江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：圆锥曲线（含解析）

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练

圆锥曲线

一、填空题

1、（南京市2018高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦点到

169其渐近线的距离为 ▲ ．

2、（南京市2019高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝4x的准线与双曲线

2

x2y2

x2y2

－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是 ▲ ． a2b2

x2y2??1的渐近线方程是 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）双曲线 925x2x2y22?y?1与双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知椭圆2ab有相同的焦点，其左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且

F1P＝F1F2，则双曲线的离心率为 ．

5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在平面直角坐标系xOy中，已知y?3x是双曲线x2y2??1的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． a2b2x26、（苏州市2018高三上期初调研）若双曲线?y2?1?m?0?的右焦点与抛物线y2?8x的焦点重合，

m则m的值是

x2y27、（徐州市2019届高三上学期期中）已知双曲线??1的离心率为3，则实数a的值为

a4▲ ．

8、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y?2px(p?0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ．

2x2y2??1的一个9、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

mm?1焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为 ．

x2y210、（常州市2019届高三上学期期末）已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2，直线

abx?y?2?0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为________. 11、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）

x2y2??1的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A、B两点， 已知经过双曲线

168 1 / 28

12、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）若抛物线y2?2px(p?0)的焦点与双曲

y2线x??1的右焦点重合，则实数p的值为 ．

313、（苏州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(﹣3，1)，则该双曲线的离心率为 ． 14、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系

2x2y2??1的右焦点，则该抛物线的准线方程xOy中，若抛物线y?2px的焦点恰好是双曲线842为 ．

15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）

2y2x0)到渐近线的 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2?2?1(a?0，b?0)的右顶点A(2，ab距离为2，则b的值为 ▲ ．

16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））

2y2x在平面直角坐标系xOy中，双曲线2?2?1（a?0，b?0）的右准线与两条渐近线分别

ab交于A，B两点．若△AOB的面积为ab，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 4x2?y2?1，则其离17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知双曲线C的方程为4心率为 ．

18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））抛物线y?4x的焦点坐标为 ． x219、（盐城市2019届高三第三次模拟）双曲线?y2?1的焦距为______.

2220、（江苏省2019年百校大联考）双曲线的两个焦点为F1，F2，以F1F2为边作正方形F1F2MN，且此双曲线恰好经过边F1N和F2M的中点，则此双曲线的离心率为 ．

二、解答题

2 / 28

x2y21、（南京市2018高三9月学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞

ab0)的离心率为

33

，且过点(1，)．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线 22

l：x＝m(m＞a)于点M．已知点B(1，0)，直线PB交l于点N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．

x2y2

2、（南京市2019高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离

ab心率为

2，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，2

且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．

（1）求椭圆E的方程； （2）求证：MR⊥PQ．

x2y23、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)上

ab一点与两焦点构成的三角形的周长为4+23,离心率为

3 / 28

3. 2（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为

1的直线l与椭圆C交于P、Q两点（点2P在第一象限）.若四边形APBQ面积为7，求直线l的方程.

x2y24、（南师附中2019届高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1(aab＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x＝﹣4和直线x＝﹣1相交于点M、N．试判断

NF1是否为定值，并说明理由． MF1

x2y25、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图，F1、F2分别为椭圆2?2?1(a?b?0)的焦

ab点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若F,0?，且AF1?2AF2. 1??1 （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、 M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．

4 / 28

x26、（苏州市2018高三上期初调研）如图，已知椭圆O:?y2?1的右焦点为F，点B,C分别是椭

4圆O的上、下顶点，点P是直线l:y??2上的一个动点（与y轴的交点除外），直线PC交椭圆于另一个点M.

（1）当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求?FBM的面积； （2）①记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2，求证：k1?k2为定值；

②求PB?PM的取值范围.

x2y227、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图所示，椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右

2ab准线方程为x?4，过点P(0,4)作关于y轴对称的两条直线l1,l2，且l1与椭圆交于不同两点A,B，l2与椭圆交于不同两点D,C. （1）求椭圆M的方程；

（2）证明：直线AC与直线BD交于点Q(0,1)； （3）求线段AC长的取值范围.

x2y28、（扬州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：2?2?1(a＞b＞0)的离心

ab 5 / 28

率为

1，左右顶点分別为A，B，线段AB的长为4．P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别2作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C． （1）若点C的横坐标为﹣1，求P点的坐标；

