高中必修四-向量知识点总结及高考题型总结

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向量的知识点与高考应用及题型融合

一,向量重要结论

2 2

（1）、向量的数量积定义：a b |a||b|cos 规定0 a 0， a a a |a|

a b

（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。

（4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0

（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b a b 0 x1x2 y1y2 0

（6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |a b|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则a b x1x2 y1y2

a b

（8）、向量的投影：︱b︱cos =∈R，称为向量b在a|a|

（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且

方向相同的向量。

（10）、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行a＝0 ｜a｜＝由

于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零

向量”这个条件．（注意与0的区别）

（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量 ｜a0｜＝

（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同

或相反的向量，a∥b(即自由向量)，平行向量总可以平移到同

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u 1,k 或u m,n ，要会求出直线的斜率；

（2）给出 与AB相交,等于已知OA OB过AB的中点;

（3）给出PM PN 0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出 ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：①

, ,且 1,使OC OA OB,等于已知A,B,C三点共线.

AB//AC

；②存在实数 ,使B AC；③若存在实数

（6） 给出OP

，等于已知P是AB的定比分点， 为定比，即

1

（7） 给出MA MB 0,等于已知MA MB,即 AMB是直角,给出 是钝角, 给出MA MB m 0,等于已知 AMB是锐角。

m 0,等于已知 AMB

（8）

给出 MP,等于已知MP是 AMB的平分线/ （9）在平行四边形ABCD中，给出(AB AD) (AB AD) 0，等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB AD| |AB AD|，等于已知ABCD是矩形;

2

2

2

（11）在 ABC中，给出 ，等于已知O是 ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在 ABC中，给出OA OB OC

0，等于已知O是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三条

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中线的交点）；

（13）在 ABC中，给出OA OB三角形三条高的交点）；

OB OC OC OA，等于已知O是 ABC的垂心（三角形的垂心是

ABAC

)( R )等于已知通过 ABC的内心； （14）在 ABC中，给出OP OA (|AB||AC|

（15）在 ABC中，给出a b c 0等于已知O是 ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

1 （16） 在 ABC中，给出AD AB AC,等于已知AD是 ABC中BC边的中线。

2

（17）如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1, 2使：

a 1e1 2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

（20）1.结合律不成立：a b c a b c；

2.消去律不成立a b a c不

3.a b=0不能

b c

a=0或b=01、 向量与三角函数的结合

向量与三角函数结合，题目新颖而精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查 1.（江西18）．已知向量

xx x x

(2cos, )), (2sin( ), )),令f(x) .

2242424

是否存在实数x [0, ],使f(x) f (x) 0(其中f (x)是f(x)的导函数)?若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

x x

) ) ) 42424

xx1 tantan 1

x2x2xxxx 22cos(sin cos) 2sincos 2cos2 1

xx222222221 tan1 tan

22

sinx cosx.

解：f(x) 22cos

x2x2

令f(x) f (x) 0,即:

f(x) f (x) sinx cosx cosx sinx

2cosx 0.

可得x

2

,所以存在实数x

2

[0, ],使f(x) f (x) 0.

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2．已知向量m (cos ,sin )和n

sin ,cos , ,2 ，且m n 求cos 的值.

5 28

分析：考查知识点：（三角和向量相结合）

解

:m n cos sin sin

m n

=

7

由已知m n ,得cos 又cos 2cos2( ) 1

4 284 25

165 9 ,2 cos2( )

28258288

4

cos 0 cos

5 28 28

3.（2009上海卷文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 .

已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m (a,b)，

n (siBn

，,sAip (b 2,a 2) .

