湖北省八校2012届高三第二次联考理科数学试题

湖北省 荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中 八校

2012届高三第二次联考 数学试题（理科）

考试时间：2012年3月29日下午3：00—5：00

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，

考试时间120分钟。 ★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

２.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无

效。

鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1. 已知全集U＝R，集合A?xy??2x?x2,集合B?yy?2x,x?R，则

???(CRA)?B?（ ）

A.xx?2 B.x0?x?1 C. x1＜x?2 D．xx?0

2.曲线y?sinx,y?cosx和直线x=0,x= A.?????????2所围成的平面区域的面积为（ ）

??sinx?20?coxxB.2??sd six?nd x?40?sinx?coxxC.?2?cosx??sd

0?sixx?nd

D.2?4?coxs?0?

3.对于平面?和共面的直线m,n，下列命题是真命题的是：（ ）

m则 A.若m,n与?所成的角相等，∥n B.若m∥?,n∥?，则：m∥

n

C.若m??,m?n，则n∥? D.若m??,n∥?，则：m∥n

224.下列4个命题:（1）命题“若a?b，则am?bm”；

（2）“a?2”是“对任意的实数x，x?1?x?1?a成立”的充要条件；

（3）设随机变量?服从正态分布N（0，1），若P(??1)?p,则P(?1???0)?（4）命题“?x?R，x?x?0”的否定是：“?x?R，x?x?0”

其中正确的命题个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

221?p； 2

5.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到频率分布直方图如下左图，由于不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.1之间的学生人数为b,则a和b的值分别为（ ）

A.0.27 78 B.0.27 85 C.2.7 78 D.2.7 85 开始

输入x 频率

组距

x<8?

是

y?x2

输出y 0. 3

0. 1

O 视力 结束 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

否 y=2x n2?16}(n?N?)6.如上右图所示的是根据输入的x值计算y的值的程序框图，若x依次取数列{n中的项，则所得y值的最小值为（ ）

A．4

7．已知函数f(x)?2?log1x，且实数a>b>c>0满足f(a)?f(b)?f(c)?0，若实数x02x B．8 C．16 D．32

是函数y=f(x)的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） ．．．A．x0?a B．x0?a C．

x0?b D

．

x0?c

8．三角形的内角平分线定理是这样叙述的：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。已知在△ABC中，∠A=60o，∠A的平分线AD交边BC于点D，设AB＝3，且AD? A．23

?????????1???AC??AB(??R)，则AD的长为（ ） 3B．3 C．1 D．3

9.已知集合A={x?R|

x?1a?2},集合B={a?R|已知函数f(x)??1?lnx，2x?1x?x0>0，使f(x0)?0成立}，则A?B=（ ）

A．{x|x?1} 2 B．{x|x?1或x?1} 2

C．{x|x?1或x?1} 2 D．{x|x?1或x?1} 2

10.记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定

圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是 （ ） ．．．A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置

上。 11.

若z?1?i,且?x?z??a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4,?ai?C,i?0,1,2,3,4?则a2? 。

12.若函数f?x??sin?x?3cos?x(x?R,??0)满足f小值为

4?????2,f????0,且???的最

?，则函数f(x)的单调增区间为 . 2?2x?y?2?0xy?13.设实数x,y满足约束条件?8x?y?4?0，若目标函数z??(a?0,b?0)的最大值

ab?x?0 , y?0?为9，则d=4a?b的最小值为__ ___。

14．如图，直线l⊥平面?，垂足为O，已知在直角三角形ABC中， BC＝1，AC＝2，AB

＝5．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A?l，（2）C??．则

B、O两点间的最大距离为 ．

A

A

D F

O B O B E

? C 15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）

题计分）

（1）(《坐标系与参数方程选讲》选做题). 已知曲线C的极坐标方程为??2cos?，则曲线

?x??1?tC上的点到直线?(t为参数）距离的最大值为 .

y?2t?

（2）（《几何证明选讲》选做题）.已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相

切

于

点

A

，

?ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则?ADF? .