（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且AC??AQ，求?的取值范围．

9、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线x?3y?10?0与圆O：

x2?y2?r2(r?0)相切．

（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为26，求直线l的方程；

（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．

x2y2110、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，右

ab2准线方程为x?4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆

C相交于M，N两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若

S13?，求k的值； S22（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2，k3 ，求k2·(k1－k3) 的值．

6 / 28

11、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭

x2y22圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且右焦点到右准线l的距离为1．过x轴上一点

ab2M(m,0)(m为常数，且m?(0,2))的直线与椭圆C交于A,B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

x2y2

12、（南京市2019届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)

ab22

过点(1，)，离心率为．

22

A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．

（1）求椭圆C的方程；

→→（2）若点P在直线x－y＋2＝0上，且BP＝3BM，求△PMA的面积；

（3）过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且D点在线段OA上（不包→→括端点O，A），直线NA与直线BM交于点P，求OD·OP的值．

7 / 28

13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））

2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，

ab上顶点为B．

2（1）已知椭圆的离心率为1，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；

22（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y=?x上，求椭圆的离心率e的值．

14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）

22y2x2x如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：?y?1，椭圆C2：2?2?1(a?b?0)，

4abC2与C1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）设点P为椭圆C2上一点．

① 射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：PA为定值；

PBl2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有 ② 过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，一个公共点，求证：k1?k2为定值．

15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））

8 / 28

2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的上顶点为A0，3， ab??2ax?y?1?． 圆O：经过点M?0，422 （1）求椭圆C的方程；

（2）过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N． 若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．

16、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系

3x2y2xOy中，已知椭圆C：2?2?1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2．

2ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设P为椭圆上顶点，点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线PA交x轴于点M．点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：在y轴的正半轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、填空题 1、3 2、5 3、y??

5x 34、答案：

2+2 2

解析：由题意得：F1P＝F1F2＝2，则PF2＝22?2，所以2a＝2﹣(22?2)＝4﹣22，则a＝2﹣

2，所以e＝

2+2c1?＝．

2a2?2 9 / 28

5、2 6、3 7、2 8、x??3 9、y??10、y??3x 11、4 12、4 13、10 14、x??23 15、2 16、2

5x 217、

18、(1,0) 19、23 20、

二、解答题

1、解：（1）因为椭圆C的离心率为

5?1 2322

，所以a＝4b． ………………………2分 2

34

又因为椭圆C过点(1，解得a＝4，b＝1．

2

2

31

)，所以2＋2＝1， ………………………3分 2ab所以椭圆C的方程为＋y＝1． ………………………5分 4（2）解法1

设P(x0，y0)，－2＜x0＜2， x0≠1，则x2

2

x02

4

＋y0＝1．

2

因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)， 所以2－x0＝m． ………………………7分 由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝

令x＝m，得y＝

y0

(x＋2)， x0＋2

y0(m＋2)y0(m＋2)

，即M(m，)．

x0＋2 x0＋2

因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，

y0(m＋2)

x0＋2y0

所以kPB·kMB＝·＝－1， ………………………10分

x0－1 m－1y02（m＋2）

即＝－1． (x0－1)( x0＋2)( m－1)

因为

x02

4

＋y0＝1．所以

2

( x0－2)(m＋2)

＝1． ………………………12分

4(x0－1) ( m－1)

2

因为x0＝2－m ，所以化简得3m－10m＋4＝0，

5±13

解得m＝． ………………………15分

3

10 / 28

5＋13

因为m＞2，所以m＝． ………………………16分

3解法2

①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，

??x＋y2＝1，2222

联立?4消去y得(4k＋1)x＋16kx＋16k－4＝0．

??y＝k(x＋2)，

－8k＋24k因为xA＝－2，所以xP＝2，所以yP＝2，

4k＋14k＋1

－8k＋24k所以P(2，2)． ………………………8分

4k＋14k＋1－8k＋216k因为PN的中点为B，所以m＝2－2＝2．(*) ……………………10分

4k＋14k＋1因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，

－8k＋212

因为直线PB与x轴不垂直，所以2≠1，即k≠，

4k＋1124k2

4k＋1－4kk(m＋2)

