公务员考试备考数量关系模块宝典 - 图文

走进数量关系

情况简介

在公务员考试中，数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的技能，主要涉及数字和数据关系的分析、推理、判断、运算等。只有具备了对数量关系的理解能力，才能快速、准确地接受与处理大量的用数字表达或与数字相关的信息，胜任公务员工作。

数量关系所涉及的知识一般不超过高中范围，但由于多数考生在多年的学习和工作中对数学知识没有持续地进行学习，加之试题本身的灵活性以及时间上的限制，数量关系的得分情况并不理想。

考查题型

公务员考试数量关系题型分析表

数字推理 数列形式数字推理、图形形式数字推理 计算问题、和差倍比问题、行程问题、工程问题、利润问题、几何问题、排列组合问题、容数学运算 斥问题、抽屉问题、浓度问题、鸡兔同笼问题、牛吃草问题、年龄问题、日期问题、方阵问题等 题 型 备考策略

数量关系涉及规律、考点众多，知识点繁杂，需要进行专项训练，讲究复习方法。数量关系的备考要遵循循序渐进、稳步提升的原则。 ■数字推理备考策略 (1)夯实解题基础

数字推理的本质是对数项特征、运算关系、结构特征的考查，只有明白其中的基本内容，才能为学习数字推理的解题方法做好准备。 (2)形成系统方法

要掌握数字推理的解题方法．包括基本的作差法、作商法、作和法、作积法以及更深层次的局部分析法和趋势分析法，并能将这些解题方法融会贯通、灵活运用。 【例题1】

2，6，11，18，29，( ) A.41 B.48

C.45 D.59

1

解析：此题答案为B。三级等差数列变式。

2 6 11 18 29 (48)

作差 4 5 7 11 (19) 作差

1 2 4 (8) 公比为2的等比数列

【3】掌握更多规律

要熟悉常见的基本数列及其变式，并掌握图形形式数字推理的解题方法，见多识广，开阔思路，实现数字推理解题能力的全面升级。

【例题2】

-26，-6， 2，4，6，( )

A.16 B.12 C.14 D.6 解析：此题答案为C。立方数列变式。

-26 -6 2 4 6 (14)

(-3)3+l (-2)3+2 (-1)3+3 03+4 13+5 (23+6) 底数是连续整数，第二个加数是连续自然数。 【例题3】

A.9 B.18 C.28 D.32

解析：此题答案为C。上面两个数字之积×下面两个数字之差=中间数字，(1×7)×(5—1)=(28)。 (4)实战快速提升

要勤于练习，举一反三，有意识地培养数字直觉和运算直觉，这是解决数字推理的核心所在。 ■数学运算备考策略 (1)巩固基础知识

数学运算基础知识众多，需要系统梳理，这是快速解答数学运算题的基础。 (2)熟悉基本题型

2

数学运算基本题型很多，每一题型都有其对应公式或核心解题思想，考生要全面学习，并熟练掌握计算问题、几何问题、行程问题、工程问题、利润问题、排列组合问题等常见题型。 【例题1】

一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等。两辆车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A车上下坡时速相等，而B车上坡时速比A车慢20%，下坡时速比A车快20%。问在A车跑到第几圈时，两车再次齐头并进？ A.22 B.23 C.24 D.25

解析：此题答案为D。行程问题。由于题目给出的数据较少，可以用特值法，设环形赛道上坡和下坡的长度都为1，A车的速度为l，则B车上坡的速度为（1-0.2）×1=0.8、下坡的速度为(1+0.2)×1=1.2。由题意可求A车和B车运行一周所需要的时间分别为：A车2÷1=2，B车车与B车所用时间之比为2:

1125，则相同路程中A??0.81.21225=24:25，故速度之比为25:24，所以当A车跑到25圈时，两车再次齐头12并进，此时A车恰好比B车多走一圈。

(3)提高综合分析能力

复杂的数学运算题往往是基本题型的复合或是将等量关系隐藏于题干之中，因此要提高综合分析能力，从而在复杂问题面前，能够看到本质，挖掘其中深层次的等量关系。

【例题2】

10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子总重的1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤？

A．

200500 B． C.20 D.25 1123解析：此题答案为B。要使最重的箱子重量尽可能大，则其余箱子重量尽可能小，最极端情况为其余九个箱子都相等。因此设排在后九位的箱子的重量均为x，可知排在第一位的箱子的重量为1.5x3-2x=2.5x。可列方程：9x+2.5x=100，解之得x=

(4)实战快速提升

考生需要每天定量做一些相关的模拟题，模仿本书对题目的分析，通过解答模拟题来培养对数学运算的感觉，这种感觉不仅能够提高数掌运算的解题速度和正确率，而且对数字推理部分也很有帮助。

200200500，则最重的箱子的重量为2.5×=。 2323233

目 录

走进数量关系??????????????????????????????????????1

第一篇 数学运算考点精讲……………………………………………………………………………………1 专项一 数学运算基础知识……………………………………………………………………………………1 考点一 数的整除…………………………………………………………………………………………1 考点二 奇偶性与质合性…………………………………………………………………………………4 考点三 完全平方数………………………………………………………………………………………6 考点四 最大公约数与最小公倍数………………………………………………………………………7 考点五 自然数n次方的尾数变化情况…………………………………………………………………9 考点六 同余与剩余问题…………………………………………………………………………………9 专项二 数学运算常用解题方法………………………………………………………………………………11 考点一 代入排除法………………………………………………………………………………………11 考点二 方程与不等式法…………………………………………………………………………………12 考点三 图解法……………………………………………………………………………………………16 考点四 分合法……………………………………………………………………………………………19 考点五 对立面转化法……………………………………………………………………………………22 考点六 极端法……………………………………………………………………………………………23 考点七 十字交叉法………………………………………………………………………………………25 专项三 计算问题………………………………………………………………………………………………26

考点一 算式问题…………………………………………………………………………………………26 考点二 定义新运算………………………………………………………………………………………30 考点三 数列问题…………………………………………………………………………………………31 考点四 算术平均数………………………………………………………………………………………34 专项四 和差倍比问题…………………………………………………………………………………………35

考点一 和差倍问题………………………………………………………………………………………35 考点二 比例问题…………………………………………………………………………………………37 考点三 连比问题…………………………………………………………………………………………38 专项五 行程问题………………………………………………………………………………………………39

考点一 简单行程问题……………………………………………………………………………………39 考点二 相遇、追及问题…………………………………………………………………………………41 考点三 环形路线问题……………………………………………………………………………………44 考点四 流水、扶梯问题…………………………………………………………………………………46 考点五 火车问题…………………………………………………………………………………………47

1

考点六 其他行程问题……………………………………………………………………………………49 专项六 工程问题………………………………………………………………………………………………50

考点一 工程问题中的三量关系…………………………………………………………………………50 考点二 合作完成工程……………………………………………………………………………………51 考点三 轮流工程问题……………………………………………………………………………………55 考点四 进水、排水问题…………………………………………………………………………………57 专项七 利润问题………………………………………………………………………………………………58

考点一 利润问题中的相关概念…………………………………………………………………………58 考点二 分次出售问题……………………………………………………………………………………61 考点三 销售数量和价格反向变化………………………………………………………………………61 考点四 多种方式促销……………………………………………………………………………………62 专项八 几何问题………………………………………………………………………………………………62

考点一 平面几何问题……………………………………………………………………………………62 考点二 平面解析几何……………………………………………………………………………………68 考点三 立体几何问题……………………………………………………………………………………69 考点四 几何图形的缩放、拼接及极限理论……………………………………………………………72 专项九 排列组合与概率问题…………………………………………………………………………………72

考点一 加法原理与乘法原理……………………………………………………………………………72 考点二 排列组合问题……………………………………………………………………………………73 考点三 特殊的排列组合问题模型………………………………………………………………………80 考点四 概率问题…………………………………………………………………………………………81 专项十 容斥问题………………………………………………………………………………………………84

考点一 标准的容斥问题…………………………………………………………………………………84 考点二 文氏图解容斥问题………………………………………………………………………………86 专项十一 抽屉问题……………………………………………………………………………………………88

考点一 利润抽屉原理解题………………………………………………………………………………88 考点二 考虑最差（最不利）情况………………………………………………………………………89 考点三 构造抽屉的三种技巧……………………………………………………………………………90 专项十二 浓度问题……………………………………………………………………………………………92

考点一 溶质、溶液、浓度的关系………………………………………………………………………92 考点二 两种或多种溶液混合……………………………………………………………………………93 考点三 溶液多次稀释问题………………………………………………………………………………95 考点四 等量蒸发或等量稀释……………………………………………………………………………95 专项十三 其他问题……………………………………………………………………………………………96

考点一 年龄问题…………………………………………………………………………………………96

2

考点二 时钟问题…………………………………………………………………………………………97 考点三 日期问题…………………………………………………………………………………………101 考点四 方阵问题…………………………………………………………………………………………102 考点五 鸡兔同笼问题……………………………………………………………………………………104 考点六 盈亏问题…………………………………………………………………………………………105 考点七 植树问题…………………………………………………………………………………………107 考点八 牛吃草问题………………………………………………………………………………………109 考点九 空瓶换酒问题……………………………………………………………………………………111 第二篇 数字推理考点精讲……………………………………………………………………………………112 专项一 数字推理题型简介……………………………………………………………………………………112

考点一 数列形式数字推理………………………………………………………………………………112 考点二 图形形式数字推理………………………………………………………………………………114 专项二 数字推理规律解读……………………………………………………………………………………115

考点一 基本数列简介……………………………………………………………………………………115 考点二 等差数列及其变式………………………………………………………………………………116 考点三 等比数列及其变式………………………………………………………………………………117 考点四 和数列及其变式…………………………………………………………………………………118 考点五 积数列及其变式…………………………………………………………………………………119 考点六 多次方数列及其变化……………………………………………………………………………120 考点七 分式数列…………………………………………………………………………………………121 考点八 组合数列…………………………………………………………………………………………121 考点九 创新数列…………………………………………………………………………………………123 专项三 数项特征分析…………………………………………………………………………………………124

考点一 整除性分析………………………………………………………………………………………126 考点二 多次方表现形式分析……………………………………………………………………………130 专项四 运算关系分析…………………………………………………………………………………………132

考点一 横向递推…………………………………………………………………………………………132 考点二 趋势分析法………………………………………………………………………………………134 考点三 局部分析法………………………………………………………………………………………135 考点四 逐差构造网格……………………………………………………………………………………136 专项五 图形形式数字推理……………………………………………………………………………………137

考点一 三角形数字推理…………………………………………………………………………………137 考点二 圆圈形式数字推理………………………………………………………………………………139 考点三 表格形式数字推理………………………………………………………………………………140

3

第一篇 数学运算考点精讲 专项一 数学运算基础知识

考点一数的整除

1.整除与余数

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。对于正整数a、b，有以下两种情况：

(1)如果被除数(a)÷除数(b)=商(c)，c为整数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。其中，a是b的倍数，b是a的约数。

(2)如果被除数(a)÷除数(b)=商(c)……余数(d)，c为整数，d为自然数，我们就说a不能被b整除。其中，余数总是小于除数，即0

【例题1】小张在做一道除法题时，误将除数45看成54，结果得到的商是3，余数是7。问正确的商和余数之和是：

A.11 B．18 C.26 D．37 解析:此题答案为D。被除数是54×3+7=169，正确的除数是45，所以正确的算法应该是169÷45=3??34，即正确的商和余数之和是3+34=37。

2.数的整除判定

要判断一个数是否能被其他数整除，根据除数的不同，可通过查看被除数的末位数、数字和或数字差等方式来确定。

(1)看被除数末几位数 ①只看被除数的个位

判断一个数能否被2、5整除时只看其个位数即可。

个位数为0、2、4、6、8的数均能被2整除

个位数为0、5的数均能被5整除

能被2整除【示例一】除数为2时，62④4?????????????? 624能被2整除；

不能被2整除1111⑤5?????????????????11115不能被2整除。

能被5整除【示例二】除数为5时，12⑤55?????????????? 125能被5整除；

不能被5整除 1234④4?????????????????12344不能被5整除。

②看被除数末两位

判断一个数能否被4、25整除时看其末两位数即可。

末两位能被4整除的数能被4整除

末两位能被25整除的数能被25整除

能被4整除【示例一】除数为4时，1○1212???????????????112能被4整除； 不能被4整除 121⑩10??????????????????12110不能被4整除；

1

【示例二】除数为25时，13○7575能被25整除?????????????????1375能被25整除。 ③看被除数末三位

判断一个数能否被8整除时，看其末三位数即可。 末三位能被8整除的数能被8整除

【示例】4112 112能被8整除?????????????????4112能被8整除。

(2)看被除数的各位数字和

判断一个数能否被3、9整除时，看其数字和。

各位数字之和是3的倍数的数能被3整除

各位数字之和是9的倍数的数能被9整除

2?5?5?12,12能被3整除【示例】除数为3时，255数字和???????????????????????????????????????255能被3整除； 9?6?7?27,27能被9整除除数为9时，9675数字和????????????????????????????????????????9675能被9整除。

(3)看被除数各部分数字差

判断一个超过1000的数能否被7、11、13整除，可看其各部分的数字差。

①?? 用方法

除数为7/11/13时,末三位数与剩下数之差能被7/11/13整除?该数能被7/11/13整除

【示例】除数为7时，400 442

末三位数442,与剩下数400之差:442-400=42能被7整除??????????????????????????????????400442能被7整除；

除数为11时．15 235

末三位数235,与剩下数15之差:235-15=220能被11整除???????????????????????????????????15235能被11整除；

除数为13时，1 274

末三位数274,与剩下数1之差:174-1=273能被13整除??????????????????????????????????1274能被13整除。

②能被7整除的特殊判断

当一个数为三位数时，可利用下面的方法判断其能否被7整除：

个位的两倍与剩下数之差能被7整除?该数能被7整除

【示例】39②

个位数2的两倍与剩下数之差:20?2-39=-35,能被7整除?????????????????????????????????????392能被7整除。

③能被11整除的特殊判断

可利用下面的方法判断一个数能否被11整除：

2

奇数位置与偶数位置的数字之差能被11整除?该数能被11整除

【示例】⑨6⑤8

奇数位9?5与偶数位6?8之差:9+5-(6+8)=0,0能被11整除??????????????????????????????????????? 9658能被11整除。

