高中数学专题训练（教师版）—逻辑连接词与量词1

高中数学专题训练（教师版）—逻辑连接词与量词

一、选择题

1．下列全称命题中假命题的个数( ) ①2x＋1是整数(x∈R)； ②对所有的x∈R，x>3；

③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数； ④任何直线都有斜率．

A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C

解析 ①②④是假命题．

2．下列命题的否定是真命题的是( ) A．有些实数的绝对值是正数 B．所有平行四边形都不是菱形 C．任意两个等边三角形都是相似的 D．3是方程x2－9＝0的一个根 答案 B 3．(2011·皖南八校)下列命题中正确的是( ) A．对所有正实数t，有t

B．不存在实数x，使x<4，且x2＋5x－24＝0 C．存在实数x，使|x＋1|≤1且x2>0 D．不存在实数x，使x3＋x＋1＝0 答案 C

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解析 选项A不正确，如t＝4时，有t>t；选项B不正确，如x＝3<4，而x2＋5x－24＝0；选项D不正确，设f(x)＝x3＋x＋1，f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，故方程x3＋x＋1＝0在(－1,0)上至少有一个实数根．对于C，x＝－1时即满足条件，故选C.

4．已知命题p：?x∈R，x2＋x－6<0，则命题綈p是( ) A．?x∈R，x2＋x－6≥0 B．?x∈R，x2＋x－6≥0 C．?x∈R，x2＋x－6>0 D．?x∈R，x2＋x－6<0 答案 B

解析 全称命题的否定为特称命题，选B. 5．(2010·辽宁卷)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )

A．?x∈R，f(x)≤f(x0) B．?x∈R，f(x)≥f(x0) C．?x∈R，f(x)≤f(x0) D．?x∈R，f(x)≥f(x0) 答案 C

b

解析 由题知：x0＝－2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此?x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，

选C.

6．已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )

A．m≥2 B．m≤－2

C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 答案 A

解析 若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则綈p：?x∈R，mx2＋1>0与綈q：?x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据綈p：?x∈R，mx2＋1>0为真命题可得m≥0，根据綈q：?x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.

二、填空题

7．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．

答案 ?x0，y0∈R，x0＋y0>1；?x，y∈R，x＋y≤1；假 8．(2010·安徽卷)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

2

答案 对任何x∈R，都有x＋2x＋5≠0 9．(2011·江南十校联考)若命题“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

答案 －22≤a≤22

解析 因为“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.

10．(2010·新课标全国卷)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．

则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．

答案 q1，q4

解析 p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题； ∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，

∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题． ∴真命题是q1，q4.

1

11．已知：p：2>0，则綈p对应的x的集合为______．

x－x－2

答案 {x|－1≤x≤2}

1

解析 p：2>0?x>2或x<－1

x－x－2

∴綈p：－1≤x≤2

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12．设命题p：若a>b，则a

答案 2个

解析 p假，q真，故①④真 三、解答题

2

13．已知p：?x∈R,2x>m(x2＋1)，q：?x0∈R，x0＋2x0－m－1＝0，且p

∧q为真，求实数m的取值范围．

答案 －2≤m≤－1

解析 2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0. 若p：?x∈R,2x>m(x2＋1)为真，

则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．

当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；

?m<0，

当m≠0时，有? 2

?4－4m<0，

∴m<－1.

2

若q：?x0∈R，x0＋2x0－m－1＝0为真， 则方程x2＋2x－m－1＝0有实根， ∴4＋4(m＋1)≥0， ∴m≥－2.

又p∧q为真，故p、q均为真命题． ?m<－1，∴? ?m≥－2，∴－2≤m<－1.

14．已知命题p：|x2－x|≥6; q：x∈Z，若“p∧q”与“綈q”同时为假命题，求x的值．

答案 －1,0,1,2

解析 ∵“p且q”为假，

∴p、q中至少有一个命题为假命题；

又“綈q”为假，∴q为真，从而知p为假命题

?|x－x|＜6，故有?

?x∈Z

2

?2

即?x－x＋6＞0，?x∈Z

x2－x－6＜0，

?－2＜x＜3，得?x∈R，?x∈Z.

∴x的值为：－1,0,1,2

15．已知命题p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：函数y＝(2a－1)x为减函数，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

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答案 2

3a2

解析 命题p等价于2≤1,3a≤2，即a≤3.命题q：由函数y＝(2a－1)x为减

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函数得：0<2a－1<1，即2

12

所以取交集得2

1．下列命题中正确的是( )

A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件

C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x

－3≤0”

D．已知命题p：?x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：?x∈R，x2＋x－1≥0 答案 B

解析 若p∨q为真命题，则p、q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．

2．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是( )

A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根 答案 C

解析 特称命题的否定是全称命题． 3．(2010·安徽卷，理)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．

答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”

4．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

答案 充分不必要

解析 对任意的n∈N，点Pn(n，an)在直线y＝2x＋1上，所以an＝2n＋1，则数列{an}为等差数列；而{an}为等差数列，例如an＝3n－5是以3为公差，以－2为首项的等差数列，点(n，an)却不都在直线y＝2x＋1上．

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