所以kPB＝＝2，kMB＝． 2－8k＋212k－1m－1

－12

4k＋1因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，

－4kk(m＋2)所以2·＝－1．（**） ………………………12分

12k－1m－1将(*)代入（**），化简得48k－32k＋1＝0，

4±1316k5±13解得k＝，所以m＝2＝． ………………………15分

124k＋13

2

24

2

22

2

2

2

2

5＋13

又因为m＞2，所以m＝． ………………………16分

3

x2y22

2、解：（1）因为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，

ab2

c2b21222

所以e＝2＝1－2＝，即a＝2b． …………………… 2分

aa2

因为直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2， 41

所以点(2，1)在椭圆上，即 2＋2＝1．

ab解得a＝6，b＝3，

所以椭圆E的方程为 ＋＝1． …………………… 6分

63（2）解法一：因为直线PQ与坐标轴不垂直，故设PQ所在直线的方程为y＝kx＋m．

设 P(x1，y1)，Q(x2， y2) ．

因为PQ的中点R在直线 l：x＝2上，故R(2，2k＋m)．

11 / 28

22

x2y2

kx＋m，??y=22

联立方程组?xy

＋＝1，??63

消去y，并化简得 (1＋2k)x＋4kmx＋2m－6＝0， …………………… 9分 －4km

所以x1＋x2＝2 ． （*）

1＋2k－4km 2

由x1＋x2＝2＝4，得1＋2k＝－km． ① ………………… 12分

1＋2k2k＋m因为M(1，0)，故kMR＝＝2k＋m， 2－1

所以kMR·kPQ＝(2k＋m)k＝2k＋km＝2k－(1＋2k)＝－1，

所以MR⊥PQ． …………………… 16分 解法二：设P(x1，y1)，Q(x2， y2)．

因为PQ的中点R在直线 l：x＝2上，故设R(2，t)．

2

2

2

2

2

2

?6＋3＝1，

因为点P，Q在椭圆E：＋＝1上，所以 ?

xy63

?6＋3＝1，

x2y2

2

2

2

2

x12y12

两式相减得 (x1＋x2) (x1－x2)＋2(y1＋y2) (y1－y2)＝0．………………… 9分 因为线段PQ的中点为R，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2t．

代入上式并化简得 (x1－x2)＋t (y1－y2)＝0． …………………… 12分 又M(1，0)，

→→所以 MR·PQ＝(2－1)×(x2－x1)＋(t－0)×(y2－y1)＝0， 因此 MR⊥PQ． …………………… 16分 3、【解析】（1）由题设得4+23，又e?3，解得a?2,c?3,∴b?1.…2分 2x2故椭圆C的方程为?y2?1. …………………………………………4分

41x2（2）设直线l方程为：y?x?m代入椭圆C:?y2?1并整理得：x2?2mx?2m2?2?0，

24?x1?x2??2m设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则?. …………………………………6分 2?x1x2?2m?2|PQ|?(x1?x2)2?(y1?y2)2 12 / 28

?1?k2|x2?x1|?1?B到直线PQ的距离为d1?A到直线PQ的距离为d1?15?(x2?x1)2?4x1x2??8?4m2， ……8分 422m?1，

52m?15又因为P在第一象限, 所以?1?m?1，

2(1?m)2(1?m)4??所以d1?d2?， 5551所以SAPBQ?(d1?d2)?PQ?8?4m2?7， ……………………………12分

21解得m??，

211所以直线方程为y?x?． …………………………………………14分

224、解析：解：(1) 依题意，2c＝a＝2，所以c＝1，b＝3，

22xy

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)

43(2) ① 因为直线l分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交， 所以直线l一定存在斜率．(6分) ② 设直线l：y＝kx＋m，

??y＝kx＋m，222由?2得(4k＋3)x＋8kmx＋4(m－3)＝0. 2

??3x＋4y＝12，

， ………………………………10分

由Δ＝(8km)－4×(4k＋3)×4(m－3)＝0， 22

得4k＋3－m＝0 ①.(8分)

把x＝－4代入y＝kx＋m，得M(－4，－4k＋m)，

把x＝－1代入y＝kx＋m，得N(－1，－k＋m)，(10分) 所以NF1＝|－k＋m|，

MF1＝（－4＋1）＋（－4k＋m）＝9＋（－4k＋m） ②，(12分)

22

由①式，得3＝m－4k ③，

把③式代入②式，得MF1＝4（k－m）＝2|－k＋m|， NF1|k－m|1NF11∴ ＝＝，即为定值.(16分) MF12|k－m|2MF125、解：(I) 由F1(-1，0)得c?1,∴A点坐标为a,0；……2分