【例题2】一个四位数―□□□□‖分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的

和为1365，问四位数―□□□□‖中四个数字的和是多少？

A.17 B.16 C.15 D.14

解析：此题答案为C。这个四位数可以被3整除，则四个数字之和一定能被3整除，只有C符合。 3.余数的判断

余数的判断与数的整除判定相对应。

(1)--个数除以2或5所得余数与其个位数除以2或5的余数相同。 【示例】1③÷5余数与③÷5余数相同，为3。

(2)-个数除以4或25所得余数与其末两位数除以4或25的余数相同。

【示例】1○98÷4余数与○98÷4余数相同，为2； 2○15÷25余数与○15÷25余数相同，为15。

(3)一个数除以8所得余数与其末三位数除以8的余数相同。 【示例】2010÷8余数与⑩÷8余数相同，为2。

(4)一个数除以3或9所得余数与其数字和除以3或9的余数相同。 【示例】124÷3余数与7÷3(1+2+4=7)余数相同，为1； 124÷9余数与7÷9(1+2+4=7)余数相同，为7。 4.整除的性质

性质1:传递性。a能被b整除，b能被C整除?a。能被c整除。 【示例】72能被⑨整除

72能被3整除。

⑨能被3整除）

性质2:可加减性。如果a能被c整除，b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。 【示例】○56能被8整除○16能被8整除

56+16=72、56-16=40均能被8整除 性质3:如果a能被c整除，m为任意整数，则a·m也能被c整除。 【示例】○39能被13整除1539× 15也能被13整除。 为整数???????????○

性质4:如果a能被b整除，a能被c整除，且b和c互质，则a能被b·c整除。 【示例】 162能被2整除 29=18整除。 和9互质??????????? 162能被2× 162也能被9整除

性质5:如果a·b能被c整除，且a和c互质，则b能被c整除。 【示例】②×9=18能被③整除

9能被3整除

②和③互质

3

【例题3】一个三位自然数正好等于它各位数字之和的18倍，则这个三位自然数是： A.999 B.476 C.387 D．162

解析：此题答案为D。这个三位数是18的倍数，即这个三位数能被18整除，又18能被2和9整除，根据整除性质1，这个数一定能被9和2整除。

A、C两项不能被2整除，排除；B项4+7+6=17，不能被9整除，排除；只有D项符合。

跟 踪 小 练 习

1.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？ A.857314 B.875413 C.813475 D.871354

2．有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分剜为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了( )公斤面包。

A.44 B.45 C.50 D.52

3．为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？

A.2323232 B.2222232 C.2222332 D.2322222 参考答案 1．【答案】B。解析:能被11整除的数满足奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之差能被11整除。

这个六位数的各位数字之和为1+3+4+5+7+8=28。其中奇数位置上的数字之和最大为8+7+5=20，所以若要被11整除奇数位置数字和减去偶数位置数字和只能为0或11。

若差为11，根据和差关系，奇数位置上的数字之和为

28?11，不是整数，不符合； 2若差为0，则奇数位置和偶数位置上的数字之和均为14。为了使该数最大，首位应为8，第二位是7，由14-8=6知第三位最大是5，那么第五位为1，所以该数最大为875413。

2．【答案】D。解析：由―剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍‖，说明剩下的饼干和面包的重量和应该是3的倍数，而6箱食品的总重量8+9+16+20+22+27=102为3的倍数，根据整除性质2，卖出的一箱面包重量也为3的倍数，则重量只能是9或27公斤。

若卖出面包重量为9公斤，则剩下的面包重量为(102-9)÷3=31公斤，题干数据不能凑出31，排除。 若卖出面包重量为27公斤，则剩下的面包重量为( 102-27)÷3=25公斤，正好有25=9+16满足条件，则面包总重量为27+25=52公斤。

3．【答案】B。解析：因为密码数字2比3多，所以2可能有4、5、6或7个，当有4个―2‖时，所有密码数字和为17;当有5个2时，和为16;当有6个2时，和为15;要想被3整除，只能是6个2。

考点二 奇偶性与质合性 1.定义

偶数：能被2整除的数是偶数，0也是偶数： 奇数：不能被2整除的数是奇数。 2.性质

性质1:奇数+奇数=偶数，奇数一奇数=偶数 性质2:偶数+偶数=偶数，偶数一偶数=偶数

性质3:奇数+偶数=奇数，奇数一偶数=奇数，偶数一奇数=奇数 性质4:奇数×奇数=奇数 性质5:偶数×偶数=偶数

4

性质6:奇数×偶数=偶数

总之：加减法——同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇； 乘法——乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇。

【例题1】某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？

A.8 B．10 C．12 D．15

解析：此题答案为D。甲教室可坐50人，乙教室可坐45人，当月共培训1290人次，设甲教室举办了x次培训，乙教室举办了y次，则可列方裎组如下：。

x+y=27，①

50x+45y==1290，②

利用数的奇偶性，确定方程组的解。 由②式可知，

50x+45y?1290?45y为偶数?y必须是偶数。再由①式可推知，x、y奇偶偶

??偶

性不同，则x 是奇数，选项中只有D为奇数。

【例题2】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？

A.33 B.39 C.17 D.16

解析：此题答案为D。设答对题数为x，答错题数为y，则可列方程如下：

x+y=50，① x=33

?

3x-y=82，② y=17

答对题数和答错题数相差33-17=16。

专项点睛

依题意可知，答对题数+答错题数=50。

―加减法，同奇同偶则为偶‖，50为偶数，则答对题数与答错题数同为奇数或同为偶数，二者之差也应是偶数，选项中只有D是偶数。

2.质合性 (1)定义

质数：只能被1和其本身整除的正整数。如：17只能被l和17整除，则17是质数。

合数：除了1和其本身，还可以被其他整数整除的正整数。如：6除了能被1和6整除以外，还能被2和3整除，则6是合数。

互质：除了1以外，不能同时被其他整数整除的两个正整数互质。如：2和9除了1以外，不能同时被其他整数整除，则2和9互质。

(2)性质

1既不是质数也不是合数，2是唯一的一个偶质数。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。

公务员考试中对数的质合性的考查往往与数的奇偶性、整除性相结合。 【例题3】有7个不同的质数，他们的和是58，其中最小的质数是多少？ A.2 B.3 C.5 D.7

解析：此题答案为A。除了2以外的质数全是奇数，如果7个数全是奇数的话，他们的和不会是58这个偶数，所以7个数中必然有2，而2是所有质数中最小的一个。

5

【例题4】一个长方形的周长是40，它的边长分别是一个质数和合数，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？

A.36 B．75 C.99 D.100

解析：此题答案为C。由长方形的周长为40，那么它的长与宽之和是40÷2=20。 将20表示成一个质数和一个合数的和，有三种情况：2+18、5+15、11+9。 易知该长方形的最大面积是9×11=99。

跟踪小练习

1.如果a、b均为质数，且3a+7b=41，则a+b=( )。 A．5 B.6 C.7 D.8

2.桌上放着七只杯子，有三只是杯口朝上，四只杯口朝下，每个人任意将杯子翻动4次，问几个人翻动后，能将七只杯子全变成杯口朝下？

A.4 B.11 C.7 D．不可能实现 3.走廊里有10盏灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭，有10个学生依次通过走廊；第一个同 名学把所有的灯绳都拉了一下，第二个学生把2的倍数的灯绳都拉了一下，第三个学生把3的倍数的灯 绳都拉了一下……，第十个学生把10号灯绳拉了一下，假定每拉一次灯绳灯的亮度都改变一次，问最后下面哪盏灯是亮的？

A.5号灯 B.6号灯 C．8号灯 D．9号灯

参考答案

1．【答案】C。解析：3a+7b=41，41是奇数，根据数的奇偶性，3a和7b肯定有一个是偶数，所以a和b中有一个是偶数。又2是唯一的偶质数，所以a、b一个为2。假设a=2，则3a=6，7b=35，b=5，满足题意，此时a+b=7。

2．【答案】D。解析：一个底朝上的茶杯，只有翻动奇数次，才能口朝上，那么要使七只茶杯全都口朝上，需要翻动7个奇数次，其总和是奇数个奇数之和，为奇数，然而每次我们都翻动了4只茶杯，无论操作多少次，七只茶杯翻动的总次数都是4的倍数，即为偶数，矛盾，所以，无论经过多少次操作都不能使全部茶杯口朝下。

3．【答案】D。解析：灯线拉动奇数次时灯是亮的，而学生序号是灯号的约数时才会拉灯，因此灯号数有奇数个约数的灯最后才亮。1-10中只有1、4、9符合。因此选D。

考点三 完全平方数

一个数如果是另一个整数的平方，那么我们就称这个数力完全平方数，也叫做平方数。常见的完全平方数有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，61，400。有些题可以利用完全平方数快速定位答案。

【例题1】修剪果树枝干，第1天由第1位园丁先修剪1棵，再修剪剩下的丁先修剪2棵，再修剪剩下的

1，第2天由第2位园101，……，第n天由第n位园丁修剪n棵，恰好第n天就完成，问如果每10个园丁修剪的棵数相等，共修剪了( )果树。

A.46棵 B.51棵 C.75棵 D.81棵

解析：此题答案为D。从正面入手，通过―每个园丁修剪的棵数相等‖这一条件，列出方程，可以直接得出答案。但是运用完全平方数性质，可以更快地得到答案。

―第n天由第n位园丁修剪n棵；恰好第n天就完成‖，说明第n位园丁修剪了n棵，而每个园丁修剪的棵数相等，故果树一共有n×n.=n2棵，即棵数为完全平方数。选项中只有D项是完全平方数。所

6

以正确答案为D。

【例题2】从一块正方形木板上锯下宽5厘米的一个木条后，剩下的长方形面积是750平方厘米，锯下的木条面积是多少平方厘米？

A．25 B.150 C．152 D．168

解析：此题答案为B。设正方形的边长为x厘米，那么剩下的长方形的宽为(x-5)厘米，可列方程为x (x-5)=750，解方程可得x=30厘米。

因此锯掉的木条面积为30×5=150平方厘米。 专项点睛

根据题意，锯下的木条面积与长方形的面积之和为原正方形木板的面积，由于正方形木板的面积是个完全平方数。故可以直接观察选项，与750的和为平方数的即为答案。只有B项150+750=900=302，为完全平方数。

考点四 最大公约数与最小公倍数 1.定义 最大公约数：如果c是a的约数，c也是b的约数，那么我们称c是a和b的公约数。一般来说，两个数的公约数不止一个，我们把其中最大的一个公约数，称为这两个数的最大公约数。多个数之间的公约数和最大公约数也可以用类似方法定义。

【示例】48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、18 64的约数有1、2、 4、 8、 16、32、64

1、2、4、8、16是48和64的公约数，其中16最大，所以它们的最大公约数是16。 结合上面的例子不难看出：

一个正整数的约数通常是成对出现的，即当一个正整数不是完全平方数时，它有偶数个不同的约数；当一个正整数是完全平方数时，它有奇数个不同的约数。

最小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c是a和b的公倍数。与公约数类似，两个数的公倍数也不止一个，我们把其中最小的一个公倍数，称为这两个数的最小公倍数。多个数之间的公倍数和最小公倍数也可以用类似的方法定义。

【示例】15的倍数有15、30、45、60、75、90、105、120、135、150……

25的倍数有 25、 50、 75、 100、 125、 150、175、200、225、… 75、150、……是15和25的公倍数，75最小，所以它们的最小公倍数是75。 结合上面的例子不难看出：

两个数的公倍数有无限多，且所有公倍数都是最小公倍数的倍数。 2.性质 性质1：如果a、b互质，则a和b的最大公约数是1，最小公倍数是a·b。 【示例一】4和5互质

4的约数有1、2、4；倍数有4、8、12、16、20、24、28、32、36、40……

5的约数有1、5；倍数有 5、10、15、 20、 25、30、3.5、 40、45、50 ……

1是4和5的唯一的约数，即为最大公约数； 20、40、……是4和5的公倍数，它们的最小公倍数是20=4×5。

请注意：如果有3个数或以上，只有当两两互质时，最小公倍数才是它们的乘积。 【示例二】2、5和7两两互质 最小公倍数是2×5=10；10与7互质，所以2、5、7的最小公倍数是10×7=70，等于三个数的乘积：2、4和5并非两两互质

2和4的最小公倍数是4，4与5互质，所以2、4、5的最小公倍数是4×5=20，不等于三个数的乘积。

性质2：如果a是b的倍数，则a和b的最大公约数是b，最小公倍数是a。

7

【示例】10是5的倍数

10的数有1、2、5、10；倍数有10、 20、 30、……

5的约数有1、5；倍数有 5、 10、15、20、25、30、35、40、45、50…… 5是10和5的最大公约数：

10，20、30、……是10和5的公倍数，10最小，所以它们的最小公倍数是10。

性质3: a、b是任意的两个正整数，则a和b的最大公约数与最小公倍数的乘积等于a-b。 【示例】4和6的最大公约数是2，最小公倍数是12，2×12=24=4×6。 3.最大公约数与最小公倍数的求法

求最大公约数与最小公倍数主要方法有分解质因数法、短除法和辗转相除法。 (1)分解质因数法

将每个合数都写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。 【示例】求24和60的最大公约数与最小公倍数？ 24= 2 × 2 × 2 × 3 60= 2 × 2 × 3 × 5

最大公约数是两个数所有公有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3，所以24和60的最大公约数是2×2×3=12：

最小公倍数是两个数所有公有质因数和其各自独有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3，24的独有质因数是2，60的独有质因数是5，所以24、60的最小公倍数是2×2×3×2×5=120。 (2)短除法

短除符号就是除号倒过来，在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后写下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，一直除到所得的商互质为止。短除法实质上是分解质因数法的一种简便形式。

2 24 36 2 12 18 3 6 9

2 3

24、36的最大会约数为2×2×3=12；（左侧3个数之积） 最小公倍数为2×2×3×2×3=72。（左侧3个数与下边2个数之积）

三个数的情况与两个数的情况有所区别，下面举例说明如何用短除法求12、30、150的最大公约数与最小公倍数。

12、30、150的最大公约数为2×3=6，最小公倍数为2×3×5×2×l×5=300。 【例题1】1-200这200个自然数中，既能被4又能被6整除的数有多少个？ A.65 B.16 C.67 D.68

解析：此题答案为B。所求数的个数，即为4和6在200以内的公倍数的个数。 第一步，求4和6的最小公倍数。显然，4和6的最小公倍数是12；

8

第二步，求200以内12的倍数的个数，即为4和6在200以内的公倍数的个数。200’12=16……8，所以这样的数共有16个。

111【例题2】某班学生不到50人，在一次考试中，有人得优，人得良，人及格，其余的均不及

273格，那么不及格的人数是：

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：此题答案为A。由于得优、得良、及格的人数都为整数，所以班级的学生数是7、3、2的公倍数。7、3、2两两互质，所以它们的最小公倍数为2×3×7=42，又由该班学生不超过50入，可知道该班学生有42人，那么不及格的有42×（1－??）=1人。

【例题3】有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？

A．8 B.12 C．18 D.24

解析：此题答案为C。要截成同样长的小段，则截的长度应为54、72、36的公约数，最长的长度应为最大公约数，利用短除法可求得54、72、36的最大公约数是18。

专项点睛

此题也可用代入排除法。题中成同样长的小段，则裁的长度应为54、72、36的公约数，最长的长度应为最大公约数，利用短除法可求得54、72、36的最大公约数是18。

考点五 自然数n次方的尾数变化情况

一个自然数n次方的尾数等于其尾数n次方的尾数，因此我们只需要考虑0-9的n次方尾数变化规律即可。

0-9的n次方尾数变化情况 1次方 2次方 3次方 4次方 5次方 6次方 ??

