§7 高斯公式与斯托克斯公式

第七节 Gauss公式与Stokes公式

一Gauss公式

Green公式建立了沿平面封闭曲线的线积分与二重积分的关系. 类似地,沿空间闭曲面的第二类曲面积分和三重积分之间也有类似的关系. 下面的Gauss公式建立了这种关系.

定理13.3(Gauss公式) 设空间区域?由分片光滑的双侧封闭曲面?所围成. 若函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上连续, 且有一阶连续偏导数, 则

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

?或

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??(Pcos??Qcos??Rcos?)dS

?其中?是整个边界曲面的外侧, cos?,cos?,cos?是?上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.

证明 设闭曲面?在面xoy上的投影区域为Dxy.

?由?1,?2,?3三部分组成?1:z?z1(x,y), ?2:z?z2(x,y), ?3:是以Dxy的边界曲线为准线而

母线平行于z轴的驻面上的一部分，取外侧.

根据三重积分的计算法可得

z?2?3?1o?yz2(x,y)?R?Rdv???{?dz}dxdy ???z1(x,y)?z?z?DxyDxyx???{R[x,y,z2(x,y)]?R[x,y,z1(x,y)]}dxdy. 图13-19

Dxy根据曲面积分的计算法(?1取下侧, ?2取上侧, ?3取外侧)可得

??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy,

1?1Dxy??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy,

2?2Dxy 于是

??R(x,y,z)dxdy?0.

?3??R(x,y,z)dxdy???{R[x,y,z(x,y)]?R[x,y,z(x,y)]}dxdy,

21?Dxy因此

?Rdv???R(x,y,z)dxdy. ????z??同理

?Pdv???P(x,y,z)dydz, ????x???Qdv???Q(x,y,z)dzdx, ????y??合并以上三式可得

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy.

?由两类曲面积分之间的关系可知

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??(Pcos??Qcos??Rcos?)dS. 证毕.

?Gauss公式的实质: 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间

的关系.

若Gauss公式中P?x,Q?y,R?z, 则有

???(1?1?1)dxdydz???xdydz?ydzdx?zdxdy.

??于是得到应用第二类曲面积分计算空间区域?的体积公式

?的体积?例13.21 计算曲面积分

1xdydz?ydzdx?zdxdy. ??3?22, 其中为柱面x?y?1及平(x?y)dxdy?(y?z)xdydz????面z?0, z?3所围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧.

解 对应于Gauss公式p?(y?z)x, Q?0, R?x?y, 于是

?P?y?z,?x?Q?0,?y?R?0, ?z??(x?y)dxdy?(y?z)xdydz????(y?z)dxdydz

??????(rsin??z)rdrd?dz???9?. 2其中利用了柱面坐标变换.

例13.22 计算

???y(x?z)dydz?x2dzdx?(y2?xz)dxdy,

其中?是一顶点在坐标原点、侧面平行坐标面位于第一卦限的边长为a的正立方体表面并取外侧.

解 应用Gauss公式可得

???y(x?z)dydz?x2dzdx?(y2?xz)dxdy

?????2?2(y(x?z))?(x)?(y?xz)dxdydz ??x?????y?z???aaa????(y?z)dxdydz??dz?dy?(y?x)dx

?000a?1??a??ay?a2?dy?a2.

02??例13.23 设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数, 证明

???u?vdxdydz????u???u?v?u?v?u?v??vdS????????dxdydz, ?n?x?x?y?y?z?z????v为函数v(x,y,z)沿?的外法线方向的方向导数, ?n其中?是闭区域?的整个边界曲面,

?2?2?2符号??2?2?2, 称为Laplace (拉普拉斯)算子. 这个公式叫做Green第一公式.

?x?y?z证明 因为方向导数

?v?v?v?v?cos??cos??cos?, ?n?x?y?z其中cos?、cos?、cos?是?在点(x,y,z)处的外法线向量的方向余弦。于是曲面积分

??u??vdS??n??v??v?vucos??cos??cos???dS ???y?z??x?????????v????v???v?ucos??ucos??ucos????dS. ???????z???y????x???vdS ?n利用Gauss公式，即得

??u?????u????v????v????????u???u???u??dxdydz

?x??x??y??y??z??z??????u?v?u?v?u?v?????u?vdxdydz????????dxdydz,

?x?x?y?y?z?z????将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.