2

222222

?2?FAF1的中点 ∴a?3,b?2 ∵AF1?2AF2 ∴ 2是

22x2y2??1 ……4分 ∴ 椭圆方程为32(II)当直线MN与PQ之一与x轴垂直时，四边形PMQN面积S?1MNPQ?4；…………5分 2 13 / 28

当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，不妨设PQ：y?k?x?1??k?0?，

?y?k(x?1)? 联立?x2y2代入消去y得?2?3k2?x2?6k2x??3k2?6??0

?1???32?6k23k2?6,x1x2?设P?x1,y1?,Q?x2,y2? 则x1?x2? ………8分

2?3k22?3k2?1?43?2?1?43?k?1??k? 2MN?∴ PQ?1?kx1?x2?，同理

12?3k22?32k21??24?k2?2?2?1k?? ………12分

∴四边形PMQN面积S?MNPQ?1?2?6?k2?2??13k??24?u?2?41?4?令u?k?2，则u?2,S?，易知S是以u为变量的增函数

6u?136u?13k2所以当k??1,u?2时，Smin?综上可知，

9696，∴?S?4 252596?96??S?4，∴四边形PMQN面积的取值范围为?,4? ………16分 25?25?6、（1）由题意B?0,1?,C?0,?1?，焦点F?3,0，

x3y3?1，即y?x?1， ?13?当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为??x2?832?y?1x????831??4?7或?x?0(舍）M,?联立?，解得?，即. ????77y??11????y?3x?1?y???7?3?xy??1，即 x?3y?3?0， 连BF，则直线BF:31831?3??37712?233. ?7?27而BF?a?2，d???32故S?MBF?1133. ?BF?d??2??2277 14 / 28

（2）解:法一：①设P?m,?2?，且m?0，则直线PM的斜率为k?则直线PM的方程为y???1???2?0?m??1， m1x?1， m1?y??x?1?4?8?m?联立?2化简得?1?2?x2?x?0，

m?m??x?y2?1??4?8m4?m2?,2解得M??2?， m?4m?4??4?m2?121???2??2m213m?4??m，k2?所以k1???， 8m?8m40?mm?2m?4所以k1?k2??313?m??为定值. m44????m3?12mm2?12?8m4?m2?m,2?2???,2②由①知，PB???m,3?，PM???2?， 2m?4m?4m?4m?4??????m3?12mm2?12?m4?15m2?36,2所以PB?PM???m,3???， ??22m?4m?4m?4??令m2?4?t?4 故PB?PM??t?4?2?15?t?4??36tt2?7t?88??t??7，

tt8因为y?t??7在t??4,???上单调递增，

t88所以PB?PM?t??7?4??7?9，即PB?PM的取值范围为?9,???.

t4y?1解法二：①设点M?x0,y0??x0?0?，则直线PM的方程为y?0x?1，

x0??x令y??2，得P??0,?2?.

?y0?1?所以k1?y0?1?2?13?y0?1?， ,k2??x0x0x0?y0?122y0?13?y0?1?3?y0?1?3?y0?1?3?=???所以k1?k2?(定值）. 2x0x0x044?1?y02? 15 / 28

?x???x②由①知，PB??0,3?，PM??x0?0,y0?2?，

y0?1?y0?1???x02?y0?2?x0?x0?所以，PB?PM??3?y0?2? ?x0???3?y0?2??2y0?1?y0?1??y0?1??4?1?y02??y0?2??3?y0?2???7?y0??y0?2?y0?1?y0?1?2.

令t?y0?1??0,2?，则PB?PM??8?t??t?1?t8??t??7，

t8因为y??t??7在t??0,2?上单调递减,

t88所以PB?PM??t??7??2??7?9，即PB?PM的取值范围为?9,???.

t2?c2e????a2 7、解：（1）由?2?a?4??c得a?22,c?2，?b2?a2?c2?4，

x2y2??1.………………………………………………4分 所以椭圆M的方程84（2）设直线l1：y?kx?4，A(x1,y1),B(x2,y2),则D(?x1,y1),C(?x2,y2)，

?x2y2?1??（1+2k2)x2?16kx?24?0， 联立?8，消y得4?y?kx?4??16k24?x1?x2?,x?x?， …………………………………6分 121+2k21+2k2y?1y?1,kDQ?1， 又kBQ?2x2?x1y?1y1?1kx2?3kx1?3?kBQ?kDQ?2???

x2?x1x2x148k?23(x?x)?2k+12=2k+1?2k?2k?2k?0，………8分

24x1x21?2k2?kBQ=kDQ，故点B,D,Q三点共线，即直线BD经过点Q(0,1)

同理可得直线AC经过点Q(0,1)，

所以直线AC与直线BD交于点Q(0,1). …………………………10分

222222（3）由（2）可知AC?(x1?x2)?(y1?y2)?(x1?x2)?k(x1?x2)

2?(x1?x2)2?k2?(x+x)?4x1?x2?12??