1711320 0 0 0 0 0 0 …… 1 1 1 1 1 1 1 …… 2 2 4 8 6 2 4 …… 3 3 9 7 1 3 9 …… 4 4 6 4 6 4 6 …… 9

5 5 5 5 5 5 5 …… 6 6 6 6 6 6 6 …… 7 7 9 3 1 7 9 …… 8 8 4 2 6 8 4 …… 9 9 1 9 1 9 1 …… 注：由上表可以看出，0-9的n次方的尾数均遵循周期为―4‖的循环规律。

【例题】12007+3 2007+52007+7 2007+92007的值的个位数是( )。 A．5 B．6 C．8 D．9

解析：此题答案为A。3n的尾数为3、9、7、1四个数字循环，5n的尾数均为5，7n的尾数为7、9、3、1四个数字循环，9n的尾数为9、1、9、1四个数字循环。

2007除以4余数分别为3，所以32007、72007、92007的尾数分别为7、3、9。1+7+5+3+9=25，个位数为5。

考点六 同余与剩余问题 1. 同余 (1)定义

同余：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相同，则称a、b对于m同余。 【示例一】23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。

当两个数a、b对于c同余，即。a、b除以c的余数相同时，有a、b能被c整除。 【示例二】34除以4余2，42除以4余2，则42-34=8能被4整除。 (2)性质

对于同一个除数m，两数之和的余数与余数的和同余，两数之差的余数与余数的差同余，两数之积的余数与余数的积同余。

【示例】15÷7余数是1，18÷7余数是4 15+18=33，33÷7=4……5，余数与(1+4)÷7的余数相同 18-15=3，3÷7=0……3，余数与(4-1)÷7的余数相同 5×18=270，270÷7=38……4，余数与l×4÷7的余数相同

【例题1】a除以5余1，b除以5余4，如果3a>b，那么3a-b除以5余几？ A.0 B.1 C.3 D，4 解析：此题答案为D。

a除以5余1，则3a除以5余3（两个数积的余数与余数的积同余） b除以5余4，则3a-b除以5余-1（两个数差的余数与余数的差同余） 因为余数大于0而小于除数，-1+5=4，故所求余数为4。 专项点睛

选取合适的数代入，取a=6，b=4，则3a-b=14,除以5余4。

2.剩余

(1)一般剩余问题

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：―今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？‖意思是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，问这个数最小是多少？这类问题在我国称为―孙子问题‖，也称为剩余问题。这类问题都可以用逐步满足法解答。

逐步满足，即先找到满足一个条件的最小数，在此基础上加上除数的N（N是自然数）倍，直至满足第二个条件，接着在此基础上加上前两个除数的公倍数，直至满足第三个条件。依此类推，找到满足所有条件的最小数，再加上其公倍数，即为满足条件的所有数。

以上题为例，满足除以3余2的最小数是2，则3n+2都满足这一条件。 当n=0时，3n+2=2不满足除以5余3； 当n=1时，3n+2=5不满足除以5余3：

当n=2时，3n+2=8满足除以5余3，又3和5的最小公倍数是15，则15n+8都满足这两个条件。 同理，当n=l对．15n+8=23满足除以7余2，又3、5、7的最小公倍数是105，所以23是满足这三个条件的最小数，105n+23是满足这三个条件的所有数。

对于剩余问题，当题干要求的是满足条件的数而非其个数时，可使用代人排除法快速解题。

【例题2】一个班学生分组做游戏，如果每组3人就多2人，每组5人就多3人，每组7人就多4人，问这个班最少有多少个学生？

A.38 B．41 C.47 D．53

解析：此题答案为D。此题可转化为求满足―除以3余2，除以5余3，除以7余4‖的数。由于要求的是满足条件的数，可以直接使用代入排除法。

从最小的A项开始代入，A项不满足除以7余4，B、C两项都不满足除以5余3，故选D。 【例题3】在0-500之间，除以3余2、除以7余4、除以9余5的数有几个？ A.6 B.7 C.8 D.9

解析：此题答案为C。由于要求的是个数，不能使用代入排除法，只能使用逐步满足法。

满足除以3余2的最小数是2，则3n+2都满足这一条件，当n=0时，3n+2=2不满足除以7余4；当n=1时，3n+2=5不满足除以7余4；当n=3时，3n+2=11满足除以7余4。又3和7的最小公倍数

10

是21．则21n+11都满足这两个条件。

同理，再将n=0、l、2、……代入逐一尝试，可知当n=l时，21n+11=32满足除以9余5。所以满足所有条件的最小数是32。又3、7和9的最小公倍数是63，63n+32均满足条件。

由63n+32≤500，所以n≤7，叮取0、l、2、3、4、5、6、7这8个值，所以一共有8个数满足条件。 (2)特殊剩余问题

剩余问题中存在三种特殊的问题。 ①余同

【示例】一个数除以4余2，除以5余2，除以6余2，这个数可表示为？

这三个条件中的余数相同，2显然满足所有条件，因为4、5、6的最小公倍数为60，所以该数可表示为60n+2。

②和同

【示例】一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，这个数可表示为？

4+3=5+2-6+1，即除数与余数之和相同，7满足所有条件，所以该数表示为60n+7。 ③差同

【示例】一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数可表示为？

4-1=5 -2=6-3，即除数与余数之差相同，-3满足所有条件，所以该数表示为60n-3。 综上，余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。

【例题4】某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分，多一个人；按每五个人一组分，也多一个人；按每六个人一组分，还是多一个，该车间至少有多少名工人？（工人数多于一人）

A.31 B.41 C.61 D.122

解析：此题答案为C。题干问题可转化为―一个数除以4、5、6都余1‖，即余数相同，又4、5、6的最小公倍数是60，―根据余同加余，最仆公倍数做周期‖可知，所求为60+1=61。 【例题5】一个三位数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求这个最小数？ A.128 B.163 C.218 D.428 解析：此题答案为C。5+3=6+2=7+1=8，除数与余数之和相同，又5、6、7的最小公倍数是5×6×7=210，根据―和同加和，最小公倍数做周期‖可知，所求最小数为210+8=218。

【例题6】有一个自然数―X‖，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问―X‖除以12的余数是多少？ A.1 B．5 C．9 D.11

解析：此题答案为D。3-2=4-3=1，差同，3、4的最小公倍数为12。根据―差同减差，最小公倍数做周期‖，可知X最小为12-1=11．因此―X‖除以12的余数是11。

专项点睛

―X‖加1之后可被3和4整除，即加1后可被12整除，所以―X‖除以12余数为11。 【例题7】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？ A.23 B.26 C.53 D.74

解析：此题答案为C。由―被7除余4，被8除余5‖，除数和余数的差都为3，由―差同减差，最小公倍数为周期‖，可知满足这两个条件的最小数是56-3=53，53正好也满足被3除余2，即为满足所有条件的最小数。

专项二 数学运算常用解题方法 考点一 代入排除法

代人排除法是指从选项人手，代人某个选项后，如果不符合已知条件，或者推出矛盾，则可排除此选项的方法。代人排除法是应对选择题的有效方法。

当问题正面求解比较困难时，可结合选项采用代人排除法。代人排除法广泛运用于多位数问题、不定方程问题、剩余问题、年龄问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。

1.直接代入排除

11

【例题1】一个小于80的自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这个自然数最大是多少？

A．32 B.47 C.57 D.72

解析：此题答案为C。此题可以采用直接代入法来得到答案。题目要求满足条件的最大的数，可从选项中最大的数字开始代入。

代入D项，72-3=69，不是6的倍数，不符合，排除；

代入C项，57+3=60，是5的倍数；57-3=54，是6的倍数，符合条件。 直接选择C。

【例题2】1999年，一个青年说：―今年我的生日已过了，我现在的年龄正好是我出生的年份的四个数之和。‖这个青年是哪年出生的？

A.1975 B.1976 C.1977 D.1978

解析：此题答案为B。本题是典型的多位数问题，可直接代入排除。

代入A项，青年1975年出生，则1999年24罗，1+9+7+5=22，不符合，排除； 代入B项，青年1976年出生，则1999年23岁，1+9+7+6=23，符合条件。 2.利用数的特性排除

根据数的特性（奇偶性、整除特性、尾数特性、余数特性等）先筛选，再代入排除，这样可以节省很多时间。

【例题3】已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书？

A.75 B.87 C.174 D.67

解析：此题答案为B。利用倍数特性，甲的书有13%是专业书?甲的非专业书占甲的1－13％=87％=

87一为最简分数，不能再化简?甲的书是100的倍数，非专业书是87的倍数，排除A.D； 1001 乙的书有12.5%=是专业书―?乙的书是8的倍数。结合选项，若甲有174本非专业书，则甲有200

8本书，那么乙的书有60本，不是8的倍数，排除C，选择B。

【例题4】有四个学生恰好一个比一个大一岁，他们的年龄相乘等于93024，问其中最大的年龄是多少岁？

A．16 B.18 C.19 D.20

解析：此题答案为C。利用尾数特性，四个学生年龄的乘积为93024，尾数为4。因为5或0乘以任何数其个位数均为5或0，所以四人年龄的尾数都不可能为0或5。因此直接排除D。 最大年龄为16?第二大年龄为15，排除A;

最大年龄为18?最小年龄为15，排除B;综上，选择C。

【例题5】一个三位数的各位数字之和是16。其中十位数字比个位数字小3。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？ A.169 B.358 C.469 D.736

解析：此题答案为B。由―各位数字之和是16‖可排除C项；由―百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495‖可排除A、D两项，故此题选B。 考点二 方程与不等式法 1.方程法

方程法应用较为广泛，公务员考试数学运算绝大部分题目，如行程问题、工程问题、盈亏问题、和差倍比问题、浓度问题、利润问题、年龄问题这些等量关系明确，但数量关系不一定简明的题型。均可以通过方程法来求解。

方程法的主要流程为：

12

解出方程 列方出程 找出等量关系 设未知量

方程法将题目敦述表示为符号，可避开对复杂数量关系的分析，思维比较简单，但是计算量较大、费时。对此，可以通过优化未知数的设法来提高解题速度。

设未知数的原则：①设的未知数要便于理解，方便列方程；②尽量减少未知数的个数，方便解方程。具体而言，可以利用比例关系、取中间量等技巧优化未知数，达到便于列方程和解方程的目的。

【例题1】有A、B两个电脑显示器，已知旧显示器A的宽与高的比例是4：3，新显示器B的宽与高的比例是16:9，如果两个显示器的面积相同，问B的宽与A的宽度之比是：

A、3:1 B、3:6 C、2:3 D、4:3

解析：此题答案为C。旧显示器A的宽与高的比例是4:3，新显示器B的宽与高的比例是16:9，根据比例关系，可设旧显示器宽4a、高3a，新显示器宽16b、高9b。 [根据比例关系设未知量] A的面积=B的面积 [找出等量关系] 根据题意列出方程4a×3a= 16b×9b。 [例出方程] 可得a=23b，进而16b:4a=2:3 [解方程，得解]

1 【例题2】某人月初用一笔人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加。即使他每月末

3都取出1000元用于日常开销，他的资金仍然在3个月后增长了一倍；问他开始时投资了多少人民币？ A.9900元 B.9000元 C.12000元 D.11100元

解析：此题答案为D。设开始投资了x元。 [设未知量] 3个月后增长了一倍，即3个月后的资金为2x。 [找出等量关系] 11444 每月都增加，则一个月后变成(1+)x－1000=x－1000,2个月后变为（x－1000）×－1000，

333333个月后变为[(列出方程[(

444x－1000)×－1000]×－1000。 333444x－1000)×－1000]×－-1000=2x。 [列出方程] 333 解得x=11100。 [解方程]

【例题3】四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？ A.177 B.178 C.264 D．265

解析：此题答案为A。依题意设甲、乙、丙、丁分别有a、b、c、d人。

b+c+d=131 (1) a+b+c=134 (2) b+c+1=a+d (3) (1)+(2)得到a+d+2(b+c)=265 (4)