（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；

（2） 若m⊥p

，边长c = 2，角C = ΔABC的面积 .

uvv

证明：（1）Qm//n, asinA bsinB,

ab

，其中R是三角形ABC外接圆半径，a b b

2R2R

ABC为等腰三角形

uvuv

解（2）由题意可知m//p 0,即a(b 2) b(a 2) 0

即a

a b ab

由余弦定理可知， 4 a b ab (a b) 3ab

222

即(ab)2 3ab 4 0

ab 4(舍去ab 1)

11

S absinC 4 sin

223

2、 与函数的结合

向量与函数的结合，是以向量为载体来考查函数，所以本质上仍然是函数题 4.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}.定义函数

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f:M N.若点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))若三角形ABC的外接圆圆心为D,且DA DC DB( R)则满足条件的函数f(x)有（ ）

A 6个 B 10个 C 12个 D 16个

5.（湖北理17）．已知向量a (x,x 1),b (1 x,t),若函数f(x) a b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析

和解决问题的能力。

解法1：依定义f(x) x(1 x) t(x 1) x x tx t,

2

3

2

2

则f (x) 3x2 2x t.

若f(x)在( 1,1)上是增函数,则在( 1,1)上可设f (x) 0.

f (x) 0 t 3x2 2x,在区间( 1,1)上恒成立,考虑函数g(x) 3x2 2x,1

由于g(x)的图象是对称轴为x ,

3

2

开口向上的抛物线，故要使t 3x 2x在区间（－1，1）上恒成立 t g( 1),即t 5.

而当t 5时,f (x)在( 1,1)上满足f (x) 0,即f(x)在( 1,1)上是增函数. 故t的取值范围是t 5.

解法2：依定义f(x) x(1 x) t(x 1) x x tx t,

2

3

2

f (x) 3x2 2x t.

若f(x)在( 1,1)上是增函数,则在( 1,1)上可设f (x) 0.

f (x)的图象是开口向下的抛物线，

当且仅当f (1) t 1 0,且f ( 1) t 5 0时 f (x)在( 1,1)上满足f (x) 0,即f(x)在( 1,1)上是增函数.故t的取值范围是t 5.

3、 与解析几何的结合

平面向量与解析几何结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算

y2

1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1 MF2 0,则点M到x轴的距离为（C） 6．已知双曲线x 2

45

（A） （B） （C

） （D

333

2

7．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P

（x，y）的轨迹方程为（ B ）

MN NP 0，则动点P

（A）y2 8x （B）y2 8x （C）y2 4x （D）y2 4x

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8.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足PA PB x，则点P的轨迹是（D） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [点评]此题考查轨迹方程和向量的基本运算等知识，属于较简单的题.

2

x2

9.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C: y2 1的右焦点为F,右准线为l，点A l，线段AF交C于点B，若

2

FA 3FB,则|AF|=

2

解:过点B作BM l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA 3FB,故|BM| .又由椭圆

3

的第二定义,

得|BF|

2 |AF| 故选A

233

x2y2

10.（2009浙江理）过双曲线2 2 1(a 0,b 0)的右顶点A作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的两条

ab

1

渐近线的交点分别为B,C．若AB BC，则双曲线的离心率是 ( )

2

A

B

C

D

答案：C

【解析】对于A a,0 ，则直线方程为x y a 0，直线与两渐近线的交点为B，C，

a2ab a2abB ,, )， ,C(

a ba b a ba b

ab2a2b2a2b ab , ),AB ,则有BC (2 ，

a b2a2 b2a ba b

22

因2AB BC, 4a b, e

x2y2

11.（2009浙江文）已知椭圆2 2 1(a b 0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF x轴，

ab

直线AB交y轴于点P．若AP 2PB，则椭圆的离心率是（ ）

A

11 B

． C． D．232

D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．

1

【解析】对于椭圆，因为AP 2PB，则OA 2OF, a 2c, e

2

x2y2

2 1(b 0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y x，12.（2009四川卷文）已知双曲线

2b

点P(,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝

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A. －12 B. －2 C. 0 D. 4 【答案】C

【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）

2

解析：由题知b 2，故y0 3 2 1,F1( 2,0),F2(2,0)，

∴PF1 PF2 ( 2

3, 1) (2 3, 1) 3 4 1 0，故选择C。

x2y2

解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程 1，则左、右焦点坐标分别为F1( 2,0),F2(2,0)，

