2016年山东省烟台市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

2016年山东省烟台市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题：每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则?UA=（ ） A．φ B．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5} 2．在复平面内，复数z=

﹣2i3（i为虚数单位）表示的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数f（x）=A．（0，1） B．（0，1]

的定义域为（ ） C．[1，+∞）

D．（1，+∞）

4．如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h（ ）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 5．下列说法正确的是（ ）

A．“x2+x﹣2＞0”是“x＞l”的充分不必要条件 B．“若am2＜bm2，则a＜b的逆否命题为真命题

C．命题“?x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“?x∈R，均有2x2﹣1＜0” D．命题“若x=

，则tanx=1的逆命题为真命题

，b+c=3，则△ABC

6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=的面积为（ ） A．

B．

C．

D．2

7．执行如图的程序框图，若输入n为4，则输入S值为（ ）

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A．﹣10 B．﹣11 C．﹣21 D．6

8．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则+最小值（ ） A．2 B．6 C．12 D．3+2

9．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＜1，f（0）=﹣1，则不等式exf（x）＞ex﹣2（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．D．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） （2，+∞） 10．点F为双曲线C：

﹣

=1（a，b＞0）的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近

+

=0， 则双曲线C的离心率是（ ）

线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B．若3A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题卡相应的位置．

11．圆C以抛物线x2=4y的焦点为圆心，且被该抛物线的准线截得的弦长为6，则圆C的标准方程式是 ． 12．已知实数x，y满足不等式组

，则2x+y的最大值为 ．

13．设向量=（，1） ，=（x，﹣3），且⊥，则向量与+的夹角为 ．14．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为 ． 15．已知定义在R上的函数f（x）=

，若直线y=a与函数y=f（x）的图

象恰有两个交点，则实数a的取值范围是 ．

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三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．

16．植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第l组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的部分频率分布表如下： 区间 人数 频率 0.1 第1组 [25，30） 50 0.1 第2组 [30，35） 50 0.4 第3组 [35，40） a b 第4组 [40，45） 150 （1）求a，b的值； （2）现在要从年龄较小的第l，2，3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人，在第l，2，3组抽取的义工的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率．

17．已知f（x）=2sin2xcosφ+2cos2xsinφ+m（0＜φ＜为M（

，﹣1）．

），且f（x）的图象上的一个最低点

（1）求f（x）的解析式； （2）已知f（

）=，α∈[0，π]，求cosα的值．

18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABC⊥平面CBS，侧

面SBC是正三角形，AB=AS，点E是SB的中点． （1）证明：SD∥平面ACE； （2）证明：BS⊥AC；

（3）若AB⊥AS，BC=2，求三棱锥S﹣BCD的体积．

19．已知数列{an}的前n项和Sn，且满足：（1）求an． （2）设Tn=

+

+

+…+

+++…+

=n，n∈N+．

，是否存在整数m，使对任意n∈N+，不等式Tn≤

m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

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20．已知椭圆C： +

=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4

x的焦点重合，

过点F1的直线l交椭圆于A，B两点．当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切． （1）求椭圆C的方程；

（2）是否在x轴上存在定点M，使?为定值？若存在，请求出定点M及定值；若不存在，请说明理由．

21．已知m，n∈R，函数f（x）=（4x+m）lnx，g（x）=x2+nx﹣5，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的切线相同． （1）求f（x），g（x）的解析式：

（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；

（3）证明：当x∈（0，k]（0＜k≤1）时，不等式（2x+1）f（x）﹣（2x+1）g（x）≤0恒成立．

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2016年山东省烟台市高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题：每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则?UA=（ ） A．φ B．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5} 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据集合的补集的定义求出A的补集即可． 【解答】解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}， ∴?UA={1，5}， 故选：C．

2．在复平面内，复数z=

﹣2i3（i为虚数单位）表示的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【解答】解：∵z=

﹣2i3=

，

∴z在复平面内对应的点的坐标为：（1，3），位于第一象限． 故选：A．

3．函数f（x）=

的定义域为（ ）

D．（1，+∞）

A．（0，1） B．（0，1] C．[1，+∞）

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣1﹣1＞0， 即2x﹣1＞1，即x﹣1＞0， 则x＞1，

即函数的定义域为（1，+∞）， 故选：D．

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4．如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h（ ）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【考点】简单空间图形的三视图．

【分析】由已知中的三视图得几何体是三棱锥，计算出底面面积，由锥体体积公式，即可求出高．

【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥， 其底面面积为S=×5×6=15，高为h， 所以该几何体的体积为