(3)代入(4)得到3(b+c )+1-265，解得b+c=88，则a+d=89，所以a+b+c+d=88+89=177。 专项点睛

由（4）式可知总数必然小于265，排除D，由（3）式知a+d与c+d为一奇一偶，相加结果必为奇数，结合选项，只能选A。

【例题4】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该挟梯静止时，可看到的扶梯有：

A.80级 B.100级 C.120级 D.140级

13

解析：此题答案为B。设扶梯每秒走x级。 [设未知量] 扶梯级数=孩子走的级数+扶梯自动走的级数=到达时间×孩子速度+到达时间×扶梯速度；可看到的扶梯级数不变。 [找出等量关系] 3 40 (2+x)=50（+x） [列出方程]

2 x=0.5，扶梯可见级数有40× (2+0.5)=100级。 2.不定方程

不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整

数等）的方程或方程组。在行测考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+

by= c，其中

a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。

二元一次不定方程的解题流程如下：

列出方程 化为标准形式 确定解的范根据解的范围进行试探 其中，化为标准形式是指将方程化简为ax?by?c的最简形式以便于求解。

确定解的范围时，一般利用整数的奇偶性、质合性、整除特性或者选项特征来判断解的范围。大部分情况下，通过这些性质可以直接排除错项圈定答案。

对解的范围的缩小仍不能排除所有错项时，需要对这个范围内的可能解进行逐个试探。 【例题5】工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个。问生产的螺丝比螺丝帽多几个？ A.34个 B.32个 C.30个 D.28个

解析：此题答案为A。设甲用x分钟生产螺丝，乙用y分钟生产螺丝，x、y<20。

3x+9（20-x）+2y+7 (20-y)=134 [列出方程] 6x+5y=186 [化为标准形式] 5y的尾数只可能是0或5，则6x的尾数为6或1。6x的尾数不可能是1，所以6x的尾数是6。1-20范围内，x只可能是1、6、11、16。 [确定解的范围]

代入x=l，y=36；x=6，y=30; x=ll，y=24; x=16，y=18。由于y<20，所以y=18，其他都要舍去。螺丝有3×16+2×18=84个，螺丝帽有134-84=50个，螺丝比螺丝帽多84-50=34个。

[根据解的范围进行试探]

【例题6】共有920个玩具交给两个车间制作完成。已知甲车间每个人能够完成17个，乙车间每个人能够完成23个，现已知甲、乙两车间共有四十多人，问甲车间比乙车间多多少人？ A.0 B.1 C.2 D.3

解析：此题答案为A。设甲车间有x人，乙车间有y人，依题意有17x×+23y=920。 化简得x=

920?23y23?(40?y)(40?y)=，因为x是整数且23除不尽17，所以是正整数，x是23171717的倍数。根据甲、乙两车间共有四十多人，可以确定x=0或23。 [确定解的范围]

x=0，y=40，x+y=40，不符合四十多人，舍去。 [根据解的范围进行试探] x=23，y=23，x+y=46，满足题意。此时x-y=0，甲车间比乙车间多0人。

【例题7】共有20个玩具交给小王手工制作完成。规定，制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得也不扣。最后小王共收到56元，那么他制作的玩具中，不合格的共有( )个。 A.2 B.3 C.5 D.7

14

解析：此题答案为A。设合格的有x个，不合格的有y个。则5x-2y=56，x、y<20。

5x=56+2y，5x的尾数为0或5，56+2y是偶数，则其尾数只能为0。结合选项可知y=2或7。 [确定解的范围]

当y=2时，x=12，共完成x+y=12+2=14个，符合题意；

当y=7时，x=14，x+y>20．不符题意，排除。 [根据解的范围进行试探]

3.不等式

不等式属于方程的衍生，方程用―=‖连接两个等价的解析式，不等武由―>‖、―≥‖、―<‖、―≤‖连接两个解析式。行测考试中主要借不等式确定未知量的取值范围，或是利用均值不等式求极值。 均值不等式：任意n个正数的算术平均数总是不小于其几何平均数 a1?a2??+ann?a1a2…an当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立。

n(1) 行测考试中，多考查两个数或三个数的均值不等式。

a?b?ab当且仅当a?b时等号成立。 22证明：(a?b)?0?a?b?2ab?0? (2) a?b?ab 2a?b?c3?abc 当且仅当a?b?c时等号成立 3 【例题8】某居民小区决定投资15万元修建停车位，据测算，修建一个室内车位的费用为5000元，修建一个室外车位的费用为1000元，考虑到实际因素，计划室外车位的数量不少于室内车位的2倍，也不多于室内车位的3倍，这笔投资最多可建车位的数量为： A.78 B.74 C.72 D.70

解析：此题答案为B。设室内车位为x，室外车位为y。

?5000x?1000y?150000 ?化简可得5x+y=150，即y=150-5x，代入2x≤y≤3x，得2x?y?3x?2x≤150-5x≤3x解得

150150，≤x≤，即x=19、20、21。x+y=x+150-5x=150-4x，因此当x=1987时可建车位最多，为150-4×19=74个。

1193959 【例题9】数列(+9)，（+），(+3)，(1+)，(+)，…中，数值最小的项是：

4224445 A．第4项 B．第6项 C．第9项 D．不存在 解析：此题答案为B。观察数列，得到通项公式为an= 根据均值不等式性质?n9 +。 4nn9n9n9 ?2??3。当=，即n=6时上述不等式取等号，因此第6项最小。

4n4n4n?2x?b?8 【例题10】不等式组? 中x的最大解区间为[-2，1】，则(a?b)2010的值为：

?x?2a?8 A.22010 B .24020 C.O D.1

bb 解析：此题答案为D。解不等式组得8-2a≤x≤4+，其最大解区间为[-2,1】，所以8-2a=-2、4+=1，

22解得a=5、b=-6，a?b=-l，所以（a?b）2010=(-1 )2010=1。

15

跟踪小练习

1．某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6％，女员工人数比去年增加5％，员工总数比去年增加3人。问今年男员工有多少人？

A.329 B.350 C.371 D.504

2．有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，巳知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是( )。 A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆 3．已知

411??，A、B为自然数，且A≥B，那么A有几个不间的值？ 15AB A．2 B.3 C．4 D．5

4．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米／小时，两车的距离不能小于（

v）2千米，运完这批物资至少需要多少小时？ 10 A.10 B.11 C:12 D.13

参考答案 1. 【答案】A。解析：今年男员工人数比去年减少6%．则设去年有男员工x人，去年女员工有（830-x）人。由今年员工数=去年员工数+3，有(1-6%)x+(1+5%)（830-x）=830+3，化筒得11%x=830×5%-3，解得x=350．则今年男员工有( 1-6%)x=94%x=329人，也可根据今年男员工比去年少直接选A。 2.【答案】B。解析：设大客车x量，小客车y量，依题意37x+20y=271。 20y的尾数是0，37x的尾数必然是1，所以x的尾数是3，结合选项知选B。

11411112121114 3．【答案】B。解析：由A≥B可知，?，所以?????，则?。又???，

AB15ABBBBB15BAB15故

2141515??,?B?，从B为自然数知，B可以取4.5.6.7。当B=4时，A=60；当B=5时，A=15；15B1542当B=6时，A=10；当B=7，A不为自然数，舍去。故A有3个不同的值。 4．【答案】C。解析：利用均值不等式求解。11辆汽车一共有10个间隔，则行驶的总路程为

v360v360vv??2??12小时。 [360?()2?10]千米，则需要的时间为[360?()2?10]?10v10v1010 考点三 图解法

图解法是指利用图形来解决数学运算的方法。一般说来，图解法适用于绝大部分题型，尤其是在行程问题、年龄问题、容斥问题等强调分析过程的题型中运用较广。图解法简单直观，能够清楚表现出问题的过程变化，但是容易出错，在画图形的时候一定要保证图形和数字保持一一对应的关系。 常用的几何模型有线段图（表示量与量关系）、文氏图（集合之间关系）、状态转移图等。其中，文氏图将在后面的容斥问题中讲解，本节仅对线段图和状态转移图进行讲解。

1.线段图

线段既可表示事物间的联系，也可通过线段的长短表示数量的大小，在分析问题时注重将题目用线段图表示往往事半功倍。

【例题1】A、B、C、D四支球队开展篮球比赛，每两队之间都要比赛1场，已知A队已比赛了3场，B队已比赛了2场，C队已比赛了1场，D队已比赛了几场？

A．3 B.2 C.1 D.0

解析：此题答案为B。本题可以通过推理得出结论，A比赛了3场说明和B、C、D均发生比赛，而C只比赛1场，说明与B、D均未比赛。B与A比赛一场，与C耒比赛，说明与D比赛过。D确定与A、B比赛过，与C没比赛，所以D比赛了2场。

16

上述推理过程需要逐步推导，每个队的情况还需要逐一考虑，比较费时。为使各队间关糸简单明了，我们尝试用线段图来表示。四个球队分别对应四个点A、B、C、D，如果两队间有过比赛，则用线段相连。

以题干信息构造图，A队比赛了3场，和B、C、D均有连线(2-1.1)。C队比赛了1场，只与A连线，与B、D不连线（2-1.2）。B队比赛了2场，由于没与C比赛，还需与D连线(2-1.3)。因此可知D有2条

连线，即比赛了两场。

【例题2】某人上午8点要去上班，可是发现家里的闹钟停在了6点10分，他上足发条但忘了对表就急急忙忙地上班去了，到公司一看还提前了10分钟。中午12点下班后，回到家一看，闹钟才11点整，假定此人上班、下班在路上用的时间相同，那么他家的闹钟停了多少分钟？

A.100 B.90 C.80 D.70

解析：此题答案为C。这个忘了上发条的时钟问题实际对应的是一个时间轴，我们选择此模型分析题干情境。

如图2-2，这个人8点上班，12点下班，把相应的信息对应在时间轴上。到公司时提前了10分钟说明实际抵达时间为7点50分。上下班时间相同，设为x。把这人出发与回到家的时间也分别写在对应的时间轴上。

闹钟从6点10分走到11点，共走了4小时50分，也就相当于2x+10分钟+4小时，即4小时50分=2x+10分钟+4小时，可知x=20分钟。

从而可知这个人从家出发的时间为7点30分，而此时闹钟停在了6点10分，所以闹钟停了60+20=80分钟。

2.状态转移图

对操作过程较复杂的问题，通常采用状态转移图未分析事物变化的具体规律。将问题过程分解为不同的状态，通过对每步状态的分析，明确问题的实质。

状态转移图法流程如下： 构建状态转移图 从状态转移图导结论论 列出起始、终止状态 把文本场景对应为状态图 (1)列出起始、终止状态

根据题干内容，找出事物变化的初始与终止状态。例如：一些浓度问题经过连续操作浓度会发生变化，那么初始浓度和最终浓度就是我们要找的两个状态。

17

(2)把文本场景对应为状态图

即把题干叙述的状态画成具体的图。 (3)构建状态转移图

构建由初始状态到终止状态之间的转移过程。重点是分析初始状态向终止状态的推导。例如：在传球问题中，我们通过分析一个人不能传球给他自己，借助正推（对初始状态的分析）或逆推（对终止状态的分析），来构造可能的传球路线。 (4)从状态转移图导出结论

分析状态转移的规律，导出结论。例题1中，每一次传球（持球人的转移）都有几种情况，通过状态转移图能够很快地算出单次传球的情况数，并通过乘法原理算出所有的情况数。 【例题3】如图所示，有A、B、C三根木柱，已知A柱上有5个中间有孔且 大小不同的圆盘，大的在下，小的在上。现要将A柱上所有的圆盘移到C柱上， 每次只能将最上面的一个圆盘从一根柱子移到另一根，且大盘不能在小盘上面， 问至少需要移多少次？

A．15 B.17 C.31 D.33

解析：此题答案选C。初始状态如题图(2-4.1)，终止状态则是所有圆盘移动到C柱。画出终止状态的图(2-4.4) [把文本场景对应为状态图] 分析由初始状态到终止状态，必然要先把最大的盘子先移到C柱，把这个状态表示出来即为图(2-4.3)。图(2-4.3)之前一步的状态对应为图(2-4.2)。 [构建状态转移图]

操作 操作次数 n-l个圆盘移到B柱 相当于n-l个圆盘移到C柱次数 把A柱上最大圆盘移到C柱 1次 把B柱上圆盘移到C柱 n—1个圆盘移到C柱次数 这样就构建起整个的状态转移模式，即先把上面四个圆盘移动到B柱（第一步2-4.2），然后把最大圆盘放到C柱（第二步2-4.3），再把B柱圆盘都移动到C柱（第三步2-4.4）。其中第一步的操作次数与第三步的操作次数相同，相当于4个圆盘的移动次数。假使圆盘数为n，则n个圆盘移动的次数等于n-1个圆盘移动次数的2倍加1， [从状态图导出结论] 设n个圆盘移动次为Dn，则D1=1，D2=I×2+1=3，D3=3×2+1=7，D4=7×2+1=15，D5=15×2+1=31，故选择C。

11 【例题4】甲、乙各有钱若干元，甲拿出给乙后，乙再拿出总数的给甲，这时他们各有160元。

35问甲、乙原来各有多少钱？

A.120元、200元 B.150元、170元 C.180元、140元 D.210元、110元

解析：此题答案为C。初始状态为所求，终止状态为甲160、乙160。 [列出起始状态、终止状态] 期间经历两步，列出对应的状态图表。 [把文本场景对应为状态图]

初始状态

甲 ？ 18

乙 ？

第一步 第二步 （终止状态）

160 160 11乙拿出总数的给甲，可知第一步操作结束时乙有160÷(1- )=200元，所以乙拿出了200-160=40

55元。则第一步结束时甲有160-40=120元。

11甲拿出给乙后有120元，则初始状态甲有120÷(1-)=180元。甲拿出了180-120=60元，则初始状

33态乙有200-60=140元。

初始状态 第一步 第二步 （终止状态） 田 180 120 160 乙 140 200 160

考点四 分合法

分合法是指利用分与合两种不同的思维解答数学运算的方法。分合法常用的两种思路为分类讨论和整体法。所谓―分‖，就是将一个问题拆分成若干个小问题，然后从局部来考虑每个小问题；所谓―合‖，就是把若干问题合在一起，从整体上思考这些问题。