二 通量与散度

下面来解释Gauss公式的物理意义.

设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由

A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k

给出,其中P,Q,R假定具有一阶连续偏导数,?是速度场中一片有向曲面, 又

n?cos?i?cos?j?cos?k

是?在点(x,y,z)处的单位法向量, 由第13.5节可知, 单位时间内流体经过?流向指定侧的流体总质量?可用曲面积分来表示

????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

????(Pcos??Qcos??Rcos?)dS

????A?ndS???AndS,

??其中An?A?n?Pcos??Qcos??Rcos?表示流体的速度向量v在有向曲面?的法向量上的投影. 如果?是Gauss公式

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy中

?闭区域?的边界曲面的外侧, 那么Gauss公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域?的流体的总质量. 另一方面 假定流体是不可压缩的,且流动是稳定的,因此在流体离开?的同时, ?内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充，因此Gauss公式左端可解释为分布在?内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.

由于A(x,y,z)是?上的向量函数, 对?上每一点(x,y,z),定义数量函数

D(x,y,z)??P?Q?R??, ?x?y?z称为向量函数A(x,y,z)在(x,y,z)处的散度(divergence), 且记作

D(x,y,z)?divA(x,y,z).

把Gauss公式改写成

???divAdv???AdS.

n??以闭区域?的体积V除上式两端可得

1V???divAdv??1V??AdS

n?在?中任取一点(?,?,?), 对上式中的三重积分应用中值定理,得

??P?Q?R??????x?y?z??(?,?,?)?1V??AdS,

n?令?缩到一点M(x,y,z), 取上式的极限, 得

?P?Q?R1???lim?x?y?z??MV??AdS.

n?这个等式可以看作是散度的另一种定义形式. divA(x,y,z)可以看作稳定流体的不可压缩流体在点M(x,y,z)的源头强度, 即在单位时间单位体积内所产生的流体质量. 若

divA(x,y,z)?0,说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点,则称这一点为源.相

反,若divA(x,y,z)?0,说明流体在这一点被吸收,则称这点为汇.若在向量场A中每一点皆有

divA?0,

则称A为无源场.

例13.24 求向量场A?(x2?yz)i?(y2?xz)j?(z2?xy)k的散度. 解 P?x?yz,Q?y?xz,R??z?xy,

222divA??P?Q?R???2x?2y?2z?2(x?y?z). ?x?y?z例13.25 设u(x,y,z), v(x,y,z)是两个定义在闭区域?上的具有二阶连续偏导数的函数,

?u?v,依次表示u(x,y,z),v(x,y,z)沿?的外法线方向的方向导数. 证明 ?n?n???(u?v?v?u)dxdydz???u???vu?v??dS. ???n?n???其中?是空间闭区域?的整个边界曲面. 这个公式叫做Green第二公式.

证明 由第一Green公式(例13.23)知

??2v?2v?2v?u?2?2?2?dxdydz ?????x?y?z??

???u???u?v?u?v?u?v??vdS????????dxdydz, ?n?x?x?y?y?z?z?????2u?2u?2u?v?2?2?2?dxdydz ?????x?y?z?????v???u?v?u?v?u?v??udS????????dxdydz, ?n?x?x?y?y?z?z???将上面两个式子相减, 即得

???2v?2v?2v???2v?2v?2v???u?2?2?2??v?2?2?2??dxdydz ????x?y?z???x?y?z???????u???vu?v??dS. ???n?n???例13.26 利用Gauss公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中的物体所受液体的压力的合

力(即浮力)的方向铅直向上, 其大小等于这物体所排开的液体的重力.

证明 取液面为xoy面, z轴沿铅直向下,设液体的密度为?, 在物体表面?上取元素

dS上一点,并设?在点(x,y,z)处的外法线的方向余弦为cos?,cos?,cos?, 则dS所受液

体的压力在坐标轴x,y,x上的分量分别为

??zcos?dS,??zcos?,??zcos?,

利用Gauss公式计算?所受的压力可得

Fx?Fy?Fz???(??zcos?)dS????0dv?0,

????(??zcos?)dS????0dv?0,

????(??zcos?)dS????(??)dv???|?|,

??其中|?|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向下, 大小等于这物体排开液体的所受的重力, 即阿基米德原理得证.

