教师版初三二次函数易错点及期末汇编

教

学

内

容

T 同步：二次函数易错点一、选择题 1、在下列函数关系式中， (1) y 2x ; (2) y x x ; (3) y 2( x 1) 3 ; (4) y 3x 3 ,2 2 2 2

二次函数有( A.1 个 【答案】D

) B.2 个 C.3 个 D.4 个

【解析】二次函数的一般式为 y ax bx c ( a 0 ) 个均为二次函数，故选 D. ,42

【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出 现把(3)不当二次函数来处理.. 2、若 y (2 m) x A. 5 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为 2 次，因此 m 3 =2,且 2- m 0 ,故选 C.2m 2 3

是二次函数，且开口向上，则 m 的值为( C. — 5 D.0

)

B. 5

【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出 m 3 =2,但会忽略 2- m 0 ,说明对二次函数的“二2

次”定义理解不透彻. 3、把抛物线 y 3x 向上平移 2 个单位，向向右平移 3 个单位，所得的抛物线解析式是(2

)

A. y 3( x 3) 22

B. y 3( x 3) 22

C. y 3( x 3) 22

D. y 3( x 3) 22

【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选 D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，往往会出错. 4、下列二次函数的图象与 x 轴没有交点的是( A. y 3x 9 x2 2

)

B. y x 2 x 3 D. y 2 x 4 x 52

C. y x 4 x 42

【答案】D

【解析】由 b 2 4ac 即可判断二次函数的图象与 x 轴的交点情况，本题 D 中

b 2 4ac =-24 0 ,表示与 x 轴没有交点，故选 D.【易错点】考查二次函数的图象与 x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点(-1, y1 )( 3 , y 2 )( , , ( ) A. y1 y 2 y3 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线 x 1 ,又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1,对应的函数 值越小，故选 C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有 x 的值一一代入，求得 y 的 值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线 y ax bx c 经过原点和第一、二、三象限，那么， (2

1 2

1 2 , y 3 )在函数 y 3x 6 x 12 的图象上，则 y1 、 y 2 、 y 3 的大小关系是 2

B. y 2 y1 y3

C. y 2 y3 y1

D. y3 y1 y 2

)

A. a 0,b 0,c 0 C. a 0,b 0,c 0

B. a 0,b 0,c 0 D. a 0,b 0,c 0

【答案】D 【解析】根据二次函数 a、b、c 的

符号判定方法，即可得出 D,故选 D. 【易错点】根据已知条件画不出二次函数图象的草图，故无法选择答案. 7、若二次函数 y mx x m(m 2) 的图象经过原点，则 m 的值为(2

)

A.0 或 2 【答案】C

B.0

C. 2

D.无法确定

【解析】二次函数经过原点，则 c 0 ,本题中即 m(m 2) 0 ,则 m 0或2 ,但二次函数二次项系数不等于 0, 因此 m 0 ,故选 C. 【易错点】能得出 m(m 2) 0 ,却忽略了二次项系数不等于零. 8、一次函数 y ax b 与二次函数 y ax bx c 在同一坐标系中的图象可能是(2

)

A 【答案】C

B

C

D

【解析】根据一次函数的图象得出 a 、 b 的符号，进而判断二次函数的草图是否正确，A 和 B 中 a 的符号已经发生 矛盾，故不选，C 符合，D 中由一次函数得 b 0 ,而由二次函数得 b 0 ,矛盾，也舍去，故选 C. 【易错点】对于如何判断二次函数中一次项系数 b 的符号理解不深，故常选错. 9、当 k 取任何实数时，抛物线 y A. y x 【答案】A 【解析】由给出的顶点式得出抛物线的顶点为( k, ) , k 2 ,在 y x 上，故选 A.2 2

1 ( x k ) 2 k 2 的顶点所在的曲线是( 22

)2

B. y x

C. y x ( x 0 )2

D. y x ( x 0 )

【易错点】当二次函数解析式中出现参数时，学生往往不知所措，过多得关注了 k 字母而没有看到这是一个顶点式 的抛物线，故选不出答案.