三．解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16．（本题满分12分）

??????xx2x)，设函数f(x)?m?n＋1 已知向量m?(cos,?1),n?(3sin,cos222?11（1）若x?[0,]， f(x)?,求cosx的值；

210（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足2bcosA?2c?3a，求f(x)的取值范围．

17. (本题满分12分)

中国?黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；

（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用?表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出?的分布列，并求?的数学期望。

湖北理工学院

9 9 6 5 0 7 2 1

15 16 17 18 19

湖北师范学院 8 1 3 0

9

2 5 8 9 4 6 1

18. (本题满分12分)

已知直三棱柱ABC?A1B1C1的三视图如图所示，且D是BC的中点． （Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1； （Ⅱ）求二面角C1?AD?C的余弦值；

（Ⅲ）试问线段A?1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60 角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由． AC1

1 1 B1

A

C

2 2正视图

B

2 2 俯视图

19. (本题满分12分)

各项为正数的数列?a1n?的前n项和为Sn，且满足：Sn?4a211n?2an?4?n?N??. （1）求an；

?an,n为奇数，（2）设函数f?n?????n?Cn?f?2n?4??n?N???f?,求数列

??2??,n为偶数，?Cn?的前n项和Tn.

20. (本题满分13分)

设平面内两定点F1??5,0?、F2?5,0?，直线PF

1 和PF2相交于点P,且它们的斜率之积为

1

2 侧视图

定值?4； 51），N为抛物线C2：y?x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交5（Ⅰ）求动点P的轨迹C1的方程； （Ⅱ）设M（0，

曲线C1于P、Q两点，求?MPQ面积的最大值．

21. (本题满分14分) （1）证明不等式：ln(1?x)?x(x?0) 1?xax在(0,??)上单调递增，求实数a的取值范围。 a?xx1?x?1在[0,??)上恒成立，求实数b的最大值。 （3）若关于x的不等式

1?bxe（2）已知函数f(x)?ln(1?x)?

湖北省 荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中 八校

鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、

2012届高三第二次联考 数学试题（理科）参考答案

一、选择题：

题号

答案

二、填空题:

11、12i； 12、[2k??1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A D D B B C D A C D

5??4,2k??](k?Z)； 13、； 14、1?2； 66315、（1）1?

三、解答题:

450 （2）45 5xxx31?cosx16、解：（1）f(x)?3sincos?cos2?1?sinx??122222

311?1?sinx?cosx??sin(x?)?22262??????????????3分

∵f(x)?11?3?????4[,]，os(x?)? ,∴sin(x?)?；又∵x?[0,]，∴x???即c1065266365??????433?cosx?cos[(x?)?]?cos(x?)cos?sin(x?)sin??

6666661010?????????????????

??6分

（2）由2bcosA?2c－得：2sinBcosA?2sinc?3sinA?2sinBcosA?2sin(A?B)?3sinA?2sinBcosA?2[sinAcosB?cosAsinB]?3sinA ?2sinAcosB?3sinA?cosB?3??B?(0,]26??????????????10分

∴sin(B?

?1?11)?(?,0]，即f(B)?sin(B?)??f(B)?(0,] 62622?????????????????

????12分

17、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：

168?169?168.5. 2??????????????2分

（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

?按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5?5?12?3人； 208?2人，“非高个子”为20C327则至少有1人为高个子的概率P＝1－2?

C510??????????????6分

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则?的可能取值为0,1，2,3；

3C510，P(??0)?3?C8561C52C330P(??1)?3?C85612C5C15P(??2)?33?C856故，，

3C31P(??3)?3?，

C856即?的分布列为：

?

P

0 1 2 3

1030 565610301519E?＝0?＋1?＋2?＋3?＝。

565656568答

15 561 56：

（略） ??????????????12分

18、解： （Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，AB?BC?2AA1，

?ABC?90?

连结AC1，交AC1于点O，连结OD. 由 ABC?A1B1C1是直三棱柱，

得 四边形ACC1A1为矩形，O为AC1的中点. 又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线， 所

以

A1B∥

OD， ??????????2分

因为 OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1， 所

以

A1B?∥平分

面

A1. ???????????4

DC（Ⅱ）解：由ABC?A1B1C1是直三棱柱，且?ABC?90，故BA,BC,BB1两两垂直.