22

再将点Py

0)代入方程可求出P 1)，则可得PF1 PF2 0，故选C。

x2y2

13.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为F,过F

C于

ab

A、B两点，若AF 4FB,则C的离心率为

A．

6759

B. C. D. 5585

作

x2y2

解：设双曲线C2 2 1的右准线为l,过A、B分 别

ab

AM l于M,BN l于N, BD AM于D,由直

率

为

线AB的斜

,知直线

AB的倾斜角为

60 BAD 60 ,|AD|

由

双

曲

线

的

1

|AB|, 2

第

二

定

义

有

1 11

|AM| |BN| |AD| (|AF| |FB|) |AB| (|AF| |FB|).

e22

5 16

又 AF 4FB 3|FB| |FB| e 故选A

e25

x2y2

14.（2009年上海卷理）已知F1、F2是椭圆C:2 2 1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，

ab

且PF1 PF2.若 PF1F2的面积为9，则b=____________.【答案】3

|PF1| |PF2| 2a

【解析】依题意，有 |PF1| |PF2| 18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。

222 |PF1| |PF2| 4c

x2y2

15.已知椭圆2 2 1(a＞b＞0)上总存在点P,使PF1 PF2 0,其中F1,F2是椭圆的焦点,

那么该椭圆离心率的取

ab

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,1 值范围是 2

[点评]此题借助向量语言给出PF1和PF2的垂直关系，重点考查椭圆的几何性质.

向量与解析解答题

16．已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x )i yj,且满足

|a|+|b|=4.

(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程.

(2)如果过点Q(0，m)且方向向量为c =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当 AOB的面积取到最大值时，求m的值。

解：(1) a=(x )i yj, |b|=(x )i yj,且|a|+|b|=4.

2 点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为 y2 1 4

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得

4

(m2 1) 5x2 8mx 4m2 4 0，则x1+x2=-8m, x1 x2=因此，S AOB 1

ABd

2(5 m2)m2

当5 m2 m2时，即m=

时，Smax 1

[变式1] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x 3)i yj,且满足

||a|-|b||=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)

(x 3)i yj(x 3)i yj,且满足[变式2] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=, b=

b i=|a|.求点P(x,y)的轨迹C的方程.

[提示：设K(-,0)，F (3,0)，则b i表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所

以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x= -3为准线抛物线]

[变式3] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x 3)i yj,且满足

b i= |a|.求点P(x,y)的轨迹C的方程.

[提示：设K(-,0)，F (3,0)，则b i表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所

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以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为 ，当0 1时，点P的轨迹是

b i 以(3,0)为焦点，以x= -3为相应准线的椭圆；当 1时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，

a

以x= -为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支 应满足什么条件？]

[变式4] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，KP

KF .求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)

[变式5] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，

.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。) 17. 已知点A( 22，0)，B( 2，0)动点P满足 2|| ||

(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程. (2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，

2

）作斜率为k的直线交曲线 3

C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q. 解：（1）设P(x，y)，则有AP (x 22,y) AB (2,0) BP (x ∵AP AB

2

2

2,y)

2 |AB| |BP| ∴2x 4 2 2 (x 2)2 y2

得：x 2y 4

x2y22

1 得Q (0，2) 设直线C的方程为y=kx-（2）由

342

代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2

4232

kx 0 39

设M(x1，y1) N(x2，y2) QM (x1,y1 2),QN (x2,y2 2) ∵x1 x2

42k32x x 1222

3(1 )k9(1 2k)

又∵ x1x2 (kx1

4242

)(kx2 ) 33

32

(1 k2)

42324242k322

k(x1 x2) k 0 =x1x2(1 k) 3931 2k23(1 2k2)9

∴ ∴点Q在以MN为直径的圆上.

[变式1] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x )i yj, b=(x 3)i yj,且满足

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|a+b|=4..求点P(x,y)的轨迹C的方程. (AP BP 2OP,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（－

3，0）)

[变式2] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x 3)i yj,且满足

a b＝6.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (轨迹为圆)

1 y2

18设椭圆方程为x 1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B,O是坐标原点,点P满足OP OA OB,点N

42

2

11

的坐标为 , .当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹方程;(2)NP的最大值和最小值.

22

y2

[解析]⑴设l:y kx 1，代入x 1中消y得 4 k2 x2 2kx 3 0.