16 / 28

22162?k224?2?16?k?+k?4? ?22222?（1+2k）（1+2k??1+2k）?6k2?1?4?k4+10k2?16?4?16??1+4?…………………………12分 24k+4k2+14k+4k+1??令t?6k-1,则k?22t+1 6222又由?=16k?4?24?(1?2k)?0得k?t?1?t?1?4?+4+1?6?6????9??16?1+ ……………………………………14分

16??t++8?t??16?16??t++8?1??0在t?上恒成立 （8，+?）??2t?t?16?t++8在t?上单调递增 （8，+?）t919316?，?1?1+? ?t++8?18， ?0?1616tt++82t++82tt?16?AC2?24

?4?AC?26. …………………………………………………16分

?c1?c?1??8、解：由题意得?a2，解得?，∴b2?a2?c2?3

?a?2?2a?4?x2y2∴椭圆M的方程是??1且A(?2,0),B(2,0) …………3分

43?AC2?16+16t23,所以t?8 29t???16?1+2 ?t+8t+16??2（1）方法一：设P(x0,y0)，kPA?y0x?2(x?2)， ，∵l1?PA ∴直线AC的方程为y??0x0?2y0同理：直线BC的方程为y??x0?2(x?2)． y0x0?2?42y??(x?2)?x??x0?4?y0?42y0x0?44??32联立方程?，解得????y0， x0?4，又∵

y0y03?y?y?y??x0?2(x?2)0??y0?4∴点C的坐标为(?x0,?y0)， …………6分

3 17 / 28

∵点C的横坐标为?1 ∴x0?1，又∵P为椭圆M上第一象限内一点 ∴y0?3 23∴P点的坐标为(1,)． …………8分

2x02?x????2??x0?2??(xQ?2)???Q??（2）设Q(xQ,yQ) ∵AC??AQ ∴?4，解得：?

4?y??y0Q??y??y0?3Q?3??x021x0214222∵点Q在椭圆M上 ∴(???2)?(?) y0)?1 又y0?3(1?44??33?36??50整理得：7x02?36(??1)x0?72??100?0，解得：x0?2或x0? …………14分

736??502516∵P为椭圆M上第一象限内一点 ∴0??2，解得：??? …………16分

7189方法二：（1）设AP的斜率为k，P(x0,y0)， ∵P为椭圆M上第一象限内一点 ∴0?k?∵kAP?kBP2y0y0y033???2?? ∴BP的斜率为?． x0?2x0?2x0?444k3 2?6?8k2?y?k(x?2)x?2?6?8k212k??4k?3联立方程?，解得?，即P(2,2) 34k?34k?3y??(x?2)12k??y?4k??4k2?3?11∵l1?PA，∴kAC??，则AC的方程为y??(x?2)

kk∵l2?PB，∴kBC?44k，则BC的方程为y?k(x?2)． 331??8k2?6y??(x?2)x?2??8k2?6?16k??k4k?3由?，得?，即C(2,2) …………6分

44k?34k?3?16k?y?k(x?2)?y???3?4k2?3?18k2?6∵点C的横坐标为?1 ∴2??1，解得：k??

4k?32133 ∴k? ∴P点的坐标为(1,)． …………8分 2221（2）设Q(xQ,yQ)，C(xC,yC)，又直线AC的方程为：y??(x?2)

k∵0?k?1?y??(x?2)??k22(3k?4x)?1x6?联立方程?2，得2?x?y?1?3?46k2?8 xQ?23k?416?12k21?6k12? ∴0?2?xQ?，解得：

3k2?42 18 / 28

8k2?6?2xC?24k2?316k2(3k2?4)7?2??1?∵AC??AQ ∴??， …………14分 xQ?26k?812k2(4k2?3)12k2?9?23k2?4∵0?k?25163 ∴??(,) …………16分 21899、解：∵直线x?3y?10?0与圆O:x2?y2?r2(r?0)相切 ∴圆心O到直线x?3y?10?0的距离为r?|10|1?9?10． …2分

（1）记圆心到直线l的距离为d，所以d?10?6?2．

当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x?2，满足题意； …3分 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y?1?k(x?2)，即kx?y?(1?2k)?0 所以d?|1?2k|3?2，解得k??，此时直线l的方程为3x?4y?10?0 …6分

