.

（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？

（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？ 【解题思路】经审题抽象出数列模型

[解析]（Ⅰ）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为

32yn?320?()n?1?720?()n?1,(n?1)

233232=80[4?()n?1?9?()n?1]?2?80?4?()n?1?9?()n?1=2?80?6?960

232332 当且仅当4?()n?1?9?()n?1,即n=2时,等号成立，

23所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.

由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.

（Ⅱ）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润

32381?8181?81?20?81?5?8100 y9?320?()8?720?()8?320?()8?320??20?23216?1616所以该乡到2015年底可以达到小康水平. 18．（2009湖北卷文）（本小题满分12分）

围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

（Ⅰ）将y表示为x的函数：

2

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则y-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=

2360, x3602所以y=225x+?360(x?0)

x3602?2225?3602?10800 (II)?x?0,?225x?x36023602?y?225x??360?10440.当且仅当225x=时，等号成立.

xx即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

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