10、抛物线 y 2 x 5 x 3 与坐标轴的交点共有(2

)

A.4 个 【答案】B

B.3 个

C.2 个

D.1 个

【解析】由 b 4ac >0 得出抛物线与 x 轴有 2 个交点，与 y 轴一个交点，共 3 个，故选 B.2

【易错点】仅仅得出与与 x 轴的 2 个交点就选择 C,审题不严谨.. 二、填空题 11、函数 y ( x 5) 7 的对称轴是_____________,顶点坐标是_________,图象开口_______,当 x ________2

时， y 随 x 的增大而减小，当 x 5 时，函数有最____值，是______. 【答案】直线 x 5 , (-5,7) ,向下， 5 ,大，7. 【解析】根据二次函数顶点式的基本性质即可完成这一题. 【易错点】在增减性填空时往往写成 x 5 ,忽略等号.

12、抛物线 y ax 与 y 2x 形状相同，则 a =_________.2 2

【答案】 2 . 【解析】形状相同，即 a 相同，故 a = 2 . 【易错点】只写-2,忽略+2. 13、二次函数 y ( x 3)( x 2) 的图象的对称轴是__________. 【答案】直线 x

1 . 2

【解析】根据二次函数的交点式得抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标为-3 和 2,故对称轴为直线 x 【易错点】直接将二次函数转化为一般式，再根据公式求解，导致计算错误较多. 14、当 x =________时，函数

y 【答案】2,小，2.2 【解析】 ( x 2) 4 当 x 2 有最小值 4,故 y

3 2 1 . 2 2

( x 2) 2 4 有最_____值，是________.

( x 2) 2 4 在此时有最小值 2.

【易错点】最小值容易写成 4,而不是 2.

15、抛物线 y x bx c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________.2

【答案】 y ( x 1) 42

【解析】根据图象可设抛物线为 y ( x 1) k ,把点(3,0)代入求出 k 4 即可.2

【易错点】从对称轴角度出发，过分注重对称性来解题，使题复杂化.

(第 15 题图)2

(第 16 题图)

(第 17 题图)

16、如图是抛物线 y ax bx c 的一部分，对称轴是直线 x =1,若其与 x 轴的一个交点为(3,0) ,则由图象可知， 不等式 ax bx c 0 的解集是_____________.2

【答案】 x 1或x 3 【解析】根据图象得出抛物线的对称轴为直线 x 1

x1 3 ,得 x1 1故图象与 x 轴的另一个交点为(-1,0) ,不 2

等式的解集即为二次函数 y 0 时 x 的取值范围，故由图象得出在 x 轴的上方，故 x 1或x 3 【易错点】没有将不等式问题转化为二次函数 y 0 的问题，另外不会观察图象也是导致本题得分率低的一个重要 原因. 17、如图是二次函数 y ax bx c ( a 0 )在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断：① c 0 ;②2

a b c 0 ;③ 2a b 0 ;④ b 2 8a 4ac ,其中正确的是__________(填写序号).【答案】②④ 【解析】根据二次函数 c 的符号判定方法，得出①错；观察图象，当 x 1时，图象上的点在 x 轴下方，故②正确； 由 a 0, b 0 得出③正确；因为 b 4ac >0,而 0>-8 a , b 4ac 8a ,移项得④正确.2 2

【易错点】对二次函数中通过数形结合判断字母和代数式符号的方法没有掌握. 18、如图，从地面竖直向上跑出一个小球，小球的高度 h (单位： m )与小球运动时间 t (单位： s )之间的关系 式为 h 30t 5t ,那么小球从抛出至落到地面所需的时间是_____秒.2

【答案】6 【解析】令 h 0 ,得 30t 5t 0 ,解得 t 0或6 ,因 t 0 ,故 t 6 .2

【易错点】没有将实际生活问题传化成二次函数问题. 三、简答题 19、已知二次函数 y ax bx c ,当 x =0 时， y =4;当 x =1 时， y =9;当 x =2 时， y =18,求这个二次函数.2

【答案】把当 x =0, y =4; x =1, y =9; x =2, y =18 代入 y ax bx c 得， 1 分2

4 c , 4 分 9 a b c 18 4a 2b 4 a 2 2 解得 b 3 , 7 分∴ y 2 x 3x 4

8 分 c 4 【易错点】本题考查学生利用三元一次方程组求解二次函数解析式的能力，而部分学生往往出现三元一次方程组解 答出错，计算能力不高的情况.