如

图

建

立

空

间

直

角

坐

标

系

B?x. ??????????5分 则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0). ?BA?2，

?????????所以 AD?(1,?2,0)，AC1?(2,?2,1)

??????n?AD?0,设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z)，则有????? ???n?AC1?0.所

以

?x?2y?0,??2x?2y?z?0. 取

y?1，得

n?(2,1,?2). ???????? ?6分

易知平面ADC的法向量为v?(0,0,1). ??????????7分

由二面角C1?AD?C是锐角，得 cos?n,v??分

所以二面角C1?AD?C的余弦值为（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E.

因为E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0,?,1)，其中0???2.

|n?v|2?.??????????8nv32. 3?????????所以 AE?(0,??2,1)，DC1?(1,0,1). ?????????9分

?????????AE?DC11?因为AE与DC1成60角，所以??????????. ?????????10分

2AEDC1即1(??2)2?1?2?1，解得??1，舍去??3. ????????11分 2?所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60角. ?????????12分 （其它方法请酌情给分） 19、解：（1）由Sn?1211111an?an?①得，当n≥2时，Sn?1?an?12?an?1?②； 424424由①－②化简得：(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又∵数列{an}各项为正数，∴当n≥2时，

an?an?1?2，故数列{an}成等差数列，公差为2，又a1?S1?a1?1,?an?2n?1；

1211a1?a1?，解得424??????????????5分

?an,n为奇数?（2）由分段函数f(n)??n 可以得到：

f(),n为偶数??2c1?f(6)?f(3)?a3?5,c2?f(8)?f(4)?f(2)?f(1)?a1?1；

??????????7分

当n

n≥

?1n3，

n?N?时

n，

cn?(f2?4?f)?2?n(f， ?2?22??)?n(故当n?3，时，Tn?5?1?(22?1)?(23?1)???(2n?1?1)4(1?2n?2)?6??(n?2)?2n?n1?2?5,n?1?Tn??n?2?n,n?2

??????????????12分

20、（1）设点P（x,y）,依题意则有

yy4???(x??5)，整理得：

5x?5x?5x2y2??1(x??5) 54

???????

?????4分

2（2）设N(t,t)，则PQ的方程为：y?t2?2t(x?t)?y?2tx?t2，联立方程组

?y?2tx?t2?2， ?xy2?1??4?5????80(4?20t2?t4)?0?20t3?消去y整理得：，有?x1?x2?， 24?20t??5t4?20?x1x2?4?20t2???????????8分

804?20t2?t4,dPQ而PQ?1?4t?x1?x2?1?4t?4?20t222??12?t?5,

21?4t??????????11分

由S?MPQ?即S?MPQ?最大值。

??????????????13分

21、解：（1）令g(x)?ln(1?x)?1|PQ|dPQ代入化简得： 2551302；当且仅当t?10时，取到?(t2?10)2?104??104?10105x， 1?x111x?11?x?x241?x?x?21?21?11?x?1?x?1?x则g?(x)???0 x?1x?11?x1?x∴g(x)在(0,??)上单调递减，即g(x)

??4分

1a(a?x)?axx[x?(a2?2a)]2（2）由f?(x)?，当x=0或x?a?2a时，??221?x(a?x)(x?1)(x?a)f?(x)?0，由已知得f?(x)?0在(0,??)上恒成立，∴a2?2a?0，又f(x)在(0,??)有

意义，∴a≥0，综上：0?a?2；

??????????????8分

（3）由已知

x11?1?x在[0,??)上恒成立，∵1?x?0?b?0， 1?bxee1ex111??x??1?x?恒成立，??????????当x>0时，易得b?1e?1x1?xxe?1xe110分

令e?1?t得b?1??x2x11(t?0)恒成立，由（2）知：令a=2得：ln（1＋x）>,

2?xtln(1?t)∴1??12分

由

1112?t1?1???； ??????????

tln(1?t)t2t2（1）得：

1111?tt?11?t1?t1?t1 1???1?????(1?t?1)??1tln(1?t)ttttt1?1?t1?1?t当t?0时，

?11?11?t时

?11111?；∴当t?0时，1??不大于；∴0?b?；

222tln(1?t)，

b

∈

R

，

综

上

：

当x=0

bm?1 ??????????????14分 ax2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wz2p.html