三Stokes (斯托克斯)公式

右手规则: 设?是分段光滑的空间有向闭曲线,?是以?为边界的分片光滑的有向曲面, 当右手除拇指外的四指依?的绕行方向时, 拇指所指的方向与?上法向量的指向相同. 这时称?是有向曲面?的正向边界曲线.

Stokes公式是Green公式的推广. Green公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系, 而Stokes公式则把曲面?上的曲面积分与沿着?的边界曲线的曲线积分联系起来. 下面的公式就叙述这种关系.

定理13.4 设?为分段光滑的空间有向闭曲线,?是以?为边界的分片光滑的有向曲面,

?的正向与?的侧符合右手规则, 函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面?在内

的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式

??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy ?y?z?z?x?x?y??Pdx?Qdy?Rdz

?zn上式叫做Stokes公式.

证明 设Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点, 并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正向边界曲线?在xoy的投影.且所围区域Dxy. 如右图.

证明的思路是: 设法把曲面积分

o?z?f(x,y): ?y?P?Pdzdx?dxdy化为闭区域Dxy上的二重积分,然???x?y?DxyCx后通过Green公式使它与曲线积分相联系. 图13-20 根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系,有

?P?P?P?Pdzdx?dxdy?(cos??cos?)dS ?????z?y?z?y??当?为z?f(x,y)，(x,y)?Dxy时，有向曲面?的法向量的方向余弦为

cos???fx1?fx?fy22, cos???fy1?fx?fy22, cos??11?fx?fy22

因此cos???fycos?, 于是

?P?P?P?Pdzdx?dxdy??(?fy)cos?ds ?????z?y?y?z??即

?P?P?P?Pdzdx?dxdy??(?fy)dxdy ?????z?y?y?z??上式右端的曲面积分化为二重积分时, 把P(x,y,z)中的z用f(x,y)来代替. 因为由复合函数的微分法,有

??P?PP[x,y,f(x,y)]???fy ?y?y?z所以, 我们得到

?P?P?dzdx?dxdy??P[x,y,f(x,y)]dxdy (13-7-1) ?????z?y?y?Dxy根据Green公式,上式右端的二重积分可化为沿闭区域Dxy的边界C的曲线积分:

???Dxy?P[x,y,f(x,y)]dxdy??y?cP[x,y,f(x,y)]dx

于是立即可得

?P?Pdzdx?dxdy????z?y??cP[x,y,f(x,y)]dx

因为函数P[x,y,f(x,y)]在曲线C上点(x,y)处的值与函数P(x,y,z)在曲线?上对应点

(x,y,z)处的值是一样的,并且两曲线上的对应小弧段在x轴上的投影也一样,根据曲线积分

的定义,上式右端的曲线积分等于曲线?上的曲线积分

??P(x,y,z)dx. 因此

?P?Pdzdx?dxdy????x?y?同理可证

??P(x,y,z)dx. (13-7-2)

?Q?Qdxdy?dydz????x?z??R?Rdydz?dzdx????y?x?于是立即可得

???Q(x,y,z)dy,

?R(x,y,z)dz,

??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??y?z?z?x?x?y?Pdx?Qdy?Rdz. 证毕.

? 注: 1. 如果?取下侧, ?也相应地改成相反的方向, 那么(13-7-2)式两端同时改变符号,

因此(13-7-2)式仍成立.

2. 如果曲面与平行于z轴的直线的交点多于一个, 则可作辅助曲线把曲面分成几部分, 然后应用公式(13-7-2)并相加. 因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消,所以对于这一类曲面公式(13-7-2)也成立.

3. 为了便于记忆, 把Stokes公式写成

???dydzdzdxdxdy?????x?y?zPQR??Pdx?Qdy?Rdz

另一种形式

???cos???xPcos???yQcos??ds??zR??Pdx?Qdy?Rdz

其中n?{cos?,cos?,cos?}.

4. Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.

5. 当Σ是xoy面的平面闭区域时,Stokes公式就变成Green公式. 因此, 格林公式是Stokes公式的一个特殊情形.