20、二次函数的图象顶点是(-2,4) ,且过(-3,0) ; (1)求函数的解析式； (2)求出函数图象与坐标轴的交点，并画出函数图象. 【答案】 (1)由题意得，设 y a( x 2) 4 把(-3,0)得，0= a 4 2 分2

∴ a 4 ,∴ y 4( x 2) 4 3 分2

(2)令 x 0 ,则 y 4 4 4 12 ,∴与 y 轴的交点为(0,-12) 4 分 令 y 0 ,则 4( x 2) 4 0 , 解得2

x1 1, x2 3

∴与 x 轴的交点为(-1,0)和(-3,0) 6 分 图象略. 8 分 【易错点】本题考查利用顶点式求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点及函数图象画法.学生出错较多的地方 是与坐标轴交点求解不齐全.

1 2 x 3x 2 是否有解，若有解，请写出它的解.(结果精确到 0.1) 2 1 1 【答案】∵ x 2 3x 2 ,∴设 y x 2 3x 2 , 2 221、利用图象判断方程 则方程的解即函数图象与 x 轴两个交点的横坐标. ∴由图象得

x1 0.8 , x 2 5.2

【易错点】 本题考查利用图象法求方程的近似解.学生不理解为何要用图象法 求方程的近似解，进而会直接用公式法求解. 22、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 100 元，售价为 130 元，每星期可卖出 80 件.商家决定降价销售， 根据市场调查，每降价 5 元，每星期可多售出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润是多少元？ (2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少？最大销售利润是多少？ 【答案】 (1)(130-100)×80=2400 元 3 分 (2)设每件降价 x 元，商家每星期的利润为 y 元，则 4 分

y (30 x)(80 4 x) = 4 x 2 40 x 2400 =-4 ( x 5) 2 +2500 7 分∴当 x 5 时， y 有最大值，为 2500 9 分 即降价 5 元、售价为 125 元时，销售利润最大，为 2500 元. 10 分 【易错点】本题是二次函数最值问题的实际应用，若学生把售价定为 x 元，则无形中增加了题目的难度，所以本题 中设置合理的未知数是至关重要的，而学生往往不会这一点而导致此题错解.

23、如图，隧道的截面是由抛物线 AED 和矩形 ABCD 构成，矩形的长 BC 为 8m,宽 AB 为 2m,以 BC 所在的直线 为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系. y 轴是抛物线的对称轴，顶点 E 到坐标原点 O 的距离为 6m。 (1)

求抛物线的解析式； (2)一辆货车高 4.2m,宽 2.4 米，它能通过该隧道吗？通过计算说明你的结论； (2)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，还在隧道正中间设有 0.4m 的隔离带，则该辆货运卡车还能通过该隧 道吗？通过计算说明你的结论。 【答案】 (1)设抛物线的解析式为 y ax bx c ,2

由对称轴是 y 轴得 b = 0 ,由 EO=6,得 c 6 , 1 分 又抛物线经过点 D(4,2) , 所以： 16 a + 4 b 6 2 ,

1 , 3 分 4 1 ∴所求抛物线的解析式为： y x 2 6 . 4 分 4解得 a (2)取 x =± 1.2 ,代入(1)所求得的解析式中， 求得 y 5.64 4.5 ,∴这辆货运卡车能通过隧道. 7 分 (3)根据题意，把 x 2.6 代入解析式，得 y 4.31 ∵ 4.31 4.5 ∴货运卡车不能通过. 10 分

【易错点】本题是二次函数在隧道问题中的实际应用，解答这类问题，关键是要通过分析题意运用二次函数及性质 知识建立数学模型.易错点出现在第(2)小题中，误将 x =± 2.4 代入抛物线解析式中，而在第(3)小题中没有考 虑隔离带也有对称性，而误将 x =± 2.8 代入抛物线解析式中. 24、如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm,BC=12cm,点 M 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以 1cm/秒的速度向 B 点移动， 点 N 从点 B 开始沿 BC 边以 2cm/秒的速度向点 C 移动. 若 M, N 分别从 A, B 点同时出发， 设移动时间为 t (0<t<6), △DMN 的面积为 S. (1) 求 S 关于 t 的函数关系式，并求出 S 的最小值； (2) 当△DMN 为直角三角形时，求△DMN 的面积. 【答案】 (1)由矩形面积减三个三角形面积即可 S= 12 6 —