4

2

设A x1,y1 ,B x2,y2 ,则x1 x2 OP

2k8

,y y kx x 2 121222

4 k4 k

x xy y 1 k4 2

OA OB 12,1 , 22 22 4 k4 k 2

k

x 4 k222

设P x,y ，则 ，消k得4x y y 0

y 4 4 k2

当k不存在时，AB中点为（0，0），满足上述方程. 所以P点轨迹方程是4x y y 0.

⑵由P点轨迹方程知x

|NP|22

2

111

, x 1644

x7

2

111

所以，当x 时，|NP|min ；当x

时，|NP|max .

446

[点评]此题主要考查平面向量的基本运算、直线和圆锥曲线相交问题、轨迹方程的求法和应用、配方法求函数的

最值等基本知识，考查了解析几何的基本思想和综合解题能力. 19.

【文】a

(x,y 2),b (x,y 2 8,

（Ⅰ）求M(x,y)的轨迹C；

(Ⅱ)过点（0，3）作直线l与曲线交于A,B两点， ，是否存在直线l使OAPB为矩形．

解：

（Ⅰ）a b 8 8 设F1(0, 2),F2(0,2)，则MF1 MF2 8

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x2y2

因此，点M的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为8的椭圆，其方程为 1

1216

（Ⅱ）假设存在这样的直线，使得OAPB为矩形，并设l:y kx 3 与椭圆方程联立得：(3k2 4)x2 18kx 21 0(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是（*）的两根， 且x1 x2

18k21

,xx 12

3k2 43k2 4

A

l

P

y

因为OAPB为矩形，故OA OB

则x1x2 y1y2 0，x1x2 kx1 3 kx2 3 0

O

x

k

2

1x1x2 3k x1 x2 9 0

21k2 13 18k2

由此可得： 2 9 0

2

3k 43k 4

解得：k2

516

k

OAPB为矩形．

因此，当直线的斜率为20【文】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1, 3)，N(5,1)，若点C满足

OC tOM (1 )tO(N t，点)RC的轨迹与抛物线y2 4x交于A、B两点；

（1）求点C的轨迹方程；

（2）求证：OA OB；

（3）在x轴正半轴上是否存在一定点P(m,0)，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设C(x,y)，由OC tOM (1 t)ON知，点C的轨迹为y x 4.

（2）由

y x 42

消y得：x 12x 16 0 2

y 4x

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2 16，x1 x2 12,

所以y1y2 (x1 4)(x2 4) 16，所以x1x2 y1y2 0，于是OA OB

（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为x ky m,由

x ky m2

消x得：y 4ky 4m 0，设E(x3,y3)，F(x4,y4)， 2

y 4x

则y3 y4 4k，y3y4 4m.

因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以OE OF即x3x4 y3y4 0,所以

y32y42

y3y4 0得m 4，所以存在m 4. 16

21．已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D.

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（1）若OA OB 6，求抛物线的方程。 （2）CD是否恒存在一点K，使得KA KB 0

解：（1）提示：记A（x1,y1）、B （x2,y2）设直线AB方程为y kx 抛物线方程得x2-2kpx-p2=0 ，x1x2 p,y1y2

2

p 6 x1x2 y1y2 34

2

1

p2

代入

p2

（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，

则TA TB

(TP PA) (TP PB) TP (PA PB) PA PB

2

－＝0 －＝ ＝4

44

4

2

2

2

2

故存在点K即点T，使得KA KB 0

22.设平面内向量a＝（x，0）、b＝（1，y），满足：(a＋b)⊥(a－3b)（1）求点P（x，y）的轨迹方程；（2）若直线l：y＝kx＋m （km≠0）与所求曲线C交于A、B两点，D（0，－1）且|AD|＝|BD|,求m的取值范围。