41?k2综上，直线l的方程为x?2或3x?4y?10?0． …7分 （2）设P(x0,y0)．∵直线y?3与圆O交于A、B两点，不妨取A(1,3),B(?1,3)， ∴直线PA、PB的方程分别为y?3?y0?3y?3(x?1)，y?3?0(x?1) x0?1x0?1223x0?y03x0?y09x0?y03x0?y03x0?y0??2令x?0，得M(0,（*）…13分 ),N(0,)，则yM?yN?x?1x?1x?1x0?1x0?10002222?y0?10，即y0?10?x0因为点P(x0,y0)在圆C上，所以x0，代入（*）式

229x0?(10?x0)?10为定值． …15分 得yM?yN?2x0?110、【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)．

a2c1依题意，?，且?4，解得a＝2，c＝1．

ca2故b＝a－c＝3．

2

2

2

x2y2所以椭圆C的标准方程为??1． …… 4分

43（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)．

1?AF?y1yS13312?，整理可得1?，所以NF?2FM． 据题意，?，即

1y22S22?BF?y222 19 / 28

??1?x2?2?x1?1?，?x2?3?2x1，代入坐标，可得? 即?

y??2y．?y?2y，??21?21?x12y127???1，x?，?1?34?4?又点M， N在椭圆C上，所以?解得? 22??2y1???3?2x1??y?35．??1，1??8?43?355所以直线l的斜率k?8?． …… 9分

72?14（3）法一：依题意，直线l的方程为y?k?x?1?．

?y?k?x?1?，?联立方程组?x2y2整理得4k2?3x2?8k2x?4k2?12?0，

?1，??3?4??8k24k2?12所以x1?x2?2，x1x2?．

4k?34k2?3x1?x23k4k2故xD?，yD?k?xD?1???2， ?224k?34k?3所以直线OD的方程为y??3?33???． x，令x＝4，得yE??，即E?4，k?k4k?31所以k3?k??． …… 12分

4?1k?y2?y11?1?????? 所以k2??k1?k3??k2??k1???k?x2?2?x1?2k??k?x2?1??k?x1?1?1?k2?x1?1??x2?1???x2?1??x1?2???????

x2?2?x1?2k??x1?2??x2?2??k2??x1x2??x1?x2??1???x1x2?x1?2x2?2x1x2?2x1?2x2?4

?k2??x1x2??x1?x2??1???x1x2??x1?x2??2?3x2x1x2?2?x1?x2??4?4x2

?4k2?12?4k2?128k28k2k?2?2?1???2?2?3x224k?34k?34k?34k?3? ??24k?128k2?2?2?4?4x24k2?34k?32 20 / 28

221k2?183?x?7k?6??2?3x2?24k2?3?3?4k?3???． …… 16分

28k2?24?7k2?6?44x2?4?x2?2?4k2?34k?3??法二：依题意，直线l的方程为y?k?x?1?，即x?11y?1，记m?， kk?x?my?1，?则直线l的方程为x?my?1，与椭圆C联立方程组?x2y2

??1，?3?4整理得4?3m2y2?6my?9?0，

??6m9，． yy??124?3m24?3m2y?y23m4故yD?1，， ??x?my?1?DD24?3m24?3m23m?3m?． 所以直线OD的方程为y??x，令x＝4，得yE??3m，即E?4，4?3m所以k3???m． …… 12分

4?1所以y1?y2???yy?my2?x1?2?y2?y11?????m??12所以k2??k1?k3??k2??k1???

k?x2?2?x1?2x?2x?2??????12?y1y2?my2?my1?3??my1?3??my2?1???m2?1?y1y2?3my2m2y1y2?my1?3my2?3

?3my224?3m ?2?229m6mmy1y2?m?y1?y2??3?4my2???3?4my224?3m4?3m22?m?1?y1y2?3my2?9?m2?1??3my2234?3m??． …… 16分

412?m2?1???4my24?3m2?9?m2?1?法三：依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上，

?x12y12??1，?x22?x12y22?y12?43所以?2两式相减，得??0， 243?x2?y2?1，?3?4y?y1y2?y1333???，所以kOD?k??，即kOD??， 即2x2?x1x2?x1444k 21 / 28

所以直线OD的方程为y??3?33???， x，令x＝4，得yE??，即E?4，k?k4k?31所以k3?k??． …… 12分

4?1k??y?k1?x?2?，?又直线AM的方程为y?k1?x?2?，与椭圆C联立方程组?x2y2

??1，?3?4整理得4k12?3x2?16k12x?16k12?12?0，

??16k12?126?8k1212k所以?2?x1?，得x1?，y1?k1?x1?2??21． 224k1?34k1?34k1?3?6?8k1212k1?，2所以点M的坐标为?2?．