S=Sh=×15h=35，解得h=7（cm）．

故选：C．

5．下列说法正确的是（ ）

A．“x2+x﹣2＞0”是“x＞l”的充分不必要条件 B．“若am2＜bm2，则a＜b的逆否命题为真命题

C．命题“?x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“?x∈R，均有2x2﹣1＜0” D．命题“若x=

，则tanx=1的逆命题为真命题

【考点】四种命题．

【分析】选项A，根据充分条件和必要条件判断即可， 选项B，根据逆否命题及其真假判断即可， 选项C，根据命题的否定判断即可，

选项D，根据逆命题及其真假判断即可．

【解答】解：选项A，x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1，故“x2+x﹣2＞0”是“x＞l”的必要不充分条件，故A错误，

选项B，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆否命题为“若a≥b，则am2≥bm2”为真命题，故B正确，

选项C，命题“?x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是：“?x∈R，均有2x2﹣1≥0，故C错误，选项D，命题“若x=故D错误，

故选：B．

，则tanx=1”的逆命题“若tanx=1，则x=

”，因为tanx=1，则x=kπ+

”，

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6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=的面积为（ ） A．

B．

C．

D．2

，b+c=3，则△ABC

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】由余弦定理可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA即可求值．

【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA， ∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2， ∴S△ABC=bcsinA=

=

，

故选：B．

7．执行如图的程序框图，若输入n为4，则输入S值为（ ）

A．﹣10 B．﹣11 C．﹣21 D．6 【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：模拟执行程序，可得 n=4，k=2，S=0

执行循环体，不满足条件k为奇数，S=0﹣4=﹣4，k=3

不满足条件k＞4，执行循环体，满足条件k为奇数，S=﹣4+9=5，k=4

不满足条件k＞4，执行循环体，不满足条件k为奇数，S=5﹣16=﹣11，k=5 满足条件k＞4，退出循环，输出S的值为﹣11． 故选：B．

8．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则+最小值（ ） A．2

B．6 C．12 D．3+2

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【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），建立m，n的关系，利用基本不等式即可求+的最小值．

【解答】解：∵直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2）， ∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1， ∵+=（+）（m+n）=3++当且仅当=

，即n=

≥3+2

，

m时取等号， ，

∴+的最小值为3+2

故选：D．

9．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＜1，f（0）=﹣1，则不等式exf（x）＞ex﹣2（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．D．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） （2，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系． 【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），

则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f（x）+f′（x）＜1， ∴f（x）+f′（x）﹣1＜0， ∴g′（x）＜0，

∴y=g（x）在定义域上单调递减， ∵exf（x）＞ex﹣2， ∴g（x）＞﹣2，

又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=﹣1﹣1=﹣2， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＜0，

∴不等式的解集为（﹣∞，0） 故选：A．

10．点F为双曲线C：

﹣

=1（a，b＞0）的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近

+

=0， 则双曲线C的离心率是（ ）

线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B．若3A．

B．

C．

D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值．

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【解答】解：双曲线C：设F（c，0），由OA⊥FA，

﹣=1的渐近线方程为y=±x，

且OA的方程为y=x，OB的方程为y=﹣x， 直线AB的方程为y=﹣（x﹣c），

由解得A（，），

由解得B（，﹣），

由3即3（

+=0，即3﹣c，

+=，

﹣c，﹣

）=0

）+（

可得3（﹣c）+﹣c=0，

即3a2+=4c2，

由b2=c2﹣a2，化简可得3a4﹣5a2c2+2c4=0， 即（a2﹣c2）（3a2﹣2c2）=0， 即a2=c2，（舍）或3a2=2c2， 即c2=a2，c=故选：B．

a=

a，可得e==

．

第9页（共19页）

二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题卡相应的位置．

11．圆C以抛物线x2=4y的焦点为圆心，且被该抛物线的准线截得的弦长为6，则圆C的标准方程式是 x2+（y﹣1）2=13 ． 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】圆的圆心为抛物线x2=4y的焦点，所以可求出圆心坐标，又因为圆被抛物线的准线截得的弦长为2，利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，即可求出圆半径，进而得到圆方程．

【解答】解：∵抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∴圆心坐标为（0，1）， 又∵被抛物线的准线截得的弦长为6，∴半弦为3，弦心距为2∴半径为∴圆的方程为x2+（y﹣1）2=13． 故答案为：x2+（y﹣1）2=13．

12．已知实数x，y满足不等式组

，则2x+y的最大值为 6 ．

=

【考点】简单线性规划．

【分析】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得． 【解答】解：作出不等式组

所对应的可行域（如图阴影），

变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值， 代值计算可得z=2x+y的最大值为6 故答案为：6．