例13.27 计算曲线积分

??zdx?xdy?ydz,其中?是平面x?y?z?1被三坐标面所截

z1成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.

解 根据Stokes公式, 有

n??zdx?xdy?ydz???dydz?dzdx?dxdy

?0yDxy11由于?的法向量的三个方向余弦都为正, 再由对称性知:

??dydz?dzdx?dxdy?3??d?

?Dxyx图13-21

于是

? 例13.28 计算曲线积分

?zdx?xdy?ydz?3 2??(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz

zn?其中?是平面x?y?z?3截立方体:0?x?1, 20?y?1, 0?z?1的表面所得的截痕,若从

ox轴的正向看去,取逆时针方向.

解 取Σ为平面x?y?z?3 2?oxy的上侧被?所围成的部分. 则n?1{1,1,1} 3即cos??cos??cos??1,因此 图13-22 3I????13??xy2?z213??yz2?x213?ds ?zx2?y2??因为在?上x?y?z?4(x?y?z)ds ??3?3, 所以 2I??439???ds??23??3dxdy??.

232?Dxy例13.29 利用Stokes公式计算

??ydx?zdy?xdz,其中?为圆周x2?y2?z2?a2,

x?y?z?0,若从x轴的正向看去,这圆周是取逆时针的方向.

解 设?为平面x?y?z?0上?所围成的部分, 则?上侧的单位法向量为

?111?n?(cos?,cos?,cos?)??,,?.

?33,3,?于是

??ydx?zdy?xdz????13??xy13??yz13?dS ?zx??这其中用到

32. dS??3?a??3???dS表示?的面积, ?是半径为a的圆.

?3四 空间曲线与路径的无关性

定理13.5 设???为空间单连通区域. 若函数P,Q,R在?上连续,且有一阶连续偏导数, 则以下四个条件是等价的:

(1) 对于?内任意按段光滑的封闭曲线L有

?LPdx?Qdy?Rdz?0;

(2) 对于对于?内任意按段光滑的封闭曲线l有

?Pdx?Qdy?Rdz

l与路径无关;

(3) Pdx?Qdy?Rdz是?内某一函数u的全微分, 即

du?Pdx?Qdy?Rdz;

(4)

?P?Q?Q?R?R?P在?内处处成立. ?,?,??y?x?z?y?x?z该定理证明类似于定理13.3.2的证明, 故略去. 例13.30 验证曲线积分

?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz

L与路径无关, 并求被积表达式的原函数u(x,y,z).

解 由于

p?y?z,Q?z?x,R?x?y,

?P?Q?Q?R?R?P??????1, ?y?x?z?y?x?z所以曲线积分与路径无关.

下面求

u(x,y,z)??M0M(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz.

z M(x,y,z)如图取M0M,从M0沿平行于x轴的直线到M1(x,y0,z0), 再沿平行于y轴的直线到

o M0(x0,y0,z0)y M2(x,y,z0), 最后沿平行于z轴的直线到

x M1 M2 M(x,y,z). 于是 图13-23

u(x,y,z)??(y0?z0)dx??(z0?x)dy??(x?y)dz

x0y0z0xyz?(y0?z0)x?(y0?z0)x0?(z0?x)y ?(z0?x)y0?(x?y)z?(x?y)z0

?xy?xz?yz?c,

其中C??x0y0?x0z0?y0z0是一个常数. 若取M0为原点,则

u(x,y,z)?xy?xz?yz.

五 环流量与旋度

环流量的定义: 设向量场

A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k

则沿场A中某一封闭的有界曲线C上的曲线积分

???CA?ds??CPdx?Qdy?Rdz

称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.