分合法一般适用于排列组合与概率问题、解方程等。 1.分类讨论

分类讨论是指根据问题的不同分支，将其划分为若干相互独立的子问题，分别求解每个子问题，最后将结果进行汇总，得到解决整个问题的方案。

【示例】求x2的值。看到这个题，有的考生直接认为x2=x，这个是不准确的，需要对问题进行分类。当x≥0时，比如当x=2，此时确实有x2=x；当x<0时，比如x=-2时，因为（-2）2=22=4，所以有x2??x

上面的例子非常简单，说明分类讨论的思想渗透在数学的方方面面。 分类讨论的主要流程如下： 汇总结论 讨论子问题 对问题分类

注意事项：①弄清引起分类的原因，明确分类标准，做到分类对象确定；②分类标准统一，分类情况不遗漏、不重复，不越级讨论。

【例题1】小华每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹100个，肥皂泡吹出后，经过一分钟有一半破了，经过两分钟还有二十分之一没有破，经过两务半钟肥皂泡全破了。小华在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡有多少个？

A.100 B.150 C.155 D.165

解析：此题答案为C。肥皂泡吹出的时间不同，其数量各不相同。肥皂泡两分半钟后全破，且每分

19

钟吹一次，所以前17次吹的肥皂泡全破，没破的肥皂泡可分为：①第20次吹的，即刚吹出来的；②第19次吹的，即一分钟前吹的；（萤第18次吹的，即两分钟前吹的，共三类。 [对问题分类] ①吹出来的肥皂泡有100个；

1 ②分钟前吹的还剩下一半，即100×=50个； [讨论予问题]

2 ③两分钟前吹的还有二十分之一没有破，即100×1=5个。 20 将存在的三类肥皂泡的数量加起来，共有100+50+5=155个肥皂泡。 [汇总结论] 【例题2】有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？

A.24种 B.48种 C.64种 D.72种

解析：此题答案为C。最少可以挂一盏，最多可以挂四盏，因此可以根据挂灯的盏数来分类。 [对问题分类] 1 一盏时有A=4种；

42 两盏时有A=12种；

43三盏时有A=24种；

44四盏时有A=24种。 [讨论子问题]

4综上，共有4+12+24+24=64种。 [汇总结论] 【例题3】有一批长度分别为3、4、5、6和7厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三角形的三条边，可能围成多少个不同的三角形？

A.25个 B.28个 C.30个 D.32个

解析：此题答案为D。构成的三角形有等边、等腰、不等腰三种，可以此为分类标准。

[对问题分类] ①等边三角形，有5种。

②等腰三角形，3为腰时，4、5可为底；4为腰时，3、5、6、7可为底；5为腰时，3、4、6、7可为底；6为腰时，3、4、5、7可为底；7为腰时，3、4、5、6可为底，共有2+4+4+4+4=18种。

③边不相等情况下，只有3、4、7不能组成三角形，共有C-1=9种。 [讨论子问题] 综上所述，共有5+18+9=32个不同的三角形。 [汇总结论] 【例题4】某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分。设这次竞赛最多有n种可能的成绩，则n应等于多少？

A.45 B.47． C.49 D.51

解析：此题答案为A。设答对x道，答错y道，则得到的总分为4x-y，其中0≤x+y≤10。4x-y最大为4×10=40，最小为-1×l0=-10分，解这个不定方程需要对其中一个未知数进行讨论得出另外一个未知数。 [对问题分类] 当x=10时，y只能取0，4x-y=40；

当x=9时，y可以取0、1，4x-y=36、35;

当x=8时，y可以取0、1、2，4x-y=32、31、30; [简单举例] 由此发现规律，当x=n时，可能的分数段是[4n，4n－（10-n）]。 [寻找规律] 当x=7时，可能的分数段是[28,25]；

20

35

当x=6时，可能的分数段是[24，20]; [根据规律求解] 由此发现新的规律，当x≤7时，可能的分数段涵盖28~-10的所有分数。 [寻找规律] 因此问题分为两个子问题，当x≥8时用穷举法得到有1+2+3=6种可能分数。

当x<8时，用上述归纳的规律，共有28-（-10）+1=39种可能分数。 [讨论子问题] 综上可知，分数最终有6+39=45种，即n=45。 [汇总结论] 本题是归纳法与分类讨论的结合，总体思路经历了分类→归纳→再分类的过程。 2.整体法

整体法是将一个或者多个问题作为整体来考虑。需要考生抓住问题的核心，忽略细节。 整体思想考查的情况不多，一般有三种形式——二整体代换法、初末态法、整俸讨论。 (1)整体代换法

整体代换法主要适用于方程组的求解，具体操作可参见化归思想中的换元法，这里我们利用一道例题加以说明。整体代换时需要注意的是，求什么就把什么看成整体。

【例题5】打开A、B、C每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽。当三个阀门都打开时，注满水槽需要1小时；只打开A、C两个阀门，需要1.5小时；只打开B、C两个阀门，需要2小时。若只打开A、B两个阀门时，需要多少小时注满水槽？

A.1.1小时 B.1.15小时 C.1.2小时 D.1.25小时

解析：此题答案为C。设水槽总量为1，三个阀门1小时注水量分别为A、B、C，由题意可以得到：

A?B?C?1 ①

A?C?1 ② 1.6B?C?1 ③ 21156，故只打开A.B两个阀门，需要=1.2小时注满水槽。 ??1.5265 现在要求A+B，可以将上述式子看成整体进行代入，①×2-②-③可以得到： A+B=1×2? 常规思路是求出A、B、C三项，而上述解法把要求的内容作为一个整体代换，避免了大量的分式计

算。

(2)初末位置法

初末态法不同于构建状态转移图，它不关注变化的详细过程，只考虑其初态和末态。

【示例】物理学计算能量时，往往不考虑中途复杂的运动变化，只计算初末态的动能变化、势能变化。

初末态法常常用于多种浓度混合问题、行程问题、平均数问题等。 初末态法主要的流程如下：

从初末态考虑问题的核心 确定问题的初末态 确定问题的核心

从整体考虑强调的是关注问题的核心，舍掉对细枝末节的考量。那么初末态法首先也要确定问题的核心。进而把问题的初末态划分清楚，最后从从初末态考虑问题的核心，避开问题复杂的中间过程。

【例题6】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水，先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶．请问，此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多？

A.无法判定 B.甲桶糖水多 C.乙桶牛奶多 D．一样多

解析：此题答案为D。这道题没有具体的数据，只有两次不定量的操作，若通过假设桶和杯子的容积，然后根据溶液混合的公式正常求解，是不可行的。利用整体思想中的初末态法，问题会变得很简单。

问题的核心是初末态物质的量——都有一桶牛奶和一桶糖水。 [确定问题的核心]

21

初态：甲，一桶牛奶；乙，一桶糖水

末态：甲，甲中牛奶+甲中糖水=一桶 ①

乙，乙中牛奶+乙中糖水=一桶 ② [确定问题的初末态] 由于初末态总量相同，因此有：甲中糖水+乙中糖水=一桶 ③

对比②和③得到，甲中糖水=乙中牛奶，即甲桶内的糖水和乙桶内的牛奶一样多。

[从初末态考虑问题的核心] 【例题7】有一种细菌，经过1分钟，分裂成2个，再过1分钟，变成4个，这样把一个细菌放在瓶子里到充满为止，用了2个小时，如果一开始时，将2个这种细菌放入瓶子里，那么充满瓶子要多长时间？

A.30分钟 B.59分钟 C.119分钟 D.60分钟

解析：此题答案为C。这道题的核心在于细菌分裂的模式是固定的，都是每分钟数量翻番。前后用的是一个瓶子，因此瓶子的容积也是固定的。 [确定问题的核心] 初态：2个细菌

末态：充满整个瓶子 ［确定问题的初末态]

放一个细菌到充满瓶子用120分钟。由于分裂模式固定，初态对应于它1分钟时的状态。瓶子容积固定，末态对应于其末态。因此初末态之间的时间长度为120-1=119分钟。[从初末态考虑问题的核心] (3)整体讨论

整体讨论不考虑细节，需要考生具有全局观，能够关注到问题的本质。

【例题8】一名外国游客到北京旅游。他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在旅馆里。期间，不下雨的天数是12天，他上午呆在旅馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共呆了：

A.16天 B.20天 C.22天 D.24天

解析：此题答案为A。不下雨的天数是12天，则有12个半天出去游玩。在旅馆的天数为8+12=20个半天，故总天数为12+20=32个半天，即16天。 考点五 对立面转化法

对立面转化法的流程如下：

求解原问题 分析问题对立面 将问题转化为其对立面

(1)将问题转化为其对立面

主要是针对不规则的、复杂的问题，如果其对立面很规则、简单，就适宜将问题转化为对直面分析。 【示例】从4男3女中任选3人，要求至少有1名女生。至少有1名女生的情况有3种：选出来3人全是女生，有2人是女生，有1人是女生。从正面讨论比较复杂，可以讨论其对立面-1名女生都没有的情况。

(2)分析问题对立面

确定问题的对立面后，对之分析求解。上例中1名女生都没有的情况对应于3人全部从4名男生中

22

3选取的情况数。熟悉排列组合的同学可以直接算出组合数为C=4种。不熟悉也没关系，从4名男生中

4任选3人依旧可以讨论其对立面，即从4人中淘汰1人，有4种。由此可见将问题转化为对立面的分析思路渗透在解题的每个环节，熟练掌握可以事半功倍。 (3)求解原问题

根据对立面分析的结果求解原问题。之前的例子中，知道1名女生都没有的情况有4种，任选3人的情况数有

=35种，所以至少有1名女生的情况数有35-4=31种。

【例题1】如图(2-6)所示，长方形ACEG被线段BF、HD分成四个大小不 等的小长方形。已知AH为6cm，GF为3cm，DE为lOcm，BC为7cm。则△ICG 的面积为：

A.32cm2 B.28cm2 C.30cm2 D.26cm2

解析：此题答案为D。△ICG本身是个不规则的三角形，面积不易求。在一个大的长方形下，其对立面是三个规则的直角三角形与一个小长方形，容易求解。故可先求解在同一个大长方形下与之对立的这4个小图形的面积。 [将问题转化为其对立面] 11 S?BIC=BC×B1=×7×6=21cm2

2211HC=×3×10=15cm2 S?HIC=IH×22

1S?CEG=1CE×GE=×(6+10)×(3+7)=80cm2 22SABIH?AH?AB?6?3?18cm2 [分析问题对立面]

△ICG面积为大长方形面积(6+10)×(3+7)=160cm2减去上面四个小图形面积之和，

160-21-15-80-18=26cm2。 [求解原问题] 【例题2】建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢足球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？ A.20人 B.30人 C.40人 D.50人

解析：此题答案为B [将一问题转化为其对立面] 由题意可知，不喜欢乒乓球的有1600-1180=420人；不喜欢羽毛球的有1600-1360=240人；不喜欢篮球的有1600-1250=350人；不喜欢足球的有1600-1040=560人。这四个集合可能重合，也可能互不重合。当互不重合时，至少有一项不喜欢的人数最多，有420+240+350+560=1570人。

[分析问题对立面] 四项运动都喜欢的对立面的人数最多时，它本身最少为1600-1570=30人。因此四项球类运动都喜欢的至少有30人。 [求解原问题] 【例题3】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1-5题分别有80人，92人，86人，78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试？ A.30 B．55 C.70 D．74

解析：此题答案为C。

问至少有多少人通过考试，即可求未通过考试的人至多有多少。 [将问题转化为其对立面]

每道题分别有20、8、14、22、26人答错。这些错题可分为两类，一类是由未通过的人答错的，一类是由通过的人答错的。错题总数一定的情况下，要使未通过考试的人越多，则应该是未通过考试的人包揽了所有错题。

23

在未通过的人中，每人最少答错3题，最多答错5题。设平均每人错题数为x，未通过考试人数为y，则xy-定的情况下．x最小则y最大。因此未通过考试人数最多为(20+8+14+22+26)÷3=30人。 [分析问题时立面]

则至少有100-30=70人能通过考试。 [求解原问题] 考点六 极端法

关注引起质变的临界点即问题的极端状态，是探求解题方向或转化途径的一种常用思路，通常称为极端法。

行测考试中，经常通过考查极端状态发现规律，进而得解。例如：鸡兔同笼问题通过假设都是鸡或都是兔，与鸡兔同笼的情况做对比，发现引起质变的因素是脚数不同。

考查极端状态同时也可以忽略掉很多复杂的计算过程，比如：抽屉原理问题的解决往往不需要对题目变形使之符合标准的抽屉原理模式，只需要找出最差的情况（临界点）就可。 极端法的主要流程如下： 从质变因素求解 分析极端状态 寻找极端状态 (1)寻找极端状态

寻找事物的极端状态。 (2)分析极端状态

极限在函数中的含义是求变化趋势，因此极端法的核心是分析极端状态通过何种变化引发质变结果。 (3)从质变因素求解

即从上一步分析出的引发事物质变的因素人手求解问题。

【例题1】如图(2-7)所示，矩形ABCD的面积为1，E、F、G、H分别 为四条边的中点，FI的长度是IE的两倍，问阴影部分的面积为多少？ 11 A. B.