13．设向量=（

，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量与+的夹角为 ．

【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】利用两个向量垂直的性质求得x，设向量与+的夹角为θ，则由cosθ=

的值，求得θ的值．

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要存在整数m，使对任意n∈N+，不等式Tn≤m恒成立，即（Tn）max≤m， 由{}单调递减可知当n=1时，Tn取最大值1，即m=1．

20．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4

x的焦点重合，

过点F1的直线l交椭圆于A，B两点．当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切． （1）求椭圆C的方程；

（2）是否在x轴上存在定点M，使?为定值？若存在，请求出定点M及定值；若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，可得c=，即a2﹣b2=3，求得直线经过（﹣c，0）和（0，b）的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，结合离心率公式可得b，a，进而得到椭圆方程；

（2）假设直线l的斜率存在，设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得x的方程，运用韦达定理，设出M（m，0），运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值，可得m，以及向量数量积的值；再讨论直线l的斜率不存在，求得A，B，验证成立．

【解答】解：（1）抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣，0）， 由题意可得c=，即a2﹣b2=3， 由直线l经过（﹣c，0）和（0，b），可得直线l：bx﹣cy+bc=0， 直线l与原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切，可得

=e=

=，解得b=1，则a=2，

+y2=1；

即有椭圆的方程为

（2）当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x+）， 代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣

，x1x2=

，

设M（m，0），=（m﹣x1，﹣y1），=（m﹣x2，﹣y2）， ?═（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1+=m2+（k2﹣m）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+3k2 =m2+（

k2﹣m）（﹣

）+（1+k2）?

+3k2

）（x2+

）

=，

第16页（共19页）

要使?为定值，则=4，

解得m=﹣，即有?=﹣．

，﹣），B（﹣

，），

当直线l的斜率不存在时，A（﹣=（﹣可得

?

，），=﹣

．

=（﹣

，﹣），

则在x轴上存在定点M（﹣，0），使得?为定值﹣．

21．已知m，n∈R，函数f（x）=（4x+m）lnx，g（x）=x2+nx﹣5，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的切线相同． （1）求f（x），g（x）的解析式：

（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；

（3）证明：当x∈（0，k]（0＜k≤1）时，不等式（2x+1）f（x）﹣（2x+1）g（x）≤0恒成立．

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出f（x）的导数，得到关于m，n的方程组，解出即可；（2）求出F（x）的导数，求出其导函数递减，判断出导函数的符号，从而求出函数的单调区间；

（3）问题转化为：（2k+1）（4x+2）lnx﹣（2x+1）（x2+4x﹣5）≤0，令H（x）=（2k+1）（4x+2）lnx﹣（2x+1）（x2+4x﹣5），通过求导得到H（x）的最大值，从而证出结论． 【解答】解：（1）∵f′（x）=4（lnx+1）+，g′（x）=2x+n， ∴f′（1）=4+m，g′（1）=2+n，

∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的切线相同， ∴f（1）=0=g（1）=1+n﹣5，f′（1）=g′（1）， 即

，解得：m=2，n=4，

∴f（x）=（4x+2）lnx，g（x）=x2+4x﹣5； （2）由题意F（x）=（4x+2）lnx﹣x2﹣4x+5，（x＞0）， ∴F′（x）=4lnx+

﹣2x﹣4=4lnx+﹣2x，

令G（x）=F′（x），则G′（x）=≤0恒成立，

∴F′（x）在（0，+∞）递减， 又∵F′（1）=0，∴在（0，1），F′（x）＞0，在（1，+∞），F′（x）＜0， ∴F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减； （3）由题意得：k∈（0，1]，2x+1＞0，

第17页（共19页）

∴不等式（2k+1）f（x）﹣（2x+1）g（x）≤0可化为： （2k+1）（4x+2）lnx﹣（2x+1）（x2+4x﹣5）≤0， 令H（x）=（2k+1）（4x+2）lnx﹣（2x+1）（x2+4x﹣5）， ∴H′（x）=

，

令h（x）=﹣2x2﹣4x+4k+2中，h（k）=﹣2k2﹣4k+4k+2=﹣2（k﹣1）（k+1）， 当0＜k≤1，h（k）≥0，H′（x）＞0， H（x）在（0，k）递增，

H（x）max=H（k）=2（2k+1）lnk﹣k2﹣4k+5，

又F（x）=（4x+2）lnx﹣x2﹣4x+5在（0，1）递增， H（x）max=H（k）=F（k）≤F（1）=0，满足题意．

第18页（共19页）

2016年8月1日

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