1.2.1 几个常用函数的导数

1.2.1 几个常见函数的导数

导函数

1.导函数的定义 导函数的定义

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到 在 处求导数的过程可以看到, 由函数 当时,f’(x0) 是一个确定的数 那么 当x变化时 是一个确定的数.那么 那么,当 变化时 变化时, 当时 便是x的一个函数 我们叫它为f(x)的导函数 的一个函数,我们叫它为 的导函数. 便是 的一个函数 我们叫它为 的导函数

y f (x + x) f (x) 即: ′ f (x) = y′ = lim = lim x→0

x

x→0

x

在不致发生混淆时，导函数也简称导数. 在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

函数 函数y = f ( x)在点x0处的导数f ′( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ′( x)在点x0处的 函数值.

2.如何求函数 如何求函数y=f(x)的导数 如何求函数 的导数

(1)求函数的增量 y = f ( x + x) f ( x);(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x + x) f ( x) = ; x x

y (3)求极限，得导函数y′ = f ′(x) = lim . x→0 x

弄清“函数 在点x 导函数” 弄清“函数f(x)在点 0处的导数”、“导函数”、 在点 处的导数” 导数”之间的区别与联系。 “导数”之间的区别与联系。(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 )函数在一点处的导数， 变量与自变量的改变量之比的极限， 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 常数，不是变数。 (2)函数的导数，是指某一区间内任意点 而言的, 任意点x而言 )函数的导数，是指某一区间内任意点 而言的 就是函数f(x)的导函数 f ′(x) 。 就是函数 的导函数 在点x (3)函数 )函数f(x)在点 0处的导数 f ′( x0 ) 就是导函数 f ′(x) 在点 处的函数值， 在x=x0处的函数值，即 f ′( x0 ) = f ′( x) |x= x 。这也是 求函数在点x 处的导数的方法之一。 求函数在点 0处的导数的方法之一。0

(1)求函数 求函数f(x)=2的导数； 的导数； 求函数 的导数

根据导数定义， 解：根据导数定义， y = f ( x + x ) f ( x ) = 2 2 = 0' '

y o x

y ∴ f ( x ) = 2 = lim = lim 0 = 0. x → 0 x x → 0

(2) 求函数 求函数f(x)=0的导数； 的导数； 的导数 0 (3) 求函数 求函数f(x)=-2的导数 的导数. 的导数 0

公式1 C = 0 (C为常数).'

证明： 证明： y = f ( x ) = C ,

y = f ( x + x) f ( x)=C C = 0

y ∴ = 0, x∴ f ( x) = C = lim 0 = 0.' ' x →0

求下列函数的导数(1) y=x的导数 的导数

解：根据导数定义， 根据导数定义， y = f ( x + x ) f ( x ) = x + x x = x , y ∴ f ( x) = lim = lim 1= 1 x → 0 x x → 0'

(2) y=x2的导数

解：根据导数定义， 根据导数定义， y = f ( x + x ) f ( x ) = ( x + x ) x = 2 x x +

x ,2 2 2

y ∴ f ( x) = lim = lim (2 x + x) x →0 x x → 0 = 2 x.'

(3) y=x3的导数

f ( x) = ( x ) = 3x .' 3 ' 2

1 (4)求函数y = 的导数 x1 1 y f ( x + x ) f ( x ) x + x x 因为： 解：因为： = = x x x x ( x + x ) 1 = = 2 x ( x + x ) x x + x x 1 y ) = lim ( 2 所以y′ = lim x → 0 x x → 0 x + x x 1 = 2 x

(5)函数 y = f ( x) = x 的导数

y = f (x) =' '

1 2 x

汇总以上公式，可以得到统一的公式： 汇总以上公式，可以得到统一的公式：

( 公式2:x ) = nxn '

n 1

(n ∈ R)

算一算 ：求下列函数的导数(1) y = x12

(2) y = x

1 3

1 (3) y = 4 (4) y = x x x 1 5 3 (5) y = x (6) y = 3 x

1 求曲线f(x)= 在点P(1,1)处的切线方程 处的切线方程. 求曲线 在点 处的切线方程 x

公式3 公式4 公式5 公式6

(sin x) = cos x. ' (cos x) = sin x. x ' x (a ) = a lna x ' x (e ) = e''

务 必 记 牢

1 公式7 (1oga x) = x ln a

1 公式8 (1nx) = x'

选择题 (1)下列各式正确的是( C ) )下列各式正确的是(

A.(sin α )' = cos α (α为常数) 为常数) B . cos x )' = sin x ( C .(sin x )' = cos x 1 6 D.( x )' = x 5 5

(2)下列各式正确的是( D ) )下列各式正确的是(

1 A.(log a x )' = x ln10 B .(log a x )' = x x C .(3 )' = 3 x D.(3 )' = 3 ln 3x x

填空0 (1) f(x)=80,则f '(x)=______; ,

2 1 3 2 y = x3 ( 2) y = x 的导数是 _______; 3 x x ' ( 3) f ( x ) = e , 则f ( x )等于 ______; e'

e f (1)等于 ______'

(4)

1 x ' xlna (1oga ) = ________

法则1: 法则 [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 1: 求下列函数的导数 3+sinx (1)y=x

y' = 3x + cos x2

(2)y=x4-x2-x+3.

y' = 4x 2x 13

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