43 C.

75 D.

2416 解析：此题答案为B。阴影部分为一个不规则三角形，由题意可知EF平行于CH，那么，点在FE直

线上的位置不影响IGH的面积。其极端位置可以是F或者E。当I点与F或E重合时，图形发生质变，成为规则图形。 [寻找极端状态] 11 当I与E重合时，分析这个规则图形，发现其面积是矩形EDCG的，大矩形的，因此阴影部分

241面积为。 [分析极端状态]

4

【例题2】为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元，若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？ A.42.5元 B．47.5元 C．50元 D．55元

解析：此题答案为B。本题情境是一个分段计价问题，在确定分段点后解题流程可参见分段函数求

24

解的流程。在本题中求出标准用水量（找出分段点）是关键。某月用水15吨，其极端状态是这15吨均以标准用水量每吨2.5元计价。 [寻找极端状态] 上述极端状态，水费为15×2.5=37.5元，比实际交费少了62.5-37.5=25元。这个差别是由超出标准部分加倍收费造成的。 [分析极端状态] 超出标准部分，每吨多交水费2.5元，则超出部分为25÷2.5=10吨，标准用水量为15-10=5吨。

[从质变因素求解] 因此，用水12吨应交水费2.5×5+(12-5)×5=47.5元。 考点七 十字交叉法

1.定义

十字交叉法是已知总的平均数，求两个部分的平均数或数量的一种简便方法。这里的平均数可以是浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等。

【示例】(1)男生与女生人数分别为x和y，男生的平均分是a，女生的平均分是b。全班的平均分是r。 (2)有浓度为a％的盐水x克和浓度为b%的盐水y克，混合后浓度为r%。

(3)某市有农村人口x人与城镇人口y人，年增长率分别为a%与b%，该市的人口增长率为r%。 对于上述问题，均可列方程ax+by=（x+y）r。

整理可得

r?bx = ya?r 对于方程的整理过程可写成：

第一部分的平均值为a，第二部分的平均值为b（这里假设a>b），混合后的平均值为r。

平均值 交叉作差后 对应量 第一部分 a r?b x r 第二部分 b a?r y 得到等式：

r?bx? （由此可知，十字交叉法解决的是两者之间的比例问题） a?ry 在运用十字交叉法进行计算时要注意：①总体平均数r总是介于部分平均数a与b之间； ②当a、b表示增长率时，所求得的x和y是增长之前的数值。

2.应用

十字交叉法常用来解决两种物体之间的平均数问题，其解题步骤为： ①找出各部分的平均数和总平均数；

②各部分平均数与总平均数交叉作差，写出每部分分量或分量之比； ③利用比例关系解答。

【例题1】某班平均脚长24.5，男女各自的平均脚长分别为25和23，男女比例是： A.3:1 B.1:2 C.1:3 D.2:1

解析：此题答案为A。题干已知总体平均值为24.5，部分平均值分别为25和23，求分量比例，可采用十字交叉法。设男生x人，女生y人。

平均脚长 交叉作差后 分量 男 25 1.5 x

25

24.5

女 23 0.5 y 由上图可知，

x1.53??，即男女比例为3:1。 y0.51

【例题2】某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科生毕业数量比上年度减少2％，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有： A.3920人 B.4410人 C.4900人 D.5490人

解析：此题答案为C。已知总体增长率和部分增长率，求其中一个部分增长后的值，可先通过十字交叉法求出去年本科生毕业数量与研究生毕业数量之比。 去年毕业的本科生 -2％ 8％ 2%

去年毕业的研究生 10％ 4％

去年毕业的本科生8%2(1+2％) =7500人，则去年毕业的本科生人??= 去年毕业学生人数是7650÷

去年毕业的研究生4%1数是7500×

2=5000，今年毕业的本科生人数是5000×(1-2％)=49000 2?1 【例题3】某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁．B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多 少岁？

A.34 B．35 C.36 D.37

解析：此题答案为B。已知A、B、C三个部门各自的平均年龄，只要求出A、B、C三个部门的人数之间的比例关系，再按照比例关系，求出全体人员的平均年龄。

根据题意，可利用十字交叉法求出A、B两部门人数之比，B、C两部门人数之比。 A：38 6 B：24 8 30 34 B：24 8 C：42 10

由上图可得，A、B两部门人数比为6:8=3:4，B、C两部门人数比为8:10=4:5，则A、B、C三部门人数之比为3:4:5，为简化计算，可运用特殊值法，直接假设A部门3人，B部门4人，C部门5人，则该单位全体人员的平均年龄为(38×3+24×4+42×5)÷(3+4+5)=35岁。 专项三计算问题

计算问题是各地方省公务员考试的常考题型，其中算式问题、定义新运算问题出现频率较高。此外，数列问题也有考查。

考点一 算式问题

算式问题一般是给出一个算式，要求计算出结果。为了在最短的时间内解决算式问题，常需要用到尾数法、公式法、提取公因式法、拆项补项法、列项相消法等计算技巧。

1.公式法

公式法即直接利用公式进行计算，常用的计算公式如下表： am?an?an?am?am?n (am)n?(an)m?amn 幂次计算方式 bnbm(a?b)?a?b ()?m aammm26

完全平方公式 平方差公式 完全立方公式 立方和（差）公式 阶乘公式 (a?b)2?a2?2ab?b2 a2?b2?(a?b)(a?b) (a?b)3?a3?3a2b??3ab2?b3 a3?b3?(a?b)(a2?ab?xb2) n！=1×2×…×n 0！=1 【例题1】(100+99)( 100-99)+(99+98) (99-98)+(98+97)(98—97)+…+(2+1)(2-1)的值是： A.10100 B.9999 C.10000 D.5050 解析：此题答案为B。直接利用平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)。 原式= 1002_992+992-982+…+22 -12=1002-12=9999. [例题2】若2x=3，4y=5，则2x?2y的值为：

3536 A． B．-2 C． D．

555 解析：此题答案为A。根据幂次运算公式，2x?2y?2x?2?2y?2x?4y?3。 5 2.尾数法

尾数通常是指一个数的个位数字，有时也指末几个有效数字。

在公务员考试中，当选项中四个数的尾数各不相同时，可以采用尾数法，在不直接计算算式各项值的情况下，只计算结果的尾数，以确定选项中符合条件的选项。

尾数本质上是原数除以10的余数，尾数特性本质上是同余的性质。因此，两个数的和的尾数等于尾数之和的尾数，两个数的差的尾数等于尾数之差的尾数，两个数的积的尾数等于尾数之积的尾数。

尾数性质 和的尾数等于尾数的和 差的尾数等于尾数的差 积的尾数等于尾数的积 示例 4 5 2 + 2 1 3 = 6 6 5 5 1 8 + 2 2 3 = 7 4 1 2 + 3 = 5 8 + 3 = 1 1 4 5 2 + 2 1 3 = 2 3 9 5 1 8 – 2 2 3 = 2 9 5 1 2 – 3 = 9 8 – 3 = 5 4 5 2 × 2 1 3 = 9 6 2 7 6 5 1 8 × 2 2 3 = 1 1 5 5 1 4 2 × 3 = 6 8 × 3 = 2 4 【例题3】173×173×173-162×162×162=（ ）

A.926183 B.936185 C.926187 D.926189 解析：此题答案为D。选项四个数的尾数各不相同，直接计算其尾数。 3×3×3-2×2×2=27-8=19；可知结果的尾数应该是9，因此只能选D。 3.提取公因式法

在一个算式中，如果各项都含有共同的因式，可以把这个因式提取出来作为多项式的一个公因式，写到括号外面。其实质是逆用乘法分配律：(a?b)??a?c?b?。

公务员考试中，在运用提取公因式法的时候，通常要将式子先进行适当的因式分解，才能提取出其中的公因式。

【例题4】2011×201+201100-201.1×2910的值为：

27

A.20110 B.21010 C.21100 D.21110

解析：此题答案为A。算式的三个项都可以化成含有2011的式子。 原式=2011×201+2011×100-2011×291 =2011× (201+100-291) =2011×10=20110， 【例题5】2009×20082008-2008×20092009=?

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：此题答案为A。两个式子都可分解为含有2008和2009两个因式的式子。 原式=2009×2008×10001-2008×2009×10001=0。 4.裂项相消法

裂项相消法是将数列中的每项（通项）分解，使之能消去一些项，最终达到简化计算的目的。下面是一些常见的通项的裂项方式： （1）

111 ??n(n?1)nn?11111??(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?11111??[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)nm?n?m?m?n?m （2）

（3）

（4）

（5）n！×n=（n+1）！-n！ 【例题6】

11111的值是： ????4256729011015411 A． B. C. D．

66851286 解析：此题答案为B。观察算式，所有项的分母都可以转化为两个相邻数的乘积。 根据裂项公式(1)，原式=???????1617111178891111115 ?????910101161166 5.拆项补项法

即指把多项式的某一项拆开或加上互为相反数的两项，使原式便于提取公因式或利用公式法化简，从而达到简化计算的目的。

【例题7】已知a+b=8，ab=-20，则(a-b) a3+（b-a）b3=( )。 A.96 B.-96 C.2096 D.12096

解析：此题答案为D。a、6的数值较难直接求出，可将所求式子转化为含有已知条件的式子。 原式=(a-b)（a3-b3）

=(a-b )2(a2+ab+b2) [立方差公式] =( a2-2ab+b2+4ab -4ab ) (a2+ab+b2+ab-ab ) [进行拆项补项] =[82-4×(-20)]×[82 －(-20)] [完全平方公式]

28

=144×84=120960

跟踪小练习

1.求72008+82009+92010+789×987的个位数字？ A.3 B.5 C．7 D．9 2.计算99999×22222+33333×33334的值为( )。 A.3333400000 B.3333300000 C.3333200000 D.3333100000 3。计算

137153163127255511????????？ 481632641282565121024 A. 351310231511 B. 3 C.4 D. 4 1025102410241025 4．若X=123456789×123456786，Y=123456788×123456787，则X和Y的大小关系是：

A.X=Y B.XY D．不确定

11111111??????? 5.的值是： 315356399143195255A.

参考答案 1．【答案】A。解析：考查的是尾数的计算，2008÷4=502，因此72008的尾数与74的尾数相同，为1;82009的尾数与81的尾数相同，为8;92010的尾数与92的尾数相同，为1。 两个数的积的尾数等于尾数之积的尾数，789×987的尾数是9×7=63的尾数，为3。 因此，所求式子的个位数字为1+8+1+3=13的尾数，即为3。 2．【答案】B。解析：将99999分解成33333×3，可以找到公因式。 原式=33333×3×22222+33333×33334 =33333× (66666+33334) =33333×100000=3333300000。 3．【答案】C。解析：观察算式，会发现所有项都在

6688 B. C. D. 171917191附近，可进行拆项： 229

111111原式=(?)?(?)???(?)2428210241111??9?(????)24810249111??[()2?()3??()10]2222 9121319110??[()?()???()?()]22222911??[?()10]2221?410244.【答案】B。解析：令123456789=a，则123456786=a-3，123456788=a-1，123456787=a-2，故X –Y=a?(a?3)?(a?1)?(a?2)?(a?3a)?(a?3a?2)??2?0,则X?Y 5.【答案】C .解析：原式

2211111111111=?(1?)??(?)??(?)????(?)232352572151711111111 ??(1?????????)2335571517118??(1?)?2317

考点二 定义新运算

定义新运算就是打破原有的运算规则，给出一种新的运算方法，并赋予该运算方法新的运算符号，如冰、△、◎、※等。

解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代人数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

【示例】若a△b=a+b+ab，求3△2？对这题，有3△2=3+2+3×2=11。 解题注意事项：

(1)无特殊规定时，按从左到右的顺序计算；有括号时，应当先算括号里面的。

(2)新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算律来解题。

(3)如※，△，●，★……等符号所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。

(4)在有些问题中，新定义的规律并不直接给出，而是通过几个算式，这时就需要通过算式寻找出其中的规律，再代入计算。

【例题1】定义新运算：对于任意自然数A、B，若A、B奇偶性相同，则A※B=(A+B)÷2；若A、B奇偶性不同，则A※B=(A+B+1)÷2。那么l※3※5=( )。 A.2 B.4 C.8 D.12

解析：此题答案为B。题中没有给出三个数以两个※相连的计算公式，但是与加法、乘法等运算类比，可知应该从左到右顺次计算。

先求出1※3的值，1和3同是奇数，l※3=(1+3)÷2=2；

30

再根据公式来求2※5的数值，2和5奇偶性不同，2※5=(2+5+1)÷2=4。 所以1※3※5=2※5=4。 【例题2】对正实数定义新运算―﹡‖：若a≥6，则a﹡b=b3;若a

A.0 B.9 C．3 D.3,3、3

解析：此题答案为D。x与3的大小关系未知，先分别讨论。

假定3≥x，则3﹡x=x3=27，解得x=3，满足条件3≥x，故x=3；

假定3

【例题3】定义4△5=4+5+6+7+8=30，7△4=7+8+9+10=34，按比规律，(26△15)+(10△3)的值为 ( )。

A.528 B.525 C.423 D.420

解析：此题答案为A。没有直接给出规律，需要先确定规律。

根据4△5=4+5+6+7+8=30.7△4=7+8+9+10=34

5个连续整数之和 4个连续整数之和 可知x△y表示从x开始连续y个整数的和，由等差数列的求和公式可知x△x=xy+

y(y?1)故2(26△15)+(10△3)=

15?143?2?10?3??528 22考点三 数列问题

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，……，第n项，……，最后一项称为末项；含有多少个数，就称有多少项。

【示例一】数列 1、2、3、4、5、6、……99

末项 首项

1～99，一共有99个数，所以这个数列一共有99项。

数列的一般形式可以写成a1,a2,a3?,an,?，其中an是数列的第n项，整个数列可简写为{an}。 如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

【示例二】数列1,,,,?,,第2项为,第3项为,第n项为,所以其通项公式为an? 数列的前n项和记为sn。

在各省市公务员考试中，等差数列与等比数列出现较多。

31

1112341n12131n1 n

1.等差数

在数列中，等差数列出现的频率非常高，我们将重点讲解。考生应注意仔细体会每个公式的具体意义，以便考试时能灵活运用。此外，对等比数列也作简单介绍，考生熟记其公式，学会应用即可。 (1)定义

从第二项起，每一项与前一项之差为一个常数（固定不变的数），这样的数列称为等差数列，这个常数就称为公差，记为d。

【示例】2、5、8、11、14、17、20、…，从第二项起，每一项-前一项=3，公差d=3。 (2)四个公式

①通项公式：末项=首项+（项数-1）×公差，即an?a1?(n?1)?d。

【示例一】已知首项a1=2，公差d=3，因为第2项与首项，差一个公差；第3项与首项差2个公差， ……，第n项与首项差n?1个公差，所以an?a1?(n?1)?d?2?(n?1)?3?3n?1 由上述分析过程，还可以得到：an?am?(n?m)?d