利用Stokes公式,有

ij??yQk??ds ?zR???CA?ds??????xP旋度的定义: 设向量场

A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k

在坐标轴上的投影为

?R?Q?p?R?Q?P?,?,? ?y?z?z?x?x?y的向量叫做向量场A的旋度, 记作rotA, 即

rotA????R?Q???p?R???Q?P????k ?i????j????y?z???z?x???x?y?于是, 可以写出Stokes公式的又一种形式

??[(??R?Q?P?R?Q?P?)cos??(?)cos??(?)cos?]dS ?y?z?z?x?x?y??(Pcos??Qcos??Rcos?)ds

?其中?的单位法向量为n?cos?i?cos?j?cos?k, ?的单位切向量为

t?cos?i?cos?j?cos?k. 这样我们又可得Stokes公式的向量形式

??rotA?ndS????A?tds或??(rotA)ndS???? Adst其中(rotA)n?rotA?n?(?R?Q?P?R?Q?P?)cos??(?)cos??(?)cos?, ?y?z?z?x?x?yAt?A?n?Pcos??Qcos??Rcos?. 所以

????rotA?ds???? Adst现在, Stokes公式可叙述为: 向量场A沿有向闭曲线?的环流量等于向量场A的旋度场通过?所张的曲面的通量.( ?的正向与?的侧符合右手法则)

习题13.7

1. 利用Gauss公式计算下列曲面积分: (1)

222xdydz?ydzdx?zdxdy. 其中?为平面x?0,y?0,z?0,x?a,y?a,z?a???所围的立体的表面的外侧. (2)

??xzdydz?(xy?z)dzdx?(2xy?yz)dxdy?2232.

其中?为上半球体

x2?y2?a2,0?z?a2?x2?y2的表面外侧.

(3) (4) (5)

222333.其中是单位球面x?y?z?1的外侧. xdydz?ydzdx?zdxdy??????yzdydz?zxdzdx?xydxdy. 其中?是单位球面x??2?y2?z2?1的外侧.

222222. 其中是锥面与平面z?h所围成的空间x?y?zxdydz?ydzdx?zdxdy???区域(0?z?h)的表面, 方向取外侧.

x2y2z22. 利用Gauss公式计算椭球面2?2?2?1所围区域的体积.

abc3. 设某种流体的速度为v?xi?yj?zk, 求单位时间内流体流过曲面

?:y?x2?z2(0?y?h2)的流量, 其中?取左侧.

4. 应用Gauss公式计算三重积分

???(xy?yz?zx)dxdydz

V22其中V是由x?0,y?0, 0?z?1与x?y?1所确定的空间区域.

5. 计算

???xdydz?ydzdx?zdxdy. 其中?为一封闭曲面的外侧(曲面不经过坐标原点).

(x2?y2?z2)3/26. 应用Stokes公式计算下列积分: (1)

???L(2y?z)dx?(x?z)dy?(y?x)dz. 其中?为平面x?y?z?1与各坐标面的交线,

取逆时针方向为正向. (2)

L(y2?z2)dx?(x2?z2)dy?(x2?y2)dz, 其中L为x?y?z?1与三个坐标面的交

线, 它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧. (3)

L(z?y)dx?(x?z)dy?(y?z)dz. 其中L为以A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶

点的三角形沿ABCA的方向.

?x2?y2?a2(4) ?xydx?dy?zdz. 其中L为圆: ?,且从z轴正向看去取逆时针方向.

Lz?0?23?x2?y2?4y(5) ?yzdx?3zxdy?xydz. 其中L是曲线?,且从z轴正向看去取逆时针方

L?3y?z?1?0向.

7. 证明沿曲线AB的曲线积分

?AB(3x2?y?z2)dx?(?x?4y3)dy?2xzdz与路径无关, 只

与起点A和终点B有关. 并求原函数. 8. 计算

?L(x2?yz)d?x(2y?2x)z?d(y?z). x其y中dzL为由点A(a,0,0)点至

x?acos?,y?asin?,z?B(a,o,h)的螺线

h?(0???2?). 2?9. 证明: 由曲面?所围成的立体V的体积等于

V?1(xcos??ycos??zcos?)dS ??3?其中cos?,cos?,cos?为曲面?的外法线方向余弦.

参考答案

1. (1). 3a (2). 2. 3.

425?a (3). a4 (4). 0 (5) 54?abc 3?4h 2114.

245. 当曲面?不包围含坐标原点时, 积分0; 当曲面?包围坐标原点时, 积分为4? 6. (1).

3162 (2). 0 (3). 3a (4) ??a (5) 8? 283427. u(x,y,z)?x?xy?y?xz?C

8. 提示: 此积分与路径无关, 积分值为h

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