4k?34k?3?11??8k22?612k2?，?同理，点N的坐标为?2?． 24k?34k?3?22?又点M，N，F三点共线，

12k112k2?4k12?34k22?3所以k?，整理得?4k1k2?3??3k1?k2??0， ?6?8k128k22?6?1?14k12?34k22?3依题意，k1?0，k2?0，故k2?3k1．

12k111?4k1214k12?34k111???k由k?可得，，即． ?k??11k4k14k1k4k16?8k121?4k12?14k12?31?13?所以k2??k1?k3??3k1??k1???3k1??． …… 16分

k?4k14??c2e????a?2??a22211、（1）由题意，得?2，解得?，所以a?2,b?1，

??c?1?a?c?1??cx2所以椭圆C的标准方程为?y2?1． ………………………………………4分

2（2）由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意； 所以设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y?k(x?m)， 又准线方程为x?2，

所以P点的坐标为P?2,k(2?m)?，………………………………………………6分

22 / 28

由??y?k(x?m)22?x?2y?222222即(1?2k)x?4kmx?2km?2?0

222得，x?2k(x?m)?2，

?2km?km14k2m2k2m?m???2所以xD??2，yD?k?2， …………8分 ?22k?12k?122k?12k?1??1所以kOD??，

2k1x，（也可用点差法求解） 从而直线OD的方程为y??2k1??所以Q点的坐标为Q?2,??，…………………………………………………10分

k??1?2?所以以P,Q为直径的圆的方程为?x?2???y?k(2?m)??y???0，

k??1??22即x?4x?2?m?y??k(2?m)??y?0， ………………………………14分

k??因为该式对?k?0恒成立，令y?0，得x?2?2?m，

所以以PQ为直径的圆经过定点(2?2?m,0)．………………………………16分 22

12、解：（1）因为椭圆过点(1，)，离心率为，

22

1b1222

所以2＋2＝1，2＝1－e＝，解得a＝2，b＝1，

a2ba2

1

所以椭圆C的方程为＋y＝1． ·················· 2分

2

（2）由（1）知B(0，－1)，设M(x0，y0)，P(x，y)．

→→由BP＝3BM，得(x，y＋1)＝3(x0，y0＋1)， 则x＝3x0，y＝3y0＋2．

又因为P在直线x－y＋2＝0上，所以y0＝x0．① ··········· 4分 因为M在椭圆C上，所以

2

2x2

2

x02

2

＋y0＝1，

2

22

将①代入上式，得x0＝． ···················· 6分

3

所以|x0|＝

6

，从而|xP|＝6， 3

11626

所以S△PMA＝S△PAB－S△MAB＝×2×6－×2×＝． ········ 8分

2233

（3）方法1

由（1）知，A(0，1)，B(0，－1)．

设D(0，m)，0＜m＜1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

因为MN的斜率为1，所以直线MN的方程为：y＝x＋m，

23 / 28

x＋m，??y＝222

联立方程组?x消去y，得3x＋4mx＋2m－2＝0， 2

＋y＝1，??2

2

4m2m－2

所以x1＋x2＝－，x1·x2＝． …………………………………………10分

33直线MB的方程为：y＝

y1＋1y2－1

x－1，直线NA的方程为：y＝x＋1， x1x2

(y1＋1)x2＋(y2－1)x1

联立解得yP＝．……………………………………………12分

(y1＋1)x2－(y2－1)x1将y1＝x1＋m，y2＝x2＋m代入，得

2m－24m2·－＋(x2－x1)

332x1x2＋m(x1＋x2)＋x2－x1

yP＝＝

x1＋x2＋m(x2－x1)4m－＋m(x2－x1)3

4

－＋(x2－x1)31＝＝． ···················· 14分

4mm－＋m(x2－x1)3

2

2

1→→所以OD·OP＝(0，m)·(xP，yP)＝myP＝m·＝1． ……………………………16分

m 方法2

A(0，1)，B(0，－1)．设M(x0，y0)，则＋y02＝1．

2

因为MN的斜率为1，所以直线MN的方程为：y＝x－x0＋y0，则D(0，y0－x0)，

x02

x－x0＋y0，??y＝222

联立方程?x消去y，得3x－4(x0－y0)x＋2(x0－y0)－2＝0， 2

＋y＝1，??2

4(x0－y0)

