数学竞赛中的数论问题（学生版）第三讲

四．整除

例18 任意一个正整数m与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除． 证明：

例19 试证?1?2???9?1?2???955?5?．

证明：

例20 ?1979,IMO21?1?设p与q为正整数，满足

p1111?1??????， q2313181319求证p可被1979整除（1979p）

证明：

例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数

证明：

例21 试证3n?n?1??2n?1?．

证明：

例22 k个连续整数中必有一个能被k整除． 证明：

例23 k个连续整数之积必能被k!整除． 证明：

例24 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（n?3），若顺序相邻的3人中恰有一个男孩的有a组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b组，求证3a?b．

证明：

例25 （1956，中国北京）证明n?3除时余2．

分析：

1

3m11?1????的分子m是吉祥数． n220090908321n?n?1对任何正整数n都是整数，并且用22五、同余

例26 正方体的顶点标上?1或?1，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的数的乘积，求证，这样得出的14个数之和不能为0．

证明：

例27 设多项式f?x??a0xn?a1xn?1???an?1x?an的系数都是整数，并且有一个奇数?及一个偶数?使得f???及f???都是奇数，求证方程f?x??0没有整数根． 证明：

六、不定方程

未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程． 解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．

例28 解方程7x?19y?213． 解：

例29 求方程x?2xy?2009的整数解．

解：

例30 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，?直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．（1988，高中联赛）

解：

例31（1989，高中）如果从数1，2，?，14中按由小到大的顺序取出a1,a2,a3，使同时满足

a2?a1?3, a3?a2?3， 那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？

解：

2

32七．数论函数

主要是?x?高斯函数，??n?欧拉函数．

例32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间．．6．的函数关系用取整函数y??x?（?x?表示不大于x的最大整数）可以表示为

(A)y???x??x?3??x?4??10?? (B)y???10?? (C) y???10?? （2010年全国高考数学陕西卷理科第10题）

例33 用?x?表示不大于x的最大整数，求

???1???2?????2004?? ???366????366????366????366?． ?????解：

八、综合练习

例34 整数勾股形中，证明

（1）必有一条直角边长是3的倍数； （2）必有一条直角边长是4的倍数； （3）必有一条边长是5的倍数； （4）三角形的面积是6的倍数． 证明：

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y???x?5??10?? (D)例35 已知?ABC内有n个点，连同A,B,C共有n?3个点，以这些点为顶点，把

?ABC分割为若干个互不重叠的小三角形，现把A,B,C分别染上红色、蓝色、黄色，而

其余n个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（斯潘纳定理）

证明：

例36 对整点25边形的顶点作三染色，求证，存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点． 解：

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