②项数公式：项数=（末项一首项）÷公差+1，即n?(am?a1)?d?1。 【示例二】找数列4、7、10、13、……、40、43、46的项数。 首先，这是一个公差为3的等差数列，所以其项数为(46-4)÷3+1=15项。 ③求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，即sn?(a1?an)?n?2。 我们可以从下面的例题来帮助理解：

【示例三】求数列l、2、3、…、98、99、100的和。

和=1+2+3+?4++98+99+100+和=100+99+98?+97++3+2+1

2倍和=101+101+101?+101++101+101+101

即和=（100+1）×100÷=101×50=5050。

根据an?a1(n?1)?d,sn?(a1?an)?n?2?[a1?a1?(n?1)d]?n?2?na1?对称公式：am?an?ai?aj,其中n?n?i?j 由通项公式，有

1n(n?1)d 2am?an?a1_(n?1)d?a1?(m?1)d?2a1?(m?n?2)dai?aj?a1?(i?1)d?a1?(j?1)d?2a1?(i?j?2)d,

又m?n?i?j,所以am?an?ai?aj

【示例四】一个等差数列已知a1?3,a7?15,a3?7,则a5=? 因为1+7=3+5，所以a1?a7?a3?a5,所以a5?3?15?7?11 (3)中项定理

数列最中间的一项称为中项。

32

当n为奇数时，等差数列中项=?an?1,各项和?an?1?项数。

22 当n为偶数时，等差数列的中项有两项，为an、an各项和?22?11(an、an)?项数。

?1222 【示例一】求等差数列4、8、12、…、32、36的和。 等差数列有(36-4)÷4+1=9项，中间一项即第5项的值是4+（5-1）×4=20，因此和为20×9=180； 【示例二】求等差数列65、63、61、59、57、55、53、51的和。 数列一共有8项，最中间的两项为59、57，因此各项和为

1?(59?57)?8?464。 2 2.等比数Jv

(1)定义

从第二项起，每一项与前一项之商为一个不为零的常数（固定不变的数），这样的数列称为等比数列，这个常数称为公比，记为q。

【示例】数列2、6、18、54、162、486…从第二项起，后一项÷前一项=3，公比q=3。

(2)三个公式

等比数列通项、求和、对称公式可类比等差数列来推导、记忆。 ①通项公式：an?a1?qn?1

【示例一】数列2、6、18、54、162、486-首项a1=2，公比q=3，其通项可写为an?2?3n?1。

ana1qn?1n?mn?m??q,即有a?aq(n?m) 由通项公式，可知nmm?1ama1q 特例：当公比q=1时，所有项均等于首项，比时数列为常数列。

(q?1)?na1(1?qn)? ②求和公式：?1?q

?na1q?1? 【示例二】对数列9，92，93，94，95，96，97求和，首项a1=9，公比q=9，项数n=7，所以

9(1?97)97s9??(9?1)

1?98 ③对称公式：am?an?ai?aj,其中m+n?i?j。 【示例三】已知等比数列{am}中，a1?4,a5?64,问a3??

因为1+5=3+3，所以a1?a5?a3?a3,即有a32?4?64,所以a3?16或?16

等差数列与等比数列的相关公式具有类比性，现将这两种公式列表如下，方便大家对比记忆。 数列 通项公式 通项公式推论 对称公式 求和公式 33

(1)一般求和：sn?n(a1?an)?na?1n(n?1)d 122等差数列 an?a1?(n?1)d an?am?(n?m)d am?an?ai?aj,其中m?n?i?j ?nan?1?2?(2)中项求和：Sn??n n为偶数 ?(an?an)?1??222 等比数列 an?a1?qn?1 an?am?qn?m am?an?ai?aj,其中m?n?i?j 解决数列问题时，先分清是等差数列，还是等比数列，从问题中提取已知量，如首项、末项、公差、

公比、项数等，再根据情况代人相应公式计算。

【例题1】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么第6个数是多少？

A.30 B.32 C.36 D.40

解析：此题答案为D。拆成的数构成等差数列。根据各项和=中项×项数，可知由210拆成的7个数的中位数为210÷7=30，即a4=30，所以a6=a4?2d?40。

【例题2】在自然数1至50中，将所有不能被3整除的数相加，所得的和是：

A.865 B.866 C.867 D.868

解析：此题答案为C。不能被3整除，其反面是能被3整除。 能被3整除的数为3，6，9，…，48，这是一个首项为3，公差为3的等差数列，项数为(48-3)÷3+1=16，其和为(3+48)×16÷2=408。 1至50的和为(1+50)×50÷2=1275，故所求为1275-408=867。 【例题3】{am}是一个等差数列，a3?a7?a10?8,a11?a4?4，则数列前13项之和是： A.32 B.36 C.156 D.182

1s?na?n(n?1)d即可求得。计算过程比解析：此题答案为c。本题可以先计算出a1、d，代入n12较繁琐。

实际上，由等差数列对称公武可得，a10?a3?a11?a4， 那么(a3?a7?a10)?(a11?a4)?a7?(a10?a3)?(a11?a4)?a7?12； 由等差数列中项求和公式得：s13?a7?13?156。

【例题4】一本100多页的书，被人撕掉了4张，剩下的页码总和为8037，则该书最多有多少页？ A.134 B.136 C.138 D.140

解析：此题答案为A。撕掉四张纸有8个页码，页码数为4个奇数，4个偶数，因此页码数之和是偶数，由剩下页码总和是奇数可知总的页码数是奇数，设有n页，则页码总数为

n(n?1)，观察各选项，n?12均为奇数，则

n也应为奇数，据此，则排除B、D。 234

代入C项数据，则撕掉的页码数之和是138×( 138+1)÷2-8037=1554。 实际上，如果有138页，那么撕掉的8个页码最多不超过138×8=1104，矛盾。A项符合题意。 考点四 算术平均数

算术平均数的计算公式为：平均数=总和÷个数。

算术平均数（因其最常见，一般简称为―平均数‖）具有以下几个性质： ①平均数介于一组数据的最大数与最小数之间； ②n个数据的平均数要增加×，则总和需要增加nx。

【例题1】在一次法律知识竞赛中，甲机关20人参加，平均80分，乙机关30入参加，平均70分， 问两个机关参加竞赛的人总平均分是多少分？

A.76 B.75 C.74 D.73 解析：此题答案为C。总平均分=总成绩÷总人数=(20×80+30×70)÷(20+30)=74分。

【例题2】一串数字共15个，前10个的平均数是23，后10个的平均数是35，中间5个的平均数 是26，这15个数字的平均数是多少？

A.33 B.31.5 C.30 D.29 解析：此题答案为C。前10个数之和为23×10=230，后10个数之和为35×10=350，中间5个数之和为26×5=130。将前10个数和后10个数相加，则中间5个数算了两次，因此15个数之和为230+350- 130=450，平均数为450÷15=30。

【例题3】小王练习射击，每次10发。练了若干次之后，小王准备再打一次。如果这次小王打48环，那么平均每次打56环。如果最后这次打68环，那么平均每次打60环。小王共练习了多少次？ A.4 B.5 C.6 D.7 解析：此题答案为B。小王由48环提升到68环，总和增加了68-48=20环。这使得平均数增加了60-56=4环，由平均数性质②可得，小王练习了20÷4=5次。

【例题4】小王和小李一起到加油站给汽车加油，小王每次加50升93#汽油，小李每次加200元93 #汽油，如果汽油价格有升有降，那么给汽车所加汽油的平均价格较低的是( )。 A.小王 B．小李 C．一样的 D.无法比较 解析：此题答案为B。

方法一：以购买两次为例，设两次的汽油价格分别为a、b，那么小王的平均价格为：

50(a?b)(a?b)4002abA(a?b)2??A=；小李的平均价格为：B? 则??1，故A≥B，

200200a?b1002B4ab?ab由于a?b，则A＞B，即小李平均价格较低，此结论可以推广到多次的情况。

方法二：极端法。也以两次为例，既然价格不同，那么我们就假设两次的价格差距很大，来看看那 种更合适。具体地，我们可以令第一次的价格为200，第二次的价格为1，显然小李的平均价格要更低。 选B。

专项四和差倍比问题

和倍差比问题是研究不同量之间的和、差、倍数、比例关系的数学应用题，是数学运算中比较简单的问题。这类问题对计算速度和准确度要求较高，考生在平时训练中，应注意培养自己的速算能力。

考点一 和差倍问题

和差倍问题又可细分为和倍、差倍、和差问题。在近几年的公务员考试中，和差倍问题往往不再单独考查，而是与其他题型结合。掌握相应的公式，可以在解题过程中快速计算。 1.和倍闻题

和倍问题是指已知两个或者两个以上的数之和，以及它们之间的倍比关系，求这两个数或这些数各

35

是多少的问题。

【示例】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各 加工零件多少个？

和倍问题常用公式： 和÷（倍数+1）=1倍量，1倍量×倍数=几倍量 对和倍问题，可按照以下流程解题：

确定1倍数 确定总和相当于几部 利用公式求出1倍量 确求出其他各量

对于上题，我们可以这么来解：

根据题意，徒弟加工的少，可将徒弟的看成l倍量。 [确定1倍量]

画出示意图如图(4—1)： 师傅： 5个

105个

徒弟：

从图上可以看出，如果师傅少加工5个，两人加工的总数少5个，总数变为100个，这时是整数倍，一共有l+3=4倍。 [确定总和相当于几倍] 1倍量=100÷4=25，即徒弟加工了25个。 [利用公式求出1倍量] 师傅加工了105—25=80个。 [求出其他各量] 2.差倍问题

差倍问题是指已知两个数的差，以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。这类问题与和倍问题本质上没有区别，只是在求倍数的时候注意对应关系。 差倍问题常用公式：

差÷（倍数一1）=1倍量，1倍量×倍数=几倍量

【例题1】两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍， 则第一块花布原有多少米？

A．48 B．42 C．40 D．35

解析：此题答案为D。已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块 剩下的少，第二块剩下的多。将第一块剩下的看成1倍量，画出示意图，如图(4-2)所示。

所剩的布第二块比第一块多31-19=12米。

又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，根据差倍公式，差÷（倍数-1）=1倍量，可知第一块所剩 布的长度为12÷（4-1）=4米，则第一块布原有4+31=35米。 3.和差问题

和差问题是指已知两个数的和，以及它们的差，求这两个数各是多少的问题。这类问题是和差倍比问题中最简单的一类，可直接套用公式。

【示例】甲班和乙班共有图书160本，且甲班的图书比乙班多20本，甲乙两班各有多少本图书？ 乙班书较少，将乙班的书看成1倍量，则甲班的书减20本等于1倍量，从而有1+1=2倍量=160-20，

36

所以1倍量为(160-20)÷2=70，即乙班有图书70本。

也可将甲班的书看成1倍量，则乙班的书+20本=1倍量，从而1+1=2倍量=160+20，所以1倍量为(160+20)÷2=90奉，即甲班有图书90本。 和差问题常用公式： 大数=（和+差）÷2，小数=（和一差）÷2

【例题2】三个单位共有180人，甲、乙两个单位人数之和比丙单位多20人，甲单位比乙单位少2人，求甲单位的人数？

A.48人 B.49人 C.50人 D.51人

解析：此题答案为B。和差问题，先求出甲乙两个单位人数之和，再求出甲单位人数。根据公式：大数=（和+差）÷2，甲、乙两个单位人数之和为(180+20)÷2=100人；根据公式：小数=（和一差）÷2．甲单位有(100-2)÷2=49人。

跟踪小练习

1．某单位举办庆国庆茶话会，买来4箱同样重的苹果，从每箱取出24千克后，结果各箱所剩的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。那么原来每箱苹果重多少千克？ A.16 B.24 C.32 D.36

2．某单位有员工540人，如果男员工增加30人就是女员工人数的2倍，那么原来男员工比女员工多几人？

A.13 B.31 C.160 D.27

3．书架上共有书168本，分别放在4层。第一层本数的2倍是第二层本数的一半，第一层比第三层少2本，比第四层多2本，则第一层有多少本书？

A.30 B.24 C.34 D.26 参考答案 1．【答案】C。解析：差倍问题。取出4×24=96千克苹果，相当于4-1=3箱的重量，则原来每箱苹果重96÷3=32千克。 2．【答案】C。解析：和倍问题。

男员工增加30人就是女员工人数的2倍?男员工人数是女员工人数的2倍少30人。设女员工为1倍量，则男员工的人数+30人为2倍量，所以女员工人数为(540+30)÷(2+1)=190人，男员工人数为540-190=350人，男员工人数比女员工多350-190=160人。 3．【答案】B。解析：此题是典型的和差倍关系题。把第一层本数看作1倍量，则第二层就是4倍，第三层-2、第四层+2也是1倍量，所以有总量168+2-2=168本对应于1+4+1+1=7倍量，因此第一层的书有168÷(1+4+1+1)=24本。 考点二 比例问题

基本公式：分量÷总量=所占比例，分量÷所占比例=总量，分量=总量×所占比例

解决比例问题的关键是找准各分量、总量以及分量与总量之间的比例关系，再根据对应的公式进行求解。解题时，需注意两点：

(1)题干中，如果有明显的等量关系，且算术方法思路复杂时，可用方程法去解。设未知数时，要注意结合比例关系，避免分数的出现。

(2)根据题干数字特征，尤其是遇到含分数、百分数的题，可结合选项排除。

【例题1】制黑火药用的原料悬火硝、硫磺和木炭。火硝的质量是硫磺和木炭之和的3倍，硫磺只占原料总量的

1，要配制这种黑火药320千克，需要木炭多少千克？ 1037

A．48 B．60 C.64 D.96

解析：此题答案为A。已知总量：黑火药320千克，要求分量：木炭。根据公式：分量=总量×所占比例，可知应设法求出所占比例。

33? 火硝的质量是硫磺和木炭之和的3倍?火硝占总量的。 1?34 木炭占总质量的1?3133??，故需要木炭320×?48千克。 4102020 【例题2】小雪和小敏的藏书册数比是7:5，如果小雪送65本给小敏，那他们之间的藏书册数比是

3:4，那么，小敏原来的藏书是多少册？

A．175 B．245 C.420 D.180 解析：此题答案为A。

方法一，方程法。由于小雪和小敏的藏书册数比是7:5，则可设小敏原来的藏书是5x册，小雪原来 的藏书有7x册，依题意，有

7x?653?解得x=35，所以5x=175。即小敏原来的藏书是175册。

5x?654方法二，前后的图书总量不变，可调整前后的比例，使得份数和相等。

???7:5??前后变化了49?36?13份,开始:份数和为??7?7:5?7???即每份为65?13=5,从而7+5=12?12.7的最小公倍数?49:35??????为12?7小敏原来的图书为??????????????????????????3:4后来:份数和为?35?5=175册.??=3?12:4?12?3+4=7???=36:48?