所以xN＋x0＝，…………………………………………………………10分

3所以xN＝

x0－4y0

32x0＋y0

，yN＝－，

3

所以直线NA的方程为：y＝

直线MB的方程为：y＝

2

2

yN－12x0＋y0＋3

x＋1＝x＋1 xN4y0－x0

y0＋1

x－1 x0

2y0＋x0＋x0＋2y0

联立解得yP＝2．……………………………………12分 2

2y0－x0－x0y0－2x0＋2y0又因为

x02

2

＋y0＝1，

2

2＋x0＋2y01

所以yP＝＝，………………………………………14分

(2＋x0＋2y0)(y0－x0)y0－x0

24 / 28

1→→所以OD·OP＝(0，y0－x0)·(xP，yP)＝(y0－x0)＝1．……………………16分

y0－x0

y B 1x2y213、【解】（1）因为椭圆2?2=1(a>b>0)的离心率为，

ab2所以

c1?，则a=2c． a2因为线段AF中点的横坐标为所以

2， 2F O A x a?c2． =22（第17题）

所以c=2，则a2=8，b2=a2?c2=6．

x2y2所以椭圆的标准方程为?=1． …………………………………………………4分

86（2）因为A(a，0)，F(?c，0)，

所以线段AF的中垂线方程为：x=a?c． 2又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y=?x上， 所以C(a?ca?c，?)．…………………………………………………………………6分 22因为A(a，0)，B(0，b)，

baa=(x?)． 2b2a?cbaa?ca由C在线段AB的中垂线上，得??=(?)，

22b22所以线段AB的中垂线方程为：y?整理得，b(a?c)?b2?ac，…………………………………………………………10分 即(b?c)(a?b)?0．

因为a?b?0，所以b?c．……………………………………………………………12分 所以椭圆的离心率e?cc2??． …………………………………………14分

22a2b?c14、【解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a?22，c?3，a2?b2?c2，

a22y2x解得b?2，因此椭圆C2的标准方程为??1． ……………………………3分

82（2）①1°当直线OP斜率不存在时，

PA?2?1，PB?2?1，则PA?2?1?3?22． ……………………………4分

PB2?12°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y?kx， y P 25 / 28

O B A x

代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k2?1)x2?4， 所以xA2?44k?12，同理xP2?84k?12．………6分

所以xP2?2xA2，由题意，xP与xA同号，所以xP?2xA，

|x?xA||xP?xA|从而PA?P??2?1?3?22．

PB|xP?xB||xP?xA|2?1所以PA?3?22为定值． ……………………………………………………………8分 PB②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y?y0?k1(x?x0)，即y?k1x?k1y0?x0， 记t?k1y0?x0，则l1的方程为y?k1x?t，

代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k12?1)x2?8k1tx?4t2?4?0， 因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，

所以V?(8k1t)2?4(4k12?1)(4t2?4)?0，即4k12?t2?1?0，

将t?k1y0?x0代入上式，整理得，(x02?4)k12?2x0y0k1?y02?1?0， ……………12分 同理可得，(x02?4)k22?2x0y0k2?y02?1?0，

所以k1，k2为关于k的方程(x02?4)k2?2x0y0k?y02?1?0的两根，

y02?1从而k1?k2?2．……………………………………………………………………14分

x0?42y2x又点在P(x0，y0)椭圆C2：??1上，所以y02?2?1x02，

4822?1x02?14所以k1?k2???1为定值． ………………………………………………16分 24x0?415、【解】（1）因为椭圆C的上顶点为A0，3，所以b?3， 1?， x2?y2?1a2经过点M?0， 又圆O：4??所以a?2． …… 2分

2y2x 所以椭圆C的方程为??1． …… 4分 43 （2）若l1的斜率为0，则PQ?46，MN?2，

3 26 / 28

所以△PQN的面积为46，不合题意，所以直线l1的斜率不为0． …… 5分

3设直线l1的方程为y?kx?1，

?x2y2?1，?? 由?4消y，得(3?4k2)x2?8kx?8?0， 3??y?kx?1y2?， 设P?x1，y1?，Q?x2，22?4k?26?2k?1?4k?26?2k?1， 则x1?，x2?223?4k3?4k 所以PQ?(x1?x2)2?(y1?y2)2

22 ?1?k2x1?x2?461?k?22k?1． …… 8分

3?4k 直线l2的方程为y??1x?1，即x?ky?k?0，

k22． …… 11分 所以MN?21?k2?1?k1?k222461?k?2k?1?211?3， 所以△PQN的面积S?PQ?MN??22223?4k1?k 解得k??1，即直线l1的斜率为?1． …… 14分 22

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