【解】（1）∵(a＋b)⊥(a－3b) ∴(a＋3b)·(a－3b)＝0

22

∴－3＝0 ∴x 3(1 y) 0

22

x2即 y2 1为所求曲线的轨迹方程。

3

（2）设A（x1,y1）、B（x2,y2），

y kx m 222

(1 3k)x 6kmx 3(m 1) 0 ① 由 x2得：2

y 1 3

6km

x x 12 1 3k2则 ② ∵ ( x1, 1 y1)， ( x2, 1 y2) 2

xx 3(m 1)12 1 3k2

2222

∵|AD|＝|BD| ∴x1 (1 y1)＝x2 (1 y2)

即：(x1 x2)(x1 x2) (2 y1 y2)(y1 y2) 0

3k2 1

∴x1 x2 k(2 kx1 m kx2 m) 0把②代入，解得m＝③

4

由①得：△＝36km 12(1 3k)(m 1)＝12(m2 1 3k2)>0 把③代入化简得：m2 4m>0 m>4或m<0

2

2

2

2

3k2 11

又∵m＝ （k≠0）

44

高中 向量学习 必备

∴0>m

1

4

或m>4为所求的m的取值范围。 23. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点

(3,0)。

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 若直线l：y kx 2与双曲线C恒有两和B，且 2(其中O为原点)，求k的取值

解：（Ⅰ）设双曲线方程为x2y2

a2 b

2 1

由已知得a

,c 2,再由a2 b2 22,得b2 1.

故双曲线C的方程为x2

3

y2 1.

x2

（Ⅱ）将y kx 2代入3

y2 1得 (1 3k2)x2 62kx 9 0.

由直线l

与双曲线交于不同的两点得 1 3k2

0,

)2 36(1 3k2) 36(1 k2

) 0.

即k2

1

3

且k2 1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则

x 9

A xB 1 3k2,xAxB 1 3k

2

,由OA OB 2得xAxB yAyB 2,

而xAxB yAyB xAxB (kxA kxB (k2 1)xAxB (xA xB)

2

(k2

1) 93k2 7

1 3k21 3k2

2 3k2 1

. 于是3k2 73k2 1 2,即 3k2 93k2

1 0,解此不等式得13

k2 3. ② 由①、②得

1

3

k2 1. 故k

的取值范围为( 1,

为(2,0)，右顶点为

个不同的交点A范围。

(a 0,b 0).

高中 向量学习 必备

24.(天津市十二区县重点中学)

x2y2

如图，若F1,F2为双曲线2 2 1的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且

ab

满足F1O PM,

F1M PO 0

（Ⅰ）求此双曲线的离心率；

（Ⅱ）若此双曲线过点N(2,),求双曲线的方程；

（Ⅲ）设（Ⅱ）中双曲线的虚轴端点为B1,B2(B1在y轴的正半轴上），过B2点作直线l与双曲线交于A,B两

点，当B1 B1时，求直线l的方程。

解．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由F1O PM知四边形PF1OM是平行四边形， 又F1M PO 0，四边形PF1OM是菱形 设焦半距为c，则OF1 PF1 PM c

2分

∴PF2 PF1 2a=c+2a， 由双曲线第二定义

4分

PF2

可知

PM

e,即

c 2a

e, e 2 （6分） c

c

（Ⅱ）∵e=2= ∴c=2a

ax2y2

∴双曲线方程为2 2 1

a3a

又∵双曲线过点N（2，），∴

432

，即a 3 122

a3a

8分

x2y2

1 ∴所求双曲线方程为39

（Ⅲ）由题意知B1（0，3），B2（0，-3），

设直线l的方程为y=kx-3，A（x1，y1），B（x2，y2）

y kx 3

则由 x2

y2

1 9 3

高中 向量学习 必备

消去y得(3 k)x 6kx 18 0 ∵双曲线的渐近线为y 3x，

22

9分

∴当k 时，直线l与双曲线只有一个交点，即k 3 10分

6k2 18

x x2 ,xx 12

3 k23 k2

18

y1 y2 k(x1 x2) 6 ,y1y2 k2x1x2 3k(x1 x2) 9 9 12分2

3 k

又∵B1A (x1,y1 3),B1B (x2,y2 3)

而x1x2 y1y2 3(y1 y2) 9 0

即

183 k2 9 3 18

3 k

2

9 0, k 直线l的方程为y x 3 13分

14分

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