专项点睛

根据题意可知，小敏后来的藏书册数应该是4的倍数，即小敏原来的藏书册数加65后能被4整除，选项中只有A符合。

考点三 连比问题

连比问题是一种复杂的比例问题，它涉及多个数量之间的比例关系，在行测考试中常常考查三个数之间的连比关系。它的主要形式为：

已知甲：乙=a:b，乙：丙=c:d，求甲：乙：丙。

对于这类题型，我们一般是通过中间量乙作为桥梁，连接甲和丙。将两个式子中的乙表示为同一个数，即甲：乙=a:b=ac:bc，乙：丙=c:d=bc:bd，那么可以得到甲：乙：丙=ac:bc:bd。

【例题1】某高速公路对于过往车辆的收费标准：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车与小客车数量之比为5:6，小客车与小轿车数量之比为4:11，收取小轿车的通行费比大客车多210元，则这天这三种车辆共通过的数量为( )。

A.330 B.355 C.385 D.450

解析：此题答案为C。中间量6、4的最小公倍数为12，将5:6与4:11分别转化为10:12与12:33，则大客车：小客车：小轿车=10:12:33。

38

以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30元，所以这天通过的三种车一共有210÷30=7组。共7×(10+12+33)=385辆。

【例题2】A、B、C三人玩游戏，开始时三人的钱数之比为7:6:5，游戏结束后三人的钱数之比变为6:5:4．其中有一个人赢了12元，则这个人原来有多少元钱？

A.420 B.480 C.360 D:300

解析：此题答案为A。三人的总钱数没有改变，可将钱数之比进行转化，使两次钱数之比的总份数相等。

?开始:份数和为??7?5:6?5:5?5???B的份数没有变化,所?7+6+5=18?35:30:25???18、15的最小公倍数为90?????????以B不输不赢,A赢钱1份?????6:5:4后来:份数和为?C输钱1份???6?6:5?6:4?6?6+5+4=15???36:30:24?7:6:5

所以A原来有35×12=420元。

专项五行程问题

行程问题是公务员考试的重点题型，行程问题研究的是物体速度、时间、路程三个量之间的关系。这三个量之间的基本关系式如下： 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间

上述三个公式称为行程问题的核心公式，大部分的行程问题都可通过找出速度、时间、路程三量中的两个已知量后利用核心公式求解。对于数量关系比较复杂的行程问题，可画出线段图，找出路程、速度、时间之间的关系，再列式求解。 考点一 简单行程问题 1.常规闻题

这类问题中路程、速度和时间三个量之间的关系都比较简单，可找到路程、速度和时间这三个量，然后根据行程问题公式和已知量来求出未知量。

【例题1】铁路沿线的电线杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2分钟。这列火车每小时运行多少千米？ A.50 B.60 C．70 D.80 解析：此题答案为B。题问：每小时运行多少千米

求速度=路程÷时间=2÷(2÷60)=60千米／小时

2分钟=（2÷60）小时 从第1根到第51根电线杆，中 间有50个间隔，路程=50× 40=2000米=2千米

C 39

A

【例题2】游乐场的溜冰滑道如图所示，溜冰车上坡时每分钟行驶400米， 下坡时每分钟行驶600米，已知溜冰车从A点到B点需要3.7分钟，从B点到A 点只需要2.5分钟，则AC比BC长多少米？， A.1200 B.1440

B C.1600 D.1800

解析：此题答案为B。题目求AC与BC的路程差，上下坡的速度已知，时间已知，可利用路程=速度×时间，列方程求解。 从A点到B点，溜冰车所用时间为

ACBC??3.7 400600ACBC??2.5。 600400 从B点到A点，溜冰车所用时间为

将两式相减可得

AC?BC?1.2，因此AC-BC=1.2×1200=1440米。

1200 2.行程问题中的比例关系

根据行程问题三个量之间的公式，还可以归纳出以下比例关系： 时间相等，路程比=速度比； 速度相等，路程比=时间比； 路程一定，速度与时间成反比

【例题3】某轮船计划用15小时从A地到B地，行驶5小时后，由于天气变好，速度加快了25%，可提前几小时到达？

A．4 B．3 C.2 D.1 解析：此题答案为C。从A地到B地?路程一定。 提前几小时到达=原计划用的15小时一实际用时

?

5小时+行驶变速后剩余路程用时（设为x小时）

?

路程一定，时间比=速度比的反比=原速度:新速度=1:(1+25%)=4:5

?

余下路程实际用时x4??

余下路程计划用时15?55

解得x=8，故变速后实际用时8小时，可提前10-8=2小时到达。

【例题4】甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需要6小时，乙车单独清扫需要9小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米。问东、西两城相距多少千米？

A.60千米 B.75千米 C.90千米 D.135千米

40

解析：此题答案为B。甲车单独清扫需要6小时，乙车单独清扫需要9小时。则两者速度比为:11。 69相同时间内，两人走的路程比为

11:=3：2。那么甲车比乙车多清扫的1份是15千米，所以东、西相距6915×(3+2)=75千米。 3.平均速度

平均速度反映一段时间内运动的平均快慢程度，如果将―平均速度‖看成―平均数‖，则―总路程‖是―所有数据之和‖，―总时间‖即为―数据的个数‖，因此： 平均速度=总路程÷总时间，且平均速度总是介于各分段的速度之间。 平均速度问题主要有以下两种表现形式：

(1)物体前一半时间以速度v1运动，后一半时间以速度v2运动，则全程的平均速度为多少？ 设一半时间为t，则总时间为2t，总路程为v1t?v2t，平均速度=（v1t?v2t）÷2t=

v1?v2。 2 (2)物体前一半路程以速度v1运动，后一半路程以速度v2运动，则全程的平均速度为多少？

设一半路程为s，则总路程为2s，总时间为

2vvssss?，平均速度=2s?(?)?12

v1v2v1?v2v1v2【例题5】汽车往返甲、乙两地之间，上行速度为30公里／小时，下行速度为60公里／小时，汽车

往返的平均速度为( )公里／小时。

A.40 B.45 C．50 D.55

解析：此题答案为A。汽车往返所走的路程相等，根据公式，往返的平均速度为

2v1v22?30?60??40公里／小时。

v1?v230?60跟踪小练习

1．甲、乙两人进行100米赛跑比赛，结果甲领先乙10米到达终点。如果乙和丙进行100米赛跑，则乙领先丙10米取胜。现在甲和丙进行同样的比赛，则甲到达终点时丙跑了多少米？ A.19米 B.20米 C.80米 D.81米

2．一个人骑自行车从甲地到乙地，如果每小时行10千米，在下午1时到达乙地，如果每小时行15千米，在上午11时可以到达乙地，现在他希望在中午12时到达乙地，每小时应以多少千米的速度前进？ A.10 B.12 C.15 D.18

3．一个人骑自行车过桥，上桥的速度为每小时12公里，下桥的速度为每小时24公里。上下桥所经过的路程相等，中间没有停顿。问此人过桥的平均速度是多少？ A.14公里／小时 B.16公里／小时 C.18公里／小时 D.20公里／小时 参考答案 1．【答案】D。解析：甲到达终点时丙跑了多少米?时间相等，求甲、丙的路程关系

时间相等，路程比等于速度比 求甲、丙的速度之比

41

v甲100v乙vvv100??,化简得甲?甲?乙? v乙90v丙v丙v乙v丙81 所以

s甲v甲100??，当甲到达终点时，即s甲=100米时，s丙=81米。 s丙v丙81 2．【答案】B。解析：每小时15千米比每小时10千米提前2小时到达，截至11时前者比后者已经多走了10×2=20千米。每小时多走15-10=5千米，则按每小时15千米行驶所需时间是20÷5=4小时，全路程是15×4=60千米。若在中午12时到达，则-所用时间是5小时，那么所求为60÷5=12千米／小时。 3．【答案】B。解析：上桥下桥的路程相等，所以平均速度为

2v1v22?12?24??16公里/时。

v1?v212?24考点二 相遇、追及问题

1.相遇问题

特征：(1)两人（物体）从不同地点出发作相向运动；(2)在一定时间内，两人（物体）相遇。 公式：

相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间

公式中的相遇路程指同时出发的两人所走的路程之和。如果不是同时运动，要转化为标准的同时出发、相向运动的问题来套用相遇问题公式。

相遇问题涉及两个或多个运动物体，过程较为复杂。一般借助线段图来理清出发时间、出发地点等基本量，进而利用行程问题核心公式解题。

【例题1】甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分钟相遇。已知甲车速度是60千米／时，乙车速度是40千米／时，那么，甲车提前了多少分钟出发？

A.30 B.40 C.50 D.60

解析：此题答案为C。设甲提前t小时出发，画出线段图(5-2)如下：

根据―甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分钟相遇‖，即提前

1小时相遇，有2s1s?60t5??，解得t?小时=50分钟。

60?40260?406 专项点睛

42

由题意可知，甲提前走的路程=甲、乙共同走30分钟的路程，那么提前走的时间为

15?(60?40)?小时?50分钟 26 2.追及问题

特征：(1)两个运动物体同地不同时（或同时不同地）出发做同向运动，后面的比前面的速度快。(2)在一定时间内，后面的追上前面的。 公式：

追及路程=速庋差×追及时间 追及时间=追及路程÷速度差 速度差=追及路程÷追及时间

其中，开始追及时两者的距离称为追及路程，大速度减小速度称为速度差。 与相遇问题类似，我们可通过线段图来理清追及问题的运动关系。

【例题2】甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？

A.100, 260 B.120,320 C.160, 360 D.160,420

解析：此题答案为D。乙机速度>甲机速度，因此4小时后甲、乙相隔（340-300）×4=160千米，即后面2小时的追及路程为160千米。根据速度差=追及路程÷追及时间，可得速度差=160÷2=80千米／时。乙机速度不变，则甲机每小时应飞行80+340=420千米。 3.直线多次相遇问题

解决直线多次相遇问题的关键是找出一共行驶了多少个全程，从而找出三量中的路程。在过程复杂时，可借助线段图分析。

【例题3】甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在距B地64千米处第一次相遇。相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回。途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？

A.24 B.28 C.32 D.36

解析：此题答案为C。直线二次相遇问题，具体运动过程如图(5-3)所示。

由上图可知，第一次相遇时，两个车走的总路程为A、B之间的距离，即1个AB全程。第二次相遇时甲、乙两车共走了3个AB全程，即两车分别走了第一次相遇时各自所走路程的3倍。可知乙车共走了64×3=192千米，AB间的距离为192-48=144千米，故两次相遇点相距144-48-64=32千米。

由上例可知：

从两地同时出发的直线多次相遇间题中，第甩次相遇时，路程和等于第一次相遇时路程和的(2n一 1)倍；每个人走的路程等于他第一次相遇时所走路程的（2n-1）倍。

【例题4】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同 时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次？

A.5 B．2 C．4 D.3

43

解析：此题答案为D。直线多次相遇问题，利用结论：从两地同时出发的直线多次相遇问题中，第几次相遇时，两人所走的路程和等于第一次相遇时所走路程和的（2n-1）倍，第一次相遇甲、乙的路程

5和为泳池长度，即30米。1分50秒时两人共游了(37.5+52.5-)×1 =165米。165’30=5……15，而5=2×3-1，

6因此两人共相遇了3次。

跟踪小练习

1．小王家和小李家相距2400米，他们同时出门，相向而行，小王每分钟走75米，小李每分钟走85米。小李出门时将家中的小狗也带了出来，这只狗每分钟跑145米，它遇到小王后立即掉头跑向小李，遇到小李后，又立即掉头跑向小王，遇到小王后又再次跑向小李。就这样一直跑到两人相遇，这只小狗一共跑了多少米？

A.1450 B.1350 C.2400 D.2175

2．一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍？

A.1.5 B.2 C．1+2 D．1+3 3．甲、乙两人沿直线从A地步行至B地，丙从B地步行至A地。已知甲、乙、丙三人同时出发，甲和丙相遇后5分钟，乙与丙相遇。如果甲、乙、丙三人的速度分别为85米／分钟、75米／分钟、65米／分钟。问A、B两地距离为多少米？

A.8000米 B.8500米 C.10000米 D.10500米

4．a大学的小李和b大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于a、b两校之间。现已知小李的速度为85米／分钟，小孙的速度为105米／分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问a、b两校相距多少米？

A.1140米 B.980米 C.840米 D.760米 参考答案 1．【答案】D。解析：此题的解题关键是求小狗跑的时间，然后用小狗跑的速度乘以时间就可求出小狗一共跑的路程。通过题中的条件发现，小李和小王出发的同时小狗就开始跑，中间没有停过，当两人相遇时小狗也停了下来，这就是说小狗跑的时间和两人的相遇时间相同。两人的相遇时间为2400÷(75+85)=15分钟，所以小狗跑了145×15=2175米。 2．【答案】C。解析：从队尾到队首，这是一个追及过程，追及的路程等于队伍的长。从队首返回队尾，这是一个相遇过程，返回队尾所行的路程都等于队伍的长。

设队伍长度为1，传令兵速度为v1，队伍速度为v2：。根据相遇及追及公式，从队尾到队首，所用时间为

11；从队首到队尾所用时间为。

v1?v2v1?v21。 v2 队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等?队伍行进的时间为

传令兵的运动总时间=队伍运动时间?111??

(v1?v2)(v1?v2)v244

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wyor.html