2t (6 t ) 6(12 2t ) 12t 2 = t 6t 36 2 2 2 2

分

(t 3) 2 27 3 分

∴当 t 3 (在 0 t 6 范围内)时， S 有最小值 27. 4 分 (2)当△DMN 为直角三角形时，∵∠MDN<90° ,∴可能∠NMD 或∠MND 为 90° . 当∠NMD=90° 时，DN2=DM2+MN2, ∴(12-2t)2+62=122+t2+(6-t)2+(2t)2, 解得 t=0 或—18,不在范围 0<t<6 内，∴不可能. 6 分 当∠MND=90° 时，DM2=DN2+MN2, ∴122+t2=(12-2t)2+62+(6-t)2+(2t)2,解得 t= 1.5 或 6,(6 不在范围 0<t<6 内舍). 8 分

∴S= (1.5 3) 27 =2

117 cm2 . 10 分 4

【易错点】本题是二次函数在动态题中的应用，用 t 的代数式表示相关线段的长度是解答本题的重要之处.本题难点 在第(2)题中，学生知晓要分类讨论，却不知运用最简单勾股定理即可解决问题，说明对直角三角形的本质掌握还 不够透彻. 【2013 期末分类汇编】 【海淀】 1

8.如图,二次函数 y x 2 x 3 的图象与 x 轴交于 A、 两点， B2

与 y 轴交于点 C,顶点为 D, 求△BCD 的面积.

解 ： 依 题 意 ， 可 得 y=-x 2 +2x+3=-( x-1) 2 +4. ∴ 顶 点 D( 1, -4) . 令 y=0, 可 得 x=3 或 x=-1. ∴ 令 x=0, 可 得 y=3. ∴ C( 3, 0) ∴ OC=3, . ∴ 直 线 DC 的 解 析 式 为 y=x+3. 设 直 线 DE 交 x 轴 于 E. ∴ BE=6. ∴ S △ B C D =S △ B E D -S △ B C E =3. ∴ △ BCD 的 面 积 为 3.

20. 已知：二次函数 y ax bx c (a 0) 中的 x 和 y 满足下表：2

xy

0 3

1 0 ;

2

3 0

4

5 8

1

m

(1) 可求得 m 的值为 (2) 求出这个二次函数的解析式；

(3) 当 0 x 3 时，则 y 的取值范围为

.

解 ： 函 数 的 解 析 式 是 ： y=x 2 -4x+3, 当 x=4 时 ， m=16-16+3=3; ( 3) 函 数 的 顶 点 坐 标 是 ： 2, -1) 当 0< x< 3 时 ， 则 y 的 取 值 范 围 为 ： -1≤ y< 3. 故 答 案 是 ： 3; -1≤ y< 3. ( ,

24. 抛物线 y mx (m 3) x 3(m 0) 与 x 轴交于 A、 两点， B 且点 A 在点 B 的左侧， y 轴交于点 C, 与 OB=OC.2

(1)求这条抛物线的解析式； (2)若点 P ( x1 , b) 与点 Q ( x2 , b) 在(1)中的抛物线上，且 x1 x2 ,PQ=n. ①求 4x12 2x2n 6n 3 的值； ② 将抛物线在 PQ 下方的部分沿 PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与 x 轴恰好 只有两个公共点时，b 的取值范围是 .

解 ： 1) 解 法 一 ： ∵ 抛 物 线 y=mx 2 +( m-3) x-3( m> 0) 与 y 轴 交 于 点 C, ( ∴ C( 0, -3) , ∵ 抛 物 线 与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 ， OB=OC, ∴ B( 3, 0) 或 B( -3, 0) , ∵ 点 A 在 点 B 的 左 侧 ， m> 0, ∴ 抛 物 线 经 过 点 B( 3, 0) , ∴ 0=9m+3( m-3) -3, ∴ m=1, ∴ 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=x 2 -2x-3.

【西城】 12.已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 x 轴交于( 1 ,0)和( x1 ,0),其中 2 x1 1 ,与 y 轴交于正半轴上一 点.下列结论：① b 0 ;② ac 2

1 2 b ;③ a b ;④ a c 2a .其中所有正确结论的序号是_______. 42

14.已知抛物线 y x 4 x 1 . (1)用配方法将 y x 4 x 1 化成 y a( x h) k 的形式；2

(2)将此抛物线向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求平移后所得抛物线的解析式.

19.已知抛物线 y x 2 2 x 3 . (1)它与 x 轴的交点的坐标为_______; (2)在坐标系中利用描点法画出它的图象； (3)将该抛物线在 x 轴下方的部分(不包含与 x 轴的交点)记为 G,若直线 y x b 与 G 只有一个公共点，则 b 的取 值范围是_______.

22.阅读下面的材料： 小明在学习

中遇到这样一个问题：若 1≤x≤m,求二次函数 y x 2 6 x 7 的最大值.他画图研究后发现， x 1 和

x 5 时的函数值相等，于是他认为需要对 m 进行分类讨论.他的解答过程如下：y

∵二次函数 y x 6 x 7 的对称轴为直线 x 3 ,2

∴由对称性可知， x 1 和 x 5 时的函数值相等. ∴若 1≤m<5,则 x 1 时， y 的最大值为 2; 若 m≥5,则 x m 时， y 的最大值为 m 6m 7 .2

O

1

5

x

x=3

请你参考小明的思路，解答下列问题： (1)当 2 ≤x≤4 时，二次函数 y 2 x 4 x 1 的最大值为_______;2

(2)若 p≤x≤2,求二次函数 y 2 x 4 x 1 的最大值；2

(3)若 t≤x≤t+2 时，二次函数 y 2 x 4 x 1 的最大值为 31,则 t 的值为_______.2

2 23.已知抛物线 y1 x 2(1 m) x n 经过点( 1 , 3m

1 ) . 2

(1)求 n m 的值； (2)若此抛物线的顶点为( p , q ) ,用含 m 的式子分别表示 p 和 q ,并求 q 与 p 之间的函数关系式； (3)若一次函数 y2 2mx

1 ,且对于任意的实数 x ,都有 y1 ≥ 2 y2 ,直接写出 m 的取值范围. 8

【东城】 8. 已知点 A(0,2) ,B(2,0) ,点 C 在 y x 的图象上，若△ABC 的面积为 2,则这样的 C 点有(2

)

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

17.已知关于 x 的一元二次方程 (m -2)x2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求 m 的取值范围； (2)当 m 取满足条件的最大整数时，求方程的根.

23.已知，二次函数 y ax bx 的图象如图所示.2

(1)若二次函数的对称轴方程为 x 1 ,求二次函数的解析式； (2)已知一次函数 y kx n ,点 P(m,0) 是 x 轴上的一个动点.若在(1)的条件下，过点 P 垂直于 x 轴的直线交 这个一次函数的图象于点 M,交二次函数 y ax bx 的图象于点 N.若只有当 1<m<2

5 3

时，点 M 位于点 N 的上方，求这个一次函数的解析式； (3)若一元二次方程 ax bx q 0 有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直2

接写出 q 的最大值.

【朝阳】 14.已知二次函数 y=x2-6x+5.

(1)解析式化为 y=a(x-h)2+k 的形式； (2)求出该函数图像与 x 轴、y 轴的交点坐标..

19.已知抛物线 y (k 1) x 2kx k 2 与 x 轴有两个不同的交点.2

(1)若点(1,5)在此抛物线上，求此抛物线的解析式； (2)在(1)的条件下，直接写出当 y<0 时，x 的取值范围； (3)若此抛物线与 x 轴有两个不同的交点，.求 k 的取值范围.

20. 如图，抛物线 y ax bx c 经过 A(-4,0) 、B(1,0) 、C(0,3)2

三点， 直线 y=mx+n 经过 A(-4,0) 、C(0,3)两点.

(1)

写出方程 ax2 bx c 0 的解；. (2)若 ax 2 bx c >mx+n,写出 x 的取值范围.

24.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ OBC 的两条直角边分别落在 x 轴、y 轴上，且 OB=1,OC=3,将△ OBC 绕 原点 O 顺时针旋转 90° 得到△ OAE,将△ OBC 沿 y 轴翻折得到△ ODC,AE 与 CD 交于点 F. (1)若抛物线过点 A、B、C, 求此抛物线的解析式; (2)求△ OAE 与△ ODC 重叠的部分四边形 ODFE 的面积; (3)点 M 是第三象限内抛物线上的一动点，点 M 在何处时△ AMC 的面积最大？最大面积是多少？求出此时点 M 的坐标.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wyt4.html